2023年高考數(shù)學一模試卷附答案解析

2023年高考數(shù)學一模試卷附答案解析

題號——四總分

得分

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答

案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；?/p>

答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。

3.考試結束后，本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單選題（本大題共8小題,共40.0分。在每小題列出的選項中，

選出符合題目的一項）

1.已知集合M=（x\x（x-2）<0},N={x\x-1<0},則下列Verm

圖中陰影部分可以表示集合{%|1<x<2}的是（）

c.QWD**

2.已知一個圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等,若圓錐的軸截面

是等邊三角形，則這個圓錐和圓柱的側面積之比為（）

A.1B.CC*D.口

223

(2%,%>0

3.已知函數(shù)/(%)=/％<o若f(a)</(6-a),則實數(shù)a的取

值范圍是()

A.(—3,+8)B.(―oot—3)C.(3,+8)D.(―<x>)3)

4.如圖所示是中國2012-2021年汽車進、出口量統(tǒng)計圖，則下列結

B.從2018年開始，中國汽車的出口量大于進口量

C.2012-2021年中國汽車出口量的第60百分位數(shù)是106萬輛

D.2012-2021年中國汽車進口量的方差大于出口量的方差

5.在復平面內,已知復數(shù)z滿足|z-1|=|z+i|(i為虛數(shù)單位),記

zo=2+i對應的點為點Z°,z對應的點為點Z,則點Z。與點Z之間距離

的最小值為()

有中間一列兩個數(shù)字之和為5"的不同的排法有()

A.96種B.64種C.32種D.16種

22

7.已知雙曲線C:1（Q>0,b>0）/點B的坐標為（0,b）,右

azb2/

c上的任意一點P都滿足|P8|>b,則C的離心率取值范圍是（）

A.（1,『]B.1F，+8）C.（1，GD.[e+8）

8.水平桌面上放置了4個半徑為2的小球,4個小球的球心構成正方形,

且相鄰的兩個小球相切.若用一個半球形的容器罩住四個小球，則半球

形容器內壁的半徑的最小值為（）

A.4B,+2C.2AT3+2D.6

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題

目要求）

9.如圖，彈簧下端懸掛著的小球做上下運動（忽略小球V

的大?。趖（s）時刻相對于平衡位置的高度力（cm）可以8

田力=2s出（"+⑶角定，則下列說法正確的是（）P4力>o

OU=o

A.小球運動的最局）點與最低點的距高為2on?h<0

B.小球經過4s往復運動一次

C.t6（3,5）時小球是自下往上運動

D.當《=6.5時，小球到達最低點

10.在四棱錐S-ABCD^p,SD1平面4BCD，四邊形力BCD是正方形，

若SD=AD,則（）

A.AC1SD

B.AC與SB所成角為60°

C.BO與平面SCD所成角為45°

D.BO與平面S4B所成角的正切值為?

11.已知拋物線E：y2=8%的焦點為F，點F與點C關于原點對稱，過

點C的直線/與拋物線E交于4,B兩點(點/和點C在點B的兩側)，則下

列命題正確的是()

A.若為△力以'的中線，則|研=2\BF\

B.若BF為/AFC的角平統(tǒng)，貝[JMF[=6

C.存在直線/，使得|AC|=y/~2\AF\

D.對于任意直線L都旬研+\BF\>2\CF\

12.已知定義在R上的函數(shù)/(%),對于給定集合4,若,小eR,

當與-七e/時都有/(不)-f(&)eA,則稱/(%)是Z封閉"函數(shù)則

下列命題正確的是()

A./(%)="是"[-1,1]封閉"函數(shù)

B.定義在R上的函數(shù)/(%)都是"｛0｝封閉"函數(shù)

C.若/(%)是"｛1｝封閉"函數(shù)，則/(%)一定是"｛曷封閉"函數(shù)(kEN*)

D.若/(%)是"口句封閉"函數(shù)(。,匕6N*),則/(%)不一定是"｛M｝封

閉"函數(shù)

第II卷(非選擇題)

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知向量五,3滿足|a|=2,\b\=4,(b-a)-a=0,則2與3的夾

角為

14.在平面直角坐標系中，等邊三角形ABC的邊AB所在直線斜率為

2c,則邊所在直線斜率的一個可能值為一.

15.已知/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(%)在［0,2］上單調遞減，

f(x+2)為偶函數(shù)，若/(%)=加在［0,12］上恰好有4個不同的實數(shù)根勺，

x2,X3,X4,則%1+%2+%3+%4=.

