2023屆上海市寶山區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷及答案

寶山區(qū)2022學(xué)年第二學(xué)期期中混合式教學(xué)適應(yīng)性練習(xí)

高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科練習(xí)卷

考生注意:

1.本試卷共21題，滿分150分，考試時間120分鐘；

2.本試卷包括試題卷和答題紙兩部分，答題紙另頁，正反面；

3.在本試題卷上答題無效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題；

4.可使用符合規(guī)定的計算器答題.

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分），

要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得分，否則一律得零分.

1.已知集合A13,B2，則AB

2.不等式后。的解集為一

3.若塞函數(shù)yxa的圖像經(jīng)過點V3.3,則此哥函數(shù)的表達式為

m3nlim25m（其中i為虛數(shù)單位），則實數(shù)m

4.已知復(fù)數(shù)a

n2.1,1r?2,則以姒處刖您狽公口a

5.已知數(shù)列an的遞推公式為

al2

26

6.在x3的展開式中，常數(shù)項為（結(jié)果用數(shù)字作答）

X

7.從裝有3個紅球和4個藍球的袋中，每次不放回地隨機摸出一球.記“第一次摸球時摸到

紅球”為A,“第二次摸球時摸到藍球”為B,則PPA

8.若數(shù)列a0為等差數(shù)列，且a205則該數(shù)列的前n項和為S

Ac

9.△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若asirip—bsinA,則B

10.如圖是某班一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖（圖中僅列出50,60,9Q100的數(shù)據(jù)）和頻

率分布直方圖,則xy

545689

6

7

8

924

11

11.已知函數(shù)fX

12

若關(guān)于的不等式f3X2b

(a0且a1),XbxC0的解集為12,其中

a________61

則實數(shù)的取值范圍是二__

-2-3-1-—>

12.已知非零平面向量a,b不平行，且滿足aba4.記c—abc

44b’則當(dāng)與的

夾角最大時，ab的值為

二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13~14題每題4分，第15~16題每題5分），

每題都給出四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，必須把答題紙上相應(yīng)題序內(nèi)的正確結(jié)

論代號涂黑，選對得相應(yīng)滿分，否則一律得零分

第1頁共4頁

13.若：X24）條件

A?充分非必要，：x2,則R最要韻克分

C.充要（D.既非充分又平必孽

已知定義在上的偶函數(shù)TXIxmITz…將

14.R,右正實數(shù)aaf2Dm

、滿足

12b

則一1的最小值為()

ab

9o

A-B.9C.-D.8

55

15.將正整數(shù)n分解為兩個正整數(shù)k、，的積，即nkl配當(dāng)k、2兩數(shù)差的絕對值最

小時，我們稱其為最優(yōu)分解.如20?12021045,其中15即為20的最優(yōu)分解,

當(dāng)％、kz是n的最優(yōu)分解時，定義fn|kly,則數(shù)列r。利?！?。項的和為

前（）

2023

A51012R510121C.52023D.51

16.在空間直角坐標系uxy龜已知定點A2L0、BQ20徊點;皿1」13U

若AOAC的面積為S,以）、A、B、C為頂點的錐體的體積為V,則丫_的最大值為（?

S

21A

A—75B.-V5C.—非D，耨

15515

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分），解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對

應(yīng)的題號）內(nèi)寫出必要的步驟.

17.（本題滿分14分，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分）

已知函數(shù)f（x）sinxcosxT^cos2x----

2

（i）求函數(shù)yfx的勤、正周期和單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于x的方程fxm0在x0,—上有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的

2

取值范圍.

18.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）

四棱錐PABCD的底面是邊長為2的菱形，DAB60,對用線AC與BD相交

于點0,P0底面ABCD,PB與底面ABCD所成的角為”走「口的中風(fēng)

（1）求異面直線DE與PA所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；

（2）證明：0E〃平面PAD,并求點E到平面PAD的距離

第2頁共4頁

19.（本題滿分16分，第1小題滿分6分，第2小題滿分10分）

下表是某工廠每月生產(chǎn)的一種核心產(chǎn)品的產(chǎn)量x4x20,xZ（件）與相應(yīng)的生

產(chǎn)成本y（萬元）的四組對照數(shù)據(jù).

X16810

y12202884

⑴試建立x與y的線性回歸方程；

⑵研究人員進一步統(tǒng)計歷年的銷售數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，在供銷平衡的條件下，市場銷售價格會

波動變化經(jīng)分析，每件產(chǎn)品的銷售價格q（萬元）是一個與產(chǎn)量x相關(guān)的隨機變量，分布為

q100X90x80x

111

P

I24

假設(shè)產(chǎn)品月利潤=月銷售量X銷售價格-成本（其中月銷售量=生產(chǎn)量）

根據(jù)（1）進行計算，當(dāng)產(chǎn)量x為何值時，月利潤的期望值最大？最大值為多少？

20.（本題滿分16分，第1小題滿分3分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分）

已知拋物線：y24x

（1）求拋物線的焦點F的坐標和準線1的方程；

（2）過焦點F且斜率為;的直線與拋物線交于兩個不同的點A、B,求線段AB的長；

（3）已知點P1,2,有詢點Q,使得過點Q的直線與拋物線交于兩個不同的點M、

N（均不與點P重合），且以線段MN為直徑的圓恒過點P?若存在，求出點Q的坐標；若

不存在，請說明理由.

21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）

直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體.如：方程ykx1中，當(dāng)k取給定的實

數(shù)時，表示一條直線；當(dāng)k在實數(shù)范圍內(nèi)變化時，表示過點Q1的直線族（不含y軸）.

第3頁共4頁

記直線族2(a2)x4y4aa20(其中aR)為,直線族y3tx22t3(其

中t0)為.

