2021-2023年高考數(shù)學真題分類匯編五：立體幾何選擇題文

專題05立體幾何（選擇題）（文）

近三年高考真題

知識點1：三視圖

1.（2022?浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：。?。┦牵ǎ?/p>

俯視圖

八22?16

A.22萬B.8兀C.—7tD.—n

DJ

【答案】c

【解析】由三視圖可知幾何體是上部為半球，中部是圓柱，下部是圓臺，

所以幾何體的體積為：-X—xl3+^xl2x2+-（22x^+l2x^+>/22x^xl2x^）x2=^^.

2333

故選：C.

2.（2022?甲卷（文））如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面

體的體積為（）

A.8B.12C.16D.20

【答案】B

【解析】由多面體的三視圖得該多面體是一正四棱柱ABCD-4瓦GA,

四棱柱的底面是直角梯形ABCD，如圖，

AAJ?平面A5cD,

該多面體的體積為:

V=-(4+2)x2x2=12.

2

故選：B.

3.（2021?北京）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（)

C.-+>/3D.

2

【答案】A

【解析】由三視圖還原原幾何體如圖,

必_L底面ABC,AB1AC,PA=AB^AC=\,

則AP8C是邊長為血的等邊三角形，

則該四面體的表面積為S*Mxl+gx而立＞4=誓.

故選：A.

4.（2021?浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：。7?3）是（）

372

D.30

F

【答案】A

【解析】由三視圖還原原幾何體如圖,

該幾何體為直四棱柱，底面四邊形MCD為等腰梯形，

其中A8//8,由三視圖可知，延長A￡）與3c相交于一點，且A￡＞_L8C,

且AB=20,8=夜，M=l-等腰梯形的高為加＞2--8:耳=._亭邛,

則該幾何體的體積（夜+2a4gl.

故選：A.

5.（2021?甲卷（文））在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E,F,G.該正方體截去三棱

錐A-EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應的側視圖是（）

正視圖

A.I----JB.I—L---1C.I----JD.

【答案】D

【解析】由題意，作出正方體，截去三棱錐A-￡FG,根據(jù)正視圖，

可得A-EFG在正方體左側面，如圖，根據(jù)三視圖的投影，

可得相應的側視圖是O圖形，

故選：D.

知識點2：空間幾何體表面積、體積、側面積

6.（2023?甲卷（文））在三棱錐尸-ABC中，A4BC是邊長為2的等邊三角形，PA=PB=2,PC=瓜,

則該棱錐的體積為（）

A.1B.石C.2D.3

【答案】A

【解析】如圖，

PA=PB=2,AB=BC=2,取45的中點C,連接/>￡),CD,

可得ABVCD,

又PD、CE>u平面尸C￡),平面PCE),

在AftAB與AWC中，求得PD=CD=用了=6,

在△/(■￡)中，由PD=CD=6，PC=y/6,PD2+CD2=PC2,則P￡)_LC￡>,

i]3

SPDCD

=—2xx=—2xJ5xJ5=2—?

113

AS=XX2=1

匕-AHC=2SAPCT>X32,

故選：A.

17

7.（2023*天津）在三棱銖P-ABC中，線段PC上的點M滿足PM=■!■尸C,線段P3上的點N滿足PN=』PB,

33

則三棱錐P-AMN和三棱錐P-ABC的體積之比為（）

1214

a

A.9-B.9-3-D.9-

【答案】B

【解析】在三棱錐P-A8C中，線段PC上的點〃滿足PM=1PC,線段P3上的點N滿足PN=2P8,

33

所以S"MA~~，

設N到平面以C的距離4，5到平面RAC的距離4,則4=g4，

11122

-

則三棱錐P-AMN的體積為匕渡銖p_“MN=V淞錐NTH”=-5APA,W=§X3sAMc=§憶極錐B-PAC

7

故三棱錐P-AMN和三棱錐P-ABC的體積之比為一.

9

故選：B.

8.（2021?新高考H）正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2,4,側棱長為2,則其體積為（）

A.20+12gB.28&C.—D.”也

33

【答案】D

【解析】解法一：如圖A8C￡>-4線GR為正四棱臺，AB=2,A4=4,A4,=2.