16.已知動圓N經過點4(-6,0)及原點。，點P是圓N與圓M:%2+(y一

4)2=4的一個公共點，則當NOP力最小時，圓N的半徑為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，

證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

在^ABC中，角力，B,C的對邊分別為a,b,c,已知cos24+cos2B-

cos2C=1—2sinAsinB.

(1)求角C的大?。?/p>

(2)求siiM4-sinB4-siziC的取值范圍.

18.(本小題12.0分)

已知各項都是正數(shù)的數(shù)列5｝,前幾項和sn滿足忌=2Sn-冊(九eN*).

(1)求數(shù)列｛冊｝的通項公式.

11

(2)記七是數(shù)列｛『｝的前九項和，Q是數(shù)列｛不｝的前幾項和.當n>2時，

3na2n-1n

試比較心與源的大小.

19.(本小題12.0分)

如圖所示的在多面體中,AB=AD,EB=EC，平面4B01平面BCD,

平面BCE1平面BCD，點F,G分另！］是口，80中點.

(1)證明：平面”G〃平面BCE;

(2)若BC1BD,BC=BD=2,AB=C,BE=V-5,求平面4FG和平

面4CE夾角的余弦值.

20.(本小題12.0分)

某商場為了回饋廣大顧客，設計了一個抽獎活動,在抽獎箱中放10個

大小相同的小球，其中5個為紅色，5個為白色抽獎方式為：每名顧客

進行兩次抽獎，每次抽獎從抽獎箱中一次性摸出兩個小球如果每次抽

獎摸出的兩個小球顏色相同即為中獎，兩個小球顏色不同即為不中獎.

(1)若規(guī)定第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進行第二次抽獎，求中獎

次數(shù)X的分布列和數(shù)學期望；

(2)若規(guī)定第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進行第二次抽獎，求

中獎次數(shù)丫的分布列和數(shù)學期望；

(3)如果你是商場老板，如何在上述問兩種抽獎方式中進行選擇？請寫

出你的選擇及簡要理由.

21.(本小題12.0分)

22

已知點力，點B和點C為橢圓C；器+京=1(。>b>0)上不同的三個

點.當點/，點B和點C為橢圓的頂點時，△/BC恰好是邊長為2的等邊

三角形.

(1)求橢圓C標準方程；

(2)右。為原點I且;兩足。/+OB+0C=0,求4/BC的面積.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(%)=xex+1.

(1)求/(%)的極值；

(2)當％>0時,/(%)>(a+l)x+Inx+2,求實數(shù)a的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解:集合M={x|x(x-2)<0}=[x|0<x<2],N=(x\x-1<

0}=(x\x<1},

CRM={x\x<?；?>2],CRN={x\x>1],

對于4,Uezm圖中陰影部分可以表示集合為MnN={%|0<%V1},故/

錯誤；

對于B,Verm圖中陰影部分可以表示集合為Mn(Q/V)={x|l<x<2},

故8正確；

對于C,I/ezm圖中陰影部分可以表示集合為Nn(CRM)={x|x40},故C

錯誤；

對于。4erm圖中陰影部分可以表示集合為{%|xWMUN，且％￡MnN},

:MUN=[x\x<2},MCyN={%|0<%<1},

:，[x\xEM\JN,且％CMnN}=(x\x<0或1W%V2},故。錯誤.

故選：B.

先求出集合M,N,再利用集合的基本運算逐個判斷各個選項即可.

本題主要考查作九九圖表達集合的關系和運算，屬于基礎題.

2.【答案】C

【解析】解：設圓錐和圓柱的底面半徑為r,

因為圓錐的軸截面是等邊三角形，

所以圓錐的母線長為，=2r,

則圓錐和圓柱的扇)為力=V4r2—r2=V~3r,

所以圓錐的側面積為Si=3x2仃x1=2口2,

圓柱的側面積為52=2仃X%=2/3"2,

所以圓錐和圓柱的側面積之比為F,

023

故選：c.

根據圓錐和圓柱的側面積公式求解即可.

本題考查圓柱與圓錐的側面積的求解，屬中檔題.

3.【答案】D

【解析】解：根據函數(shù)/(%)的圖象，可得/(%)在R上單調遞增,

若f(a)<f(6-a),則有a<6-a,

2a<6,-?■a<3,

則實數(shù)a的取值范圍是(-'3).

