七年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試真題匯編（人教版）一元一次方程的應(yīng)用（12大知識點） （解析版）

專題07一元一次方程的應(yīng)用（12大考點）專題講練

一元一次方程的應(yīng)用題屬于人教版七年級上期期末必考題，需要完全掌握各個類型的應(yīng)

用題，該專題將應(yīng)用題分為分段計費、行程問題、工程問題、方案優(yōu)化選擇、商品銷售問題、

比賽積分問題、日歷問題（數(shù)字問題）、配套問題、調(diào)配問題、和差倍分問題（比例問題）、

幾何圖形問題、動態(tài)問題等共進行方法總結(jié)與經(jīng)典題型進行分類。

礴專題導(dǎo)觥

1、知識儲備

2、經(jīng)典基礎(chǔ)題

考點1.分段計費問題

考點2.行程問題

考點3.工程問題

考點4.方案優(yōu)化問題

考點5.商品銷售問題

考點6.比賽積分問題

考點7.配套問題

考點8.調(diào)配問題

考點9.數(shù)字與日歷問題

考點10?和、差、倍、分（比例）問題

考點11.幾何問題（等積問題）

考點12.動態(tài)問題

3、優(yōu)選提升題

??知擁儲備

1.用一元一次方程解決實際問題的一般步驟

列方程解應(yīng)用題的基本思路為：問題卑心方程一勰→解答.由此可得解決此類

題的一般步驟為：審、設(shè)、歹U、解、檢驗、答.

2.建立書寫模型常見的數(shù)量關(guān)系

D公式形數(shù)量關(guān)系：生活中許多數(shù)學(xué)應(yīng)用情景涉及如周長、面積、體積等公式。在解決這

類問題時,必須通過情景中的信息,準確聯(lián)想有關(guān)的公式,利用有關(guān)公式直接建立等式方程。

長方形面積=長X寬長方形周長=2（長+寬）正方形面積=邊長X邊長正方形周長=4

邊長

2）約定型數(shù)量關(guān)系：利息問題，利潤問題，質(zhì)量分數(shù)問題，比例尺問題等涉及的數(shù)量關(guān)系，

像數(shù)學(xué)中的公式，但常常又不算數(shù)學(xué)公式。我們稱這類關(guān)系為約定型數(shù)量關(guān)系。

3）基本數(shù)量關(guān)系：在簡單應(yīng)用情景中，與其他數(shù)量關(guān)系沒有什么差別，但在較復(fù)雜的應(yīng)用

情景中，應(yīng)用方法就不同了。我么把這類數(shù)量關(guān)系稱為基本數(shù)量關(guān)系。

單價X數(shù)量=總價速度X時間=路程工作效率X時間=總工作量等。

3.分析數(shù)量關(guān)系的常用方法

1）直譯法分析數(shù)量關(guān)系：將題中關(guān)鍵性的數(shù)量關(guān)系的語句譯成含有未知數(shù)的代數(shù)式，并找

出沒有公國的等量關(guān)系，翻譯成含有未知數(shù)的等式。

2）列表分析數(shù)量關(guān)系：當(dāng)題目中條件較多，關(guān)系較復(fù)雜時，要列出表格，把已知量和未知

量填入表格，利用表格進行分析。這種方法的好處在于把已知量和未知量"對號入座"，便于

正確理解各數(shù)量之間的關(guān)系。

3）圖解法分析數(shù)量關(guān)系：用圖形表示題目中的數(shù)量關(guān)系，這種方法能幫助我們透徹地理解

題意，并可直觀形象的體會題意。在行程問題中，我們常常用此類方法。

考點1分段計費問題

【解題技巧】總費用=未超標部分的費用+超標部分的費用。

已知費用求X需判定X的所屬范圍；若無法知道費用對應(yīng)的具體范圍時，需對其進行不同范

圍的分類討論。

注：需審題仔細，看清計費標準是否有“超過部分

常見試題背景：水費、電費、氣費、車費、納稅、社保醫(yī)保體系等

例L（2022?四川廣安?七年級期末）國家提倡節(jié)能減排，創(chuàng)造節(jié)約型社會，某城市提出實施

居民生活用水年度階梯水價，具體水價標準見下表：

類別水費價格（元/立方米）污水處理費（元/立方米）綜合水價（元/立方米）

第一階梯≤12°（含）立方米3.51.55

第二階梯120~180（含）立方米5.251.56.75

第三階梯>18。立方米10.51.512

例如，某戶家庭年用水128立方米，應(yīng)繳納水費：120x5+（128-120）x6.75=654（元）.

⑴小明家2019年共用水160立方米，則應(yīng)繳納水費多少元？

⑵小敏家2019年共用水。立方米（α>180）,請用含。的代數(shù)式表示應(yīng)繳納的水費.

⑶小慧家2019年，2020年兩年共用水360立方米，已知2020年的年用水量少于2019年的

年用水量，且2020年的年用水量高于120立方米，兩年共繳納水費2220元，求小慧家這

兩年的年用水量分別是多少？（列一元一次方程求解）

【答案】⑴870元⑵（12α-l155）元⑶小慧家2019年用水220立方米，2020年用水140

立方米

【分析】(1)根據(jù)表格中規(guī)定的分段計算方法列式計算可得；(2)利用總價=單價X數(shù)量，結(jié)

合階梯水價，即可得出結(jié)論；(3)設(shè)2019年用水X立方米，則2020年用水(360-x)立方

米.根據(jù)兩年共繳納水費2220元即可得出關(guān)于X的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論

(1)解：小明家2019年應(yīng)繳納水費為：120x5+(160—120)x6.75=870(元)；

(2)解：小敏家2019年共用水。立方米(α>180),則應(yīng)繳納的水費為：

120×5+(180-120)×6.75+12(α-180)=(12o-1155)π;

(3)解：設(shè)小慧家2019年用水X立方米，則2020年用水(360-x)立方米，

f360-x<x

則，”，解得18°<X<240,120<360-Λ<180,

[360-Λ>120

根據(jù)題意得：120x5+(180-120)x6.75+12(x-180)+120x5+(360-x-120)x6.75=2220.

