2023年高考第一次模擬考數(shù)學試卷北京A卷（解析版）

2023年高考第一次模擬考試卷(北京A卷)

數(shù)學

第一部分(選擇題40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，選出符合題

目要求的一項。

1.設集合“={x[0<x<4},N=jxg%ik5卜則(Q例)N=()

A.’|0<x,g}B.卜

C.{x|0",5}D.{x|4黜5}

K答案》D

K解析U因為M={xlo<x<4},所以?"={xl弓0或X..4},貝iJ&〃)cN={x|4瓢5).

故選：D.

2.已知復數(shù)4與z=3-2i在復平面內(nèi)對應的點關于實軸對稱，則^=()

1+i

-1-i八1-i--5-i、5-i

A.----B.---C.----D.---

2222

K答案WD

K解析U復數(shù)4與z=3-2i在復平面內(nèi)對應的點關于實軸對稱，

Z]=3+2i,

4_3+2i_(3+2i)(l-i)_5-i

"7+i-1+i—(l+i)(l-i)-K

故選：D.

3.直線石x-y=0與圓M:f+y2-如+；=0相切，則實數(shù)〃?的值是()

A.±1B.±2C.+4D.±8

K答案》B

y/3x-y=0]

K解析H由{,)1得4f一如+:=0,△=次2_4=0,m=±2,

x+y-mx+-=04

又方程表示圓時，>-1>0,m<-1或加>1,加=±2滿足題意.

故選:B.

X,X>0,r八

4.已知函數(shù)〃x）=c則方程/-/（x-1）=1的解集為（）

-x,x<0,

A.{-2,0}B.{-2,1}C.{-2,0,1}D.{0,"

K答案HB

K解析》當時，/（x-l）=x-l,故f-x+l=l,解得x=l或x=0（舍去）;

當xvl時，/（x-l）=l-x,故f+x-l=l,解得x=-2或x=l（舍去）.

綜上所述：x=l或x=-2.

故選：B.

5.已知函數(shù)f“）=sin（8+e）（o>0,|同在區(qū)間上單調(diào)，且對任意實數(shù)x均有

/（I）,仔）成立，則。=（）

兀兀

A.B.-C.-D.

V2643

K答案XD

K解析X由題意知，函數(shù)/*）的最小正周期為丁=一，

co

因為函數(shù)"X）在（會子）上單調(diào)，且/（蔣）4/（力4/（看卜亙成立,

所以《二=一3’即:?@=兀，解得3=1,

26620）

又g是函數(shù)/*）的最大值點，?是函數(shù)/（x）的最小值點,

OO

所以1XB+9==+2E,又時，解得e=g.

6223

故選：D.

6.記5,為數(shù)列｛?！埃那啊表椇?，“對任意正整數(shù)〃，均有q<0"是'｛S,｝為遞減數(shù)列”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

1答案》A

K解析D當a“<0時，則S“-S“T=勺<0（"N2,"eN"）,二5“<S,I

則“對任意正整數(shù)n,均有4<0”是“｛S,,｝為遞減數(shù)歹『'的充分條件;

如數(shù)列｛%｝為0,T-2,-3,T,,顯然數(shù)列⑸｝是遞減數(shù)列，

但是冊不一定小于零，還有可能大于或等于零，所以“對任意正整數(shù)”，

均有4<0"不是“｛S,,｝為遞減數(shù)列”的必要條件，

因此“對任意正整數(shù)〃，均有4<0”是"｛S"｝為遞減數(shù)列”的充分不必要條件.

故選:A.

7.2020年，由新型冠狀病毒(SARS-CoV-2)感染引起的新型冠狀病毒肺炎(COVID-

19)在國內(nèi)和其他國家暴發(fā)流行，而實時熒光定量PCR(RT-PCR)法以其高靈敏度與強特

異性，被認為是COVID-19的確診方法，實時熒光定量PCR法，通過化學物質(zhì)的熒光信

號，對在PCR擴增進程中成指數(shù)級增加的靶標DNA實時監(jiān)測，在PCR擴增的指數(shù)時期，

熒光信號強度達到閾值時，DNA的數(shù)量X“與擴增次數(shù)〃滿足lgX“-"lg(l+p)=lgX。，其

中P為擴增效率，X。為DNA的初始數(shù)量.已知某樣本的擴增效率p70495,則被測標本

的DNA大約擴增()次后，數(shù)量會變?yōu)樵瓉淼?25倍.(參考數(shù)據(jù)：log?55=4)

A.10B.11C.12D.13

K答案》c

x

K解析』因為igx“_〃ig(i+p)=igx°,所以黃=0+p)".