故選：。.

結合圖象，可知/(%)在R上單調遞增，由此解不等式/(a)</(6-a).

本題考查分段函數(shù)的單調性，屬于基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：由條形圖可知2012—2021年中國汽車進口量和出口量都是

有增有減的，所以選項/正確；

由條形圖可知從2018年開始，中國汽車的出口量大于進口量，所以選項B

正確；

2012-2021年中國汽車出口量由小到大排列為:72.3,73,89.7,92,

99,104,108,115,121.5,212,因此第60百分位數(shù)是小詈=106,

所以選項C正確；

由條形圖可知2012-2021年中國汽車進口量的波動小于出口量的波動，

因此2012-2021年中國汽車進口量的方差小于出口量的方差，所以選項

。不正確，

故選：D.

根據條形圖，結合百分位數(shù)、方差的性質逐一判斷即可.

本題主要考查了統(tǒng)計圖的應用，考查了百分位數(shù)的計算，屬于基礎題.

5.【答案】C

【解析】解：設z=x+yi(x,yeR),

v\z-l\=\z+i\,

\x-1+yi\=\x+(y+l)i|,即J(%—1)2+*=x2++/

化簡整理可得，%+y=o,

;復數(shù)z的對應點的軌跡％+y=。，

...Z。=2+i對應的點為點Z°(2,l),

???點Z。與點Z之間距離的最小值為增舞=手.

故選：c.

根據已知條件，集合復數(shù)模公式，求出點Z的軌跡方程，再結合點到直線

的距離公式，即可求解.

本題主要考查復數(shù)模公式，屬于基礎題.

6.【答案】B

【解析】解：根據題意，分3步進行，

第一步，要求"只有中間一列兩個數(shù)字之和為5",則中間的數(shù)字只能為

2

兩組數(shù)1，4或2,3中的一組,2=4種排法；

第二步，排第一步中剩余的一組數(shù)，共有力弘=8種排法；

2

第三步，排數(shù)字5和62=2種排法；

由分步計數(shù)原理知，共有不同的排法種數(shù)為4x8x2=64.

故選：B.

分3步完成，每步中用排列求出排法數(shù)，再利用分步計數(shù)原理即可求出結

果.

本題主要考查了排列組合知識，考查了分步計數(shù)原理的應用，屬于基礎題.

7.【答案】A

【解析】解：設P(%,y),\PB\>b=>J%2+(y_匕)2>b=>%24-y2-

2by>0(*),

由三一卷=1—=盧(1+。),代入不等式*中1

a2b2b2y

2

整理得標必—2by+a2>0恒成立，

An2r2

則4=4b2-----<0=>Z)4<a2c2b2<acc2—a2<ace2—

b2

e-l<0t解彳<e<^,

又e>1,則1<e工子；

故選：/.

根據兩點間距離公式,結合一元二次不等式的性質、雙曲線離心率公式進

行求解，即可得出答案.

本題考查雙曲線的性質,考查轉化思想和方程思想，考查邏輯推理能力和

運算能力，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：要使半球形容器內壁的半徑的最小，只需保證小球與：球各

O

面(含球面部分渚阱目切，

此時，如上圖示，。為半球的球心，4為其中一個小球球心，則。4是棱長

為2的正方體的體對角線，且該小球與半球球面上的切點與。，4共線，

所以半球形容器內壁的半徑的最小值為小球半徑與。4長度之和，即

2AT3+2,

故選：C.

根據題設要使半球形容器內壁的半徑的最小，保證小球與2球各面（含球面

部分渚阱目切，進而求半徑最小值.

本題主要考查了球的結構特征，考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.

9.【答案】BD

【解析】解：小球運動的最高點與最低點的距離為2-（-2）=4cm,所以

選項/錯誤；

因為e=4,所以小球經過4s往復運動一次,因此選項8正確；

2

當t6（3,5）時，“+We（十，子），所以是自下往上到最高點，再往下運

動，因此選項U錯誤；

當t=6.5時,力=2sin（^x6.5+g）=—2,所以選項。正確.

故選：BD.

根據正弦型函數(shù)的性質逐一判斷即可.

