江蘇省南京市六校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市六校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于（）A.12 B.9 C.6 D.3〖答案〗C〖解析〗由拋物線中的幾何意義為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，拋物線的.所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于6.故選：C2.若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A.0 B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，，解得，當(dāng)時(shí)，兩直線均為（重合），經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.故選：B.3.設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，則的值為（

）A.5 B.7 C.9 D.10〖答案〗C〖解析〗由等差數(shù)列性質(zhì)可得，故，解得.故選：C4.如圖，在楊輝三角形中，斜線l的上方，從1開(kāi)始箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1，3，3，4，6，5，10，…，記其前n項(xiàng)和為Sn，則S10等于（

）A.60 B.81 C.89 D.117〖答案〗A〖解析〗設(shè)為題設(shè)中的鋸齒形數(shù)列，則，，，，而，，，，，.故選：A.5.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的最小值為（

）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗B〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以對(duì)恒成立，即恒成立，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，所以，則，所以實(shí)數(shù)a的最小值為.故選：B.6.若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖所示：直線過(guò)定點(diǎn)，曲線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，設(shè)直線與曲線（半圓）相切于點(diǎn)，若直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則，而，若與半圓（圓心，半徑）相切，則圓心到直線的距離滿足，解得，即，綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：D.7.已知橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)是，點(diǎn)A是與的一個(gè)交點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A. B. C.2 D.2〖答案〗A〖解析〗由橢圓定義得，，由勾股定理得，即，所以，不妨設(shè)在第一象限，為左焦點(diǎn)，則，設(shè)雙曲線，則，解得，又，故，故雙曲線的離心率為.故選：A8.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，則，令，則，令，得，因此在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，，因?yàn)?，所?故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知圓O：()與圓M：，則下列說(shuō)法正確的有（

）A.若，則兩圓外切B.若，直線為兩圓的公切線C.若，則兩圓的公共弦所在直線方程為D.若，則兩圓外離〖答案〗ABD〖解析〗若r＝1，兩圓心間距離為，即兩圓心間距離等于兩圓半徑之和，故A對(duì)；若r＝1，則兩圓心到距離分別為，，即兩圓心到距離分別為圓的半徑，故B對(duì)；若，則，，兩式相減得兩圓的公共弦所在直線方程為，故C錯(cuò)；兩圓心間距離為，因?yàn)閮蓤A外離，所以，即，故D對(duì)故選：ABD10.橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為和，為橢圓上一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A.過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為16B.若，則的面積為C.橢圓C上存在點(diǎn)P，使得D.的取值范圍是〖答案〗BCD〖解析〗由可得：對(duì)于A，的周長(zhǎng)為：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，所以，所以的面積為，故B正確；對(duì)于C，若，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，即圓，因?yàn)?，，所以圓與橢圓有交點(diǎn)，所以橢圓C上存在點(diǎn)P，使得，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋缘娜≈捣秶?，故D正確.故選：BCD.11.已知數(shù)列滿足，則下列說(shuō)法正確的有（

