平面解析幾何 真題訓(xùn)練（解析版）-2023年高考數(shù)學(xué)考前提分復(fù)習(xí)（上海地區(qū)）

2023年高考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海地區(qū)專(zhuān)用））

專(zhuān)題1.10平面解析幾何三大考點(diǎn)與真題訓(xùn)練

考點(diǎn)一：直線與方程

一、單選題

1.（2022?上海閔行?上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知直線的參數(shù)方程為

x=3-∕sin20

則該直線的傾斜角為（)

y=2+Zcos70

A.20B.45C.110D.135

【答案】D

【分析】根據(jù)直線參數(shù)方程可確定斜率，由斜率和傾斜角關(guān)系可得結(jié)果.

【詳解】由參數(shù)方程可知：直線斜率4=三=￡嗎=-1,???直線傾斜角為135.

x-3-Sin20

故選：D.

2.（2022?上海虹口?統(tǒng)考一模）已知尸是橢圓C：.+q=l與拋物線C∕y2=2px（p>0）

的一個(gè)共同焦點(diǎn)，&與C2相交于力，6兩點(diǎn)，則線段力徽長(zhǎng)等于（）

A.*B.&巫C.ID?W

3333

【答案】B

【分析】先求得4曬點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得線段4酹3長(zhǎng)

【詳解】橢圓G：<+?=l的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），

43

則拋物線C2：K=2px（p>0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,

則］=1，則P=2,拋物線C2：/=4x

解得；或§2

y=-√6y=—√6

131-3

則=M

故選：B

二、填空題

3.(2023?上海靜安?統(tǒng)考一模)若直線x+2y+3=0與直線2x+%，+IO=O平行，則這兩

條直線間的距離是.

【答案】苧##|6

【分析】運(yùn)用兩直線平行求得R的值，再運(yùn)用兩平行線間的距離公式可求得結(jié)果.

【詳解】由直線x+2y+3=0與直線2x+沖+10=0平行，

可知加一2x2=0,即m=4,

故直線2x+/沙+10=0為2x+4y+10=0,

直線x+2y+3=0變形得2x+4y+6=0,

故這兩條直線間的距離為d=11=2f,

√22+425

故答案為：竽.

4.(2022?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知直線/∕αx+(α-l)y+3=042x+ay-l=0,若/K

則實(shí)數(shù)a的值是.

【答案】q=0或α=T

【分析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡(jiǎn)求得。的值.

【詳解】由題意可知4，*故2α+α(αT)=0,即〃+。=。

解得4=0或a=-l.

故答案為：。=0或”=-1

5.(2022?上海徐匯?統(tǒng)考一模)已知正實(shí)數(shù)滿足3α+2b=6,則％+疝不⑤W的

取最小值___________.

【答案】W29

【分析】利用代數(shù)式和幾何圖形的關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為距離之和的最小值即可求解.

【詳解】設(shè)直線3x+2y=6,點(diǎn)P(α∕)在直線3x+2y=6上，且在第一象限，

設(shè)點(diǎn)4(0,1),M(a,0),

所以/+Jt∕2+b2-2∕7+l=〃+Jq2+(b-])2=PM+PA,

如圖所示,

y∣

3x+2y=6

4O,1)∣P(Q,b)

OΛ∕(α,0/x

點(diǎn)A關(guān)于直線3x+2y=6對(duì)稱的點(diǎn)設(shè)為8(肛〃),

n-?2

---=一24

m3m=一

13

則有網(wǎng)+〃+1=6解得'

29

2n=一

13

所以8w+∕%=nw+尸8,由圖可知，當(dāng)氏P,"在直線X=?β■時(shí)，

29

PM+PB最小,最小值為〃=},

______OQ

即b+y]a2+Ix-2b+?的最小值為—?

2Q

故答案為：—.

6.(2022?上海青浦?統(tǒng)考一模)在平面直角坐標(biāo)系中，40,0),B(l,2)兩點(diǎn)繞定點(diǎn)P按順

時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)。角后，分別到A'(4,4),B'(5,2)兩點(diǎn)位置，則CoSe的值為.

3

【答案】--##-0.6

【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)用)坐標(biāo)，再借助幾何圖形結(jié)合二倍角的余弦計(jì)算作答.

【詳解】依題意，點(diǎn)/在線段A4'的中垂線4上，點(diǎn)他在線段BB'的中垂線4上，

連AB,AB',而A(0,0),3(1,2),A,(4,4),9(5,2),因此IAEI=IABl=百，

而IPΛ,HPA?,?PB'?^PB?,即—=APB,有ZA'PB1=ZAPB,于是得ABPB,=ZAPA'θ,

直線4過(guò)AA中點(diǎn)(2,2),而直線A4,斜率為1,則直線4的斜率為-1,方程為x+y=4,直線

4的方程為x=3,

于是得點(diǎn)P(3,D,令直線4交8B'于點(diǎn)Q(3,2),∣PB∣=7(3-l)2+(l-2)2=√5,PQI=I,

cosZ.BPQ=

忑'

所以COS。=cos2ZBPQ=2cos2ZBPQ-1=2(-^r)2-1=3

5

3

故答案為：?~

7.(2022?上海奉賢?統(tǒng)考二模)若關(guān)于X,N的方程組I；+2}'=：有唯一解，則實(shí)數(shù)a

[3x+ay=6

滿足的條件是.