本題主要考查三角函數(shù)的應用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

10.【答案】ACD

【解析】解選項/，因為SD1底面ABC。,ACu

面4BC0,

所以AC1SD,因為四邊形ABCD是正方形，

所以4C1BD,又BDnSD=D,BD,SDu平

面SBO,

所以AC1平面SB。,又SBu面SBD,

所以AC1SB,選項/正確；

選項B,因為AC1平面SBD,又SBu面SB。,

所以4C1SB,故選項8錯誤；

選項C,因為SO1底面4BCD,BCu面ABCO,

所以BC1SD,又四邊開為IBC。是正方形，

所以BC1CD,又CDCiSD=D,CD,SDu平面SCO,

所以BC_L平面SCO,所以"與平面SCO所成角為NBQC,

易知NBDC=45°,故選項U正確；

選項。，如圖，取S/中點K,連DK,BK,

因為SD1底面/BCD,ABu面4BCD,所以4B1SD,

雙四邊形/BCD是正方形，所以1AD,又力DnSD=0,

所以4B1平面SAD,DKu面S4D,所以1DK,

又SD=AD,所以DKISA,SA^AB=A,所以DK1面S/B,

所以8D與平面S4B所成角為N°BK,

不妨設SD=AD=a,易知DK=子,BK=手，

在Rt△DKB,tan/DBK=等=言=?,故選項。正確.

bKV0txD

2

故選：ACD.

對于選項/，利用線面垂直的判定定理得到AC1平面SB。，進而可判定選

項A正確；對于選項B,由AC1平面SBD,知AC1SB,故可得選項B

錯誤；對于選項U和。,利用線面角的定義，找出線面角，從而轉化成平

面角，在相應的三角形中進行求解，即可判斷選項的正誤.

本題考查線線垂直的證明，線線角的求解，線面角的求解，屬中檔題.

1L【答案】AD

【解析】解：由題意，不妨令力,8（%2，丫2）都

在第一象限，

又C（一2,0）,F（2,0），設/:%=ky-2,

聯(lián)立E：y2=8x,可得V—8ky+16=0,

則/=64(k2-1)>0,即1>1,

力+力=8/c,7172=16,

：?石+乃=8k2-4,%1乃=4,如圖所示，

A:若8尸為44CF的中線，則為=y,

%=4c,所以%1=4,故4(4,4小)，

:，F(xiàn)(l,2<7),則|”|=2\BF\=6,故/正確；

B：若BF為4FC的角平分線，則瑞=儡，

作/。，BE垂直準線％=-2于。，E，則|”|二|皿且需=需,

\^DI\ucI

...四=幽...QF|=\CE\=\BE\

"\AD\—\DE\'"|71D|+|CF|一\CD\—\AD\'

?.?氏=黑，將%2=/>°代入整理得：

xf—4/-12=(%1-6)(與+2)=0,二/=6,

??\AF\=與+2=8,故8錯誤；

C：若|/C|=y/~2\AF\，即|4C|=,即△4CD為等腰直角三角形,

此時|CD|=\AD\,即—2,%),/.yf=8yi-16,

???尤一8%+16=0,二71=4,Ay2=4,則此時力,B為同一點，不合

題設，故U錯誤；

2

D:|4F|+\BF\=\AD\+\BE\=x±+x2+4=8k,又2|CF|=8,

結合/>1,可得8爐>8,即MF|+\BF\>2|CF|恒成立,故。正確.

故選：AD.

設，1=0—2不妨令/(修，力)萬(%2斤2)都在第一象限￡(—2,0)尸(2,0),

聯(lián)立拋物線，根據已知及韋達定理得上2>1、y1+y2=Qk,y1y2=16,

2

則與+x2=8k-4,X1X2=4,再根據各項描述、拋物線定義判斷它們的

正誤.

本題考查拋物線的幾何性質，直線與拋物線的位置關系，韋達定理的應用，

屬中檔題.

12.【答案】BC

【解析】解：/：當％1=4,小=3時，％1-％2=1e[-14],而/(石)一

/(%2)=16—9=72[—1,1],錯誤；

B：對于區(qū)間{0},,%2WR使%1-％2=。，即％1=%2,必有/(%1)-

/(%2)=0?