解得：X=220.2020年用水量：360-220=140(立方米).

答：小慧家2019年用水220立方米，2020年用水140立方米.

【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用及列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是找準等量關(guān)系，正確列出

一元一次方程.

變式1.(2022?四川德陽?七年級期末)保險公司的汽車保險，汽車修理費是按分段賠償，具

體賠償細則如下表.某人在汽車修理后在保險公司得到的賠償金額是2000元，那么此人的

汽車修理費是()元.

汽車修理費九元賠償率

0<x≤50060%

500<Λ≤100070%

1000<x≤300080%

A.2687B.2687.5C.2688D.2688.5

【答案】B

【分析】根據(jù)表可以首先確定此人的修理費應(yīng)該大于1000元，并且小于3000元，則賠償

率是80%,則若修理費是X元，則在保險公司得到的賠償金額是(X-IOe)O)XO.8+300+350元，

就可以列出方程，求出X的值.

【詳解】解：05OO×6O%=300(元)，

(1000-500)x70%=500x70%=350(元)，

(3000-1000)×80%=2000×80%=1600(元),

且300<2000,300+350=650<2000,300+350+1600=2350>2000,

團此人的汽車修理費X的范圍是：1000<x≤3000,

可得,300+350+（X-1000）×80%=2000,解得x=2687.5,

13此人的汽車修理費是2687.5元，故選：B.

【點睛】解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，確定修理費的范圍，正確表示出賠償金額是解決本題

的關(guān)鍵.

變式2.（2022?湖北恩施?七年級期末）某城市出租車收費標準如下：3下米以內(nèi)（含3千米）

收費5元，超過3千米的部分每千米加收2元（不足一千米按一千米計算）.

（1）若乘坐出租車行駛X千米（X為整數(shù)），完成下列表格.

行駛里程（千米）應(yīng)付車費（元）

0<x≤3

x>3

⑵周末小華的爺爺準備乘坐出租車到12千米外小華的姑姑家去，但他只有20元錢，爺爺

能夠全程乘坐出租車嗎？如果能夠，他要付多少元車費？如果不能，他至少還要步行幾千

米？

【答案】（1）見解析（2）爺爺至少還要步行2千米

【分析】（1）根據(jù)3下米以內(nèi)（含3千米）收費5元，超過3千米的部分每千米加收2元,

分段列式計算；

（2）根據(jù)當(dāng)x=12時，2x7=2x12-1=23>20,得到爺爺不能夠全程乘坐出租車，根據(jù)

2xT=20,X為整數(shù)，得到X=I0,爺爺至少還要步行2千米.

⑴

行駛里程（千米）應(yīng)付車費（元）

0<x≤35

x>35+2(x-3)或2]_1

（2）解：當(dāng)x=12時，2x—1=2x12—1=23>20,所以，爺爺不能夠全程乘坐出租車.

2x-l=20,則X=IO.5,因為X為整數(shù)，所以X=I0,所以爺爺至少還要步行2千米.

【點睛】本題主要考查了分段計費，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握每段路程中車費與路程的關(guān)

系列式計算，進行判斷.

考點2.行程問題

解題技巧：行程問題總公式為：路程=速度X時間。

解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，并且還常常借助畫草圖

來分析.

行程問題可分為四大類，不同類型的問題，在求解速度時有所不同，具體如下：

①相遇問題（或相向問題）：

φ§

%?r+吃?r=（幅+%）?，=43=>速度和X時間=總路程

②追及問題：

同時不同地：

A會

甲------>

%?/一吃?仁（%—%）?f=ABn速度差X時間=起點間的距離

同地不同時：

?—tft≥-----i~t?

甲1--------?-------->

%,?r一吃?r=（唳-匕J?，=吃?％=AB=>速度差X時間=先行路程

不同時不同地：

A∣I?CNA??CN

甲，-------V------------rφ?-----------k----------

%?7—吃?，=（%—%）?r=A5+吃?麋=4?+5。=速度差、時間=起點間的距離+

先行路程

③航行問題：（1）順流速度=靜水速度+水流速度；（2）逆流速度=靜水速度-水流速度。

④火車過橋問題：火車過橋問題是一種特殊的行程問題，需要注意的是從車頭至橋起，到車

尾離橋止，火車所行距離等于橋長加上車長，列車過橋問題的基本數(shù)量關(guān)系為：車速X過橋

時間二車長+橋長。

例1.（2022?廣東郁南?初一期末）某中學(xué)學(xué)生步行到郊外旅行，七年級（1）班學(xué)生組成前隊，

步行速度為4千米/小時，七（2）班的學(xué)生組成后隊，速度為6千米/小時；前隊出發(fā)1小

時后，后隊才出發(fā)，同時后隊派一名聯(lián)絡(luò)員騎自行車在兩隊之間不間斷地來回聯(lián)絡(luò)，他騎車

的速度為10千米/小時.