【答案】a≠6ttftα-6≠0

【分析】由題給方程組有唯一解，可得方程("-6)y+6=0有唯一解，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)a滿足的

條件

【詳解】由]二可得(α-6)y+6=0,

由關(guān)于X,y的方程組2)'=：有唯一解，

[3x+αy=6

可得方程(α-6)y+6=0有唯一解，則α≠6

故答案為：a≠6

x12v

8.(2022?上海奉賢?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))直線/的方程為^1=0,則直線/的一個(gè)法向

量為

【答案】(L-2)

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合行列式的公式，以及法向量的定義，即可求解.

【詳解】解：：Λ12V

^1?=O,

Λ%-l-2y=0,即乂_2)，7=0,則直線的斜率α=；

故直線1的一個(gè)法向量為(1,-2).

故答案為：(L-2).

9.(2022?上海虹口?統(tǒng)考二模)設(shè)“eR,履R,三條直線4：依-y-2α+5=O,

∕2rΛ+<zy-3a-4=0,l3:y=kx,則4與的交點(diǎn)1倒%的距離的最大值為一.

【答案】5+√2tt?√2+5.

【分析】根據(jù)直線4與4的的方程易知4山2,而《過(guò)定點(diǎn)A(2,5),4過(guò)定點(diǎn)3(4,3),得到4

與4的交點(diǎn)，M在以48為直徑的圓上，求出圓心和半徑，結(jié)合％：，=履恒過(guò)原點(diǎn)，

即可利用圓心到原點(diǎn)的距離加半徑解出.

【詳解】因?yàn)椤皒l+(T)xα=0,所以人兒.

而直線43-y-2α+5=O,整理為α(x-2)-y+5=0,

?(X-2=0,fx=2

令<八，解得：<,

[-γ÷5=0[y=5

故《過(guò)定點(diǎn)A(2,5),

l2-.x+ay-3a-4=0,變形為x-4+α(y-3)=0,過(guò)定點(diǎn)8(4,3),

所以4與4的交點(diǎn),祉以48為直徑的圓上，圓心為(等,早｝即N(3,4),

直徑為J(4-2j+(3-5y=2√Σ,故半徑為

所以圓的方程為(x-3)2+(y-4)2=2,

因?yàn)樾⊙?依恒過(guò)原點(diǎn)。(0,0),

所以J倒h的距離的最大值為ON的長(zhǎng)加上半徑，即√(3-O)2+(4-O)2+√2=5+√2.

故答案為：5+?∣2-

三、解答題

10.(2022?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖，OM,QN是某景區(qū)的兩條道路(寬度忽略不計(jì)，

QN為東西方向)，。為景區(qū)內(nèi)一景點(diǎn)，4為道路QN上一游客休息區(qū)，已知tanNMON=-3,

OA=6(百米)，值IJ直線O",QN的距離分別為3(百米)，迎(百米)，現(xiàn)新修一條

5

自力經(jīng)過(guò)幫I有軌觀光直路并延伸至道路QN于點(diǎn)6,并在8處修建一游客休息區(qū).

(1)求有軌觀光直路A8的長(zhǎng)；

(2)已知在景點(diǎn)亦正北方6百米的P處有一大型組合音樂(lè)噴泉，噴泉表演一次的時(shí)長(zhǎng)為9分

鐘，表演時(shí)，噴泉噴灑區(qū)域以7%圓心，r為半徑變化，且力分鐘時(shí)，r=2JZ(百米)(O≤f≤9,

O<α<l).當(dāng)噴泉表演開(kāi)始時(shí)，一觀光車(chē)S(大小忽略不計(jì))正從休息區(qū)相(1)中的軌道S4

以正(百米/分鐘)的速度開(kāi)往休息區(qū)4問(wèn)：觀光車(chē)在行駛途中是否會(huì)被噴泉噴灑到，并

說(shuō)明理由.

【答案】(1)9√2;(2)噴泉的水流不會(huì)灑到觀光車(chē)上，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)建立如圖平面直角坐標(biāo)系，易得A(6,0),直線QN的方程為y=-3x,Q(x0,3)

(?>0),由點(diǎn)到直線距離，求出。(3,3),從而直線AQ的方程為y=-(x-6),聯(lián)產(chǎn)方程組

求出8的坐標(biāo)，由此能求出軌道的長(zhǎng)；

(2)將噴泉記為圓P,由題意得P(3,9),生成f分鐘時(shí)，觀光車(chē)在線段48上的點(diǎn)逸，則

BC="，O≤f≤9,從而C(-3+f,9τ),若噴泉不會(huì)灑到觀光車(chē)上，則∕V>/對(duì)fe[0,9]恒

成立，由此能求出噴泉的水流不會(huì)灑到觀光車(chē)上.

【詳解】(1)以點(diǎn)媯坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(W為謝，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則由題設(shè)得：A(6,0),直線QV的方程為y=-3x,β(?,3)(xo>O).

∣3?+3∣6√iθ

解得X=3,所以Q(3,3).

√10-5(I

故直線AQ的方程為y=-(x-6),

fy=fx=-3,

由［x+y-3-Λ6=0得|y=9,

即8(-3,9),?AB=7(-3-6)2+92=9√2,

答：水上旅游線A8的長(zhǎng)為9√5km.

