2023-2024學(xué)年遼寧省農(nóng)村高二年級(jí)上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年遼寧省高二上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知耳，鳥是橢圓c：《+丈=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是c上一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），則△尸片工的

916

周長(zhǎng)為（）

A.14B.16C.8+2近D.6+2近

【正確答案】C

【分析】根據(jù)橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程求得正確答案.

【詳解】由題可知。=4,c=〃2_從=77,△尸打工的周長(zhǎng)為2a+2c=8+2萬(wàn).

故選：C

2.已知X《4,；),則P(X=1)=(

)

n32C

AB.-方D

-281-F

【正確答案】B

【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的知識(shí)求得正確答案.

2

【詳解】因?yàn)閄所以尸（X=1）=C；

故選：B

3.已知忸5,可是空間的一個(gè)基底，則可以與向量成=。+2人萬(wàn)=3-己構(gòu)成空間另一個(gè)基

底的向量是（）

A.2a+2b-cB.a+4b+cC.b-cD.a-2b-2c

【正確答案】C

【分析】根據(jù)空間基底、空間向量共面等知識(shí)確定正確答案.

【詳解】M2a+2b-c=(a+2h)+(a-c),

a+4b+c=2(a+2i)-(a-c),

a-2b-2c=2{a-c)~(a+2h),

所以向量21+25-,，a+4b+c>1-2坂-2,均與向量所，萬(wàn)共面.

故選：c

4.與橢圓《+4=1有公共焦點(diǎn)，且離心率e=3的雙曲線的方程為（）

25162

A.工-上=1B.三-匕=1C.--^=1D.--^-=1

544541349

【正確答案】B

【分析】根據(jù)已知條件求得雙曲線的實(shí)半軸、虛半軸，從而求得雙曲線方程.

【詳解】橢圓]+[=1的焦點(diǎn)為（掃，0）?

2516

因?yàn)樗箅p曲線的離心率e=

所以其實(shí)半軸長(zhǎng)為2,虛半軸長(zhǎng)為出廠方=有，

故所求雙曲線的方程為《-心=1.

45

故選：B

5.已知拋物線C：/=16》的焦點(diǎn)為尸，拋物線C上有一動(dòng)點(diǎn)P,0（2,5）,則歸尸|+歸0|的

最小值為（）

A.6B.8C.7D.9

【正確答案】D

【分析】利用拋物線定義將焦半價(jià)|產(chǎn)網(wǎng)轉(zhuǎn)化成到準(zhǔn)線距離，再根據(jù)三點(diǎn)共線時(shí)滿足題意即可

求得結(jié)果.

【詳解】記拋物線C的準(zhǔn)線為/：V=T,作PT，/于T,如下圖所示：

當(dāng)尸，Q,7三點(diǎn)共線時(shí)，|尸尸|+歸。|有最小值,

最小值為5+5=9.

故選：D

6.甲、乙、丙等7人站成一排照相，要求隊(duì)伍最中間只能站甲或乙，且甲與丙不相鄰，則

不同的站法有（）

A.728種B.848種C.918種D.1008種

【正確答案】D

【分析】根據(jù)甲或乙在中間進(jìn)行分類討論，結(jié)合排列與組合的知識(shí)求得正確答案.

【詳解】若甲站最中間，則不同的站法有C；A；=480種；

若乙站最中間，甲和丙站在乙的一側(cè)，則不同的站法有C；A；A：=96種;

若乙站最中間，甲和丙站在乙的兩側(cè)，則不同的站法有C；C；A；A：=432種.

故總的站法有1008種.

故選：D

7.在歐幾里得生活的時(shí)期，人們就發(fā)現(xiàn)了橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì)：由橢圓一焦點(diǎn)射出的光

線經(jīng)橢圓內(nèi)壁反射后必經(jīng)過另焦點(diǎn)我有一橢圓C:/+后=1(〃>6>0)從一個(gè)焦點(diǎn)耳發(fā)出

3

的一條光線經(jīng)橢圓C內(nèi)壁上一點(diǎn)P反射后經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)工，若生=60。，且歸國(guó)=5”,

則橢圓C的離心率為（）

A.yB.立C.2D.立

2244

【正確答案】D

【分析】根據(jù)橢圓的定義得|尸1引I。用=79%進(jìn)而結(jié)合余弦定理得。2=7白。2,再求

2216

離心率即可.

