2020年浙江新高考數(shù)學(xué)考點一遍過- 空間角、空間向量及其應(yīng)用

考點33空間角、空間向量及其應(yīng)用

鴛［考擁晨女

i.空間角

（1）了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標表示點的位置.

（2）了解空間兩點間的距離公式

（3）會用向量方法解決兩異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的計算問題.

2.綜合應(yīng)用

（1）了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示,

（2）掌握空間向量的線性運算及其坐標表示.

（3）掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.

（4）掌握向量的長度公式、兩向量夾角公式、空間兩點間的距離公式，并會解決簡單的立體幾何問題.

（5）理解直線的方向向量與平面的法向量.

（6）會用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.

（7）會用向量方法證明直線和平面位置關(guān)系的有關(guān)命題，了解向量方法在研究幾何問題中的作用.

知識整鄉(xiāng)

一、空間直角坐標系及有關(guān)概念

1.空間直角坐標系

坐標原點點0

以空間一點。為原點，具有相同的單位長度，給定正方

坐標軸1軸、y軸、z軸

定義向，建立兩兩垂直的數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，建立了一

個空間直角坐標系。-孫Z通過每兩個坐標軸

坐標平面

的平面

在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向尤軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正

方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系，如圖所示.

y

2.空間一點〃的坐標

(1)空間一點M的坐標可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示，記作M(x,y,z),其中x叫做點M的橫坐

標，y叫做點M■的縱坐標，z叫做點M的豎坐標.

(2)建立了空間直角坐標系后，空間中的點M與有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)可建立一一對應(yīng)的關(guān)系.

3.空間兩點間的距離公式、中點公式

(1)距離公式

①設(shè)點A(X],%,Zi),為空間兩點，

則A,B兩點間的距離|AB\=-%)2+(%—為)？+(4—z?)2.

②設(shè)點P(x,y,z),

則點尸(尤,y,Z)與坐標原點O之間的距離為|OP\=7x2+y2+z2.

(2)中點公式

設(shè)點尸(x,y,z)為片(%,%烏),5(々，乂芻)的中點，則＜y=%；%

r_Z|+Z]

.一2

4.空間向量的有關(guān)概念

名稱定義

空間向量在空間中，具有大小和方向的量

單位向量長度(或模)為1的向量

零向量長度（或模）為0的向量

相等向量方向相同且模相等的向量

二、空間向量的有關(guān)定理及運算

1.共線向量定理

對空間任意兩個向量m僅厚0）,的充要條件是存在實數(shù)九使得。=助.

牢記兩個推論：

（1）對空間任意一點。，點P在直線AB上的充要條件是存在實數(shù)t,使OP=（1-+或

OP^xOA+yOB（其中x+y=l）.

（2）如果/為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量。的直線，那么對空間任意一點。，點尸在直線/上

的充要條件是存在實數(shù)3使。尸=。4+柩，其中向量。叫做直線/的方向向量，該式稱為直線方程的

向量表示式.

2.共面向量定理

如果兩個向量a,方不共線，那么向量p與向量a,》共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對（無，y）,使

p=xa+yb.

牢記推論：空間一點尸位于平面48c內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對（無，y）,使AP=xA5+yAC；或

對空間任意一點。，有OP=OA+xA5+yAC.

3.空間向量基本定理

如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組｛x,y,z｝,使得p=;va+yB+

zc.其中，｛a,b,c｝叫做空間的一個基底，a,b,c都叫做基向量.

注意：（1）空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成基底.

（2）基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示.

（3）0不能作為基向量.

4.空間向量的運算

（1）空間向量的加法、減法、數(shù)乘及數(shù)量積運算都可類比平面向量.

夾角

夾角

u

數(shù)址和

a?b=|a||b\cos(a?b/

①結(jié)合律：(人a)?b

=a?(人b)=人(a?b)

運算律

②交換律:a?b=b?a

③分配律:a?(brc)

a-6+a?c

（2）空間向量的坐標運算

設(shè)a=（%,電，。3），〃=（4也,&），則a±〃=（%±耳。2土“2，。3±&），

Aa=(2^p2tz2,2^3)(2GR),ab=岫、+a2b2+a3b3,

abob=Aaob、==Aa2,b3=Aa3(2eR),

aJ_)oa?)=+a2b2+a3b3=0,

——d4~+a?+6Z3,

ah+a2b2+

《a；+a；+a；冊；區(qū)十收

三、利用空間向量解決立體幾何問題

1.直線的方向向量和平面的法向量

（1）直線的方向向量就是指和這條直線平行（或共線）的向量，記作/,顯然一條直線的方向向量可以有

無數(shù)個.