（1）后隊追上前隊需要多長時間？（2）后隊追上前隊的時間內(nèi)，聯(lián)絡(luò)員走的路程是多少？

（3）七年級（1）班出發(fā)多少小時后兩隊相距2千米？

【答案】（1）后隊追上.前隊需要2小時；（2）聯(lián)絡(luò)員走的路程是20千米；（3）七年級（1）班

出發(fā)L小時或2小時或4小時后，兩隊相距2千米

2

【分析】（1）設(shè)后隊追上前隊需要X小時，由后隊走的路程=前隊先走的路程+前隊后來走的

路程，列出方程，求解即可：（2）由路程=速度X時間可求聯(lián)絡(luò)員走的路程；⑶分三種情況討

論，列出方程求解即可.

【解析】（1）設(shè)后隊追上前隊需要X小時，根據(jù)題意得：（6-4）x=4χl.?.χ=2,

答：后隊追上前隊需要2小時；

（2）10x2=2（）千米，答：聯(lián)絡(luò)員走的路程是20千米；

（3）設(shè)七年級（1）班出發(fā)t小時后，兩隊相距2千米，

當(dāng)七年級（2）班沒有出發(fā)時，t=a=5，

當(dāng)七年級（2）班出發(fā)，但沒有追上七年級（1）班時，4t=6（t-l）+2,.?,t=2,

當(dāng)七年級（2）班追上七年級（1）班后，6（t-l）=4t+2,.?.t=4,

答：七年級（1）班出發(fā)1?小時或2小時或4小時后，兩隊相距2千米.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，分類討論的思想，找準等量關(guān)系，正確列出一元

一次方程是解題的關(guān)鍵.

變式L（2022?湖北七年級期末）輪船沿江從A港順流行駛到8港，比從B港返回A港少用

2h,船在靜水中的速度為26km∕h,水速為2km∕h.設(shè)A港和8港相距Xkm.根據(jù)題意，列

出的方程是（)

x+2x-2Cx+2x-2C

B-=C.------=---------2D.-------=-------+2

26262626

【答案】B

【分析】設(shè)4港和8港相距X千米，根據(jù)行船問題公式可知，順水速度較快，所用時間較

少，所以利用行程問題公式，列方程為：‘變形為：或=2,據(jù)此

選擇.

Yγ

【詳解】解：設(shè)A港和B港相距X千米，^÷2-

變形對或勺一2二方程為：?=?-2≡θ?

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，抓住關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系是解

決問題的關(guān)鍵.順水速度=水流速度+靜水速度，逆水速度=靜水速度-水流速度.

變式2.（2022?四川廣元?七年級期末）己知某鐵路橋長1600米.現(xiàn)有一列火車從橋上通過，

測得火車從開始上橋到完全過橋共用90秒，整列火車完全在橋上的時間是70秒.則這列火

車長米.

【答案】200

【分析】設(shè)這列火車的長為X米，利用速度=路程÷時間，結(jié)合火車的速度不變，即可得出

關(guān)于X的一元一次方程，此題得解.

【詳解】解：設(shè)這列火車的長為X米，

1600+xl600-x

根據(jù)題意得,

~90—-—70~

解得x=200,

回這列火車的長為200米.

故答案為：200

【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程

是解題的關(guān)鍵.

變式3.（2022?山西渾源?初一期末）綜合與實踐：

甲乙兩地相距900千米，一列快車從甲地出發(fā)勻速開往乙地，速度為120千米/時；快車開

出30分鐘時，一列慢車從乙地出發(fā)勻速開往甲地，速度為90千米/時.設(shè)慢車行駛的時間

為X小時，快車到達乙地后停止行駛，根據(jù)題意解答下列問題：（1）當(dāng)快車與慢車相遇時,

求慢車行駛的時間；

（2）當(dāng)兩車之間的距離為315千米時，求快車所行的路程；

（3）①在慢車從乙地開往甲地的過程中，直接寫出快慢兩車之間的距離；（用含X的代數(shù)式

表示）

②若第二列快車也從甲地出發(fā)勻速駛往乙地，速度與第一列快車相同，在第一列快車與慢車

相遇后30分鐘時，第二列快車與慢車相遇，直接寫出第二列快車比第一列快車晚出發(fā)多少

小時.

【答案】（I）4小時（2）360千米或720千米（3）①0Wx<4時，840-210x；4Wx<

7

7時，210×-840；7WxW10時,90×②一小時

8

【分析】（1）設(shè)慢車行駛的時間為X小時，根據(jù)相遇時，快車行駛的路程+慢車行駛的路程

=900,依此列出方程，求解即可；（2）當(dāng)兩車之間的距離為315千米時，分三種情況：①

兩車相遇前相距315千米，快車行駛的路程+慢車行駛的路程=900-315；②兩車相遇后相距

315千米，快車行駛的路程+慢車行駛的路程=900+315；③當(dāng)快車到達乙地時，快車行駛了

7.5小時,慢車行駛了7小時,7×90=630>315,此種情況不存在；（3）①分三種情況：慢

車與快車相遇前；慢車與快車相遇后；快車到達乙地時；

19

②在第一列快車與慢車相遇后30分鐘時，慢車行駛的時間為4+；=一小時，快車慢車行駛

22

的時間為4+g+g=5小時.設(shè)第二列快車行駛y小時與慢車相遇，根據(jù)相遇時，快車行駛

的路程+慢車行駛的路程=900,求出y的值，進而求解即可.

【解析】解：（1）設(shè)慢車行駛的時間為X小時，由題意得120（x+；）+90x=900,解得

x=4.

答：當(dāng)快車與慢車相遇時，慢車行駛了4小時.

（2）當(dāng)兩車之間的距離為315千米時，有兩種情況：

①兩車相遇前相距315千米，此時120（x+工）+90x=900-315,解得x=2.5.

2

120（x+?）=360（千米）；

2

②兩車相遇后相距315千米，此時120（x+l）+90x=900+315,解得x=5.5.