(2)將噴泉記為圓R由題意可得P(3,9),

生成/分鐘時(shí)，觀光車(chē)在線段A8上的點(diǎn)。處，

則BC=石，0≤r≤9,所以C(-3+f,9-r).

若噴泉不會(huì)灑到觀光車(chē)上，則PC?>產(chǎn)對(duì)桂［0⑼恒成立，

BPPC2=(6-/)2+r2=2r2-12/+36>Aat,

當(dāng)f=0時(shí)，上式成立，

當(dāng)r∈(0,9］時(shí)，2a<t+--β,f^+γ-6λ∣=6上-6,當(dāng)且僅當(dāng)/=3夜時(shí)取等號(hào)，

tV*Zmin

因?yàn)椤癳(0,l),所以r<PC恒成立，即噴泉的水流不會(huì)灑到觀光車(chē)上.

答：噴泉的水流不會(huì)灑到觀光車(chē)上.

【點(diǎn)睛】本題考查軌道長(zhǎng)的求法，考查噴泉的水流能否灑到觀光車(chē)上的判斷，考查函數(shù)性

質(zhì)有生產(chǎn)生活中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)，屬于中檔題.

考點(diǎn)二：圓與方程

一、單選題

1.(2022?上海徐匯?統(tǒng)考一模)已知圓G的半徑為3,圓C2的半徑為7,若兩圓相交，

則兩圓的圓心距可能是()

Λ.0B.4C.8D.12

【答案】C

【分析】根據(jù)兩圓相交圓心距R-r<d<R+r驗(yàn)證各選項(xiàng)即可.

【詳解】因?yàn)閮蓤A相交，所以兩圓的圓心距R-r<d<R+/■即4<d<10,僅有C滿足，

故選：C

2.(2022?上海黃浦?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知圓U一……為參數(shù))，與圓淺

［y=3+5sιn9

于直線x+y=0對(duì)稱的圓的普通方程是()

A.(x+3)2+(y-2)2=25B.(x-2)2+(γ+3)2=25

C.(x+3)2+(γ-2)2=5D.(x-2)2+(γ+3)2=5

【答案】A

【分析】根據(jù)題意得圓C的普通方程為（x+2）2+（y-3）2=25,根據(jù)兩圓的圓心關(guān)于直線產(chǎn)y

=O對(duì)稱，半徑相同，即可解出.

【詳解】圓Cf=;??Co："（，為參數(shù)）轉(zhuǎn)化為普通方程為（χ+2）2+（—）2=25,

圓心為（-2,3）,半徑為5,所以對(duì)稱的圓的圓心為（-3,2）,半徑為5,

故對(duì)稱的圓的普通方程是（x+3）2+（y-2>=25.

故選：A.

3.（2021?上海閔行?上海市七寶中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：V=16x的焦點(diǎn)尺材

是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，媯坐標(biāo)原點(diǎn)，若△。根的外接圓〃與拋物線C的準(zhǔn)

線相切，則圓〃與直線χ-√5y-2=O相交得到的弦長(zhǎng)為（）

A.2√3B.4C.2√6D.46

【答案】D

【分析】先求出圓。的圓心和半徑，再求出圓心到直線的距離，即可求出圓。與直線相交

得到的弦長(zhǎng)，得到答案.

【詳解】因?yàn)椤鳌８耐饨訄A與拋物線C：V=16x的準(zhǔn)線X=Y相切，

所以aOQW的外接圓的圓心到準(zhǔn)線/的距離等于圓的半徑，

又因?yàn)閳A心在OF的垂直平分線上，∣0F∣=^=4,

所以圓的半徑為6,圓心的橫坐標(biāo)為2,所以圓心的縱坐標(biāo)為士歷7=±4夜,

所以圓心到直線的距離d=I'/=2瓜,

2

所以圓。與直線X-6y-2=0相交得至U的弦長(zhǎng)為2√^^=4√^

故選：D.

二、填空題

4.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線J-y2=ι（α>o）的漸近線與圓

/+/_4>+3=0相切，則。=.

【答案】爭(zhēng)#口

【分析】求出雙曲線的漸近線方程，利用圓心到漸近線的距離等于圓的半徑可求得。的值.

【詳解】由f+y2-4y+3=0得f+（y-2）2=l,所以圓心為（0,2）,半徑為1,

雙曲線提-丁=1（"0）的漸近線方程為y=±?,即χ±αy=o,

2

因?yàn)殡p曲線*?-y2=］（">o）的漸近線與圓χ2+y2-4y+3=0相切，

所以/^7=1,化簡(jiǎn)得3/=1,解得α=且或…喙（舍去）.

√l+α233

故答案為：—.

3

5.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓面一般方程為χ2+2x+V=o,則圓面半徑為

【答案】1

【分析】先求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而求得圓的半徑.

【詳解】圓Y+2x+y2=0即（x+l）-+y2=1,

所以圓的半徑為1?

故答案為：1

6.(2022?上海普陀?統(tǒng)考一模)設(shè)〃zeR.若直線Lx=-I與曲線C“：［X-WL)+(y-機(jī)『=1

僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則機(jī)=

【答案】0

【分析】利用圓心到直線/的距離等于圓C”的半徑可得出關(guān)于實(shí)數(shù)，"的等式，即可解得實(shí)

數(shù)機(jī)的值.