（2）若直線/J.a,則該直線/的方向向量即為該平面的法向量，平面的法向量記作a,有無數(shù)多個，任

意兩個都是共線向量.

平面法向量的求法：設(shè)平面的法向量為a=（x,y,z）.在平面內(nèi)找出（或求出）兩個不共線的向量

aa=O

。=(。1，。2，。3),》=31/2，&),根據(jù)定義建立方程組，得到1,通過賦值，取其中一組解，得

ab=Q

到平面的法向量.

2.利用空間向量表示空間線面平行、垂直

設(shè)直線/,加的方向向量分別為機,平面火尸的法向量分別為a,/.

(1)線線平行：若/〃7“，則/m<^l=2/n(2eR)；

線面平行：若〃/a,則/，ao>a=0；

面面平行：若a〃1，則a/=a=3(2eR).

(2)線線垂直：若/上m,貝!J/_LzwO=0；

線面垂直：若/_La,則a<^>l=2a(2eR)；

面面垂直：若a_L/?,則。_1￡=。?/=0.

3.利用空間向量求空間角

設(shè)直線I,m的方向向量分別為I,m,平面a,尸的法向量分別為%,叫?

(1)直線/,根所成的角為8,則0<9K—,計算方法：COS6>=^4；

2\l\\m\

(2)直線/與平面a所成的角為。，則計算方法：sine=24；

214同

(3)平面a,尸所成的二面角為。，則0W8W兀,

如圖①，AB,CD是二面角a-/-p的兩個面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角的大小0=〈A3,C。〉.

如圖②③，〃],〃2分別是二面角a—l—§的兩個半平面a,P的法向量，則二面角的大小6滿足|cosd|=

，二面角的平面角大小是向量m與“2的夾角(或其補角).

N同

4.利用空間向量求距離

（1）兩點間的距離

設(shè)點4%,%,馬），3（々，為，%）為空間兩點，

則A3兩點間的距離IAB\=\AB\=J（七一々）2+（X—%）2+（4—Z2）2.

（2）點到平面的距離

如圖所示，已知AB為平面a的一條斜線段，〃為平面a的法向量,則B到平面a的距離為|8。|="1對.

I?1

?點考向,

考向一空間直角坐標系

對于空間幾何問題，可以通過建立空間直角坐標系，把空間中的點用有序?qū)崝?shù)組（即坐標）表示出來，通過坐標

的代數(shù)運算解決空間幾何問題，實現(xiàn)了幾何問題（形）與代數(shù)問題（數(shù)）的結(jié)合.

典例引領(lǐng)

典例1如圖，在正方體OABC-OIALBIG中，棱長為2,E是32上的點，且|班|=2國4|,則點E的坐標為

A.(2,2,1)B.12,2,||

C-"TD-9,2,

【答案】D

【解析】???EBI.平面x0y，2(2,2,0),故設(shè)E(2,2,z).

24

又?/即=2|3I，.?.忸目=§忸4|=§,

故好事.

變式拓展

1.如圖所示，在長方體ABCD—AiBiCiZh中,\AB\=\AD\=3,\AAi\=2,點M在4cl上，\MCi\=2\AiM\,

N在。iC上且為。C中點，求M、N兩點間的距離.

考向二共線、共面向量定理的應(yīng)用

1.判斷兩非零向量a,分平行，就是判斷a=4)是否成立，若成立則共線，若不成立則不共線.

2.證明空間三點P、A、8共線的方法：

@PA=2PB(^eR)；

②對空間任一點。，OP=OA+tAB(zeR)；

③對空間任一點。，OP=xOA+yAB(x+_y=1).