【詳解】解:由橢圓的定義得：戶用+戶用=2%

31

因?yàn)闅w用=:“，所以歸用=5”.

所以，在△歷代中，由余弦定理得舊聞2=1尸/2+歸圖2_2|尸用怛用COS60。,

所以4c2=-a2+-a2-2x—x-x-^-a2,整理得c?--^-a2,

44222416

所以c=^-a,e--

44

故選：D

8.在某城市中，A,8兩地有如圖所示的方格型道路網(wǎng)，甲隨機(jī)沿道路網(wǎng)選擇一條最短路徑,

從工地出發(fā)去往8地，途經(jīng)C地，則不同的路線有（）

A

【正確答案】A

【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理以及組合數(shù)的計(jì)算求得正確答案.

【詳解】由題可知，不同的路線有C；C；=105種.

故選：A

二、多選題

9.甲、乙兩人進(jìn)行1次投籃，已知他們命中的概率分別為g和;，且他們是否命中相互獨(dú)

立，則（）

A.恰好有1人命中的概率為/B.恰好有1人命中的概率為:

C.至少有1人命中的概率為52D.至少有1人命中的概率為=5

J6

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式求得正確答案.

【詳解】由題可知，恰有1人命中的概率為2x4+gx!=:，A正確，B不正確.

23232

17I

2人均未命中的概率為5x5=3,故至少有1人命中的概率為2:，C正確，D不正確.

故選：AC

10.已知圓C:X2+/+6X=0,直線/:fcr-y+5〃+l=0,下列結(jié)論正確的是（）

A.直線/恒過點(diǎn)（-5,1）

B.若直線/平分圓C,則A=1

2

c.圓心。到直線/的距離的取值范圍為［o,VTj

9

D.若直線/與圓。交于點(diǎn)4以則/8C面積的最大值為:

2

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)、直線和圓的位置關(guān)系、圓的幾何性質(zhì)等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從

而確定正確答案.

【詳解】y-l=Mx+5),令x=-5,得y=l,即直線/恒過點(diǎn)(-5,1),A正確.

圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x+3)2+/=%所以圓心C(-3,0).

因?yàn)橹本€/平分圓C,所以直線/過圓C的圓心，

所以-3k+5k+1=0,解得左=-！，B錯(cuò)誤.

2

圓心C到直線I的距離的最大值為J(-5+3-+(1-0J=下,最小值為0.

因?yàn)橹本€/不能表示x=-5,所以圓心C到直線I的距離不能為2,

故圓心C到直線1的距離的取值范圍為。2)=(2,右],C錯(cuò)誤.

設(shè)圓心C到直線/的距離為d,ABC的面積為；xdx2y/r2-d2=VW2-J4,

當(dāng)時(shí)，/8C面積的最大值為三，D正確.

22

故選：AD

11.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下，則()

X1234

2

PP3P2\-2p+p2\-3p+p2

11c.P(X>2)[D.O(X)=?

A.p=-B.p=一

3

【正確答案】BCD

【分析】根據(jù)分布列中概率的性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望、方差等知識(shí)確定正確答案.

【詳解】由題意可知，6p?-5p+2=l,解得p=g或p=g.

當(dāng)p=；時(shí)，尸(X=4)=1—：+：=一；<°，故P=g，A不正確，B正確.

415

P(X>2)=P(X=3)+P(X=4)=§+§=3，C正確.

鳳丫)=/+622+3(1-2/?+/)+4(1-3p+/)=],

2

則ax)=gx(i撲久223+矢43一”I+赳4嗡D正確.

99

故選：BCD

12.如圖，平行六面體/BCD-44CQ的體積為480，jB=RD,AA]=6,

AB=AD=4,且ZDN8=q,M,N,尸分別為N8,CG，GA的中點(diǎn)，則()

G

A.MC與/IP夾角的余弦值為生巨

70

B.MP平面BDN

C.DN±A(2

D.P到平面MNC的距離為勺晝

19

【正確答案】AD

【分析】先求出底面積，再根據(jù)棱柱的體積求出高，依題意可得4在底面的投影在力C上,

設(shè)出投影O,證明投影。為NC的中點(diǎn)，即可以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，而，麗，西的方向分別為

x,y,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量對(duì)選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.