【詳解】圓C,,的圓心坐標(biāo)為1?,〃？，半徑為1,由題意可得勺+1=1,解得〃i=O.

44

故答案為：0.

7.(2022?上海奉賢?統(tǒng)考二模)構(gòu)造一個(gè)二元二次方程組使得它的解恰好

為,I,要求"X,y)=0與g(X,y)=0的每個(gè)方程均要出現(xiàn)X,y兩個(gè)未知數(shù).答:

3x+y-5=0

【答案】2Z1\2

(x-2)λ+(y+l)-10=0

【分析】不妨令F(XM=O為過(guò)(1,2)、(3,T)兩點(diǎn)的直線，g(x,y)=0為以(1,2)、(3,Y)兩

點(diǎn)為直徑的圓，即可滿足題意.

【詳解】過(guò)(1,2)、(3T)兩點(diǎn)的直線為三二2=手；整理得3x+y-5=0

0,2)、(3,-4)兩點(diǎn)間距離為J(3-I)2+(-4-2)2=2√10

(1,2)、(3,T)兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)

則以(1,2)、(3,T)兩點(diǎn)為直徑的圓為(χ-2)2+(y+l>=10

則可令/(x,y)=0為3x+y-5=0,g(x,y)=0為(X-2)2+(y+l)2=10

3x+y-5=0

故答案為：2(2

(X-2)λ+(y+l)λ-10n=0λ

8.(2022?上海黃浦?上海市光明中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))設(shè)有直線/：辰+y-3=0,/的傾斜

角為α.若在直線/上存在點(diǎn)A滿足IoAI=2,且tana<0,則上的取值范圍是.

【答案】y)+∞

.7

【分析】設(shè)4(x,y),易得f+V=4,再根據(jù)在直線/上存在點(diǎn)A滿足∣Q4∣=2,圓心到直線

的距離不大于半徑求解.

【詳解】解：設(shè)A(χ,y),因?yàn)榫W(wǎng)=2,

所以一+丁=4,

因?yàn)樵谥本€/上存在點(diǎn)A滿足|。4卜2,

所以圓心到直線的距離不大于半徑，

3C

即dj=≤2,

√1+k2

解得k≥且或￡4-正，

22

又因?yàn)椋?-tana>O,

所以人的取值范圍是~,+∞.

,>

-故答案為：Γ一√15，+001

9.(2022?上海靜安?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知雙曲線J-g?=l(α>O,b>O)的兩條漸近線均

與圓C:(x-3『+y2=4相切，右焦點(diǎn)和圓心重合，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為一.

【答案】y-?=1

【分析】根據(jù)已知條件得出雙曲線的漸近線方程及圓的圓心和半徑，進(jìn)而得出雙曲線的焦

點(diǎn)坐標(biāo)，利用雙曲線的漸近線與圓相切，得出圓心到漸近線的距離等于半徑，結(jié)合雙曲線

中”,仇C三者之間的關(guān)系即可求解.

【詳解】由題意可知，雙曲線U=I(">0,b>0)的漸近線方程為y=±"即bχ±ay=0.

由圓C的方程為(x-3f+y2=4,得圓心為C(3,0),半徑為r=2.

因?yàn)橛医裹c(diǎn)和圓心重合，所以雙曲線右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0).c=3

又因?yàn)殡p曲線「?多=1（“>°力>°）的兩條漸近線均與圓。：（1）2+丁=4相切,

?3×b±0×a?即關(guān)解得力=.所以。?—

所以=2,1=2,2a?=6=9_4=5,

?∣a2+b2

所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

故答案為：?-?=ι?

10.（2022?上海閔行?上海市七寶中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）若圓。：爐+/=/上有且只有兩

點(diǎn)到直線/：3x+4），-15=0的距離為2,則圓的半徑，的取值范圍是

【答案】l<r<5

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出簡(jiǎn)圖，根據(jù)圖像即可分析出半徑，?的取值范圍.

卜15|

【詳解】圓心0到直線/的距離為=3,

√3M7

如圖：與直線/距離為2的點(diǎn)的軌跡是與/平行且與/距離為2的兩平行直線（圖中虛線44）.

由題意知直線4與圓0有兩不同交點(diǎn)，而〃與圓0沒(méi)有公共點(diǎn).因此圓0半徑，?的取值范圍是

l<r<5.

故答案為：1<"5.

11.（2022?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)直線系W:（X-I）Cos0+（y-2）sin0=l（O≤g≤2%）,

對(duì)于下列四個(gè)命題：

①J件所有直線均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；

②存在定點(diǎn)P不在，腫的任一條直線上；

③對(duì)于任意整數(shù)〃（，*3）,存在正A邊形，使其所有邊均在,沖的直線上；

④,師的直線所能?chē)傻恼切蚊娣e都相等.

