河南省部分名校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省部分名校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由拋物線得：焦點(diǎn)在x軸上，開口向右，p=2，所以其準(zhǔn)線方程為，故選：B2.已知是公比為2的等比數(shù)列，若，則（）A100 B.80 C.50 D.40〖答案〗B〖解析〗設(shè)的公比為，則，所以，所以.故選：B.3.已知直線與垂直，則（）A0 B.0或 C. D.0或〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋瑒t有，解得或，故選：B.4.一個(gè)做直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)的位移與時(shí)間的關(guān)系式為，則該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為時(shí)，（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知，則，令，則，即該質(zhì)點(diǎn)瞬時(shí)速度為時(shí)，時(shí)間.故選:C.5.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且，則（）A.6 B.5 C.3 D.1〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，所?故選：C6.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為棱的中點(diǎn)，且，則（）A.6 B.8 C.9 D.10〖答案〗A〖解析〗底面為菱形，，,為棱的中點(diǎn),，解得.故選:A.7.曲率是數(shù)學(xué)上衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)，對于曲線，其在點(diǎn)處的曲率，其中是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù).已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，則該拋物線上的各點(diǎn)處的曲率最大值為（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗由題可知拋物線方程為，即，則，則該拋物線在各點(diǎn)處的曲率，當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：D.8.橢圓具有如下光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)（如圖）.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，，過點(diǎn)作的切線，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，若，，則（）注：表示面積.A.2 B. C.3 D.〖答案〗C〖解析〗如圖，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)可得三點(diǎn)共線.設(shè)，則.故，解得.又，所以，所以.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A. B. C.是等差數(shù)列 D.是遞增數(shù)列〖答案〗AC〖解析〗，故A正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不適合上式，故B錯(cuò)誤；從第2項(xiàng)開始為等差數(shù)列，所以其偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，故C正確；因?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知曲線，則（）A.當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓B.當(dāng)時(shí)，曲線是以直線為漸近線的雙曲線C.存在實(shí)數(shù)，使得過點(diǎn)D.當(dāng)時(shí)，直線總與曲線相交〖答案〗ABC〖解析〗當(dāng)時(shí)，，所以方程表示的曲線是橢圓，故A正確；當(dāng)時(shí)，方程為，所以，其漸近線方程為，即，故B正確；令，整理得且，此方程有解，故C正確；當(dāng)時(shí)，曲線為雙曲線，直線為的一條漸近線，此時(shí)無交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知圓和圓，則（）A.圓與軸相切B.兩圓公共弦所在直線的方程為C.有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得過點(diǎn)能作兩條與兩圓都相切直線D.兩圓的公切線段長為〖答案〗ACD〖解析〗圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑.對于A，顯然圓與軸相切，故A正確；對于B，易知兩圓相交，將方程與相減，得公共弦所在直線的方程為，故B錯(cuò)誤；對于C，兩圓相交，所以兩圓的公切線只有兩條，又因?yàn)閮蓤A半徑不相等，所以公切線交于一點(diǎn)，即過點(diǎn)可以作出兩條與兩圓都相切的直線，故C正確；對于，因?yàn)椋怨芯€段長為，故D正確.故選：ACD12.已知正方體的棱長為分別是棱和的中點(diǎn)，是棱上的一點(diǎn)，是正方形內(nèi)一動點(diǎn)，且點(diǎn)到直線與直線的距離相等，則（）A.B.點(diǎn)到直線的距離為C.存在點(diǎn)，使得平面D.動點(diǎn)在一條拋物線上運(yùn)動〖答案〗AD〖解析〗建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.對于選項(xiàng)A，易知，設(shè)，所以，又，得到，所以，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，又，則在方向上的投影向量的模為，又，所以點(diǎn)到直線的距離為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由選項(xiàng)A知，，，由，得到，取，所以平面的一個(gè)法向量為，由，得到，所以不存在點(diǎn)，使得平面，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，所以點(diǎn)到直線的距離即點(diǎn)到點(diǎn)的距離，又點(diǎn)到直線與直線的距離相等，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，又面，面，由拋物線定義知，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，所在直線為準(zhǔn)線的拋物線的一部分，故選項(xiàng)正確，故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.曲線在點(diǎn)處的切線方程為____.〖答案〗〖解析〗由題意，，因?yàn)椋?，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故〖答案〗為：.14.在空間直角坐標(biāo)系中，向量，分別為異面直線方向向量，若所成角的余弦值為，則__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)所成的角為.由題意知，解得.故〖答案〗為：.15.已知是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），，則的離心率為__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)雙曲線的半焦距為，則，因?yàn)?，所以，在中，，所以為等邊三角形，所以，根?jù)雙曲線定義可得，在中，由勾股定理可得，整理得，所以，解得，所以的離心率為.故〖答案〗為：.16.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為，不等式對任意的恒成立，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗由題意可得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，隨著值的增大而減小，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，隨著值的增大而增大，所以，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，時(shí)，，所以，所以的最小值為.故〖答案〗為：四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知公比不為1的等比數(shù)列滿足，且是等差數(shù)列的前三項(xiàng).（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)的公比為，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，則，即，解得或1（舍去），所以.（2）由（1）可知的前三項(xiàng)為，則等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，所以，即.所以.18.如圖，在四棱錐中，為棱的中點(diǎn)，平面.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，由題可知兩兩互相垂直，所以以所在直線為軸，過與平行的直線為軸，所在直線為軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.又，為棱的中點(diǎn)，易知.所以，所以，所以.（2）因?yàn)槠矫?，平面，所?由（1）知，又，平面，所以平面，即是平面的一個(gè)法向量.又因?yàn)椋?，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.已知圓，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，且.（1）求的值；（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，分別與圓交于不同于點(diǎn)的兩點(diǎn)，若，求直線的方程.解：（1）由題意可知圓的圓心為，半徑.因?yàn)?，所以，從而，即，兩邊平方整理得，又因?yàn)椋?（2）由（1）知圓，點(diǎn)在圓上，又因?yàn)?，所以線段為圓的直徑，即直線過圓心，顯然直線的斜率不為0，設(shè)其方程為，點(diǎn)到直線的距離為.根據(jù)三角形的面積公式可得.所以，解得，所以直線的方程為或.20.已知數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，前項(xiàng)和為，且.（1）證明：等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）在中，令，得，當(dāng)時(shí)，由，得，整理得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）知.所以①，②①-②，得，所以.21.如圖，在斜三棱柱中，，且三棱錐的體積為.（1）求三棱柱的高；（2）若平面平面為銳角，求二面角的余弦值.解：（1）設(shè)三棱柱的高為，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槿忮F的體積為，可得，解得，即三棱柱的高為.（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，且平面，所以平面，由?）知，又因?yàn)闉殇J角，所以，在中，，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，因?yàn)槠矫妫傻闷矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以，所以二