3.證明空間四點P、M,A、2共面的方法：

②對空間任一點O,OP=OM+xMA+yMB；

③對空間任一點。，OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1)；

④PM//AB(或PA//MB或PB//AM)-

典例引領(lǐng)

典例2如圖，已知矩形ABC。所在平面外一點P,上4,平面ABCDE、尸分別是AB、PC的中點.求證:

EF,AP,AD共面.

BC

【解析】如圖，以A為原點，A3為x軸，AD為y軸，AP為z軸,建立空間直角坐標系A(chǔ)-孫z,

/yy

設(shè)AB=2a,BC=2b,PA=2c,

則A(0,0,0),B(2a,0,0),C(2?,2b,0),D(0,2b,0),P(：0,0,2c),

E為AB的中點，/為PC的中點，

:.E(a,0,0),F(a,b,c),

則所=(0,6,c),AP=(O,O,2c),AD=(0,2b,0),

:.EF=-AP+-AD,

22

故共面.

變式拓展

2.如圖，已知。、A>B、C、D、E、F、G、H為空間中的9個點，且。石=左。1，OF=kOB>

OH=kOD-AC=AD+mAB-EG=EH+mEF-k豐0,加H0.

求證：(1)a、B、C、。四點共面，E、F、G、H四點共面;

⑵AC//EG；

⑶OG=kOC-

考向三利用向量法證明平行問題

1.證明線線平行：證明兩條直線的方向向量平行.

2.證明線面平行：

(1)該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；

(2)證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行；

(3)證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量線性表示.

3.證明面面平行：兩個平面的法向量平行.

典例引領(lǐng)

典例3已知正方體ABCD—AIBICLDI的棱長為2,E,P分別是8修，。。的中點，求證：

⑴PG〃平面AOE；

(2)平面ADE〃平面BiCiR

【解析】如圖所示，建立空間直角坐標系。-孫z,則有。(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),Ci(0,2,

2),E(2,2,1),2(0,0,1),Bi(2,2,2),

所以尸Cl=(o,2,l),ZM=(2,0,0),AE=(O,2,l).

(1)設(shè)〃i=(?,yi,zi)是平面ADE的法向量，則4_LAE,

n,-DA=2x=0,f%=0,

即.得c

n^AE=2yl+二0,匕=-2y19

令zi=2,則yi=—l,

所以m=(0,—L2).

因為/G?%=—2+2=0,所以尸G，4.

又因為產(chǎn)Ga平面ADE,

所以尸G〃平面AOE.

(2)易得G4=(2,0,0),

設(shè)“2=(X2,>2,Z2)是平面31cl/的一個法向量，則丐，尸。1，tl2±CXBX,

%/…+Z2=。,得.XQ—0,

即《_令Z2=2,得丁2=—1,

[z=-2y.

%G4(=2X2=o,22

所以"2=(0,—L2),

因為n\=m,

所以平面AOE〃平面BiCiF.

變式拓展

3.如圖，四棱錐尸—A5CD的底面A3CD為正方形，24,底面ABC。，E,尸分別是AC,的中點,

PA=AB=2.求證：EF〃平面PCD.

考向四利用向量法證明垂直問題

1.線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零.

2.線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示.

3.面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?

典例引領(lǐng)

典例4如圖,已知正四棱錐V-ABCZ）中,E是VC的中點，正四棱錐的側(cè)面為正三角形.求證:平面

平面EBD.

【解析】如圖，以V在底面ABC。內(nèi)的射影。為坐標原點，建立空間直角坐標系。-盯z,

設(shè)YB=vc=8C=2a,在RtAVOC中V0RCI/2-=V4a2-2a2=y[2a,

55

V(0,0,V2?)4(V2a,0,0),C(-V2a,0,0),B(0,aa,0),0(0,-&a,0),E(——a,0,—a),

22

則屁=(一—a,y[2a,—a),BD=(0,-2V2a,0),7C=(-V2a,0,-V2?).

22

~DEm=區(qū)+O-a2=O,BDVC=O,

.'.DEl-VC^D-LVC,^DELVC,BDLVC.

?:DECBD=D,

VC_L平面EBD.

又VCu平面VAC,

平面VAC_L平面EBD.

典例5如圖，在四棱錐P—ABCD中，PAJ_底面ABCD,ADJ_OC,ABDC,AD=DC^AP^2,

AB=1，點E為棱PC的中點.