A()

由題意，知125=(1+0.495)”,得"zlogL495125=31og1-4955N12,

故被測標本的DNA大約擴增12次后，數(shù)量會變?yōu)樵瓉淼?25倍.

故選：C.

8.若*-1)30-2)=%+。仃+。2*2+e/3+%/,則%=()

A.5B.-5C.3D.-3

K答案2B

K解析』(x-l)3(x-2)=(x3-3x2+3x-l)(x-2),則%=-2-3=-5.

故選：B.

9.取兩個相互平行且全等的正〃邊形，將其中一個旋轉(zhuǎn)一定角度，連接這兩個多邊形的頂

點，使得側(cè)面均為等邊三角形，我們把這種多面體稱作“"角反棱柱當〃=4時，得到如圖

所示棱長均為2的“四角反棱柱”，則該“四角反棱柱”外接球的表面積等于（）

K答案]]B

K解析』如圖所示：設上下底面的中心分別為A8,設該“四角反棱柱”外接球的球心是

0,顯然。是的中點，設的中點為E,連接￡/，DF,

過E做EGLDF,垂足為G,

因為DG=CE=gx2=l,DF=^22+22=42,

所以。G=Z）F-￡>G=^-1，

在直角三角形EGF中，EG2=EF2-GF2=3-(>/2-I)2=272,

所以有CQ=EG=6尻于是有"*co=寫

在直角三角形O￡>尸中，OF?=ODrDF2=巫+2,

4

2

所以該“四角反棱柱”外接球的表面積等于47t0F=4兀（逑+2）=（2&+8）兀,

4

10.眾所周知的“太極圖”，其形狀如對稱的陰陽兩魚互抱在一起，也被稱為“陰陽魚太極

圖如圖是放在平面直角坐標系中的“太極圖整個圖形是一個圓形V+）3=4.其中黑色陰

影區(qū)域在）,軸右側(cè)部分的邊界為一個半圓，給出以下命題:

①在太極圖中隨機取一點，此點取自黑色陰影部分的概率是

②當。=-|時，直線＞=如+2。與白色部分有公共點；

③黑色陰影部分（包括黑白交界處）中一點（x,y）,則x+y的最大值為0+1；

④若點P（O,1）,為圓/+丁=4過點p的直徑，線段是圓x?+y2=4所有過點尸的

弦中最短的弦，則（AM-BN）.48的值為12.

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

C.①③④D.①②④

K答案UC

K解析》對于①，設黑色部分區(qū)域的面積為耳，整個圓的面積為s,由對稱性可知,

1q1

所以，在太極圖中隨機取一點，此點取自黑色陰影部分的概率為尸=*=g,故

①正確；對于②，當。=-］3時，直線的方程為'=-13工一3,即3x+2y+6=0,

圓心（0,0）到直線3x+2y+6=o的距離為再鼻=答＜2,

下方白色小圓的方程為f+（y+l）2=l,圓心為（0,-1）,半徑為1,

44

圓心（。,-1）到直線3x+2y+6=0的距離為"=存覆=［官＞1,如下圖所示:

3

由圖可知，直線y=-]x-3與與白色部分無公共點，故②錯誤；

對于③，黑色陰影部分小圓的方程為Y+（y-l）2=l,設2=、+九如下圖所示:

當直線z=x+y與圓片+（＞-1）2=1相切時，z取得最大值，

且圓產(chǎn)+（”1）2=1的圓心坐標為（0,1）,半徑為1,可得匕!1=1,解得z=l士

由圖可知，z＞0,故Z1rax=3+1,故③正確；

對于④，由于MN是圓V+y=4中過點P（0,l）的直徑，貝I]M、N為圓月+V=4與》軸

的兩個交點，可設M（0,2）、N（0,-2）,

當軸時，|明取最小值，則直線AB的方程為尸1,可設點＜31）、8（后,1）,

所以，AM=（G,1）,BN=（-瓜-3）,A8=（2"0）,麗=（2/4）,

所以，（AM-BN）AB=U,故④正確.

故選：C.

第二部分（非選擇題共110分）

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.函數(shù)y=的定義域是_________.