2

120（x+工）=720（千米）；

2

③當(dāng)快車到達乙地時，快車行駛了7.5小時，慢車行駛了7小時，

7×90=630>315,此種情況不存在.

答：當(dāng)兩車之間的距離為315千米時，快車所行的路程為360千米或720千米；

（3）①當(dāng)慢車與快車相遇前，即0≤x<4時，

兩車的距離為900-120（×+-）-90x=840-210x；

2

當(dāng)慢車與快車相遇后，快車到達乙地前，即4WxV7時，

兩車的距離為120（x+—）+90x-900=2IOx-840；

2

當(dāng)快車到達乙地時，即7WxW10時，兩車的距離為90x；

7

②第二列快車比第一列快車晚出發(fā)《小時.

O

在第一列快車與慢車相遇后30分鐘時，慢車行駛的時間為4+：1=—9小時，

22

快車行駛的時間為4+!+!=5小時.

22

9I

設(shè)第二列快車行駛y小時與慢車相遇，由題意，得120y+-X90=900,解得y=4—.

28

177

5-4-=-（小時）.答:第二列快車比第一列快車晚出發(fā)丁小時.

8OO

【點睛】本題考查了一元?次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的

條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解.

考點3.工程問題

【解題技巧】我們常常把工作總量看做單位“1”，工作效率則用幾分之幾表示。在工程問題

中，常常用“不同的對象所完成的工作量之和等于總工作量”這個關(guān)系來列寫等式方程。

工程問題關(guān)鍵是把“一項工程”看成單位uI",工作效率就可以用工作時間的倒數(shù)來表示。

復(fù)雜的工程問題，往往需要設(shè)多個未知數(shù)，不要擔(dān)心，在求解過程中，有一些未知數(shù)是可以

約掉的。

例L（2022?河南信陽?七年級期末）為推進我國"碳達峰、碳中和"雙碳目標的實現(xiàn)，各地大

力推廣分布式光伏發(fā)電項目.某公司計劃建設(shè)一座光伏發(fā)電站，若由甲工程隊單獨施工需要

3周，每周耗資8萬元，若由乙工程隊單獨施工需要6周，每周耗資3萬元.

⑴若甲、乙兩工程隊合作施工，需要幾周完成?共需耗資多少萬元？

⑵若需要最遲4周完成工程，請你設(shè)計一種方案，既保證按時完成任務(wù)，又最大限度節(jié)省

資金.（時間按整周計算）

【答案】⑴甲、乙兩工程隊合作施工，需要2周完成，共耗資22萬元

（2）選擇先由甲和乙兩工程隊合作施工1周，剩下的由乙單獨施工3周最節(jié)省資金

【分析】（1）設(shè)甲、乙兩工程隊合作施工，需要X周完成，根據(jù)"甲工程隊單獨施工需要3

周"、"由乙工程隊單獨施工需要6周”可列方程求解；

（2）設(shè)先由甲和乙兩工程隊合作施工y周，剩下的由乙單獨完成，根據(jù)“甲的工作量+乙的

工作量=1"列出方程并解答；然后根據(jù)甲、乙兩隊的每周耗資作出方案的選擇.

（1）解：設(shè)甲、乙兩工程隊合作施工，需要X周完成.根據(jù)題意，得（g+，）X=L解得x=2.所

36

以（8+3）×2=22（萬元）.答：甲、乙兩工程隊合作施工，需要2周完成，共耗資22萬元：

（2）解：設(shè)先由甲和乙兩工程隊合作施工），周，剩下的由乙單獨完成.根據(jù)題意，得

（→7∣y+?2=l,解得V=L所以4-1=3,所以（8+3）×l+3×3=20（萬元）.所以選擇先

o√6

由甲和乙兩工程隊合作施工1周，剩下的由乙單獨施工3周最節(jié)省資金.

【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)工作量=工作時間X工作效率列方程求解.

變式L（2022?廣東江門?七年級期末）有一項城市綠化整治任務(wù)交甲、乙兩個工程隊完成,

已知甲單獨做10天完成，乙單獨做8天完成，若甲先做1天，然后甲、乙合作X天后，共

同完成任務(wù)，則可列方程為（）

x+1X.x+1X.x-1X,x-1X,

A.----------=1B.——+-=1C.----------=1D.——+-=1

108108108108

【答案】B

【分析】據(jù)甲完成的工程量+乙完成的工程量=總工程量，即可得出關(guān)于X的一元一次方程,

此題得解.

Y+1X

【詳解】解：依題意得：μi+9=l,故選：B.

【點睛】本題考查由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程

是解題的關(guān)鍵.

變式.（2022?浙江臺州?一模）新農(nóng)村建設(shè)中，某鎮(zhèn)成立了新型農(nóng)業(yè)合作社，擴大了油菜種植

面積，今年2000畝油菜喜獲豐收.該合作社計劃租賃5臺油菜收割機機械化收割，一臺收

割機每天大約能收割40畝油菜.

⑴求該合作社按計劃幾天可收割完這些油菜；

（2）該合作社在完成了一半收割任務(wù)時，從氣象部門得知三天后有降雨，于是該合作社決定

再租賃3臺油菜收割機加入搶收，并把每天的工作時間延長10%,請判斷該合作社能否完成

搶收任務(wù)，并說明理由.

【答案】（1）該合作社按計劃10天可收割完這些油菜

（2）該合作社能完成搶收任務(wù)，理由見解析

【分析】（1）設(shè)該合作社按計劃X天可收割完這些油菜，再根據(jù)“工作效率X工作時間=工作

總量"列一元一次方程并解答即可；（2）先求出增加3臺油菜收割機后一天的收割量，再求

出三天的收割量，然后和IOOo畝進行比較即可.