TT

【詳解】因?yàn)?8=/。=4,且NZM8=],

所以四邊形Z8C。的面積為4x4xsin?=8石.

因?yàn)槠叫辛骟w的體積為480，

所以平行六面體48cA的高為史g=2幾.

因?yàn)?/8=/4力。，

所以4在底面的投影在/。上?

設(shè)4在底面的投影為o,

則4。=2遙，

因?yàn)?6,

所以04=JAA；_/02=府-（2病2=26

因?yàn)镹C=4石=204，

所以。為/C的中點(diǎn).

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，萬(wàn)，礪，西的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，

G

則4(2瓜0,0),C(-2>/3,0,0),8(0,2,0),D(0,-2,0),陽(yáng)(石,1,0),4(0,0,276),N(-36,0,國(guó),

P(-36

貝I]加=13-1,灰)，萬(wàn)=(-5百,-1,2與，4C=(-273,0,-2^6),

標(biāo)=(-40,-2,2灰)，麗=(-36,2,病，MC=(-373,-1,0),麗=(0,4,0),

麗=(-36,-2,迷).

因?yàn)閏os(就,羽=也罌嘉五里=等，

所以MC與4P夾角的余弦值為空紅，故A正確.

70

設(shè)平面BDN的法向量為加二(x”y,zJ,

「耳BN?麗=76%-2冊(cè)+娓4=0

DBm=4y]=0

令芭=&,則而=（五,0,3）.

因?yàn)辂愰?-40*應(yīng)+0+263=2痣#0，

所以與平面80N不平行，故B錯(cuò)誤.

因?yàn)辂?丞=(-36)x(-2拘+0+nX(_2#)=6H0,

所以麗與萬(wàn)不垂直，故C錯(cuò)誤.

設(shè)平面MNC的法向量為"=(x2,y2,z2),

n-MN--4>/3^-y2+旗馬=0

貝4"—./—,

n-MC--3-y2-0

令％=應(yīng),得、=(&,-36,1).

mi,\MP-n\|-473xV2+(-2)x(-376)+25/6|4738

因?yàn)榘?TT'

所以「到平面MNC的距離為生區(qū)，故D正確.

19

綜上所述：選項(xiàng)AD正確，

故選：AD.

三、填空題

13.若直線4:x-/ny+2=0與4：3x+(zn+2)y-l=0垂直，則，"=.

【正確答案】1或-3##-3或1

【分析】根據(jù)兩直線垂直列方程，由此求得加的值.

【詳解】因?yàn)?，/2,所以3-加(>+2)=0,解得m=l或-3.

故1或-3

14.某興趣小組對(duì)某地區(qū)不同年齡段的人群閱讀經(jīng)典名著的情況進(jìn)行了相關(guān)調(diào)查，相關(guān)數(shù)據(jù)

如下表.

年齡區(qū)間[0,10)[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)

賦值變量X12345

人群數(shù)量y2378a

若由最小二乘法得y與x的線性回歸方程為y=2.1x-0.3,則。=

【正確答案】10

【分析】根據(jù)回歸直線方程過樣本中心點(diǎn)求得正確答案.

則一--=2.1x3-0.3,解得a=10.

故10

四、雙空題

5

15.已知（x+Ip=&+q（x—1）+出（才一ifH-i-a5（x—I）,貝！|%=

?+§+黑=?（用數(shù)字作答）

22325------

【正確答案】32詈1441

【分析】利用賦值法求得正確答案.

【詳解】令x=l,則%=2=32.

5

3

令》=彳，則

2

五、填空題

16.已知雙曲線C：。在叱。力＞。）的左焦點(diǎn)為RT。），過尸的直線/與C的左支交于

點(diǎn)4與C的其中一條漸近線在第一象限交于點(diǎn)8,且荏=2⑸，I。例=3（。是坐標(biāo)原點(diǎn)）,

則”.