在等腰梯形AS1力中，過A作A￡_LA4，可得AE=\^=I，

AE=JA<_/E2=V^T=G.

連接AC4G,

AC=〃+4=20,AC=J16+16=4近,

過A作AG_LAG，4G，五12"二及,

AG^JAA；-^G2=V4^2=>/2,

??.正四棱臺的體積為:

22+42+V22X42

280

3

解法二：作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖,

?該四棱臺上下底面邊長分別為2,4,側棱長為2,

該棱臺的記h=J22_(2&_0)2=y[2,

下底面面積S1=16,上底面面積邑=4,

則該棱臺的體積為：

V=1/?(51+S2+7^s7)=^x72x(16+4+764)=^5.

9.(2022?天津)如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱

的底面是頂角為120。，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為()

十字鼠山頂

A.23B.24C.26D.27

【答案】D

【解析】如圖，該組合體由直三棱柱和直三棱柱A￡B-￡)GC組成，且A8CD為正方形，

設重疊后的EG與FH交點為/,

作HW_LCS于M,因為C〃=3H=3,NCHB=120。,

所以CM=BM=竺，HM=2,BC=AB=36

22

方法①：四個形狀相同的三棱錐(/-AEB、I-BCH,I—CDG、/-ADF)的體積之和，加上正四棱錐

/-ABCD的體積：

在直三棱柱"D-37/C中，/WJ_平面R7C,則

由A*8c=8可得〃M_L平面ADCB,

正四棱錐/-/WCD的高等于的長，

11a耳336271_/r/T327

vVXX

/-A￡B=-T3V3X-X—=—,V,_AflCD=-x3>/3x3V3x-=—,

3乙LLoJLZ

77?7

該組合體的體積V=匕一皿X4+匕.?=五X4+萬=27;

方法②：兩個直三棱柱體積相加，再減去重疊部分(正四棱錐/-A8C0的體積:

在直三棱柱AFD-B"。中，平面則

由AB''8C=8可得HMJ_平面ADCB,

正四棱錐/-ABCD的高等于的長，

^-ABCD=1x3>/3x3N/3x|=y,=gx3gxgx36=?’

該組合體的體積V=VAFD_BHCx2-匕_.=2瑤-￡=27?

故選：D.

E

10.(2022?甲卷(文))甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側面展開圖的圓心角之和為2萬，側面積分別為S甲和

S乙，體積分別為％和％.若學=2,則｝=()

s乙％

A.亞B.272C.710D.九叵

4

【答案】C

【解析】如圖，

甲，乙兩個圓錐的側面展開圖剛好拼成一個圓，設圓的半徑(即圓錐母線)為3,甲、乙兩個圓錐的底面半

徑分別為4，高分別為九，h2,

則2町=44,2萬弓=2%,解得4=2,0=1,

由勾股定理可得%=逐也=20,

v-nr^h.

9k.

故選：C.

11.(2022?新高考I)南水北調工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已

知該水庫水位為海拔1485"時，相應水面的面積為140。如廣；水位為海拔［57.5m時，相應水面的面積為

180.05?.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5〃?上升到1575〃時,

增加的水量約為(542.65)()

加

A.1.0X109/M3B.1.2xl()93C.1.4x10"加D.1.6x10,加3

【答案】C

【解析】140W=140X106/M2,180fon2=180xl06m2,

140X106+I80X106+7140X106X180XI0(,

根據(jù)題意，增加的水量約為x(157.5-148.5)

3

(140+180+60A/7)X106

xy

3

?(320+60x2.65)x106x3=1437x106?1.4x109m3.故選：C.

12.（2021?新高考I）已知圓錐的底面半徑為夜，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（)

A.2B.20C.4D.4夜

【答案】B

【解析】由題意，設母線長為/,

因為圓錐底面周長即為側面展開圖半圓的弧長，圓錐的母線長即為側面展開圖半圓的半徑,

則有2萬?四=1?/,解得/=20,

所以該圓錐的母線長為2聲.

故選：B.