所以定義在R上的函數(shù)都是"{0}封閉"函數(shù)，正確；

C:對于區(qū)間{1},Yx、,x2eR使%i-％2e{1},則%i=x2+1,

而/(%)是"{1}封閉"函數(shù)廁/(%2+1)-/(%2)=1，即Vx6R，都有/(X+

1)=/(%)+1,

對于區(qū)間｛k｝,,x26R使%i-冷e伙｝,則%i=x2+k,kEN*,

而f(%2+k)=f(%2+k-1)+1,f(&+k-1)=/(%2+k-2)+l,

/(%2+1)=/(%2)+1，

所以/(%2+k)+f(X2+k-l)+...+/(X2+1)=f(%2+々-1)+/(%2+

k—2)+...+/(%2)+k—1,

即f(%2+k)=f(%2)+k,故/(%2+k)-f(%2)=k,/(%)一定是"伙｝封

閉"函數(shù)(keN*),正確；

D:對于區(qū)間[a,b],存在一個/(%)滿足在,亞eR使%1-％2=a，者E

有/(不+a)—/(不)=匕，且a,beN*,

此時，上述/(%)為一個"[a向封閉”函數(shù)且該函數(shù)在V%6R，有f(%+a)=

f(x)+匕恒成立,

對于區(qū)間｛M｝，結合上述函數(shù),V%i得6R使%1-％2=，則/(%+岫)=

f(x4-a(b-1))+b,/(%4-a(b-1))=f(x+a(b-2))4-b,,f[x+

a)=/(%)+b,

將上述各式，兩邊分別累加并消項得/(%+ab)=f(x)+ab,故f(不+

ab)-f(x2)=a匕成立,

所以/(%)一定是"｛皿封閉"函數(shù)，故錯誤.

故選:BC.

4特殊值%=4盟=3判斷即可例艮據定義及函數(shù)的性質即可判斷；C、

D根據定義得到V%eR都有/(%+1)=/(%)+1、R有f(x+a)=

f(x)+b,再判斷所給定區(qū)間里是否有/(起+上)-fg)=k、fg+

ab｝-/(不)=必成立即可判斷.

本題考查以新定義為載體，考查函數(shù)的性質以及命題的真假判斷，對于C、

D，根據給定的條件得到v%eR,都有/(%+1)=f(x)+1以及v%eR,

有"％+a)=/(%)+〃值成立，利用遞推關系及新定義判斷正誤，考查邏

輯推理能力和運算求解能力，屬于中檔題.

13.【答案】E

【解析】解：由(3—方)WMOnr五一片=0n鼠五=4,

設方與行的夾角為6,則。。5。=器=貴=]

因為0<6<TI,

所以。=/

故答案為：g.

根據平面向量數(shù)量積的運算性質，結合平面向量夾角公式進行求解即可.

本題主要考查了向量數(shù)量積的性質的應用，屬于基礎題.

14.【答案】-手或?

【解析】解：設直韌B的傾斜角為a,由已知得/CAB=tana=2V-3,

設直線/1C的傾斜角為。，則%c=tan。/

因為在等邊—角形ABC中，zBAC-6CI°/所以e=a+60°,

tana+tan60°_2口+口_

當。=a+60°,tanO=tan(a+60°)=

l-tanatan6001-2A/^3XV^35

所以七。=tanB=,

_tana-tan^°_2C-C_<_3

當6=a—60°,tanO=tan(a—60°)=

l+tanatan60°14-2vn3xV_37

所以k"==~~i

綜上，%c=-平或G=

故答案為：-?或?.

由等邊三角形的性質和直線的傾斜角與斜率的關系以及兩角和與差的正

切公式，得出邊4c所在直線斜率.

本題主要考查直線的斜率，屬于基礎題.

15.【答案】24

【解析】解:由/(%+2)為偶函數(shù),則/(—%+

2)=/(%+2),故f(―%)=f(x+4),

又/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，則/(%)=

一/(一%),

所以/(%)=~/(x+4),故/(%+4)=-/(%+8),即有/(%)=/(%+8),

綜上，/(%)的周期為8,且關于％=2對稱的奇函數(shù)，

由/(%)在［0,2］上單調遞減，結合上述分析知：在［2,6］上遞增，［6,10］上遞

減，［10,12］上遞增,

所以/(%)在［0,12］的大致草圖如下：

要使f(%)=m在［0,12］上恰好有4個不同的實數(shù)根，即/(%)與y=血有4個

交占

所以，必有兩對交點分別關于％=2,x=10對稱，則%1+x2+x3+x4=

24.

故答案為：24.

由題設可得/(%)的周期為8，且關于％=2對稱的奇函數(shù)，結合區(qū)間單調性

判斷［0,12］上單調情況，根據/(%)與y=m有4個交點，及函數(shù)的對稱性求

根的和.

