高考數(shù)學(xué)理北師大版一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練5-1平面向量的概念及其線性運(yùn)算

核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一平面向量的基本概念

1.下面說法正確的是 ()A.平面內(nèi)的單位向量是唯一的B.所有單位向量的終點(diǎn)的集合為一個(gè)單位圓C.所有的單位向量都是共線的D.所有單位向量的模相等【解析】選D.因?yàn)槠矫鎯?nèi)的單位向量有無數(shù)個(gè),所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤;當(dāng)單位向量的起點(diǎn)不同時(shí),其終點(diǎn)就不一定在同一個(gè)圓上,所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;當(dāng)兩個(gè)單位向量的方向不相同也不相反時(shí),這兩個(gè)向量就不共線,所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤;因?yàn)閱挝幌蛄康哪６嫉扔?,所以選項(xiàng)D正確.2.給出下列命題:①零向量是唯一沒有方向的向量;②零向量的長(zhǎng)度等于0;③若a,b都為非零向量,則使=0成立的條件是a與b反向共線.其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選B.①錯(cuò)誤,零向量是有方向的,其方向是任意的;②正確,由零向量的定義可知,零向量的長(zhǎng)度為0;③正確,因?yàn)槎际菃挝幌蛄?所以只有當(dāng)與是相反向量,即a與b反向共線時(shí)才成立.1.解答向量概念型題目的要點(diǎn)(1)準(zhǔn)確理解向量的有關(guān)知識(shí),應(yīng)重點(diǎn)把握兩個(gè)要點(diǎn):大小和方向.(2)向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量,準(zhǔn)確運(yùn)用定義和運(yùn)算律仍需從大小和方向角度去理解.2.(1)兩個(gè)向量不能比較大小,只可以判斷它們是否相等,但它們的模可以比較大小.(2)大小與方向是向量的兩個(gè)要素,分別是向量的代數(shù)特征與幾何特征.(3)向量可以自由平移,任意一組平行向量都可以移到同一直線上.考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算

【典例】1.(2018·全國(guó)卷I)在△ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點(diǎn),則= ()A.QUOTEQUOTE B.QUOTEQUOTEC.QUOTE+QUOTE D.QUOTE+QUOTE2.設(shè)D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點(diǎn),AD=QUOTEAB,BE=QUOTEBC.若=λ1+λ2(λ1、λ2為實(shí)數(shù)),則λ1+λ2的值為. 導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1由“則=”及選項(xiàng),想到平面向量線性運(yùn)算.2由“=λ1+λ2”,想到平面向量線性運(yùn)算【解析】1.選A.如圖所示==QUOTE=QUOTE·QUOTE(+)=QUOTEQUOTE.【一題多解】選A.在△ABC中,找到向量,,對(duì)于選項(xiàng)A,作出向量QUOTE,QUOTE,再作QUOTEQUOTE,與向量比較,發(fā)現(xiàn)相等,所以選A.2.=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE(+)=QUOTE+QUOTE,所以λ1=QUOTE,λ2=QUOTE,即λ1+λ2=QUOTE.答案:QUOTE1.平面向量的線性運(yùn)算技巧(1)不含圖形的情況:可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解.(2)含圖形的情況:將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì),把未知向量用已知向量表示出來求解.2.三種運(yùn)算法則的關(guān)注點(diǎn)(1)加法的三角形法則要求“首尾相接”,平行四邊形法則要求“起點(diǎn)相同”.(2)減法的三角形法則要求“起點(diǎn)相同”且差向量指向“被減向量”.(3)數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量,運(yùn)算過程可類比實(shí)數(shù)運(yùn)算.1.(2020·榆林模擬)已知點(diǎn)M是△ABC的邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊AC上,且=2,則= ()A.QUOTE+QUOTE B.QUOTE+QUOTEC.QUOTE+QUOTE D.QUOTE+QUOTE【解析】選C.如圖,因?yàn)?2,所以=QUOTE,所以=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE()=QUOTE+QUOTE.2.在△ABC中,點(diǎn)M,N滿足=2,=.若=x+y,則x=;y=.