【正確答案】冬叵二2

3

【分析】根據(jù)已知條件求得A點(diǎn)坐標(biāo)并代入雙曲線的方程，化簡(jiǎn)求得。的值.

【詳解】作軸，垂足為4，軸，垂足為用.

因?yàn)閨O8|=3=c,k=~,c2=a2+b2,

oea

所以108b“，忸Bj=b.因?yàn)闃?biāo)=2成，

M=M=i

所以忸引|即|3’

解得=|4可=；(a+c),則d；(a-2c),；”.

：(a-2c"女［整理得［(2C_")=巫〃，解得°=2后二2.

-尋下333

故也匚

關(guān)鍵點(diǎn)睛：求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的a,b,可考慮利用已知條件列等量關(guān)系式，通過等量關(guān)系

式來(lái)求得。力的值，在解題過程中，要注意結(jié)合圖象，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)進(jìn)行

求解.

六、解答題

17.為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性，某校需要了解學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉與性別因

素有關(guān)，為此隨機(jī)對(duì)該校100名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表.

經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉總計(jì)

男35

女25

總計(jì)100

已知從這100名學(xué)生中任選1人，經(jīng)常鍛煉的學(xué)生被選中的概率為去.

(1)完成上面的列聯(lián)表；

(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，判斷能否有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉與性別因素有

關(guān).

附：Z2=-----"(史二2-------,其中，

n=ci+b+c+d

(a+b)(c+d){a+c)(b+d)

a=P(/>Z:0)0.10.050.010.001

k2.7063.8416.63510.828

【正確答案】(1)列聯(lián)表見解析

(2)有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉與性別因素有關(guān)

【分析】(1)先計(jì)算出經(jīng)常鍛煉的學(xué)生人數(shù)，進(jìn)而補(bǔ)全2x2列聯(lián)表.

(2)計(jì)算/的值，由此作出判斷.

【詳解】(1)設(shè)這100名學(xué)生中經(jīng)常鍛煉的學(xué)生有x人，則去=解得X=5O.

1002

列聯(lián)表完成如下.

經(jīng)常鍛煉不經(jīng)常鍛煉總計(jì)

男352560

女152540

總計(jì)5050100

2100x(35x25-15x25)2

（2）由（1）可知,a4.167,

60x40x50x50

因?yàn)?.167>2.706,所以有90%的把握認(rèn)為該校學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉與性別因素有關(guān).

18.在平面直角坐標(biāo)系中，尸是拋物線。:/=20犬（「>0）的焦點(diǎn)，加卜0，兒）是拋物線

4

C上一點(diǎn)，1披|=5,SitanZOFM=-.

（1）求拋物線。的方程；

（2）若直線/與拋物線C交于4B兩點(diǎn),且線段43的中點(diǎn)坐標(biāo)為（6,8）,求直線/的方程.

【正確答案】（l）/=16x

(2)y=x+2

【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程，由此求得P,從而求得拋物線C的方程.

（2）設(shè)/（項(xiàng),必），S（x2,y2）,利用點(diǎn)差法求得直線/的斜率，進(jìn)而求得直線/的方程.

【詳解】⑴因?yàn)椋?伍,幾）是拋物線C上一點(diǎn)，IMF|=5,且tan/。尸

=2訪

所以與+?=5

一一4

X0=1

根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)/在第一象限，解得兒=4,

p=8

故拋物線。的方程為「=16/.

（2）設(shè)/（西,乂），B（x2,y2）,則七一?

y2=lox2

兩式相減得￡=16（司-工2）,即比』=」一.

X1~X2%

因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（6,8）,所以乂+%=16,則工二三=|,

故直線/的方程為夕=x+2.

19.如圖，在正四棱柱/BCD-44GA中，E,F,G分別是84，CC,,8c的中

(1)證明：RF"平面DEG：

(2)求平面DEG與平面CG。。的夾角的余弦值.

【正確答案】(1)證明見解析

(2)T

【分析】(1)通過構(gòu)造平行四邊形的方程，根據(jù)線面平行的判定定理證得。/〃平面。EG.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得平面。EG與平面CCQQ的夾角的余弦值.

【詳解】(1)連接4。，AE,BXC.

因?yàn)镋,G分別是84，8c的中點(diǎn)，所以EG〃用C.