）A.數(shù)列的前9項(xiàng)和為295 B.數(shù)列為等比數(shù)列C.數(shù)列的前12項(xiàng)和為288 D.數(shù)列的前項(xiàng)和為〖答案〗BD〖解析〗A選項(xiàng)，①，令得，當(dāng)時(shí)，②，式子①-②得，，化簡(jiǎn)得，又滿足要求，綜上，，故，所以為等差數(shù)列，數(shù)列的前9項(xiàng)和為，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，，故數(shù)列為等比數(shù)列，B正確；C選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，其中，，的前12項(xiàng)和為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，D正確.故選：BD12.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A.2是函數(shù)的極小值點(diǎn) B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在2個(gè)零點(diǎn) D.若函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，則或〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)A，由題意，所以當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以2是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由A知，且當(dāng)時(shí)，，且大于，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，故B正確；對(duì)于C，若，則令，即，設(shè)，則，所以當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，則，，且當(dāng)，，且大于0，作出函數(shù)圖象如圖所示，則直線與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在2個(gè)零點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，若函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，即方程有一個(gè)根，則轉(zhuǎn)化為直線與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，若函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，則或，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若該數(shù)列的前k項(xiàng)之和等于7，則k＝________．〖答案〗63〖解析〗，設(shè)該數(shù)列的前k項(xiàng)之和為，故，所以，解得.故〖答案〗為：6314.以直線為漸近線且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．〖答案〗〖解析〗由題意雙曲線以直線為漸近線，設(shè)雙曲線方程為，將點(diǎn)代入得，所以以直線為漸近線且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故〖答案〗：.15.某個(gè)體戶計(jì)劃同時(shí)銷(xiāo)售A，B兩種商品，當(dāng)投資額為x千元時(shí)，在銷(xiāo)售A，B商品中所獲收益分別為千元與千元，其中，，如果該個(gè)體戶準(zhǔn)備共投入5千元銷(xiāo)售A，B兩種商品，為使總收益最大，則B商品需投________千元．〖答案〗〖解析〗設(shè)投入經(jīng)銷(xiāo)B商品x千元，則投入經(jīng)銷(xiāo)A商品的資金為千元，所獲得的收益千元，則，可得，當(dāng)時(shí)，可得，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，可得，函數(shù)單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為.故〖答案〗為：16.已知橢圓，斜率不為0的直線過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上，若是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則直線的斜率是________．〖答案〗〖解析〗由題意焦點(diǎn)，不妨設(shè)直線，將其與橢圓方程聯(lián)立得，，化簡(jiǎn)并整理得，，，設(shè)的中點(diǎn)為，則，點(diǎn)P在y軸上，若是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則垂直平分，且，所以的中垂線方程為，令，得，所以，又，所以，解得，所以直線的斜率是.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．解：（1）①，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，②，式子①-②得，故，因?yàn)?，所以，所以，所以是?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以；（2），.18.已知函數(shù)，若曲線在處的切線方程為.（1）求a，b的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值．解：（1）函數(shù)，，由題意得：.解得：（2）由（1）知，，令，解得：列表如下：x(，2)2(2，e)e

0+

2e－2↘ln2↗由上表可知，函在區(qū)間[上的最大值是，最小值是.19.已知圓C的圓心在直線上，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與直線相切．（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l：與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，且滿足，求實(shí)數(shù)k的值．在下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面橫線中，并解答.①②為正三角形③直線l將圓C分成的兩段弧的弧長(zhǎng)之比為注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．解：（1）因?yàn)閳A心在直線上，與直線相切，故設(shè)圓心，由題意可得：＝，解得，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）選①：由（1）和已知條件可得因?yàn)?，所以，則,因?yàn)?，所以，所以弦心距．所以圓心到直線的距離為＝，解得.選②：因?yàn)闉檎切危?，所以弦心距．所以圓心到直線的距離為＝，解得選③：因?yàn)橹本€l將圓C分成的兩段弧的弧長(zhǎng)之比為，所以，所以弦心距．所以圓心到直線的距離為＝，解得20.已知數(shù)列滿足，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）已知，在數(shù)列中剔除與的公共項(xiàng)后余下的項(xiàng)按原順序構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前192項(xiàng)和．解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；綜上所述：（2）設(shè)的前n項(xiàng)和為，的前n項(xiàng)和為，由（1）可知，，當(dāng)時(shí)，可知與的公共項(xiàng)為4，8，16，，共8項(xiàng)，所以數(shù)列的前192項(xiàng)和.21.已知拋物線，為拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P為直線上任意一點(diǎn)，以P為圓心，為半徑的圓與拋物線C的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線交拋物線C于點(diǎn)，D．且當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是時(shí)，線段的中點(diǎn)是(1，)．（1）求拋物線C的方程；（2）證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）由題得，圓P的方程為，令得：，設(shè)，則，則，化簡(jiǎn)得：，拋物線C的方程是.（2）設(shè)，圓P的方程為，令得，設(shè)，則，設(shè)的方程為，由，消y得，則，即，又，得直線的方程，直線過(guò)定點(diǎn).22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．解：（1），當(dāng)時(shí)，解得或.①當(dāng)時(shí)，恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，令，解得或，令，解得，即函數(shù)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