2024年高考第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（新高考Ⅱ卷02）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12024年高考第一次模擬考試（新高考Ⅱ卷02）數(shù)學(xué)第I卷（選擇題）一、單項選擇題1．設(shè)全集U=R，集合A={x||A．{x|-3<xC．{x|1<x〖答案〗A〖解析〗因為?UB={所以?U故選：A.2．已知z=5+5i2+i（i為虛數(shù)單位），則zA．4 B．3 C．32 D．〖答案〗C〖解析〗因為z=5+5i2+i=則z-2z=3+i-23-i故選:C．3．已知正三棱錐P-ABC的側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=1A．36 B．33 C．32〖答案〗B〖解析〗設(shè)球的半徑為r，由題可知AB=AC=所以13?r?故選：B.4．若sinπ2+α+A．-33 B．-13 C．〖答案〗C〖解析〗方法一∵sin=∴cosα+∴cos11π故選：C.方法二∵sin=∴sinα-令β=α-π3，則α=β+π∴cos11π故選：C.5．在正方形ABCD的每一個頂點處分別標上1,2,3,4中的某一個數(shù)字（可以重復(fù)），則頂點A,B處的數(shù)字都大于頂點C,A．36種 B．48種 C．24種 D．26種〖答案〗D〖解析〗按頂點A,B處標注的數(shù)字分類，有如下幾種情況：若A,B處都標注的是4，則C,D處的標注方法有3×3=9（種）；若A,B處都標注的是3，則C,D處的標注方法有2×2=4（種）；若A,B處都標注的是2，則C,D處的標注方法有1種；若A,B處標注的是4和3兩個數(shù)字，則C,D處的標注方法有2×2=4（種），不同的標注方法共有2×4=8（種）；若A,B處標注的是4和2兩個數(shù)字，則C,D處的標注方法有1種，不同的標注方法共有2×1=2（種）；若A,B處標注的是3和2兩個數(shù)字，則C,D處的標注方法有1種，不同的標注方法共有2×1=2（種）.由分類加法計數(shù)原理可知，頂點A,B處的數(shù)字都大于頂點C,D處的數(shù)字的標注方法共有9+4+1+8+2+2=26（種）.故選:D.6．已知第一象限內(nèi)的點P在雙曲線C:x216-y29=1的漸近線上，O為坐標原點，F(xiàn)A．503 B．1003 C．758〖答案〗C〖解析〗由題意，F(xiàn)5,0，雙曲線的漸近線為y=±由點P在第一象限，可設(shè)Pt,則PO=54所以PFPO所以當(dāng)t=5時，PFPO此時P5,此時△POF的面積S△POF故選：C.7．在△ABC中，BD=13BC，E是線段AD上的動點（與端點不重合），設(shè)CEA．3 B．1 C．2 D．4〖答案〗D〖解析〗

因為BD=13因為CE=xCA+y因為A,D,E三點共線，所以x+32y=1所以2x+3y=2x3y+1+1+3y2x≥22x3y所以2x+3y3xy的最小值是4故選：D8．已知a=13e，b=A．b<c<C．c<a<〖答案〗D〖解析〗因為1.1>π3，而y=cosx在故cos1.1<cosπ又y=sinx在x∈0,故c=sin(cos1.1)<sin1令fx=x-sinx，則f'故fx=x-sinx在x∈0,故f12>0故c=sin(cos1.1)<sin1又a=13e則g'x=ex-1故g-13因為23<32，所以因為y=log3x故log3又log32>log故c<b<a故選：D二、多項選擇題9．已知圓C:x-22A．存在實數(shù)k，使得直線l與圓C相切B．若直線l與圓C交于A，B兩點，則AB的最大值為4C．當(dāng)k=-1時，圓C上存在4個點到直線l的距離為D．當(dāng)k=1時，對任意λ∈R，曲線E:x〖答案〗BCD〖解析〗C:x-22+y2因為直線l:y=kx過定點O0,0，且點O在圓上，若直線l與圓C相切，則直線l的斜率不存在，即x=0，故A當(dāng)直線l經(jīng)過圓心時，AB取最大值即圓的直徑2r=2×2=4，故B正確；當(dāng)k=-1時，直線l:x+y=0，因為圓心C到直線l的距離d=22=所以圓C上有4個點到直線的距離為12，故C當(dāng)k=1時，直線l:x-y=0，曲線E:即x2+y2-4x-λx-y故選：BCD．10．設(shè)A，B是一個隨機試驗中的兩個事件，且P(A)=12，PA．P(ABC．P(A|〖答案〗AB〖解析〗因為P(A)=12，P(B)=1124，所以因為AB與AB為互斥事件，所以所以P(=P(B)-P(AB)+P(A)-P(AB)=12+所以P(AB)=1故P(AB)=P(B)-P(AB)=11P(A+B)=P(AP(A|B)=P(AB)P(B)=P(A|B)=P(所以P(A|B)≠P(B|A)故選:AB.11．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，ABA．當(dāng)B1P//平面A1BD時，B．當(dāng)λ=μ時，|C．若B1P與平面CC1D1D．當(dāng)λ=1時，正方體經(jīng)過點A1〖答案〗AC〖解析〗如圖1，因為CP=λCD+μ所以P點在正方形CDD當(dāng)點P與點D1重合時，B因為B1P?平面A1BD，所以B1P//平面此時B1C=B故B1P與CD1所成夾角為π當(dāng)λ=μ時，點P在對角線CD將矩形A1BCD1和等腰直角三角形

