河南省九師聯(lián)盟2024屆高三上學期2月開學考試數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省九師聯(lián)盟2024屆高三上學期2月開學考試數(shù)學試卷一、選擇題1.已知集合或，則（）A. B.C.或 D.或〖答案〗A〖解析〗因為或，所以.故選：A.2.（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故選：C.3.已知單位向量，滿足，則，夾角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知，則，即，則，所以，故選：B.4.已知復數(shù)滿足；則（）A. B. C.8 D.20〖答案〗B〖解析〗由，得，所以.故選：B.5.若直線與拋物線只有1個公共點，則的焦點到的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得.因與只有1個公共點，所以，結合，解得，所以，所以到的距離.故選：D.6.已知的展開式中，前三項的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則展開式中二項式系數(shù)最大的項是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗展開式中的第項為，所以前三項的系數(shù)依次為，依題意，有，即，整理得，解得（舍去）或.由二項式系數(shù)的性質可知，展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，即.故選：C.7.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，由題意單調(diào)遞減，且，則，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：D.8.已知是定義域為的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為是定義域為的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增；，即；令，當時，，則單調(diào)遞增，所以，即，所以.而在上單調(diào)遞增，故有，即.故選：A.二、選擇題9.已知數(shù)列滿足，則（）A.是等差數(shù)列B.的前項和為C.是單調(diào)遞增數(shù)列D.數(shù)列的最小項為4〖答案〗BC〖解析〗由，得，因為，所以，從而，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以，所以，所以A錯誤，B正確；由，易知單調(diào)遞增數(shù)列，C正確；當時，，當時，，D錯誤.故選：BC.10.已知函數(shù)（，其中表示不大于的最大整數(shù)），則（）A.是奇函數(shù) B.是周期函數(shù)C.在上單調(diào)遞增 D.的值域為〖答案〗BD〖解析〗由題意，表示不大于的最大整數(shù)，則，所以，則函數(shù)是以3為周期的函數(shù)，當時，，當時，，則，又是以3為周期的函數(shù)，則的值域為和D均正確；，所以，故不是奇函數(shù)，A錯誤；當時，，故在上無單調(diào)性，C錯誤.故選：BD.11.已知正四面體的棱長為4，點是棱上的動點（不包括端點），過點作平面平行于，與棱交于，則（）A.該正四面體可以放在半徑為的球內(nèi)B.該正四面體的外接球與以點為球心，2為半徑的球面所形成的交線的長度為C.四邊形為矩形D.四棱錐體積的最大值為〖答案〗AC〖解析〗對于選項，如圖，將正四面體放置到正方體中，易知正四面體外接球即正方體的外接球，因為正四面體的棱長為4，所以正方體的邊長為，易知正方體的外接球直徑為體對角線的長，又，所以正四面體的外接球半徑，所以該正四面體可以放入半徑為的球內(nèi)，故選項正確，對于，由選項可知四面體外接球的半徑，如圖，在中，，所以，易知兩個球面的交線為圓，設與圓面的交點為，在中，，所以兩個球面的交線的周長為，故選項B錯誤，對于選項C，取的中點，連接，易知，又，面，所以平面，又面，所以，又平面，平面平面，平面，所以，同理，所以，同理可得，所以四邊形為平行四邊形，又是與所成的角，所以，故四邊形為矩形，所以選項C正確，對于D，設，由選項C知，所以，又，得到，同理可得，取中點，連接，交平面于點.易知，所以，又由選項C知，，又，，，面，所以平面，因為平面與都平行，所以可得，又易知，所以，即到平面的距離為，所以，令，則，由，得到，由，得到，所以，所以，故選項D錯誤，故選：AC.三、填空題12.2023年度，網(wǎng)絡評選出河南最值得去的5大景點：洛陽龍門石窟，鄭州嵩山少林寺，開封清明上河園，洛陽老君山，洛陽白云山，小張和小李打算從以上景點中各自隨機選擇一個去游玩，則他們都去洛陽游玩，且不去同一景點的概率為__________.〖答案〗〖解析〗小張和小李從5個景點中各自選擇1個，共有種可能，5個景點中有3個在洛陽，則他們都選擇去洛陽游玩，且不去同一景點的情況有種，故所求概率.故〖答案〗為：.13.已知分別是雙曲線的左?右焦點，過點且垂直軸的直線與交于兩點，且，若圓與的一條漸近線交于兩點，則__________.〖答案〗〖解析〗設，解得，解得，所以，所以雙曲線的漸近線方程為：，由雙曲線的對稱性，不妨取，又的圓心為，半徑為，所以圓心到直線的距離為，所以弦長.故〖答案〗為：14.若圓錐的母線長為3，則圓錐體積的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗設底面半徑為，則圓錐的高，體積.令，則，當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減；所以當，即，時，取最大值，取最大值，此時.故〖答案〗為：.四、解答題15.已知在中，角所對的邊分別為.（1）若，證明：是等腰三角形；（2）若，求的值.（1）證明：由，及正弦定理，得，即，即.因為，所以，即.因為，所以或.因為，所以，又，所以.故是等腰三角形.（2）解：因為，即，則.由（1）可得.因為，所以.由正弦定理，得.因為，所以.因為，所以，整理得，因為，所以.16.2022年日本17歲男性的平均身高為，同樣的數(shù)據(jù)1994年是，近30年日本的平均身高不僅沒有增長，反而降低了.反觀中國近30年，男性平均身高增長了約.某課題組從中國隨機抽取了400名成年男性，記錄他們的身高，將數(shù)據(jù)分成八組：，；同時從日本隨機抽取了200名成年男性，記錄他們的身高，將數(shù)據(jù)分成五組：，整理得到如下頻率分布直方圖：（1）由頻率分布直方圖估計樣本中日本成年男性身高的分位數(shù)；（2）為了了解身高與蛋白質攝入量之間是否有關聯(lián)，課題組調(diào)查樣本中的600人得到如下列聯(lián)表：身高蛋白質攝入量合計豐富不豐富低于108

