2024屆高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試題（北京專用）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12024屆高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底考（北京專用）數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題1.已知全集，集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗全集，集合，.故選：C.2.設(shè)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于虛軸上，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意可得，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，即在虛軸上，因此可得，即；故選：B.3.的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（）A.1 B.5 C.10 D.20〖答案〗C〖解析〗二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，即，有，故的系數(shù)為10.故選：C.4.若，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)椋灾笖?shù)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于B，因，所以冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以?duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，滿足，有，此時(shí)不滿足，錯(cuò)誤.故選：B5.在中，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗易知，由可得；利用正弦定理可得.故選：D6.已知點(diǎn)，點(diǎn)滿足.若點(diǎn)，其中，則的最小值為（）A.5 B.4 C.3 D.2〖答案〗C〖解析〗由于，所以是單位圓上的點(diǎn)，由于，其中，所以是直線上的點(diǎn)，畫(huà)出圖象如下圖所示，由圖可知，的最小值為.故選：C7.在中，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，，由正弦定理得，由于，所以，所以，所以是銳角，且.故選：B8.在某次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小明先將一副三角板按照?qǐng)D1的方式進(jìn)行拼接，然后他又將三角板折起，使得二面角為直二面角，得圖2所示四面體．小明對(duì)四面體中的直線、平面的位置關(guān)系作出了如下的判斷：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判斷正確的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗對(duì)于①中，因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，可得平面平面，又因?yàn)槠矫嫫矫妫?，且平面，所以平面，所以①正確；對(duì)于②中，由平面，且平面，可得，又因?yàn)椋?，平面，所以平面，所以②正確；對(duì)于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正確；對(duì)于④，中，因?yàn)槠矫?，且平面，可得平面平面，若平面平面，且平面平面，可得平面，又因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)榕c不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D錯(cuò)誤.故選：C.9.設(shè)是首項(xiàng)為正數(shù)，公比為q的無(wú)窮等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為.若存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)，使，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，，若，則，，此時(shí)不存在符合題意的，所以.若，則，當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，，所以存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)，使.當(dāng)時(shí)，，其中，，所以，此時(shí)不存在符合題意的.當(dāng)時(shí)，，其中，當(dāng)是正奇數(shù)時(shí)，，所以，此時(shí)不存在符合題意的；當(dāng)是正偶數(shù)時(shí)，，，所以存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)，使.綜上所述，的取值范圍是.故選：B10.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，記函數(shù)的最大值為，則的最小值為（）A.3.5 B.4C.4.5 D.5〖答案〗C〖解析〗易判斷函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)，上的最大值.當(dāng)時(shí)，，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以在上遞增，在上也是遞增，所以；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋栽谏线f增，在上遞減，在上遞增，所以或，若，則；若，則;當(dāng)時(shí)，，（因?yàn)椋?，所以函?shù)在上遞增，在上遞減，所以.綜上可知：的最小值為.故選：C.第Ⅱ卷二、填空題11.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗，解得且，函數(shù)的定義域?yàn)?故〖答案〗為：.12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則〖答案〗〖解析〗設(shè)，，又因?yàn)?，所以，?故選：.13.已知雙曲線：，則雙曲線的漸近線方程是__________；直線與雙曲線相交于，兩點(diǎn)，則__________.〖答案〗〖解析〗由雙曲線：知雙曲線的焦點(diǎn)在軸，且，，即，，所以雙曲線的漸近線方程為；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，所以.故〖答案〗為：；.14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為．若記點(diǎn)到直線的距離為，則的極大值點(diǎn)為_(kāi)______，最大值為_(kāi)______．〖答案〗或〖解析〗由題意，，由，得，∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則的極大值點(diǎn)為或，∵，，∴當(dāng)，即或時(shí)，取最大值為．故〖答案〗為：或；.15.設(shè)，函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：①在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，存在最大值；③當(dāng)時(shí)，直線與曲線恰有3個(gè)交點(diǎn)；④存在正數(shù)及點(diǎn)和，使.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.〖答案〗①②④〖解析〗對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí).當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減顯然成立；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，此時(shí)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故①成立；對(duì)于②，如圖，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，此時(shí)的最大值為；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)的最大值為，所以存在最大值，最大值為，故②正確；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，此時(shí)的最大值為，所以直線與曲線沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，設(shè)，由，解得，當(dāng)時(shí)，，如圖，此時(shí)直線與曲線恰有2個(gè)交點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，如圖，取，時(shí)，，所以存在正數(shù)及點(diǎn)和使成立，故④正確.故〖答案〗為：①②④.三、解答題16.已知函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn).（1）求的值及的最小正周期；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求正數(shù)的最大值.解：（1）由得.所以.所以的最小正周期為.（2）由（），得（）.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，且，此時(shí)，所以，故的最大值為.17.如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，，點(diǎn)為中點(diǎn)．（1）求證：//平面；（2）點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，直線與平面所成角的正弦值為，求的值．（1）證明：因?yàn)檎叫沃?，．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）解：因?yàn)榈酌?，正方形中，分別以的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖不妨設(shè)，因?yàn)?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，則，，，，，．所以，，．設(shè)為平面的法向量，則，．所以，令，得，所以．設(shè)直線與平面所成角為，則，解得，因?yàn)?，所以，所以?8.甲、乙、丙三人進(jìn)行投籃比賽，共比賽10場(chǎng)，規(guī)定每場(chǎng)比賽分?jǐn)?shù)最高者獲勝，三人得分（單位：分）情況統(tǒng)計(jì)如下：場(chǎng)次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（1）從上述10場(chǎng)比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)，求甲獲勝的概率；（2）在上述10場(chǎng)比賽中，從甲得分不低于10分的場(chǎng)次中隨機(jī)選擇兩場(chǎng)，設(shè)表示乙得分大于丙得分的場(chǎng)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)每場(chǎng)比賽獲勝者唯一，且各場(chǎng)相互獨(dú)立，用上述10場(chǎng)比賽中每人獲勝的頻率估計(jì)其獲勝的概率.甲、乙、丙三人接下來(lái)又將進(jìn)行6場(chǎng)投籃比賽，設(shè)為甲獲勝的場(chǎng)數(shù)，為乙獲勝的場(chǎng)數(shù)，為丙獲勝的場(chǎng)數(shù)，寫(xiě)出方差，，的大小關(guān)系.解：（1）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場(chǎng)比賽中，甲共獲勝3場(chǎng)，分別是第3場(chǎng)，第8場(chǎng)，第10場(chǎng).設(shè)表示“從10場(chǎng)比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)，甲獲勝”，則.（2）根據(jù)三人投籃得分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場(chǎng)比賽中，甲得分不低于10分的場(chǎng)次有6場(chǎng)，分別是第2場(chǎng)，第3場(chǎng)，第5場(chǎng)，第8場(chǎng)，第9場(chǎng)，第10場(chǎng)，其中乙得分大于丙得分的場(chǎng)次有4場(chǎng)，分別是第2場(chǎng)、第5場(chǎng)、第8場(chǎng)、第9場(chǎng).所以的所有可能取值為0，1，2.，，.所以的分布列為012所以.（3）由題意，每場(chǎng)比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，丙獲勝的概率為，還需要進(jìn)行6場(chǎng)比賽，而甲、乙、丙獲勝的場(chǎng)數(shù)符合二項(xiàng)分布，所以，，故.19.已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合）.設(shè)的中點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn).若恰為的中點(diǎn)，求直線的方程.解：（1）依題意，解得，所以橢圓的方程為.(2）若直線與軸重合，則與原點(diǎn)重合，符合題意，此時(shí)直線的方程為.若直線與軸不重合，設(shè)其方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，，設(shè)，則，則.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)椋?，整理得，解得，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，不符合題意，舍去.綜上所述，直線的方程為.20.已知函數(shù).（1）若曲線在點(diǎn)處的切線為軸，求的值；（2）討論在區(qū)間內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）若在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求證：.（1）解：由得：，依題意，，得.經(jīng)驗(yàn)證，在點(diǎn)處的切線為，所以.（2）解：由題得.（i）若，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以無(wú)極值點(diǎn).（ii）若，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以為的極小值點(diǎn)，且無(wú)極大值點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.（3）證明：由（2）知當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.所以.若在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，則.而，設(shè)，則.設(shè)，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以，即.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以，即.又，所以.21.給定正整數(shù)，已知項(xiàng)數(shù)為且無(wú)重復(fù)項(xiàng)的數(shù)對(duì)序列：滿足如下三個(gè)性質(zhì)：①，且；②；③與不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列中.（1）當(dāng)，時(shí)，寫(xiě)出所有滿足的數(shù)對(duì)序列；（2）當(dāng)時(shí)，證明：；（3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，記的最大值為，求.（1）解：依題意，當(dāng)，時(shí)有：或.（2）證明：當(dāng)時(shí)，因?yàn)榕c不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列中，所以，所以每個(gè)數(shù)至多出現(xiàn)次，又因?yàn)椋灾挥袑?duì)應(yīng)的數(shù)可以出現(xiàn)次，所以.（3）解：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，先證明.因?yàn)榕c不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列中