（1）證明：BELPD；

（2）若/為棱PC上一點，滿足求線段尸尸的長.

【解析】（1）底面ABC。，AD±AB，

:.以A為原點，42為x軸，為y軸，AP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

由題意3(1,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),E(l,l,l),D(0,2,0),BE=(0,1,1),PD=(0,2-2)，

:.BEPD=0,

:.BE±PD.

(2)3c=(1,2,0),CP=(—2,—2,2),AC=(2,2,0),

由點尸在棱PC上，設(shè)CT=4CP=(—2九一242/1),0W4W1,

BF=BC+CF=(1-22,2-22,22)，

3

BF±AC,BFAC=2(1-22)+2(2-22)=0,解得X=—,

???|PF|=1M=；j4+4+4邛,

即線段PR的長為@

2

變式拓展

4.如圖所示，已知平面AC&DE，平面AC2AAeD為等邊三角形,為CD的中點.

(1)求證:A尸〃平面BCE;

(2)求證:平面BCE_L平面CDE.

5.如圖，在棱長為1的正方體ABC。-中，點石是棱的中點，點產(chǎn)是棱。上的動點，試確

定點產(chǎn)的位置，使得平面ABp.

BE

考向五用向量法求空間角

1.用向量法求異面直線所成的角

（1）建立空間直角坐標系；

（2）求出兩條直線的方向向量；

（3）代入公式求解，一般地，異面直線AC,BD的夾角口的余弦值為cos/?=?AC?3°I.

\AC\\BD\

2.用向量法求直線與平面所成的角

（1）分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角（或其補角）；

（2）通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平

面所成的角.

3.用向量法求二面角

求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾

角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

典例引領(lǐng)

典例6如圖，在五棱錐P—ABCDE中,PA，平面ABCDE,PA=AB=AE=2BC=2DE=2,ZDEA=

ZEAB=ZABC=90°.

（1）求二面角P—￡>E—A的大??；

（2）求直線PC與平面PDE所成角的正弦值.

【解析】由題可知，以AB、AE、AP分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.則

A（0,0,0）,E（0,2,0）,Z）（l,2,0）,P（0,0,2）,C（2,l,0）.

設(shè)平面PDE的法向量為"=(x,y,z),

又麗=(1。0),屐=(0,-2,2).

n-ED=x=Q[x=0

由〈.，得<，令y=l,得〃=(0,1,1).

n-EP=-2y+2z=01y=z

(1)由于24,平面ABCDE,則平面ADE的一個法向量為布=(0,0,2),

一n-AP2

于是c°s<MP>=兩網(wǎng)=萬右下

所以<”,標>=45°,

則二面角P—。石―A的大小為45。.

⑵由于麗=(2,1,-2),

PCn2x0+lxl+(-2)xl

所以cos<PC,n>=II,顯

\PC\-\n\3x72~6~

故PC與平面PDE所成角的正弦值為72

~6

典例7在四棱錐P—A5CD中，AD//BC,AB=BC=CD=~AD,G是。3的中點，△Q4D是等

2

邊三角形，平面PA￡)_L平面ABCD.

(1)求證：CD，平面G4C；

(2)求二面角P—AG—C的平面角的正弦值.

【解析】(1)取AD的中點為。，連接OP,OC,0B,設(shè)08交AC于“，連結(jié)GH.

???AD//BC,AB=BC=CD=LA。，.?.四邊形ABC0與四邊形。BCD均為菱形，

2

OB±AC,OB//CD,：.CD±AC,

為等邊三角形，。為A￡)的中點，

?.?平面PAD_L平面ABC。且平面PAD1平面A6CD=AZ),尸Ou平面K4D且POJ_AD,

POL平面ABCD,平面ABC。，PO_LCD.

?：H,G分別為08,的中點，GH〃PO,G77LC。，

又,：GHAC=H,AC,GHu平面G4C,

CD,平面G4C.

UU(U

(2)取BC的中點為E,以。為坐標原點，分別以O(shè)E，OD，0P的方向為x軸、V軸、z軸的正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標系O-孫z.