13.（多選題）（2023?新高考II）已知圓錐的頂點為尸，底面圓心為O,A3為底面直徑，4P8=120。，PA=2,

點C在底面圓周上，且二面角P—AC—O為45。，則（）

A.該圓錐的體積為"B.該圓錐的側面積為46萬

C.AC=2叵D.A/HC的面積為百

【答案】AC

【解析】取AC中點O,則PDrAC,

p

由二面角的定義可知，二面角「-4。-0的平面角即為/「￡>0=45。，

對于A,A/%8中，由于%=m=2,乙4PB=120。，

則尸0=1,AO=y/3,

則8=1,丫=、3萬-1=萬，選項A正確.

3

對于3,S^=兀x#x2=2小兀,選項5錯誤.

對于C,AC=2瘧T=2&,選項C正確.

對于￡>,PD=&,5^=1x72x272=2,選項￡）錯誤.

故選：AC.

14.（多選題）（2022?新高考H）如圖，四邊形/WCD為正方形，ED_L平面MCD,FBIIED,

AB=ED=2FB.記三棱錐E—ACD,F-ABC,尸一ACE的體積分別為匕，匕，匕，則（)

A.V3=2V2B.匕=匕C.匕=乂+匕D.2匕=3匕

【答案】CD

【解析】設AB=ED=2FB=2,

14

V；=-XSMCOX|ED|=-,

匕=gx5AABe*|F81="I'

如圖所示,

連接班>交AC于點M,連接FM,

則EM=娓，EF=3,

故SAEMF=gx行xn=,

匕=；5回-xAC=gx&=2,

故C、。正確，A、8錯誤.

故選：CD.

知識點3：空間直線、平面位置關系的判斷

15.（2022?乙卷（文））在正方體ABCO—AgGA中，E,尸分別為AB,8c的中點，則（）

A.平面81￡F_L平面B.平面與EF_L平面

C.平面用￡///平面AACD.平面gEF//平面4G。

【答案】A

【解析】對于A,由于E，尸分別為/W,3C的中點，則EF//AC,

又AC_L8￡）,AC±DD,,BDQDD,=D,且8￡）,DRu平面，

AC_L平面BDD],則EF_L平面BDDt,

又Mu平面片E尸，

平面與EF_L平面BDR,選項A正確；

對于B,由選項A可知，平面平面而平面8￡>RC平面4出力=8。，在該正方體中，試想"

運動至A時，平面與后尸不可能與平面AB。垂直，選項8錯誤；

對于C,在平面A8sA上，易知A4,與8盧必相交，故平面用斯與平面AAC不平行，選項C錯誤；

對于￡>,易知平面ABC〃平面4G。，而平面44c與平面耳所有公共點用，故平面與歷與平面不

可能平行，選項。錯誤.

故選：A.

16.（2021?浙江）如圖，已知正方體—，"，N分別是A。，的中點，貝U（)

A.直線4。與直線垂直，直線MN//平面A5CD

B.直線4力與直線。田平行，直線MVJ_平面8。〃用

C.直線與直線Q8相交，直線MV//平面

D.直線與直線￡>/異面，直線陰V_L平面線

【答案】A

【解析】連接4R,如圖：

由正方體可知AOJ-A"，A.DA.AB,.?."。，平面他口，

:.A01.RB,由題意知MN為△RA8的中位線，:.MN//AB,

又?ABu平面A8CE）,MNC平面ABCZ）,.?.加7//平面468.r.A對；

由正方體可知A。與平面瓦兒）1相交于點。，RBu平面BDD「D走D、B,

直線4。與直線QB是異面直線，r.B、C錯；

?.MN//AB,不與平面8"）聲垂直，.〔MN不與平面內垂直，.■.￡）錯.

故選：A.