【解析】由已知,=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE()=QUOTEQUOTE=x+y,所以x=QUOTE,y=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE考點(diǎn)三共線向量定理及其應(yīng)用

命題精解讀1.考什么:(1)判斷向量共線,三點(diǎn)共線問題,含參數(shù)綜合問題;(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng),以及數(shù)形結(jié)合的思想.2.怎么考:與解析幾何,三角函數(shù)圖像與性質(zhì),三角恒等變換結(jié)合考查求參數(shù),最值等.3.新趨勢(shì):以考查共線向量定理的應(yīng)用為主.學(xué)霸好方法1.證明向量共線的方法:應(yīng)用向量共線定理.對(duì)于向量a,b(b≠0),若存在實(shí)數(shù)λ,使得a=λb,則a與b共線.2.證明A,B,C三點(diǎn)共線的方法:若存在實(shí)數(shù)λ,使得=λ,則A,B,C三點(diǎn)共線.3.解決含參數(shù)的共線問題的方法:經(jīng)常用到平面幾何的性質(zhì),構(gòu)造含有參數(shù)的方程或方程組,解方程或方程組得到參數(shù)值.向量共線問題【典例】(2019·西安模擬)設(shè)a與b是兩個(gè)不共線向量,且向量a+λb與(b2a)共線,則λ=. 導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】因?yàn)閍+λb與2ab共線,設(shè)a+λb=k(2ab),則(12k)a+(k+λ)b=0,所以QUOTE解得k=QUOTE,λ=QUOTE.答案:QUOTE三點(diǎn)共線問題【典例】(2020·鄭州模擬)設(shè)e1與e2是兩個(gè)不共線向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e12ke2,若A,B,D三點(diǎn)共線,則k的值為. 導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】因?yàn)锳,B,D三點(diǎn)共線,所以必存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得=λ.又=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e12ke2,所以==3e12ke2(ke1+e2)=(3k)e1(2k+1)e2,所以3e1+2e2=λ(3k)e1λ(2k+1)e2,又e1與e2不共線,所以QUOTE解得k=QUOTE.答案:QUOTE解決三點(diǎn)共線問題應(yīng)注意什么問題?提示:應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系.當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線,即A,B,C三點(diǎn)共線?,共線.含參數(shù)綜合問題【典例】(2020·唐山模擬)在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2QUOTE,BC=2,點(diǎn)E在線段CD上,若=+μ,則μ的取值范圍是. 導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】由已知AD=1,CD=QUOTE,所以=2.因?yàn)辄c(diǎn)E在線段CD上,所以=λ(0≤λ≤1).因?yàn)?+,又=+μ=+2μ=+QUOTE,所以QUOTE=1,即μ=QUOTE.因?yàn)?≤λ≤1,所以0≤μ≤QUOTE.答案:QUOTE1.已知O是正方形ABCD的中心.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,則QUOTE=()A.2 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.=+=+=+QUOTE=QUOTE,所以λ=1,μ=QUOTE,因此QUOTE=2.2.(2019·大同模擬)△ABC所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足++=,則△PBC與△ABC的面積之比是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因?yàn)?+=,所以++=,所以=2=2,即P是AC邊的一個(gè)三等分點(diǎn),且PC=QUOTEAC,由三角形的面積公式知,QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.P是△ABC所在平面上的一點(diǎn),滿足++=2,若S△ABC=6,則△PAB的面積為 ()A.2 B.3 C.4 【解析】選A.因?yàn)?+=2=2(),所以3==,所以∥,方向相同,所以QUOTE=QUOTE==3,S△PAB=QUOTE=2.1.已知O,A,B三點(diǎn)不共線,P為該平面內(nèi)一點(diǎn),且=+,則 ()A.點(diǎn)P在線段AB上B.點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上C.點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上D.點(diǎn)P在射線AB上【解析】選D.由=+得=,所以=·,所以點(diǎn)P在射線AB上.2.莊嚴(yán)美麗的國(guó)旗和國(guó)徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形,且與黃金分割有著密切的聯(lián)系.在如圖所示的正五角星中,以P,Q,R,S,T為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形,且QUOTE=QUOTE.下列關(guān)系中正確的是 ()A.=QUOTE B.+=QUOTEC.=QUOTE D.+=QUOTE【解析】選A.由已知,====QUOTE,所以A正確;+=+==QUOTE,所以B錯(cuò)誤;===QUOTE,所以C錯(cuò)誤;+=+,QUOTE==,若+=QUOTE,則=0,不合題意,所以D錯(cuò)誤.3.已知點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),若點(diǎn)M滿足|λ|=0且S△ABC=3S△ABM,則實(shí)數(shù)λ=.