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性,周期性及對稱性在函數(shù)零點個數(shù)判斷中的

應用，屬于中檔題.

16.【答案】5

【解析】解：如圖：

~~芥、方，萬~~x

記圓N半徑為R,zOPA=6,則N4N。=26,NBNO=6,

所以sin/。P/=sin/BN。=踹=(,

當NOPS最小時，R最大，此時兩圓內切.

由已知設動圓N的圓心為N(—3,1),

又圓心M(0,4)可得R-2=\MN\,

即，(-3—0/+?-0)2-2=J(―3—0)2+(t—4尸,

解得t=4,所以R=5,即圓N的半徑為5.

故答案為：5.

利用兩圓的位置關系確定兩圓內切時N0P4最小，根據位置關系可得圓N

的半徑.

本題主要考查直線與圓的位置關系，考查轉化能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：（1）因為cos24+cos2B—cos2C=1—2sinAsinB,

所以1—2sin2A+1—2sin2B—（1—2sin2C）=1—2sinAsinB,

整理得sin??!4-sin25+sin2c=sinAsinB,

由正弦定理得a?+b2—c2=ab,

由余弦定理得cosC=力士=},

2ab2

rr

因為CW（0,7T）,所以c=§.

（2）sirh4+sinB+sinC=sinA+sin（等一力）+?

,Ai.2TTA2.TC..V3

=sinA+sin—cosA—cos—sinA-\----

332

=-sinA+-cosy4+—

222

=A^sinOl+g）+W,

62

在△ABC中，因為C=g,所以OV4

Ja5

所以￡<A+^<^,所以3<sinQ4+》工1,

所以C<V^sin（/1+7）+^<噌，

622

所以SETL4+sinB+sinC的取值范圍為弓百.

【解析】（1）根據三角恒等變換和正弦定理得到a?+/—=ab,進而

77

由余弦定理得到ce（0,兀），求出c=-；

（2）由三角函數(shù)和差公式求出sizh4+sinB+sinC=V"^sin（力+-）+—,

62

由。<力<早求出取值范圍.

本題主要考查解三角形，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)當n=1時，al=2S1-%=的,所以的=1或%=0(

舍去)，

當九>2時,有傳二^n-冊，

1。九一1，3九一1^n-lf

兩式相減得硅—<2^-1—2an—an+an_i=an+an_t,

整理"(導(冊+tin-1)(^n—^n-1)=+^n-1?

因為｛an｝的各項都是正數(shù)，所以an-anT=1,

所以｛an｝是首項為1,公差為1的等差數(shù)列，

所以冊=l+l-(n-l)=n;

(2)由⑴得sn二等2,則；品=2(卜W)，

所以6=1+.+…+==2(1--+A"…—=2(1-/

乙乙3fi*iuI，/1I-L

』11

由⑴得不工=布，

所以Qn=44++=1+">…+圭=窘=2(1—

因為2n=(1+l)n=1+n++->1+n>0(n>2),

所以/<W，故1一會>1一^，

所以當九22時，/<Qn.

【解析】(1)根據％與斯的關系，結合等差數(shù)列的通項公式進行求解即可；

(2)根據裂項相消法，結合等比數(shù)列前九項和、二項式定理進行求解即可.

本題考查等差數(shù)列的定義與通項公式的應用，裂項求和法的應用，屬中檔

題.

19.【答案】解：(1)證明：如圖，取8C中點H,連接EW,因為EB=EC,

所以￡7/1BC,

又因為平面BCE1平面BCD，平面BCEn平面BCD=BC,EHu平面BCE,

所以￡771平面BCD,

同理可得4G1平面BCD,

所以￡7/〃4G,

又因為4G仁平面BCE,EHu平面BCE,所以4G〃平面BCE,

因為點F,G分別是CD,BD中點，所以FG〃BC,

又因為PG仁平面BCE,BCu平面BCE,所以FG〃平面BCE,

又因為4GHFG=G,AG,FGu平面4FG,所以平面AfG//平面BCE.