”y/3-2x

fX+]w0Q

K解析X要使函數(shù)有意義，需滿足，。八，解得且XW-1,故該函數(shù)定義域為

3-2x>02

故K答案》為：

12.雙曲線C:f-2i=i,寫出一個與雙曲線C有共同的漸近線但離心率不同的雙曲線方

2

程.

K答案U￡-f=1（R答案》不唯一）

2

K解析》與雙曲線C有共同的漸近線的雙曲線方程可設為

2

當4=-1時，得到雙曲線方程為-丁=1,顯然該雙曲線與雙曲線C有共同的漸近線但離

2

心率不同，

故K答案』為：W一/=1

2

13.如圖，一根絕對剛性且長度不變、質(zhì)量可忽略不計的線，一端固定，另一端懸掛一個沙

漏.讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內(nèi)做周期擺動.沙

漏擺動時離開平衡位置的位移$（單位：cm）與時間f（單位：s）滿足函數(shù)關系

s=/（/）=3sin（麻+/）（0>0,0<時<兀）,若〃。的函數(shù)圖象如下圖所示，則/⑺=

K答案U

K解析D由/（0）=-3,得9=-；；由*=5得7=4,故

所以/(f)=3sin

故工答案》為：3sin

e\x<0,

14.己知函數(shù)/(x)=h-，若/(X)=l,貝Ijx=

,；若心"且

-%—1,x〉0

12

/(?)=/(?),則丁一"的最小值是.

K答案20或43+ln2.

K解析D空一：當x40時，f(x)=1er=1=>X=0,

當x>0時，/(x)=lngx-l=lnx=4；

空二：當X40時，函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，所以0</(x)Wl,

當x>0時,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，所以f(x)>—l,且/⑵=0J(4)=l,

當機〉”時，設/(加)=/(〃)=，，所以有42nl>2>0>〃，且0<fVl,

于是有=機=2r+2，e"=rn〃=lnf，

因此有m—n=2t+2—lnt,

I7^-1

設f(t)=2r+2-lnr(0<z<l)=>f(t)=2—=------,

當0<r<；時，:⑺<0,/⑺單調(diào)遞減,

當;<tsi時，ra)>oj⑺單調(diào)遞增,

所以當f時，函數(shù)/⑴有最小值，即/⑺++

故K答案X為：0或4；3+ln2.

&“為偶數(shù))、幾,丁nl

15.己知數(shù)列｛4｝滿足弓=5,。川2,設S“=q+4+…+4,,。=。色…4,則

3a.+l(a”為奇數(shù))

下列結(jié)論正確的是.

①4=2；②*wN*,4=3：③S2022=4740；

④若等差數(shù)列｛“｝滿足4=1也=2022,其前〃項和為A“，則V〃eN*,m“eN”,使得

Tm>4

K答案X①③④

竽，，為偶數(shù)，一,

K解析』-?4+1

3%+1,4為奇數(shù)

a=3x5+1=16,a,==—=8,a=—=-=4,a.=—=—=2,tz=—=—=1,

23224422522622

%=3as+1=3x14-1=4,/=與=g=2,L

此數(shù)列是從第四項開始的的周期數(shù)列，且滿足q+3=可(〃24),，4=2,故①正確;

選項②，在數(shù)列｛。〃｝中，4=5,出=16,%=8,%=4,%=2,4=1?是不存在

攵EN*,%=3,故②錯誤；

選項③，S2022=4+4+〃3+4++%022=673x(4+2+1)+(5+16+8)=474。，故③正確；

選項④，等差數(shù)列｛4｝,々=1也=2022,."=偽-4=2021,

.,2*onon甘.〃(1+202In-2020)n(2021n-2019)

..bn=?,+(?-1)2021=202In-2020,其A,=----------------=--------------,

數(shù)列｛。“｝是從第四項開始的的周期數(shù)列，而＜=年。2嗎。嗎嗎,，北呈指數(shù)被的增長,

無窮大，而A”是一個二次函數(shù)的增長形式，增長幅度相對于指數(shù)而言有限，故

VneN*,HmeN"＞使得圖＞A“，所以選項④正確.

故K答案U為：①③④

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.(本小題13分)

在.MC中，A,B,C所對的邊為。，b,c,滿足從+。2一6=秘.

(1)求A的值；

TC

(2)若a=2,B=~,則11ABe的周長.

4

解：(1)由從+02-42=兒，

AG(O,T),A=1.