⑴解：設(shè)該合作社按計劃X天可收割完這些油菜

5×40x=20∞解得：X=Io

答：該合作社按計劃10天可收割完這些油菜；

（2）解:原來一天的收割量:5×40=2∞（畝），

現(xiàn)在?天的收割量：（5+3）χ40χ（l+10%）=352（畝），

現(xiàn)在三天可完成的收割量:352x3=1056（畝）＞1000畝.

答：該合作社能完成搶收任務(wù).

【點睛】本題考查了一元一次方程應(yīng)用中的工程問題，找到等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵.

考點4.方案優(yōu)化問題

解題技巧：此類題型，一般會提供多種方案供選擇，要求我們選出最合算的方案。解此類題

型有2種思路。

思路L分別求解出每種方案的最終費用，在比較優(yōu)劣

思路2：求解出每種方案費用相同時的臨界點，在根據(jù)臨界點進行討論分析。

例L（2022?湖南?永順縣教育科學(xué)研究所七年級期末）葡萄加工廠現(xiàn)收購10噸葡萄，該葡

萄的出原汁率80%（原汁含皮帶籽）.若在市場上直接銷售原汁，每噸可獲利潤500元；制

成葡萄汁（葡萄汁不含皮不帶籽）銷售，每加工1噸原汁可獲利潤1200元；制成葡萄飲料

銷售，每加工1噸原汁可獲利潤2000元.該廠的生產(chǎn)能力是：若制葡萄汁，每天可加工3噸

原汁；若制葡萄飲料，每天可加工1噸原汁；受人員和設(shè)備限制，兩種加工方式不可同時進

行，受氣溫條件限制，這批葡萄必須在4天內(nèi)全部銷售或加工完畢.為此，該廠設(shè)計了兩種

可行方案：（將葡萄榨成原汁時間忽略不計）

方案一：盡可能多的制成葡萄飲料，其余直接銷售原汁；

方案二：將一部分制成葡萄飲料，其余制成葡萄汁銷售，并恰好4天完成.

⑴方案一獲利情況.⑵方案二如何安排原汁的使用.（3）請你幫葡萄加工廠選一種方案，使這

10噸葡萄既能在4天內(nèi)全部銷售或加工完畢，又能獲得你認為最多的利潤.

【答案】⑴100∞（元）；

（2）2噸做制葡萄飲料，6噸做葡萄汁：

⑶選擇第二種方案

【分析】（1）方案一是盡可能多的葡萄飲料，也就是四天都制葡萄飲料，每天加工一噸，可

加工4噸，剩下的4噸原汁直接銷售；

（2）設(shè)X天制葡萄飲料，則（4-x）天制成葡萄汁銷售，由此列出方程解答即司I

（3）比較兩種方案的利潤得出答案即可.

（1）10x80%=8噸，方案一獲利4x2000+（8—4）x500=10000（元）；

（2）設(shè)X天制葡萄飲料，則4-x天制成葡萄汁銷售，

由題意得x+3（4-x）=8,

解得：x=1,

4-x=2,

2×1=2（噸），3χ2=6（∏'li）

答：2噸做制葡萄飲料，6噸做葡萄汁.

（3）方案二獲利2x2000+6x1200=11200元，

10000<11200,

所以選擇第二種方案.

【點睛】此題考查一元一次方程的實際運用，方案的選擇問題，理解方案的含義，找出題目

蘊含的數(shù)量關(guān)系解決問題.

變式1.（2022?山東煙臺?七年級期末）22年冬奧會開幕式上，煙臺萊州武校的健兒們參演

的立春節(jié)目讓全世界人民驚艷和動容，小明想知道這震撼人心的隊伍的總?cè)藬?shù).張老師說你

可以自己算算：若調(diào)配55座大巴若干輛接送他們，則有8人沒有座位；若調(diào)配44座大巴接

送，則用車數(shù)量將增加兩輛，并空出3個座位，你能幫小明算出一共去了名健兒參

演節(jié)目嗎？

【答案】393

【分析】設(shè)有55座大巴X輛，則44座大巴（X+2）,據(jù)人數(shù)相等列出一元一次方程，解方程，

進而即可求解.

【詳解】解：設(shè)有55座大巴X輛，則44座大巴（x+2）,根據(jù)題意得，

55X+8=44（X+2）-3,解得χ=7,

則總?cè)藬?shù)為55x7+8=393（人），故答案為：393.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2022?海南??？谥袑W(xué)七年級期末）某學(xué)校組織七年級同學(xué)參加社會實踐活動，計劃

前往博物館參觀；若博物館的門票只能當(dāng)日有效，且價格規(guī)定如表：

購票張數(shù)1~49張50-99張100張以上

每張門票的價格15元12元9元

現(xiàn)有七年級三個班共129人參觀，其中每個班都不足50人；

⑴若學(xué)校為七年級集體購票，共需購票款多少元？⑵因七年一班需要在校參加另外一項活

動，參觀時間另外安排，這樣學(xué)校兩次購票共花費1674元，求七年一班有多少學(xué)生？

⑶當(dāng)七年一班去博物館參觀時，班長同學(xué)采取了新的購票方案，結(jié)果比（2）中方案省錢，

你知道班長是如何購票的嗎？請計算班長同學(xué)節(jié)約了多少錢.

【答案】⑴1161元（2）42人（3）30元

【分析】（1）根據(jù)題意得出七年級集體購票每張單價為9元，然后用人數(shù)乘以單價即可；

（2）根據(jù)題意得出其余兩班的人數(shù)大于129-50=79（人），兩班的人數(shù)少于100人，設(shè)七一

班有X人，則其余兩班的人數(shù)是（129-x）人，列出方程求解即可：

（3）根據(jù)表格數(shù)據(jù)知購買50張票的總價小于42人的購票總價，然后計算差即為節(jié)約的錢

數(shù).