(2)因為BC1BD,BC//FG,所以FG1BD,

由(1)知力GLBD,AG1平面BCD,GFu平面BCO,

所以/G1GF,

所以GF,GB,GA兩兩相互垂直，

如圖，以點G為坐標原點,GF,GB,G4分別為%軸，y軸，z軸建立空間

直角坐標系,

因為=H,BE=V-5,所以G/=GB=1,EH=2,BH=1,

則4(0,0,1),C(2,l,0),E(l,l,2),

平面AFG的一個法向量為礪=(0,2,0),

設平面4CE的法向量為元=(x,y,z),

由而=(2,1,—1),麗=(-1,0,2),

,"°二°即I2'+y-z=°解得

,CE=0,I-%+2z=0z解傳

取％=2,得元=(2,-3,1),

設平面/FG和平面4CE的夾角為。，

則cos。=1cos伍，礪＞|二黑二號=空，

所以平面4FG和平面4CE的夾角的余弦值為衛(wèi).

14

【解析】(1)利用面面垂直的性質定理和線面平行及面面平行的判定定理

即可完成證明；

(2)先建系求法向量，再利用向量法求兩平面的夾角即可.

本題考查面面平行的判定定理，考查利用空間向量求解二面角的余弦值,

考查空間想象能力，推理論證能力和運算求解能力，考查直觀想象和數(shù)學

運算等核心素養(yǎng)，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)若第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進行第二次抽獎,

則每次中獎的概率為等=[,

G1OV

因為兩次抽獎相互獨立，所以中獎次數(shù)x服從二項分布，即X~B(2,上，

所以X的所有可能取值為0,1,2,

則P(X=0)=以.(yX(|)2=||,

P(X=1)=廢.鼾x(I)1=,,P(X=2)=上?鏟x(|)°=患,

所以X的分布列為：

X012

254016

P

818181

所以X的數(shù)學期望為E(X)=2W;

(2)若第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進行第二次抽獎，中獎次數(shù)y

的所有可能取值為0,1,2,

則p（y=o）=等?等=合，p（y=D=答?等+等?等=

C1OCc8l65G1OG8C1OC8

竺+竺=22=Up（y=2）=更遙或+霏=13

636363217'J隨點—63

所以y的分布列為：

r012

201013

P

632163

所以y的數(shù)學期望為E")=1X3+2X葛=I

(3)因為(1)(2)兩問的數(shù)學期望相等，第(1)問中兩次獎的概率比第(2)問的

大，

即患<V，第⑴不中獎的概率比第(2)問小，即H<,，

回答一：若商場老板希望中兩次獎的顧客多，產生宣傳效應，則選擇按第

(2)問方式進行抽.

回答二:若商場老板希望中獎的顧客多，則選擇按第(1)問方式進行抽獎.

【解析】(1)根據古典概型的運算公式，結合二項分布的性質進行求解即

可；

(2)根據古典概型的運算公式，結合數(shù)學期望公式進行求解即可；

(3)根據數(shù)學期望的性質，結合商場老板希望進行判斷即可.

本題主要考查離散型隨機變量期望與分布列的求解，考查轉化能力，屬于

中檔題.

21.【答案】解：⑴當點4，點B和點C為橢圓的頂點時，△ABC恰好構成

邊長為2的等邊三角形，

0當點4，點B和點C中有兩個點為上頂點和下頂點，一個點為左頂點或右

頂點時，

不妨設點4，點B為上頂點和下頂點，點C為右頂點，此時,a=C,b=1,

②當點/，點8和點C中有一個點為上頂點或下頂點，兩個點為左頂點和右

頂點，

不妨設點力，點B為左頂點和右頂點，點C為上頂點，此時,a=l,b=V-3(

舍去),

???橢圓的標準方程為J+好=1；

(2)設4(p,q),,C(x2,y2),

■.■OA+'OB+OC=Ol

.'.p+x1+x2=0,q+y1+y2=0,

旗直線BC斜率不存在時,

即為1=%2,%=-y2，則4(一2%1，0),

??,點/在橢圓上，所以好=I,則有比=I,

?.\BC\=<3，點/至l」8C的距離為|3%1|=號,

-

此時SMBC—|XV3x\；

②當直線8C斜率存在時，設直線8C方程為y=kx+m,

y=kx+m,

(好+y2_i,得(1+3/c2)%2+6kmx4-3m2—3=0,

/=(6/cm)2—12(1+3/c2)(m2-1)=12(3/c2+1—m2)>0,

由韋達定理得%i+x2=濯=喘；；)

??力+力=憶(%1+%2)+2m=瑞^,

???p=—(/+不)==一(％+%)=，

丫2

又點“P，q)在橢圓?+f=1上,

6fcm,2m

,，*(22(~)2=3

l+3k2^9+3H

4m2=