設(shè)A￡)=4,則P(0,0,2有)，A(0,-2,0),C(V3,1,O),D(0,2,0),G(岑，—，

AP=(0,2,2?AG=(^,|,A/3).

設(shè)平面PAG的法向量為〃=(%,y,z).

2y+2s/3z=0

n-AP=O

由＜孝》+|丁+亞=0

n-AG=O

令z=l，則”=(1,一代,1).

由(1)可知，平面AGC的一個法向量為CD=(—石,1,0),

設(shè)二面角P—AG—C的平面角為凡

則二面角P-AG-C的平面角的余弦值為cos0=--—=——浮=—二.

|n||CD|2^/55

故二面角P—AG—C的平面角的正弦值為巫.

5

變式拓展

6.如圖，在斜三棱柱ABC—A5cl中，底面ABC是邊長為2的正三角形，BB1=3,做=質(zhì),

NCBBI=60.

不

(1)求證：平面ABC,平面3CC4；

(2)求二面角5-AB1—C的正弦值.

7.如圖所示，在四棱錐尸—ABC。中，底面ABCD,上4=2,ZABC^90°,AB^y/3,BC=1,

AD=2石，ZACD=60°,E為CD的中點.

C

(1)求證：〃平面Q4E；

(2)求直線PD與平面PBC所成角的正弦值.

考向六用向量法求空間距離

1.空間中兩點間的距離的求法

兩點間的距離就是以這兩點為端點的向量的模.因此，要求兩點間的距離除使用距離公式外，還可轉(zhuǎn)化為

求向量的模.

2.求點P到平面a的距離的三個步驟：

(1)在平面a內(nèi)取一點A,確定向量的坐標.

(2)確定平面a的法向量〃.

(3)代入公式求解.

1?1

典例引領(lǐng)

典例8如圖，直三棱柱ABC-AJBJQ中4c=BC=l,44i=3,/ACB=90。,。為CG上的點，二面角A-A.B-D

的余弦值為-走.

6

(1)求證:C￡>=2;

(2)求點A到平面43。的距離.

【解析】(1)以C為坐標原點，分別以CA,CB、CCi所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系C-xyz,

則A(LO,O)、5(0,1,0)、A(1,0,3).設(shè)D(0,0,a).

%=（1,1,。）是平面448的一個法向量,設(shè)〃=（無,丁/）是平面48。的法向量.

^^=(1,0,3-。),而=(0,1,-a),由^2-/i=0,而?〃=(),得x+(3-a^z=O,y-az=O,

取x=3—a,得'=_a,z=-l,即〃

I/Izn-nl|3—2〃|J3

由題設(shè)，知\cos{m,n)\=匕力=—~''==1--1=—，解得。=2或斫1,

|叫〃|應(yīng)xj(3—a)2+〃+i66

所以O(shè)C=2或OC=1.

但當￡>C=1時，顯然二面角A—43—。為銳角，故舍去.

綜上QC=2.

（2）由（1），知"=（1,2-1）為平面45。的一個法向量，

又磯=（0,0,3）,所以點A到平面A.BD的距離/—“I逅.

變式拓展

8.如圖，在正四棱柱A3CD—A用GR中，已知A5=l,B5,=2.

（1）求異面直線AC與直線AR所成的角的余弦值;

(2)求點C到平面ABXD1的距離.

考向七用向量法求立體幾何中的探索性問題

1.通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對象存在(或結(jié)論成立)，然后在這個前提下進行邏輯推理，若能推導(dǎo)出與條件吻合的

數(shù)據(jù)或事實，說明假設(shè)成立，即存在，并可進一步證明；若推導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)論，則說

明假設(shè)不成立，即不存在.

2.探索線段上是否存在點時，注意三點共線條件的應(yīng)用，這樣可減少坐標未知量.

典例引領(lǐng)

典例9如下圖所示,三棱柱A8C-A1BG中平面ABC,BC，AC,BC=AC=2A4i=3,。為AC的中點.

(1)求二面角G-BD-C的余弦值；

(2)在側(cè)棱AAi上是否存在點P,使得平面BOG?并證明你的結(jié)論.

【解析】(1)建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則G(0,0,0),8(0,3,2),C(0,3,0)?A(2,3,0)Q(1,3,0),所以窗=(0,3,2),亭=(1,3,0).