（1）解：七年級集體購票每張單價為9元，則共需購票款為129x9=1161（元）；

（2）因為每個班不足50人，則其余兩班的人數(shù)大于129-50=79（人），兩班的人數(shù)少于100

人，

設(shè)七一班有X人，則其余兩班的人數(shù)是（129㈤人，

則有15x+12x（129-x）=1674,解得x=42則七一班人數(shù)有42人;

（3）42x15=630（元）,50x12=600（元）,

班長按每人12元的票價購買了50張花了600元，

這樣班長節(jié)約了630-600=30（元）.

【點睛】題目主要考查有理數(shù)的混合運算的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，列出相

應(yīng)式子及方程是解題關(guān)鍵.

考點5.商品銷售問題

【解題技巧】此類題型，需要我們找出利潤和利潤率之間的關(guān)系來列寫等式方程。

實際售價=標價X打折率利潤=售價一成本（或進價）=成本X利潤率

利潤率=粵Xlo0%標價=成本（或進價）x（1+利潤率）

進價

注意："商品利潤=售價一成本”中的右邊為正時，是盈利；當(dāng)右邊為負時，就是虧損.打幾

折就是按標價的十分之幾或百分之幾十銷售.

在解決復(fù)雜商品銷售問題時，通常會多設(shè)原價為α這個未知數(shù)，雖然在解題過程中，這個未

知數(shù)會被消掉。但是，若不設(shè)這個未知數(shù)，許多關(guān)系就不好表達了。

例1.（2022?福建?福州七年級期末）某社區(qū)超市第一次用6000元購進一批甲乙兩種商品，

其中甲商品的件數(shù)比乙商品件數(shù)的2倍少30件，兩件商品的進價和售價如下圖所示：

⑴超市購進的這批貨中甲乙兩種商品各有多少件？

（2）該超市第二次分別以第一次同樣的進價購進第二批甲乙兩種商品，其中乙商品的件數(shù)是

第一批乙商品件數(shù)的3倍，甲商品件數(shù)不變，甲商品按照原售價銷售，乙商品在原價的基礎(chǔ)

上打折銷售，第二批商品全部售出后獲得的總利潤比第一批獲得的總利潤多720元，求第二

批乙商品在原價基礎(chǔ)上打幾折銷售？

1I1乙

進價（元/件）2230

售價（元/件）2940

【答案】⑴甲種商品150件，乙種商品90件；（2）9折.

【分析】（1）設(shè)第一次購進乙種商品，”件，則購進甲種商品（2,"-30）件，根據(jù)總價=單

價X數(shù)量，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解方程后計算2,療30,可得兩種商品第一次購

進數(shù)量；

（2）設(shè)第二次乙種商品是按原價打y折銷售，根據(jù)總利潤=每件的利潤X銷售數(shù)量，即可得

出關(guān)于y的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論.

（1）解：設(shè)第一次購進乙種商品加件，則購進甲種商品（2〃L30）件，

依題意,得:30w+22×（2m-30）=6000,

解得：m=90,02ZM-30=150,

答：超市購進的這批貨中甲種商品150件，乙種商品90件.

（2）設(shè)第二次乙種商品是按原價打），折銷售，

由（1）可知，第一次兩種商品全部賣完可獲得利潤為：

（29-22）×150+（40-30）×90=1950（元）.

依題意得：（29-22）×150+（40×-j^-30）×90×3=1950+720,解得：y=9?

答：第二次乙種商品是按原價打9折銷售.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的

關(guān)鍵.

變式1.（2022?河南鄭州?七年級期末）某種商品每件的進價為80元，標價為120元.為了

拓展銷路，商店準備打折銷售，若使利潤率為20%,設(shè)商店打X折銷售，則依題意得到的方

程是（）

X

A.120×一一80=120×20%B.120x-80=120×20%

10

X

C.120×——80=80×20%D.120Λ-80-80×20%

10

【答案】C

【分析】利用售價減去進價等于利潤即可得到方程.

【詳解】解：根據(jù)題意可列一元一次方程：

Y

I20×-i-80=80×20%.故選：C.

【點睛】本題主要考查列一元一次方程，理解題意是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2022?重慶江津?七年級期末）在六一兒童節(jié)期間，某商家推出零食大禮包，包含薯

片、辣條、果凍三種零食.禮包的成本是三種零食成本之和.每個禮包中薯片、辣條、果凍

成本之比為7：5：3,其中薯片的利潤率為30%,果凍的利潤率為40%,且每個禮包的總

利潤率為34%,則辣條的利潤率為.

【答案】36%

【分析】設(shè)辣條的利潤率為X,每個禮包中薯片成本為7m、辣條成本為5〃八果凍成本為3m,

則每個禮包的成本是15m,根據(jù)每個禮包的總利潤率為34%,列方程即可解得答案.

【詳解】解：設(shè)辣條的利潤率為X,每個禮包中薯片成本為7機、辣條成本為5m、果凍成本

為3%，則每個禮包的成本是7〃2+5〃2+3機=15/??,

根據(jù)題意得：（l+30%）*7m+（l+x）χ5“z+（l+40%）*3m=（l+34%）χl5m,

解得X=O.36=36%,答：辣條的利潤率為36%,故答案為：36%.

【點睛】本題考查一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列方程.