D,Ci

知識點4：線線角、線面角

17.（2022?甲卷（文））在長方體A8CQ-ABGA中，已知BQ與平面ABCD和平面A41AB所成的角均為

30°，貝IJ（）

A.AB=2AD

B.AB與平面ABC。所成的角為30。

C.AC=CBt

D.8Q與平面BBgC所成的角為45。

【答案】D

【解析】如圖所示，連接AB-BD,不妨令A4,=l,

在長方體ABCO-ABCa中，4），面84，面至8,

所以ZB\DB和ZD4A分別為BtD與平面A5CD和平面AA.B.B所成的角,

即ZB】DB=NDB]A=30。,

所以在RtABDB|中，BBj=AA,=1，BD=柩,BQ=2,

在RtAADB|中，DB、=2,AO=1,A6|=^,

所以A8=>/i,CB、=6,AC=6,

故選項A,C錯誤，

由圖易知，AB在平面A4G。上的射影在AM上，

所以為AB與平面ABC。所成的角，

BBiJu

在RtZ\ABB|中，sinZB,AB=-1=1=上

A81V33

故選項5錯誤，

如圖，連接與C,

則BQ在平面BB￡C上的射影為8C，

所以NDB。為片。與平面BBgC所成的角，

在M△。用C中，BiC=>f2=DC,所以NDBC=45。，

所以選項。正確，

故選：D.

18.（2021?乙卷（文））在正方體A8CD-ASGR中，P為8a的中點，則直線P3與4.所成的角為（

A..7—1nB.—7CC.冗—hD.7—1

2346

【答案】D

【解析】解法一：4R//8C「.?.”孔；是直線網(wǎng)與AR所成的角（或所成角的補角）,

設正方體48a的棱長為2,

22

則PB\=PG=gle+?=五,BC}=V2+2=2V2,BP=G+（揚2=R,

/手2+8&2-pc：6+8—23

，cosNPBG

2xPBxBC1~2x76x272~2

冗

:"PBG=-,

直線PB與4R所成的角為生.

6

解法二：A.//BG，.?.直線網(wǎng)與AR所成角為

在正△ABG中，BP是幺8￡的平分線，

兀

直線PB與四所成的角為2.

故選：D.

知識點5：球的相關問題

19.（2022?新高考I）已知正四棱錐的側棱長為/,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36%,且

3蒯3下）,則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

A.[18,—]B.[―,—]C.[―,—]D.[18,27]

44443

【答案】C

【解析】如圖所示，正四棱錐P-/WCD各頂點都在同一球面上，連接AC與交于點E,連接PE,則

球心O在直線PE上，連接Q4,

設正四棱錐的底面邊長為“，高為h,

在RtAPAE中，PA"=AE2+PE2,BPI2=（^-）2+h2=^a2+h2,

,球O的體積為36萬，.?.球O的半徑R=3,

在RtAOAE中，Ofic=O￡2+AE-,即店=（〃-3）2+（叵）?，

2

-a2+h2-6h=0,-a1+/?2=6/?,

22

lqQ

.?/=6〃，又3狙3V3,.?.二毅收

22

ii7

.?.該正四棱錐體積V(/?)=；.2仁；(12〃-27?)〃=-；/?3+4/,

V'(〃)=一2配+8力=2〃(4一九),

7a

當二時，V'(h)>0,V㈤單調遞增;當4<。二時,V'(〃)<0,丫(〃)單調遞減,

22

64

(4)=y,

加㈤y.

20.（2022?乙卷（文））己知球。的半徑為1,四棱錐的頂點為O,底面的四個頂點均在球O的球面上，則

當該四棱錐的體積最大時，其高為（）

1R1

A.-D.-cC.0

323

【答案】C

【解析】對于圓內接四邊形，如圖所示，

11

S叫初形癡）=—ACBD-sin。,,—2r-2r?sin900=2/9,

V'iULnf/KDC7LJ?"2

當且僅當AC,BD為圓的直徑，且AC_LBD時，等號成立，此時四邊形458為正方形，

當該四棱錐的體積最大時，底面一定為正方形，設底面邊長為a,底面所在圓的半徑為r,

貝ljr=—rz,

2

該四棱錐的高分

???該四棱錐的體積"=￥后-后三。一看哥（丁4：一2）管腎二券，

29.

當且僅當土=1-土，即時，等號成立，

423

21.（2022?新高考H）已知正三棱臺的高為1,上、下底面邊長分別為34和44，其頂點都在同一球面上,

則該球的表面積為（）

A.100萬B.128萬C.144萬D.192萬

【答案】A

【解析】當球心在臺體外時，由題意得，上底面所在平面截球所得圓的半徑為二^—=3,下底面所在平

2sin600

面截球所得圓的半徑為4萬=4,如圖，

2sin60°

設球的半徑為A