設(shè)〃=(xi,yi,zi)是平面BDG的法向量，則1n'竺=°,

(n-q￡>=0

3%+24=011

所以〈0c,令X1=1,得〃=(1,一，一)是平面BDC1的一個法向量，

石+3乂=032

易知本=(0,3,0)是平面ABC的一個法向量,

H,C]C—12

所以cos<n,^c>=|?|.|C,C|一泰一—亍，

2

而二面角Ci-BD-C為銳角，故其余弦值為一.

7

(2)假設(shè)側(cè)棱441上存在一點尸(2,y,0)(0W乃3),使得CPL平面BDCi.

因為而=（2y3,0）,

CP-QB=03（J-3）=0得y=3且產(chǎn)?，

所以

CP-C^D=02+3（J-3）=0

所以方程組無解.

則假設(shè)不成立，即側(cè)棱AAi上不存在點尸，使CPL平面BDCi.

典例10如圖，在四棱錐尸—A5CD中，尸4,平面ABC。，AD/ABCADLCD,且AD=CD=2后,

BC=4叵，PA=4.

(1)求證：AB1PC；

\PM\

(2)在線段尸。上是否存在一點〃，使得二面角〃—AC—￡＞的大小為45。，如果存在，求出的值;

如果不存在，請說明理由.

【解析】（1）vAD=CD=2V2,BC=4V2,：.AB=AC=4,：.AB±AC,

,；24，平面48。。，，48,2,，718，平面24。,

又尸Cu平面PAC,...AB，尸C.

(2)以A為坐標原點，以過A平行于CD的直線為x軸，AD,AP所在直線分別為y軸，z軸，建立空間

直角坐標系A(chǔ)—xyz,

則A（0,0,0）,P（0,0,4）（272,-272,0）,D（0,2后,0）,C（2直,272,0）,

設(shè)尸河=XPD，0<2<1,Af^0,2722,4-42）,

AM=（0,2仞,4-42）,AC=（26272,0）,

m-AM=02722^+（4-42）^=0

設(shè)平面MAC的法向量利=(%,%,zj,

mAC=Q2^2%1+20%=0

則m=,T萼3

令X]=1,

、-24+2,

又平面ACD的法向量為AP=(0,0,4),

AP-m

cos<AP,m>

AP|-|zn|

解得x=2或x=2（舍）,

3

\PM\_2

\PD\-3'

變式拓展

9.如圖，四棱錐S-ASCO的底面是直角梯形，AB//CD,ZBAD=ZADC=90，平面ABCD,

M是&4的中點，AD—SD=CD=2AB=2.

(1)證明：DM，平面&W；

(2)求二面角A—S3—C的大??；

(3)線段SC上是否存在一點E，使得直線S4〃平面瓦)￡.若存在，確定E點的位置；若不存在,

說明理由.

10.如圖所示，在三棱錐P—ABC中，PA±BC,AB=AP=1，BC=2亞,PC=a,ZABC=45°.

(1)求證：平面ABC，平面PAC；

(2)E為棱AC上一點，試確定點E的位置，使得直線PE與平面P5C所成角的正弦值為苴.

9

-??????????-?-??

、聲點沖關(guān)充

1?點3是點AQ,2,3)在坐標平面yQz內(nèi)的射影，貝『OBI等于

A.714B.岳

C.V10D.75

2.設(shè)空間四點。,4B,P滿足加=根+九礪，其中m+n=l,貝!]

A.點P一定在直線AB上B.點P一定不在直線28上

C.點P不一定在直線A8上D.以上都不對

3.已知二面角。一/—，，其中平面a的一個法向量加=(1,0,-D,平面廠的一個法向量〃=(0,T,D,則

二面角a-l-/3的大小可能為

A.60B.120

C.60或120D.135

4.如圖，在三棱錐C—Q鉆中，OAA.OB,OCL平面。46,Q4=6,OB=OC=8,CE=-CB,

D,F分別為AB,BC的中點，則異面直線DF與0E所成角的余弦值為

10

屈

20

5.在棱長為2的正方體ABC?！狝4G2中，E,尸分別為棱A4、8旦的中點，G為棱4月上的一點,

且AG=4(0<2<2),則點G到平面D[EF的距離為

A.26B.亞

C2⑸D.31

,35

6.如圖，在正四棱柱44G2，中，底面邊長為2,直線CG與平面AC，所成角的正弦值為g,

則正四棱柱的高為

A.2B.3

C.4D.5

7.已知直線/的一個方向向量d=(4,3,1),平面a的一個法向量"=(佻3,—5),且///a,則機=.