不低于

100

合計

600結合頻率分布直方圖補充上面的列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷成年男性身高與蛋白質攝入量之間是否有關聯(lián)？附：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）由頻率分布直方圖可知，解得.因，所以分位數(shù)位于，設為，則有，解得，故日本成年男性身高的分位數(shù)為；（2）由頻率分布直方圖知，樣本中身高低于的中國成年男性人數(shù)是（人），樣本中身高低于的日本成年男性人數(shù)是（人），故樣本中身高低于的共有348人，可得下表：身高蛋白質攝入量合計豐富不豐富低于108240348不低于152100252合計260340600零假設：成年男性身高與蛋白質攝入量之間無關聯(lián)，則由列聯(lián)表數(shù)據(jù)可得：，依據(jù)的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為成年男性身高與蛋白質攝入量之間有關聯(lián).17.如圖，正方體的棱長為分別為棱的中點.（1）請在正方體的表面完整作出過點的截面，并寫出作圖過程；（不用證明）（2）求點到平面的距離.解：（1）連接并延長交延長線于點，連接并延長交于點，交延長線于點，連接交于點，則截面即為所求.（2）如圖，以為原點，棱所在直線分別為軸建立空間直角坐標系Dxyz.因為正方體的棱長為2，所以..設平面的法向量為，則即取，得平面的法向量為.設點到平面的距離為，則，故點到平面距離為.18.已知橢圓的離心率為，點在上，的長軸長為.（1）求的方程；（2）已知原點為，點在上，的中點為，過點的直線與交于點，且線段恰好被點平分，判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，說明理由.解：（1）因為的長軸長為，所以，由得，把代入的方程得，即，解得，所以，解得，所以的方程為.（2）法一：設，由題意可知，點既是的中點，又是的中點，所以，即，因為點在上，所以，整理得，因為在上，所以，所以，將兩邊平方，得，又，展開，得，所以，所以，又.所以為定值.法二（通性通法）：當軸且在軸右側時，顯然，則同理，當軸且在軸左側時，.當與軸不垂直時，設直線的方程為.由，得，則，化簡，得.設，則.設，則，所以，代入，得，化簡，得，適合..綜上，為定值.19.已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若有2個極值點，求證：.（1）解：法一：因為在上單調(diào)遞增，所以時，即，設，則，所以時單調(diào)遞減，時單調(diào)遞增，所以，所