.itK兀兀57r

(2)A=—,B=—，:.C=7t------=—

344312

.廠.(.(Tl7l\.兀71兀.兀?+&

/.sinC=sm—=sm—+—=sin—cos—4-cos—sin—=-----------,

{nJV64)64644

2_Z?_c

根據(jù)正弦定理人=."a='"廠，得6V2V6+V2,

sinAsinBsine

224

解得b=述,c=?也

33

因此三角形周長為a+0+c=2+亞+應+?2+&+6.

33

17.(本小題14分)

如圖，在四棱錐尸一ABC。中，底面ABC。是菱形，%=9=2,上4,平面ABC。，E為

PO的中點.

(1)證明:PB//平面A￡C;

(2)在①ZA8C=60。，②EC,AO這兩個條件中任一個，補充在下面的橫線上，并作答.

若,求EC與平面玄。所成的角.

注:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

(1)證明：連接30,交AC于。，連接OE,

底面A8CD是菱形，為33中點，

E為PD中點,:.OE//PB,

P8V平面AEC,OEu平面AEC,??.尸8〃平面AEC；

(2)解：選①：

以。為原點，03為X軸，OC為軸，過。作平面ABCO的垂線為Z軸建立如圖空間直角

坐標系,

底面ABCZ)是菱形，PA=AB=2,ZABC=60°,

0(-^,0,0),P(0,-1,2),11C(0,1,0),A(0,-1,0),

I22J

豈,：,-l],AP=(0,0,2),AO=(-G/,0),

則EC=

I22J

設平面PAD的法向量為?=（蒼y,z）,

n-AP=2z=0廣

則,取x=l可得〃=(1,四,0),

n-AD=-\j3x+y=0

設EC與平面PAO所成的角為凡則sineTcos<EC”>|==迪=且,

11|EC|-|n|2x22

TT

所以EC與平面皿（所成的角為1；

選②：以。為原點，為x軸，OC為了軸，過。作平面A8C。的垂線為z軸建立如圖空

間直角坐標系，取A。中點尸，連接EE"

底面ABCD是菱形，PA=AB=2,EC±AD,以，平面ABC。，E為P￡）的中點,

:.EF//PA,平面ABC。，:.CF1AD,AC=CD=2,

???a-6,0,0),P(0,-l,2),E-半21,C(O,1,O),A(O,-1,O),

I22J

則EC=旁,；,-1],AP=(0,0,2),AO=(-G,1,0),

I22J

設平面PAD的法向量為〃=(x,y,z),

nAP=2z=0

則心+…取x=1可得n=(1,A/3,0),

設反:與平面以力所成的角為巴

麗?AI、|IEC川206

則sin0=cos<EC-n>\=--------=----=——,

11\EC\-\n\2x22

7T

所以EC與平面PAO所成的角為不.

18.（本小題13分）

為了解學生上網(wǎng)課使用的設備類型情況，某校對學生進行簡單隨機抽樣.獲得數(shù)據(jù)如下表:

同時使用兩種

僅使用僅使用僅使用使用其他設備

設備類型及兩種以上設

手機平板電腦或不使用設備

備

使用人數(shù)171665320

假設所有學生對網(wǎng)課使用的設備類型的選擇相互獨立.

（1）分別估計該校學生上網(wǎng)課僅使用手機的概率，該校學生上網(wǎng)課僅使用平板的概率；

（2）從該校全體學生中隨機抽取3人進行調(diào)查，設隨機變量X表示這3人中僅使用電腦

的人數(shù)，以頻率估計概率，求X的分布列和數(shù)學期望；

（3）假設樣本中上網(wǎng)課同時使用兩種設備的人數(shù)是22,用“4=1”表示上網(wǎng)課僅使用一種

設備，4=0”表示上網(wǎng)課不僅僅使用一種設備；用"為=「表示上網(wǎng)課同時使用三種設

備，"務=0"表示上網(wǎng)課不同時使用三種設備.試比較方差。侑），。（芻）的大小.（結(jié)論不

要求證明）

1717

（1）解：學生上網(wǎng)課僅使用手機的概率為W+16+65+32130,

168

學生上網(wǎng)課僅使用平板的概率為

17+16+65+3265

（2）解：學生上網(wǎng)課僅使用電腦的概率為“+16+65+322,

X可取0』,2,3,且X43,；｝

P（X=2）=C；Q[X3

P（X=3）=C；

則分布列為:

X0123

133]_

P

8888

￡（X）=3xl=|

Pd「l）=17+16+65-49

（3）解：‘*17+16+65+3265,

17+16+6516

P（*°）=l-

17+16+65+32-百

49八1649

所以E（芻）=1x——+0x—=—,

656565

2

49+40.絲49\_784

'-4225'

%）吟“656565

32-225

產(chǎn)值=1）=

17+16+65+3265

尸?=0）=1矣-黑

所以E⑻=卜2+0，*今

636503

5Y

+外。一25\300

鶴）囁?65；6565）65

所以仇。）＜仇與）.