考點6.比賽積分問題

解題技巧：此類問題，主要是通過積分來列寫等式方程。需要注意，有些比賽結(jié)果只有勝負；

有的比賽結(jié)果又勝負和平局。

比賽總場數(shù)=勝場數(shù)+負場數(shù)+平場數(shù)比賽積分=勝場積分+負場積分+平場積分

例1.（2022?山東濱州?七年級期末）某年全國男子籃球聯(lián)賽某賽區(qū)有圣奧（山西）、香港、

悅達（南京軍區(qū)）、濟源（河南）、三溝（遼寧）、廣西、豐紳（黑龍江）等球隊參加，積分

情況如下：

球隊名稱比賽場次勝場負場積分

悅達1211123

21

香港1293

20

濟源1284

圣奧126618

豐紳125717

廣西123915

三溝1201212

⑴觀察上面表格，請直接寫出籃球聯(lián)賽勝一場積多少分，負一場積多少分；

（2）若設(shè)負場數(shù)為m,請用含的式子表示某一個隊的總積分；

⑶某隊的勝場總積分能等于它的負場總積分的4倍嗎？說明理由.

【答案】⑴勝一場2分，負一場1分（2）24—〃?（3）能，理由見解析

【分析】（1）由三勾隊可求得負-場積分為1分，再由悅達隊可求勝?場的積分為2分；

（2）根據(jù)總積分=勝場的積分+負場的積分即可求解：

（3）可設(shè)這個隊勝了X場，根據(jù)題意列出相應(yīng)的方程求解即可.

（1）解：由三勾隊的積分為12分，負了12場，則負一場的積分為：12÷12=1（分），

再由悅達隊積分為23分，負了1場,勝了11場，則其勝場的總積分為：23-1-22（分），

則勝一場的積分為：22÷11=2（分）；答：勝一場積2分，負一場積1分.

（2）解:若設(shè)負場數(shù)為〃?，則勝場數(shù)為（12-m）,負場積分為m,勝場積分為2（12-m）,因

此總積分為：m+2（12-∕n）=24-m.

⑶解：設(shè)這個隊勝了X場，則負了（12-x）場，如果這個隊的勝場總積分等于負場總積分的

4倍，則得方程為：2x=4（12-x）,解得：x=8,12-x=4,

團這個隊的勝場總積分能等于負場總積分的4倍，此時，勝場數(shù)為8,負場數(shù)為4.

【點睛】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，列代數(shù)式，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意找到相

應(yīng)的等量關(guān)系.

變式1.（2022?山西?古縣七年級期末）小明與他的爸爸一起做"投籃球"游戲.兩人商定游戲

規(guī)則為：小明投中1個得2分，小明爸爸投中1個得1分，兩人共投中了25個.經(jīng)計算，

發(fā)現(xiàn)小明比爸爸多得2分，你知道小明投中幾個嗎？設(shè)小明投中X個，根據(jù)題意，列方程正

確的是（）

A.2x—（25—x）=2B.x—2（25—x）=2

C.2x+（2+x）=25D.（25-x）-2x=2

【答案】A

【分析】設(shè)小明投中數(shù)為X個，根據(jù)投中總數(shù)25個，可知小明爸爸投中數(shù)為25-x個，由題

可知小明比爸爸多得2分，根據(jù)得分的數(shù)量關(guān)系列方程求解.

【詳解】解：設(shè)小明投中數(shù)為X個，可知小明爸爸投中數(shù)為25-x個，由題可知小明比爸爸

多得2分，根據(jù)題意列方程：

2x—（25—x）=2；故選：A

【點睛】本題主要考查-元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解實際應(yīng)用中已知條件和未知

數(shù)的數(shù)量關(guān)系.

變式2.（2022?貴州銅仁?中考真題）為了增強學(xué)生的安全防范意識，某校初三（1）班班委

舉行了一次安全知識搶答賽，搶答題一共20個，記分規(guī)則如下：每答對一個得5分，每答

錯或不答一個扣1分.小紅一共得70分，則小紅答對的個數(shù)為（）

A.14B.15C.16D.17

【答案】B

【分析】設(shè)小紅答對的個數(shù)為X個，根據(jù)搶答題?共20個，記分規(guī)則如下：每答對一個得

5分，每答錯或不答一個扣1分，列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)小紅答對的個數(shù)為X個，

由題意得5x-（20τ）=70,解得χ=15,故選B.

【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意是列出方程求解是解題的關(guān)鍵.

考點7.配套問題

【解題技巧】因工藝上的特點，某幾個工序之間存在比例關(guān)系，需這幾道工序的成對應(yīng)比例

才能完全配套完成,這類題型為配套問題。配套問題,主要利用配套的比例來列寫等式方程。

“配套”型應(yīng)用題中有三組數(shù)據(jù)：（1）車間工人的人數(shù)；（2）每人每天平均能生產(chǎn)的不同的

零件數(shù)；（3）不同零件的配套比。利用（3）得到等量關(guān)系，先構(gòu)造分式方程，再利用比例

的性質(zhì)交叉相乘積相等得到一元一次方程。

例1.（2022?四川廣安?七年級期末）某車間有94個工人，生產(chǎn)甲、乙兩種零件，每人每天

平均能生產(chǎn)甲種零件12個或乙種零件23個.已知每1個甲種零件和2個乙種零件配成一套，

問應(yīng)分配多少人生產(chǎn)甲種零件，多少人生產(chǎn)乙種零件，才能使每天生產(chǎn)的這兩種零件剛好配

套？每天能生產(chǎn)成多少套？（列一元一次方程求解）

【答案】46人生產(chǎn)甲種零件，48人生產(chǎn)乙種零件，每天生產(chǎn)552套

【分析】設(shè)應(yīng)分配X人生產(chǎn)甲種零件，（94-X）人生產(chǎn)乙種零件才能使每天生產(chǎn)的甲種零件

和乙種零件剛好配套，根據(jù)每人每天平均能生產(chǎn)甲種零件12個或乙種零件23個，可列方程

求解.