⑴分別判斷點A(Q1),B(I2)是否在的某條直線上,并說明理由；

(2)對于給定的正實數(shù)%,點P(%,y0)不在的任意一條直線上’求y的取倬范圍

(用xo表示);

(3)直線族的包絡(luò)被定義為這樣一條曲線：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處

的切線，且該曲線上每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.求的包絡(luò)和的包絡(luò).

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寶山區(qū)2022學(xué)年第二學(xué)期期中混合式教學(xué)適應(yīng)性練習(xí)

高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科練習(xí)卷

參考答案

±w

1.232.Q13.yx34.15.32nl1ba

2

7.8.nn19.—10.0.004n.L212.4

33

13.B14.A15.B16.C

-x/31.歷1cos2x73

17.解：f(x)sinxcosxV3cosx—sinozxyJ6--------

22~T

1.9小

—sinzx---cos2xsin2x……2分

223

最小正周期T...4分

",kZ時

當(dāng)2x—2k/2k即xk運k

32

函數(shù)為增函數(shù)....6分

311,r

當(dāng)2x—2k—,2k即xk—,k---,kZ時

3221212

函數(shù)為減函數(shù)8分

⑵方程fxm0有兩個不同的實數(shù)解

等價于ysin2x—和直線ym的圖像在x0,-上有兩個不同的交點.……。分

3

2

x0,—,貝iJ2x——,——,sin2x一...12分

23333

由圖知niT'1

18.解⑴：取AB的中點F,連接EF,DF.

由E是PB的中點得EF〃PA,所以FED是異面直線DE

與PA所成角（或其補角），

在RtA0B中AOABcos30邪0P,

B

于是在等腰RtPOA中，PA76,貝IJEF叵

在正ABD和正△PBD中，DEDF小、

所以異面直線DE與PA所成角的大小是arccos竽.

4

(2)證明：易知0為BD的中點，又E是PB的中點.從而OE〃PD

又0E面PAD,PD面PAD

所以0E〃平面PAD

從而點E到平面PAD的距離等于點0到平面PAD的距離

因為OAJ3,0D1SAOD立,0P會從而VPAOD1^3-

2322

又AP的DP2AD2Sp,\D^―,

2設(shè)點0到平面PAD的距離為d,

得！變d計算得d皿EPAD山

由V0PAD

所以點到平面的距離為

VPAOD32255

另解2:以0為坐標原點，射線OB,OC,OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角

坐標系.在RtAOB中0A煦，于是A，BLQO,D1,Q0,PQyO,

30，，-rr——

亍’?APby3設(shè)DE與AP的夾角為，

3

有cos2

所以異面直線DE與PA所成角的大小是arccos

4

⑵設(shè)八xy,z辟面PAD一個法向量AP?DP加3

由nAP邪z0,nPDx小z0

令y1則zlxB得R

3J

館因為陌nVI<10,則6Fn

2222

所以0E〃平面PAD

設(shè)點0到平面PAD的距離為d,定14-

2,o,三

即點E到平面PAD的距離為生.

5

19.解：（1）設(shè)線性方程為yaxb…“2分

代入公式或應(yīng)用計算器求得回歸系數(shù)五H.^b424.…4分

所以x與y的線性回歸方程為ylL2x424,……6分

（2）設(shè)月利潤為Y,則Yqxy,貝卜

的分布列為

Y100xx2(lL2x424)90xx2(lL2x424)80xx2(lL2x424)

P1_

424

從而,

lOOxX2(11.2x424)190xx2(11.2x424)-

42

2(lL2x42.4)1x278.8x424

80xx4

fxx27&8x42.4,4x20,......12分

易知函數(shù)fx在420上1增函數(shù).

故f(x)maxf(20)1218.4….14

分

即產(chǎn)量為20件時，月利潤期望最大，最大值為12184萬元.......16分

20.解：（1）焦點F1,0準線1：X1.…3分

⑵FL0，則直線的方程為yxll.......4分

代入拋物線方程并化簡得x218x10

設(shè)A牛x,B5y2,則由韋達定理得x%里......6分

由拋物線定義可知，|AB||AF||BF|dA?dB11x1公1卞務(wù)220

所以線段AB的長為20.……8分

另解：用弦長公式求解，相應(yīng)給分.

(3)假設(shè)存在定點Qmn，使得過點Q的直線與拋物線交于兩個不同的點M,N(均不與點

P重合)，以線段MN為直徑的圓恒過點P,則kpMkpN1

代入拋物線方程.蜜:

設(shè)直線MN的方程為xtynm,y24M

y24ty4tnm0

設(shè)M小丫3,N0y4,由韋達定理得y3y44t,y3y44tnm......11分

..v..2v.2343

鼻11J_y32ily42iy2%2

44

4tnm24t4

整理得tn2m50對任意的tR恒成立，……15分

只需n2m5

此時A16b2tt2

所以存在定點時5,%泉得過/Q的置線號與物物線C交于兩個不同的點M,N(均不與

點P重合)，以線段MN為直徑的圓恒過點P……16分

另解：借助PMPN0計算,則相應(yīng)給分。

21.解：⑴將A(QD代入得關(guān)于a的方程44aa」'°,解為a2,

故點A在的直線y1±....2分

將B(12)代入得關(guān)于a284aa2o

化簡得2的方程2aB

a2a40無實數(shù)解，故不在的任意一條直線上......4分

⑵若點P(%,%)不在的任意-直線上，則關(guān)于t的方程y3t2Ao乙"無解……6分

令f(t)3t2x02t3,則f't6tx06t26txOt.

°f'x.當(dāng)t(xO,