8.已知向量a=(l,O,—1),0=(—1,2,1),且切+)與2a—3方互相垂直，則左的值是.

9.若平面a的一個法向量為直線/的方向向量為(1,0/)，則/與a所成角的大小為.

10.如圖所示，在直三棱柱ABC-421cl中，底面是以NA8C為直角的等腰三角形,AC=2a,88i=3a,。是4G的

中點，點E在棱AAi上，要使CEL平面&DE,則AE=.

11.如圖,四棱錐P—ABCD的底面ABC。是矩形,%L平面ABC。，PA=AD=2,BD=2y/2

(1)求證：應(yīng)＞，平面必C;

(2)求點。到平面PBD的距離.

12.如圖，矩形ABC。所在的平面和直角梯形CDEF所在的平面成60。的二面角,。

DEAD=2,EF=3a,CF=6,NCFE=45°.

(1)求證:2尸〃平面ADE;

(2)在線段CF上求一點G,使銳二面角B-EG-D的余弦值為,.

4

如圖，四棱柱力中，側(cè)棱力底面。，

13.BCD—141ABCAB//DC,AB1AD,AD=CD=1,ArA=

ZB=2,E為棱的中點.

(1)證明：BG1CE；

(2)求二面角/一CE-Ci的余弦值;

(3)設(shè)點M在線段C】E上，且直線4M與平面4DD1&所成角的正弦值為個，求線段AM的長.

14.在棱長為。的正方體ABC。—A4GA中，E、歹分別是棱BC、CD上的點，且BE=CF.

(1)當E、p在何位置時，B.FLD.E2

(2)是否存在點E、F,使4CJ■平面GEB?

(3)當E、B在何位置時三棱錐G-CEE的體積取得最大值？并求此時二面角G-EF-C的正切

值.

15.如圖，在多面體ABC。砂中，四邊形A8CD是正方形，平面AB。，￡>￡，平面ABCD，

所=DE，點M為棱AE的中點.

(1)求證：平面〃平面EFC；

(2)若DE=2AB,求直線AE與平面BDVf所成的角的正弦值.

國通高考

1.(2018新課標全國n理科)在長方體ABC?！?，AB=BC=1,A4=G,則異面直線A。

與。與所成角的余弦值為

1R小

A.-D.----------

56

75

rD,正

52

2.(2019年高考全國I卷理數(shù))如圖，直四棱柱ABCD-AiBiCbDi的底面是菱形，AAi=4,AB=2,ZBAD=60°,

E,M,N分別是BC,BBi,4。的中點.

(1)證明：MN〃平面CiDE；

(2)求二面角A-MAi-N的正弦值.

3.（2019年高考全國n卷理數(shù)）如圖，長方體ABCMiBiCiDi的底面ABC。是正方形，點E在棱上,

BELECi.

（1）證明：BE,平面EB1G；

（2）若AE=4E,求二面角耳EC-G的正弦值.

4.（2019年高考全國III卷理數(shù)）圖1是由矩形Rt^ABC和菱形8fGC組成的一個平面圖形，其中

AB=\,BE=BF=2,ZFBC=60°,將其沿AB,8c折起使得BE與放重合，連結(jié)DG,如圖2.

（1）證明：圖2中的A,C,G,。四點共面，且平面ABC_L平面BCGE；

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

5.（2018高考浙江卷）如圖，已知多面體ABCAiBiCi,4A,BiB,CC均垂直于平面ABC,ZABC=120°,

AiA=4,CiC=l,AB=BC=BiB=2.

(I)證明：A3_L平面421G；

(ID求直線AG與平面所成的角的正弦值.