易證得四邊形4。。片為平行四邊形，所以所以EG〃4。，

則E,G,4，。四點(diǎn)共面，平面OEG即平面4QGE.

連接￡尸，易證得四邊形EFDH為平行四邊形，所以。/〃4E.

因?yàn)槠矫妗G,。尸(Z平面。EG,所以2尸〃平面。EG.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，次的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則。(0,0,0),G(l,2,0),￡(2,2,2),加=(1,2,0),瓦=(2,2,2).

m-DG=0,

設(shè)而=(x,y,z)為平面。EG的法向量，則｛—.

市DE=0,

所以令z可得加=(2,—L—1).

易得D4，平面CCRD,所以平面CCXDXD的一個(gè)法向量為~DA=(2,0,0).

,-麗,D42在

cosQ%DA)=----=-=—f==——.

\m\-\DA\V63

故平面DEG與平面的夾角的余弦值為半.

20.已知圓C經(jīng)過4(—3,10),8(-5,8)兩點(diǎn)，且圓心C在直線2x+y=0上.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(2)若尸是直線x-2y+l=0上的動(dòng)點(diǎn)，。是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)〃(-8,-6),求|PQ|-|PM|

的最大值.

【正確答案】(l)(x+5)2+(y-10)2=4

(2)15

【分析】(1)根據(jù)圓的幾何性質(zhì)求得圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)利用點(diǎn)MQ8,-6)關(guān)于直線x-2y+1=0對(duì)稱點(diǎn)以及三點(diǎn)共線來(lái)求得|尸。|-1尸河|的最

大值.

【詳解】(1)依題可設(shè)圓心C的坐標(biāo)為

22

因?yàn)閨AC目8C|,所以J(a+3r+(10+2a)2=A/(a+5)+(8+2?),

解得a=-5,

則圓心C的坐標(biāo)為(-5,10),圓C的半徑r=MQ=2,

故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+5)2+(y-10)2=4.

(2)因?yàn)閨尸0兇PC|+2,所以|PQ|-|PM|4|PC|-|PN|+2.

設(shè)點(diǎn)”(-8,-6)關(guān)于直線工-2嚴(yán)1=0對(duì)稱的點(diǎn)為“(%,%),

‘±&_2x*Jl=0

22

L16=_2

%+8

[x0=—10,

解得,,即"(70,-2).

[%=-2

因?yàn)閨PM|=|PM'|,所以IPCHPM1=1PCHP"141a，

當(dāng)且僅當(dāng)P,C,AT三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.

X\CM'\=7(-5+10)2+(10+2)2=13,所以IPQITP歷I的最大值為15.

21.抽屜中裝有5雙規(guī)格相同的筷子，其中2雙是一次性筷子，3雙是非一次性筷子，每次

使用筷子時(shí)，從抽屜中隨機(jī)取出1雙，若取出的是一次性筷子，則使用后直接丟棄，若取出

的是非一次性筷子，則使用后經(jīng)過清洗再次放入抽屜中.求：

(1)在第2次取出的是非一次性筷子的條件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；

(2)取了3次后，取出的一次性筷子的雙數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【正確答案】(1)、

(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為翳

【分析】(1)根據(jù)條件概型的知識(shí)求得正確答案.

(2)根據(jù)取出的一次性筷子的雙數(shù)求得分布列，并求得數(shù)學(xué)期望.

【詳解】(1)設(shè)事件力為第1次取出的是一次性筷子，事件8為第2次取出的是非一次性

筷子,

則P(川3)=P(AB)

P(B).

2aq

其中小叫《丁正，尸⑻川團(tuán)+尸(畫式r-xr-

P(AB)5

所以PQ|8)=

尸⑻TT-

(2)記取了3次后，取出的一次性筷子的個(gè)數(shù)(雙)為X,則X=0,l,2,

P(X=0)=

P(y=l)=2x3x3+3x2x2+JxJxJ^49(

5445545551000

2132123147

P(X=2)=—x—+-X—X—+—X—X-

54554544200

X的分布列為

X012

2754947

P

125Too200

27549471019

X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0x~+lx工+2x3-=*&.

12510002001000

22.已知橢圓C:?\=l（a>…）的離