其中真命題的序號(hào)是（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

【答案】②③

【分析】令H一消去凡即可得到直線系M表示圓(X-I)2+(y-2)2=l的切線的

集合，即可判斷①②③，再利用特殊值判斷④；

【詳解】解：由直線系M:(X-I)CoSe+(y-2)sine=l(0≤e≤2τr),

可令［-2=sin∕消去°可得(Al)-+(>-2)-=L

故直線系M表示圓(x-l)2+(y-2)2=l的切線的集合，故①不正確；

因?yàn)閷?duì)任意。，存在定點(diǎn)(1,2)不在直線系〃中的任意一條上，故②正確；

由于圓(X-I)2+(y-2)2=l的外切正"邊形，所有的邊都在直線系M中，故③正確；

M中的直線所能?chē)傻恼切蔚倪呴L(zhǎng)不一定相等，故它們的面積不一定相等，如圖中等

邊三角形ABC和AAE面積不相等，故④不正確.

綜上，正確的命題是②③.

故答案為：②③.

三、解答題

12.(2022?上海嘉定?統(tǒng)考一模)如圖所示，由半橢圓64+媼=1(”0)和兩個(gè)半圓

c√(x+ι)2+/=ι(γ>o),C3：(XT)2+y2=ι(y2o)組成曲線c：Fay)=0，其中點(diǎn)A、4依

次為G的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)5為G的下頂點(diǎn)，點(diǎn)耳、鳥(niǎo)依次為G的左、右焦點(diǎn).若點(diǎn)耳FJ分

別為曲線C2、G的圓心.

(1)求Cl的方程;

(2)若點(diǎn)P、Q分別在G、C?上運(yùn)動(dòng)，求|/川+忸QI的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo);

⑶若點(diǎn)M在曲線c：F(x,y)=o上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N(O,T),求INM的取值范圍.

【答案】⑴[+f=l(y≤0)

(2)最大值為6,P

(3)[G-1,夜+1]

【分析】(1)由圓心的橫坐標(biāo)確定C的值，再用C?可得方程；

(2)將忸H,∣8Q∣運(yùn)用幾何法放縮到過(guò)兩個(gè)半圓的圓心時(shí)最大，再根據(jù)特殊三角形的角度計(jì)

算出點(diǎn)尸、。的坐標(biāo)；

(3)需要分情況討論，在圓上和在橢圓上分開(kāi)計(jì)算，計(jì)算圓錐曲線上一點(diǎn)到某定點(diǎn)的最值

問(wèn)題可以用參數(shù)方程計(jì)算.

【詳解】⑴依題意，耳(To)、瑪(1,0),所以從=4-1=3,

(2)由對(duì)稱性，不妨設(shè)PeC?,QeC3,

網(wǎng)+∣Bβ∣≤(跖∣+∣耳H)+(∣B閭+∣取2∣)=(2+l)+(2+l)=6,

當(dāng)B、耳、P三點(diǎn)共線，同時(shí)B、F2、。三點(diǎn)共線，(怛P∣+忸QlL=6,

此時(shí)qP=/OF2Q=煞{|,抖β[∣4}

(3)曲線UF(x,y)=0關(guān)于y軸對(duì)稱，不妨設(shè)點(diǎn)〃在曲線C?:(X-I)2+y2=l(y≥0)

或曲線Cl的右半部分9+1=l(xzθ,yVO)上運(yùn)動(dòng).

①當(dāng)點(diǎn)M在曲線(X-I)2+V=I(y≥0)上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)M(COS6+1，Sine),O<θ<π,

|NM「=(CoSe+I)?+(sinJ+。？=3+2√Σsin,+(),Q<θ≤π

=≠>∣∕VM∣2∈[l,3+2√2]=≠>∣∕VM∣∈[1,√2+∣];

②當(dāng)點(diǎn)M在曲線[+[=1(；^0,^^0)上運(yùn)動(dòng)，

設(shè)M(2cosO,Ksin。)，-^≤Θ≤0.

∣NΛ∕∣2=(2cos(9)2+(bSine+I)。=-sin20+2√3sin(9+5,-^≤θ≤0

=>∣ΛΓM∣2∈[4-2√3,5]=>∣7vM∣∈[√3-1,√5],

綜合①②，WMe[6τ,3+l].

【點(diǎn)睛】圓錐曲線的組合曲線的問(wèn)題，一般都需要采用分類(lèi)討論的方法，與圓有關(guān)系的問(wèn)

題一般都考慮幾何法優(yōu)先.

22

13.(2022?上海徐匯?上海中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))橢圓C：*■+方=l(α>8>0)的離心率為

乎，以橢圓冰上頂點(diǎn)7為圓心作圓Ax2+(?-l)2=r2(r>0),圓7與橢圓疏第一象限交于

點(diǎn)/,在第二象限交于點(diǎn)8.

(1)求橢圓C的方程；

⑵求7??T8的最小值，并求出此時(shí)圓的方程；

⑶設(shè)點(diǎn)尸是橢圓注異于4砒一點(diǎn)，且直線為，外分別與諭交于點(diǎn)肌N,媯坐標(biāo)原點(diǎn),

求證：QMHoM為定值.

【答案】(D^+y2=l

4

∕c?162(1?2112

⑵一W，X+(y-l)=—

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)求出力的值，根據(jù)e=￡,從而求出橢圓的方程即可；

a

(2)A(χ,χ),8(f,y),求出TA?TB的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最小值，從

而求出A點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)設(shè)P(X。,%),則用的方程為y-%=止&?(χ-%),分別求出W,%的值，從而證

xo~x?

明IOM?∣oM為定值.

【詳解】⑴解：由題意知，b=i,e=3=B,所o2-c2=ι,￡=3,

a2a-4

得/=4,￠2=3,?2=1,故橢圓曲方程為￡+丁=1.