連接A1D與D1由三點共線可知，|DP|+|A其中A1D1由余弦定理得A1D=AC選項，如圖3，以C1為圓心，CC1的長為半徑作圓，與正方形CD

此時滿足B1P與平面CC故則點P的軌跡長度等于14×2π×1=πD選項，如圖4，當(dāng)λ=1時，CP=CD+μCC1故點P在線段DD在BB1上取點H，使得B1則可證得A1H=PC,CH=A故正方體經(jīng)過點A1,P,C的截面為平行四邊形以A為坐標原點，AB,AD,AA1所在直線分別為則A10,0,1,C其中m=A1PA則PA則點P到直線A1C=2因為μ∈[0,1]，所以d=2

故截面面積為d?A1C=故選：AC12．已知函數(shù)f(x)=x2-8A．f(xB．實數(shù)m的取值范圍為(6C．曲線y=f(xD．x〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由題設(shè)得，函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)，且f'當(dāng)x∈(0,1)∪(3,+∞)時，f'(x)>0；當(dāng)x∈(1,3)時，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(3,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3)，故A正確．對于B，因為函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，在(3,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)的極大值為f(1)=1-8+0=-7，極小值為f3當(dāng)x趨向于0時，f(x)趨向負無窮，當(dāng)x趨向于正無窮時，f(x)趨向于正無窮．由于函數(shù)g(x)=f(x)-m有三個零點，因此6ln3-15<m<-7，故B正確．對于C，由已知條件，得f2=6ln2-12，所以切線方程為y=-x-2+6ln2-12，即y=-x+6ln2-10，故對于D，由選項B的分析知，0<x構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-f(2-x)，x∈(0,1)，則F'所以F'x>0在(0,1)上恒成立，即F(x)=f(x)-f(2-x)所以F(x)<F(1)=0，即f(x)<f(2-x)在(0,1)上恒成立．又x1∈(0,1)，所以又x2,2-x1∈(1,3)所以x2>2-x1，即故選：ABD．第II卷（非選擇題）三、填空題13．若3x-1xn的展開式的二項式系數(shù)之和為16，則3〖答案〗56〖解析〗由3x-1xn的展開式的二項式系數(shù)之和為16則3x+1令8-4r3=-4，解得r=5，故3x+1故〖答案〗為：5614．拋物線y2=2pxp>0的焦點為F，準線為l，A,B是拋物線上的兩個動點，且滿足AF?FB=0.設(shè)線段AB的中點M在〖答案〗2〖解析〗

如圖，過A點作AC⊥l，過B作BD⊥l，設(shè)AF=m，BF則由拋物線的定義知BD=BF=n由題意知MN=因AF?FB=0AB2因m2+n2≥所以AB2≥2MN所以2MN故〖答案〗為：215．分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)．分形的外表結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的．一個數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)．下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段AB的長度為a，在線段AB上取兩個點C，D，使得AC=DB=14AB，以CD為一邊在線段AB的上方做一個正六邊形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對圖記第n個圖形（圖1為第1個圖形）中的所有線段長的和為Sn，現(xiàn)給出有關(guān)數(shù)列S①數(shù)列Sn②數(shù)列Sn③存在最小的正數(shù)a，使得對任意的正整數(shù)n，都有Sn>2018④存在最大的正數(shù)a，使得對任意的正整數(shù)n，都有Sn其中真命題的序號是（請寫出所有真命題的序號）.〖答案〗②④〖解析〗由題意，得圖1中線段為a，即S1圖2中正六邊形邊長為a2，則S圖3中的最小正六邊形邊長為a4，則S圖4中的最小正六邊形邊長為a8，則S由此類推，Sn所以Sn為遞增數(shù)列，但不是等比數(shù)列，即①錯誤，②因為S=a+2a(1-即存在最大的正數(shù)a=20185，使得對任意的正整數(shù)n，都有即④正確；③錯誤，綜上可知正確的由②④．16．已知函數(shù)fx=x2-6x,x≤3kx〖答案〗2〖解析〗令gx=fx則原問題等價于存在m∈2,8使得y=gx與y=m的圖象有兩個交點且兩交點的橫坐標之和為6則k>0，作出函數(shù)y=gx與y=m設(shè)兩圖象交點的橫坐標分別為x1,x故兩個交點關(guān)于二次函數(shù)y=x-32的圖象的對稱軸設(shè)點P為y=kx-3與y=x-32聯(lián)立y=kx-3與y=x-32x>3，解得故2<k2<8k>0，解得2<k<2故〖答案〗為：2,2四、解答題17．記數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a1(1)求數(shù)列an(2)記數(shù)列bn的前n項和為Tn，若b3n=2n-解：(1)因為Sn+1+Sn+兩式相減可得an+1+a且當(dāng)n=1時，S2+S所以an是首項為-6，公比為所以an即an(2)因為b3n則T=-3×=-3×218．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知4(1)求角C的大小；(2)若S△ABC=2+解：(1)由題意知，原式可化為2cosA-B即2cosAcosB+sinAsinB整理可得：2cosA+B=-3又因為A+B+C=π，則0<C<π，所以cosC=32，故(2)因為S△ABC=1由余弦定理和基本不等式可得：c2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2+所以c≥1，故c的最小值為1.19．如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AD⊥AB，BC=2AD=6，AB=3，AC與BD交于點M，將△