6.(2017高考浙江卷)如圖，已知四棱錐P-ABCZ),△%￡(是以A。為斜邊的等腰直角三角形，BC//AD,

CDLAD,PC=AD=2DC=2CB,E為尸。的中點.

P

(I)證明：CE//平面尸AB；

(II)求直線CE與平面P8C所成角的正弦值.

7.(2018新課標全國I理科)如圖，四邊形A3CD為正方形，E,尸分別為AD,5c的中點，以。/為折

痕把折起，使點C到達點P的位置，且戶.

(1)證明：平面PER，平面ABED；

(2)求OP與平面ABED所成角的正弦值.

8.(2018新課標全國n理科)如圖，在三棱錐尸—ABC中，AB=BC=2短，PA=PB=PC=AC=4,O

為AC的中點.

(1)證明：PO,平面ABC；

(2)若點拉在棱3c上，且二面角/-PA-C為30。，求尸C與平面B4M所成角的正弦值.

9.(2018新課標全國III理科)如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧C。所在平面垂直，M

是8上異于C,。的點.

(1)證明：平面AMD_L平面曲紇；

(2)當三棱錐加-ABC體積最大時，求面與面MCD所成二面角的正弦值.

10.(2019年高考北京卷理數(shù))如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAJ_平面ABCD,ADLCD,AD//BC,

PF1

PA=AD=CD=2,BC=3.E為尸。的中點，點/在尸C上，且——=-.

PC3

(1)求證：CD_L平面PA。；

(2)求二面角F-AE-P的余弦值；

2

(3)設(shè)點G在PB上，且一=-.判斷直線AG是否在平面A跖內(nèi)，說明理由.

PB3

11.（2019年高考天津卷理數(shù)）如圖，AEL平面ABCD,CF//AE,AD//BC,

AD±AB,AB=AD=1,AE=BC=2.

B

(1)求證：5尸〃平面ADE；

(2)求直線CE與平面所成角的正弦值；

(3)若二面角E—3D—尸的余弦值為工，求線段CF的長.

3

12.(2018江蘇卷)如圖，在正三棱柱ABC-4B1G中，AB=A4i=2,點P,。分別為4囪，BC的中點.

(1)求異面直線BP與4cl所成角的余弦值；

(2)求直線CG與平面A。。所成角的正弦值.

13.(2018北京理科)如圖，在三棱柱ABC-ABC中，CQ,平面ABC,D,E,F,G分別為例，AC,

AG，網(wǎng)的中點，AB=BC=4,AC=M=2.

Cl

(1)求證：AC_L平面BEE；

(2)求二面角2-Ci的余弦值；

(3)證明：直線FG與平面BCD相交.

14.（2018天津理科）如圖，且AO=2BC,AD_LCD,EG〃AD且EG=AD,CD〃FG且CD=2FG,

Z）G_L平面ABC。，DA=DC=DG=2.

(1)若M為CP的中點，N為EG的中點，求證：肱V〃平面COE；

(2)求二面角E—3C—歹的正弦值;

(3)若點尸在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60。，求線段。P的長.

15.(2017新課標全國I理科)如圖，在四棱錐P-ABCO中，AB//CD,且NB4P=NCDP=90.

(1)證明：平面B48_L平面BAD；

(2)若研=尸￡>=42=。。，ZAPD=90，求二面角A-P2-C的余弦值.

參考答案.

變式拓展

1.【解析】如圖所示，分別以A3、AD,A4i所在的直線為無軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.

由題意可知C(3,3,0),1)(0,3,0),

???|DDi|=|CC|=|A4i|=2,

.\Ci(3,3,2),01(0,3,2).

?「N為CDi的中點，

3

???N(5，3,1).

是4cl的三分之一分點且靠近4點，

1,2).

由兩點間距離公式，得=—1]+(3—1)2+(1—2)2=浮.

【名師點睛】本題考查空間直角坐標系的建立、點坐標的求法以及距離公式，建系時注意要利用兩兩垂

直的三條線建系，由線段比例求坐標時，注意由坐標特征求，不要直接乘比例系數(shù)求坐標.建立空間直角

坐標系，分別由比例關(guān)系求出點M、點N的坐標，由兩點間的距離公式求出線段長度，即可得到結(jié)果.

2.【解析】(1)1/AC=AD+mA