4

(2)點(diǎn)/與點(diǎn)狹于斕3對(duì)稱，設(shè)A(Aχ),B(-xl,y,),由點(diǎn)/在圓6±,則#=4-4犬，因?yàn)?/p>

T(O,1),得7?=(x∣,y-l),ra=(-Λ1,y,-l)

所以7)Vr6=-x；+(X-I)2=5,4)-￡，由題意得°<X<∣

當(dāng))i=(時(shí)，7??TB取最小值此時(shí)入：=4-合，XI=怨'

，又點(diǎn)力在圓7±,代入圓的方程，得尸=也

?1IO

故圓質(zhì)方程是Y+(y-l)'=罷.

(3)證明：設(shè)P(χ°,%),則為的方程為y-χ>=&z21?(χ-%)

r~—1.

令χ=0,得加=%-S壓=遼生，同理W=XOY+M)'o

?+?^ι

故%，①因?yàn)镽/都在橢圓。上

所以"4,"4，代入①可得:

U即得IOMHOM=M?%∣=ι.

IyM/1=

考點(diǎn)三：圓錐曲線

一、單選題

22

1.(2023?上海閔行?上海市七寶中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))已知橢圓與+與=1(°>6>0)的左

右焦點(diǎn)分別為6,后，橢圓存在一點(diǎn)P,若NKPB=I20,則橢圓的離心率取值范圍為

/"

C?亭）D?［界］

【答案】C

【分析】設(shè)IPKl=4,IPF21=4,根據(jù)橢圓的定義和余弦定理得4Y-4c2=化，再根據(jù)基本

不等式和離心率公式可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)∣P-l=q,?PF2?=r2,則〃+與=24,

r2+r2-4f?2

在△耳PB中，COS120

2在

所以42+∕f-4c'2=F4,

22

所以（4+r2）-2rlr1-4c=-rlr2,

所以荷-松=穆,

因?yàn)?4=q+4≥2/1,當(dāng)且僅當(dāng)4=4=。時(shí)?，取等號(hào)，

所以.，

所以4/-4M≤/,所以3∕≤4∕,

所以??≥2,所以e=f≥蟲(chóng)，又0<e<l,

a24a2

所以且≤e<l.

2

故選：C

2.（2022?上海浦東新?統(tǒng)考一模）已知平面直角坐標(biāo)系中的直線4：y=3x、3y=-3χ.

設(shè)到4、4距離之和為2p，的點(diǎn)的軌跡是曲線G,八4距離平方和為2P2的點(diǎn)的軌跡是曲線

C2,其中Pi、。2>。.則G、g公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不可能為（）

Λ.0個(gè)B.4個(gè)C.8個(gè)D.12個(gè)

【答案】D

【分析】由題意結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，整理等式，可判斷曲線G為矩形，曲線G為橢圓，

通過(guò)聯(lián)立方程組求曲線C∣、g公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【詳解】由題意，直線《與直線4相互垂直，設(shè)曲線G上的點(diǎn)為（x,y）,滿足

-+

I+∣7Γδ"=2P∣，BPl???l+l???l=2>∕i0pl,

則當(dāng)3x-y>O,3x+y>0時(shí)，X=巫網(wǎng);

當(dāng)3x-y>O,3x+yv0時(shí)，y=-^∕↑Opι；

當(dāng)3x-y<O,3x+y>O時(shí)，?=7∣(jpl；

當(dāng)3x-"0,3x+y<0時(shí)，X=-巫P

31

所以曲線G是以半R、-半R，J記R］、-MpJ為頂點(diǎn)

的矩形,

22

設(shè)曲線G上的點(diǎn)為(Ey),滿足=2p2,BPy'+9x<=↑0p2,所以C?的

22

軌跡為橢圓y+9x=IOp2,

'=叵r-

當(dāng)P；>P?時(shí).，聯(lián)立“一亍Pl可得y2=l0%-10rt=<0,方程組無(wú)解，即直線犬=亞月與

223

y+9x=?0p2

2

橢圓/+9/=10八沒(méi)有交點(diǎn)，同理可得X=-半pl與橢圓y+9/=10%沒(méi)有交點(diǎn)，

聯(lián)立卜2=可"，八可得9/=102-IO4<0,方程組無(wú)解，即直線y=J16p∣與橢圓

y+9x=IOp2

『2+9/=K)也沒(méi)有交點(diǎn)，同理直線y=-√i5p∣與橢圓步+9/=10生沒(méi)有交點(diǎn)，所以曲線G、C2

公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)0,

√io_√io

當(dāng)P；=P,時(shí)，聯(lián)立X=亍"可得y?=10%τo∕=o，所以「=亍"，即直線

22

y+9X=IOp2y=0

X=萼Pl與橢圓>2+9/=10八有一個(gè)交點(diǎn)，同理可得X=-半Pl與橢圓/+9√=102有一個(gè)