19.（本小題15分）

己知橢圓C:，+3=l（a>10）的離心率為|,短軸長為26.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設過點。（1,0）的動直線/與橢圓交于E、F兩點（點E在x軸上方），A、&為橢圓

的左、右頂點，直線AE，4尸與》軸分別點〃、N,。為坐標原點，求腎*的值.

cLb22

gI［

（1）解：由題意，有,ClV/3,解得。=3,b=,

2h=2y/5

所以橢圓C的方程為E+《=l；

95

（2）解：由題意，點E在x軸上方且過點。（1,0）,則直線/的斜率不為0,

設直線/的方程為x=my+l,E（%，x）,F（X2,J2）,則H>0,必<°，

V￡=,、

由,9+5-,可得［二+］卜2+2沖-8=0,

X=加丁+1

A=4"+4x8%必=

y+必〃2/x

所以即歿g=4(%+%)，

/1/24

由4(—3,0),4(3,0),

所以儲L會,則直線A-的方程為、=道(x+3),

所以左曠=」^，則直線右尸的方程為>'=3*-3）,

令x=0,得＞'=

X(%-3)M(陽2.)

%+3my}y2-2y

y2a+3)%(町+4)吵上+4%

X2-3

=4()1+%)-2y=12yl+4%|=2y+2%|=J_

一4(%+%)+4*-14y+8%|-4.%+2%1萬

\0M|1

所以兩二

20.(本小題15分)

已知函數(shù)〃x）=e2,直線/：y=2x+b與曲線y=〃x）相切.

（1）求實數(shù)〃的值;

（2）若曲線y=4（x）與直線/有兩個公共點，其橫坐標分別為九〃（加＜〃）.

①求實數(shù)。的取值范圍;

②證明：/(///)?"〃)>1.

（1）解：設切點尸（4,幾），rw=2e2\

得2e2%=2，%=0,所以P（O,1）,代入直線/方程得b=l；

（2）①解：由（1）知y=2x+l,若曲線y=qf（x）與直線/有兩個公共點，則等價于

覺2"=2x+l有2個實數(shù)根，a=（2x+l）e⑶，

設（p{x）=（2x+,則*'（x）=-4疣/、，

當X€（YO,0）時，d（x）＞。，9（x）單調(diào)遞增，

當xe（0,+oo）時，e'（x）＜0，夕（可單調(diào)遞減，

。（司四=。（°）=1，當*趨向于正無窮大時，9（x）趨向于0,當*趨向于負無窮大時,

*（x）趨向于負無窮大，

則0＜“＜1；

②證明:/（/?）/（?）＞1,即*小"）＞1，等價于〃?+〃＞0,

令萬(x)=/(x)-研-X),(x>0),

U(x)="(x)+(p\-x)--4xe-2x-4(-x)e2'1=4x(e2j-e-2t),

因為x>0,所以e2，〉ez,故尸'(x)>0,

所以F（x）在（0,+8）上單調(diào)遞增，故尸（x）＞/（0）=0,

不妨設故尸㈤>0,即/（〃）>/（-〃）,

由己知夕（⑴=/（"）="，所以e（%）>夕（一〃），

由①知，當xe（-oo,0）時，夕⑴單調(diào)遞增,

故,">-〃，所以加+”>0,

所以/（加）/（〃）>1.

21.（本小題15分）

若項數(shù)為女（ZeN*且k.3）的有窮數(shù)列｛《,｝滿足：闞/則稱數(shù)

列｛叫具有“性質(zhì)

（1）判斷下列數(shù)列是否具有“性質(zhì)河”，并說明理由；

①1,2,4,3；②2,4,8,16.

（2）設勾斗（加=1,2,…，k-\）,若數(shù)列｛q｝具有“性質(zhì)””，且各項