【詳解】解：設(shè)應(yīng)分配X人生產(chǎn)甲種零件，（94-X）人生產(chǎn)乙種零件，

IZrX2=23（94-x）×1,

解得x=46,

94-46=48（A）,

每天生產(chǎn)12x48=552（套）.

故應(yīng)分配46人生產(chǎn)甲種零件，48人生產(chǎn)乙種零件才能使每天生產(chǎn)的甲種零件和乙種零件剛

好配套，每天能生產(chǎn)成552套.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用.關(guān)鍵是設(shè)出生產(chǎn)甲和乙的人數(shù)，以配套的比例列

方程求解.

變式1.（2022?寧夏?七年級期末）新冠狀肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人們生活中

必不可少的物品.某口罩廠有50名工人，每人每天可以生產(chǎn)800個口罩面或IoOo個口罩

耳繩，一個口罩面需要配兩個耳繩，為使每天生產(chǎn)的口罩剛好配套，設(shè)安排X名工人生產(chǎn)口

罩面，則下面所列方程正確的是（）

A.2×1000(50-x)=800xB.IOOo(25-X)=800X

C.IOOO(50-X)=2χ80OXD.1000(50-x)=800x

【答案】C

【分析】題目已經(jīng)設(shè)出安排X名工人生產(chǎn)口罩面，則（50-x）人生產(chǎn)耳繩，由一個口罩面需

要配兩個耳繩可知耳繩的個數(shù)是口罩面?zhèn)€數(shù)的2倍從而得出等量關(guān)系，就可以列出方程.

【詳解】解：設(shè)安排X名工人生產(chǎn)口罩面，則（50-x）人生產(chǎn)耳繩，

由題意得Ie）Oo（50-Λ）=2x800x.故選：C.

【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未

知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程.

變式2.（2022?山東威海?期末）一張方桌由一個桌面、四條桌腿組成，如果lm3木料可以做

方桌的桌面40個或做桌腿240條，現(xiàn)有6m3木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立

方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好配套？設(shè)用X立方米木料做桌面，由題意列方程,

得.

【答案】4×40x=240(6-x)

【分析】設(shè)用X立方米木料做桌面，則用(6T)立方米木料作桌腿，根據(jù)一個桌面配四個桌

腿列出方程即可.

【詳解】解：設(shè)用X立方米木料做桌面，則用(6-勾立方米木料作桌腿，

由題意得：4×Ox=240(6-%),故答案為：4×40x=240(6-x).

【點睛】本題主要考查了從實際問題中抽象出一元一次方程，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

考點8.調(diào)配問題

【解題技巧】調(diào)配問題中，調(diào)配前后總量始終保持不變，可利用這個關(guān)系列寫等式方程，有

時又在調(diào)配前后的變化中找等量關(guān)系。

調(diào)出者的數(shù)量=原有的數(shù)量一調(diào)出的數(shù)量

調(diào)進者的數(shù)量=原有的數(shù)量+調(diào)入的數(shù)量

例1.(2022?杭州市七年級期末)A、B兩地果園分別有蘋果20噸和30噸，C、D兩地分別

需要蘋果15噸和35噸；已知從4、B到C、D的運價如表：

A果園S果園

至UC地每噸15元每噸10元

至IJD地每噸12元每噸9噸

(1)若從A果園運到C地的蘋果為X噸，則從4果園運到。地的蘋果為噸，從B

果園將蘋果運往C地的蘋果為噸，從8果園將蘋果運往D地的蘋果為噸.

(2)若從A果園運到C地的蘋果為X噸，用含X的代數(shù)式表示從A果園到C、。兩地的總

運費是元；用含X的代數(shù)式表示從B果園到C、D兩地的總運費是元.

(3)若從A果園運到C地的蘋果為X噸，從A果園到C、D兩地的總運費和B果園到C、D

兩地的總運費之和是545元，若從A果園運到C地的蘋果為多少噸？

【答案】(I)(20-x),C15-x),(x+15)；(2)(3x+240),(285-x)；(3)Io噸

【分析】(1)由A果園的蘋果噸數(shù)結(jié)合從A果園運到C地的蘋果噸數(shù)即可得出從A果園運

到。地的蘋果重量，再根據(jù)C、D兩地需要的蘋果重量即可得出從B果園運到C、。兩地蘋

果的重量；

(2)根據(jù)運費=重量X每噸運費即可得出從A果園到C、。兩地的總運費，再根據(jù)運費=重量

X單噸運費即可得出從8果園到C、。兩地的總運費；

(3)根據(jù)(2)的結(jié)論結(jié)合總運費即可得出關(guān)于X的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論.

【詳解】解：(1):A果園有蘋果20噸，從A果園運到C地的蘋果為X噸，

，從A果園運到。地的蘋果為(20-x)噸，從8果園將蘋果運往C地的蘋果為(15-x)噸,

二從B果園將蘋果運往。地的蘋果為35-(20-x)=(x+15)噸.

故答案為：(20-x),(15-x),(x+15)；

(2)從A果園到C、D兩地的總運費是15x+12(20-x)=(3x+240)元；

從B果園到C、D兩地的總運費是10(15-x)+9(x+15)=(285-x)元.

故答案為:(3x+240),(285-x)；

(3)根據(jù)題意得：3x+240+285-x=545,解得：X=IO.

答：從A果園運到C地的蘋果為10噸.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及列代數(shù)，解題的關(guān)鍵是：(1)根據(jù)數(shù)量關(guān)系:

A果園蘋果總重量=A果園運往C地蘋果重量+A果園運往D地蘋果重量，B果園蘋果總重量

=B果園運往C地蘋果重