交點(diǎn)，

聯(lián)立卜：可"，八可得9/=100-104=0,解得［=°,即直線y=Ji6p∣與橢圓

y+9x=IOp2［y=√10p1

丁+9-=10也有一個(gè)交點(diǎn)，同理直線產(chǎn)一版用與橢圓/+9/=10八有一個(gè)交點(diǎn)，所以曲線G、

α公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)4,

CY=-√-w-Γ)LX-ViθJJ?i

當(dāng)P；<P2時(shí).，聯(lián)立3p'可得y2=ιθ0-∣θ/>o,所以3JJ________,即直線

22

r+9x=IOp2[y=±λ∕10p2-IOpl

X=乎Pl與橢圓丁+9d=100有兩個(gè)交點(diǎn)，同理可得X=_半P1與橢圓/+9√=102有兩個(gè)

交點(diǎn)，

聯(lián)立上2=嚴(yán)Ws可得9χ2=ιo?-Io4>0,解得，即直線「IN"1。"與橢圓

U+9x=1°%[y=^Pl

/+9χ2=10%有兩個(gè)交點(diǎn)，同理直線y=-Mp∣與橢圓V+9-=10八有兩個(gè)交點(diǎn)，所以曲線C1、

G公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)8,

故選：D

二、填空題

3.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）雙曲線V-1=1的焦點(diǎn)為.

[答案】（土括,（））

【分析】根據(jù)雙曲線的方程求“，Ac,進(jìn)而可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，注意焦點(diǎn)所在的位置.

【詳解】由題意可得：α=l∕=2,c=√TT*^=石，且雙曲線的焦點(diǎn)在對(duì)?上，

故雙曲線χj:=l的焦點(diǎn)為卜石,0）.

故答案為：（±√5,θ）.

4.（2022?上海?上海中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系χ6>y中，動(dòng)點(diǎn)尸在橢圓

三+匕=1上，點(diǎn)M是OP的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線/（和直線OP不重合）與橢圓相交于Q,

43

R兩點(diǎn)，若直線OP,。。的斜率分別為占、J且MR=IQM,則匕心的值是.

3

【答案】一##-0.75

4

【分析】分別設(shè)。（占,χ）,R（X2，必），M（x0,y0）,則P（2x°,2%）.將P,Q,R點(diǎn)的坐標(biāo)分別代

入橢圓方程，結(jié)合已知MR=gQM,即可推得64（3x：+4y；）+9（3x：+4y：）-48（3x/+4yM=300,

4

整理可得不用=-§%%,即可求出答案.

【詳解】設(shè)點(diǎn)Q（X，%）,R（X2,%），M的坐標(biāo)為（xo,%）,則點(diǎn)P（2??,2%）.

則:%?=^'?

因?yàn)辄c(diǎn)尸在橢圓上,所以管+母=1,即α+*3.

33

所以％一%=二6-占），%-%=］（%-%），

serl8383

所以Z=WXo-Wx,,y2=-y0--y].

又Q，R在橢圓上，

所以有3x：+4y；=12,34+4y；=12,

代人有38TJ+z?L∣yJ=12,

22

展開(kāi)得64(3X：+4yθ)÷9(3x1+4γl)-48(3"+4y0yl)=3∞,

即64x3+9x12-48(3AOX+4%y∣)=300,所以3x0x∣+4為χ=。,

4

所以玉Λ=-1%X?

所以也=及住=g=廿=￡.

?%%玉-??o?i

故答案為：1

222

5.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知橢圓?+表?=l(8>0)與雙曲線3?-y2=ι(α>o)有公

共的焦點(diǎn)，尸為右焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線交橢圓于P點(diǎn)，且點(diǎn)P在第一

象限，若OPLFP,則橢圓的離心率等于.

【答案】B

2

【分析】(1)聯(lián)立直線方程O(píng)P和O,求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)P代入橢圓方程

—+?=l(?>0),化簡(jiǎn)整理，即可求得本題答案.

4b/

【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為尸(G0),依題意可得C?=”從=/+],

雙曲線，?-V=l(α>O)的一條漸近線為y吟

因?yàn)椤"L∕rP,所以"?y=-4(∕-c),

YCl2C

,_XX-?Z2、

由)'=￡,解得“一+1,即PW7，$,又點(diǎn)尸在橢圓上,

/?ac(α"+l礦+1J

[y=-α(x-c)?=—-1J

≡<÷?=1'即條+金”即WL竿=43

即加一涉4_]]從+12=0,ap?6-?4-(?4+ll?2-12)=0,

即bi(?2-l)-(?2-l)(?2+12)=0,BP(?2-l)(?4-?2-12)=0,

BP(?2-1)(?2+3)(?2-4)=O,解得〃=]或加=4(舍去)，

所以橢圓方程為E→y2=l,則c=G,所以橢圓的離心率e=電.

42

故答案為：2

2

6.(2022?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知》為雙曲線CJ-B=I3>0")的右焦點(diǎn)，A為雙

曲線Ut一點(diǎn)，直線AFLX軸，與雙曲線煙一條漸近線交于8,若IABI=IAFI,則。的離心率

【答案】—tttt∣√3

33

【分析】將X=C分別代入雙曲線方程和漸近線方程求得IA尸|，忸打，由題意∣8F∣=2∣AF∣,

由此求得c=2"α=√3?,從而得離心率.