(1)證明：BD⊥(2)若平面PBC與平面PBD的夾角的余弦值為77，求三棱錐P-(1)證明：∵tan∠ADB=ABAD=∵∠ADB,∠CAB∈(0,∴∠ADB=∠CAB，∴∠ADB+∠MAD=∠CAB+∠MAD=π∴AC⊥BD，即AM⊥BD，CM⊥BD，∴PM⊥BD，CM⊥BD，又PM∩CM=M，PM,CM?平面PMC，∴BD⊥平面PMC，PC?平面PMC，∴BD⊥PC；(2)解：直角△ABC中，AC=A∵AD∥BC，∴AM∴AM=1，CM=2，BM=A則BD=由(1)BD⊥平面PMC，以M為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系M-xyz，

則B2,0,0，C0,2,0設(shè)P0,cosθ,sinθ，其中0<θ<π所以MB=2,0,0，CB設(shè)平面PBD的一個法向量為n=則n?取y1=sinθ，設(shè)平面PBC的一個法向量為m=則m?取y2=sinθ，則cosm解得cosθ=45，sinθ=35或則P0,4故VP-BCD=120．已知某工廠加工5G手機的某種精密配件的合格率為p0<p<1，若加工后的30件這種精密配件中恰有6件不合格的概率為fp(1)求p0(2)設(shè)該工廠加工5G手機的這種精密配件的合格率為p0，在合格品中，優(yōu)等品的概率為①從加工后的這種精密配件中隨機抽取若干件，設(shè)其中優(yōu)等品有X件，若PX②已知某5G手機生產(chǎn)商向該工廠提供這種精密配件的原料，經(jīng)過該工廠加工后，每件優(yōu)等品、合格品分別以150元、100元被該5G手機生產(chǎn)商回收，同時該工廠對不合格品進行復(fù)修，每件不合格品只能復(fù)修為合格品或不合格品，且復(fù)修為合格品和不合格品的概率均為0.5，復(fù)修后的合格品按合格品的價格被回收，復(fù)修后的不合格品按廢品處理掉，且每件不合格品還需要向該5G手機生產(chǎn)商賠償原料費30解：(1)由題意可知，這種精密配件的不合格率為1-p，則加工后的30件這種精密配件中恰有6件不合格的概率fp則f'令f'p>0，解得0<p<0.8，令f所以fp在0,0.8上單調(diào)遞增，在0.8,1所以當(dāng)p=0.8時，fp取得極大值，故p(2)①從加工后的這種精密配件中隨機抽取一件為優(yōu)等品的概率為0.8×0.5=0.4．設(shè)從加工后的這種精密配件中隨機抽取n件，由題意可知，X～Bn,0.4且PX=k由題意可知，P(X=5)≤P(X=6)P(X=7)≤P(X=6)即Cn解得14≤n≤16.5，又n∈N，所以n的最大值為16，故抽取的這種精密配件最多有16件．②設(shè)該工廠加工一個這種精密配件獲利Y元，加工費與復(fù)修費均為m元，由題意可知，Y的可能取值為150-m,100-m,100-2m,-30-2m，則隨機變量Y的分布列為Y150-m100-m100-2m-P0.40.40.10.1則EY由題意可知，107-1.2m≥50，解得m≤47.5，所以一個配件的加工費最高為47.5元．21．已知橢圓C:x2a2(1)求橢圓C的標準方程.(2)已知過右焦點F的直線l與C交于A,B兩點，在x軸上是否存在一個定點P，使∠OPA=∠解：(1)因為e=ca=所以橢圓C的方程為x2因為點-3,-32在橢圓C上，所以所以a2所以橢圓C的標準方