【詳解】由題意得尸(c,0),雙曲線的漸近線方程為y=±2χ,

a

由雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)小加勻?yàn)榈谝幌笙撄c(diǎn)，

將X=C?代入雙曲線方程L=1,得5爺=1,得y=±q,所以M=

將X=C代入漸近線方程y=gx,得>=個(gè)，所以∣/∣=q,

因?yàn)镮ABI=IA尸所以IBFl=2∣AF∣,

所以得c=2b,所以α=√?萬(wàn)=回，

aa

所以雙曲線的離心率為e=￡=半=攣.

a6b3

故答案為：—.

3

7.(2023?上海閔行?上海市七寶中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))2022年卡塔爾世界杯會(huì)徽(如圖)

正視圖近似伯努利雙紐線.定義在平面直角坐標(biāo)系χC>y中，把到定點(diǎn)耳(-〃,0),6(a,0)距離之

積等于/(α>0)的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線C.已知點(diǎn)尸(/,八)是雙紐線一點(diǎn).下列說(shuō)法中

正確的有________.①雙紐線C關(guān)于原點(diǎn)。中心對(duì)稱；(2)-^≤y0≤p③雙紐線C上滿足

IP國(guó)=IPKl的點(diǎn)P有兩個(gè)；④?IPOI的最大值為缶.

【答案】①②④

【分析】對(duì)于①，根據(jù)雙紐線的定義求出曲線方程，然后將(-蒼-丫)替換方程中的(χ,y)進(jìn)行

判斷，對(duì)于②，根據(jù)三角形的等面積法分析判斷，對(duì)于③，由題意得IP耳I=IpEI,從而可得

點(diǎn)尸在y軸上，進(jìn)行可判斷，對(duì)于④，由向量的性質(zhì)結(jié)合余弦定理分析判斷.

【詳解】對(duì)于①，因?yàn)槎x在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，把到定點(diǎn)耳(-a,O),尸式〃,0)距離之積

等于"2(α>0)的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線C,

22222

所以y∣(x+a)+yy∣(x-a)+y=a,

用(-x,-y)替換方程中的(x,y),原方程不變，所以雙紐線C關(guān)于原點(diǎn)。中心對(duì)稱，所以①正

確，

對(duì)于②，根據(jù)三角形的等面積法可知JP用IP用SinNKP^=gx2ɑx∣%∣,

即1%I=ISinN耳桃W,所以q≤%≤?^,所以②正確，

對(duì)于③，若雙紐線C上的點(diǎn)P滿足I=IP用，則點(diǎn)尸在y軸上，即X=0,

所以產(chǎn)"曲號(hào)=后,得尸。，所以這樣的點(diǎn)P只有一個(gè)，所以③錯(cuò)誤，

對(duì)于④，因?yàn)镻O=；(P"+P6)，

所以IPor=：(PZ+2PK?P巴+卜司)=；(IPE(+2卜H?IP勾CoSNEP鳥(niǎo)+卜W2),

由余弦定理得4/=忖6『-2|PKHPHCOSN-/^+卜尼『，

所以Poj=a2+1PKHPqCOSNGPK=“2+/cosNGPg≤2/,

所以IPol的最大值為億，所以④正確，

故答案為：①②④

8.(2022?上海金山?統(tǒng)考一模)已知拋物線yJ2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),則P的

值為.

【答案】4

【分析】利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得P值.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€∕=2px(p>0),

所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(5，o),

又因?yàn)閽佄锞€√=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),

所以勺2,則p=4.

故答案為：4.

9.（2022?上海浦東新?統(tǒng)考一模）已知拋物線C：V=16x的焦點(diǎn)為尸，在C上有一點(diǎn)尸滿

足IP尸∣=∣3,則點(diǎn)尸到X軸的距離為一

【答案】12

【分析】由條件結(jié)合拋物線的定義求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)，再由拋物線方程求其縱坐標(biāo)，由此可

求點(diǎn)尸到刷的距離.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€C的方程為>?2=16Λ-,所以其焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（4,0）,其準(zhǔn)線方程為X=Y,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（為,%）,因?yàn)镮PFl=I3,所以點(diǎn)P到準(zhǔn)線X=Y的距離為12,即玉,+4=13,

所以%=9,因?yàn)辄c(diǎn)P（七,幾）在拋物線J2=16X上，

所以yj=16χ9=144,所以%=±12,

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（9,12）或（9,T2）,故點(diǎn)P到X軸的距離為12.

故答案為：12.

10.（2022?上海奉賢?統(tǒng)考一模）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上，它的漸近

線方程為y=±2χ,則它的離心率等于.

【答案】√5

【分析】利用雙曲線的性質(zhì)和。，Ac之間的關(guān)系即可求得離心率.

【詳解】由已知雙曲線的漸近線方程為y=±^x=±2x

a

所以b=24,故6=4CJ=c2-a2

所以￠2=5/,故e2=<=5

a

所以離心率e=√5

故答案為：√5

三、解答題

11.（2022?上海閔行?上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）有一正方形景區(qū)EFG”,EH所

在直線是一條公路，該景區(qū)的垃圾可送到位于F點(diǎn)的垃圾回收站或公路EH上的流動(dòng)垃圾

回收車(chē)，于是，景區(qū)分為兩個(gè)區(qū)域Sl和邑，其中Sl中的垃圾送到流動(dòng)垃圾回收車(chē)較近，邑中

的垃圾送到垃圾回收站較近，景區(qū)內(nèi)》和邑的分界線為曲線C,現(xiàn)如圖所示建立平面直角

坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)。為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為