2022-2023學年甘肅省慶陽六中八年級（下）期中數學試卷（含解析）

2022-2023學年甘肅省慶陽六中八年級（下）期中數學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.在二次根式QX-2中,X的取值范圍是（）

A.X≥2B.X≥—2C.X>2D.X<2

2.下列各組數中不能作為直角三角形的三邊長的是（）

A.6,8,10B.7,24,25C.1.5,2,3D.9,12,15

3.下列運算正確的是（）

A.√^^6—√-3=V^3B.√-9α+√25a=8?Γ~a

C.3+√^^5=3√^5D.√（3.14-7r）2=π-3.14

4.順次連接矩形四邊中點所得的四邊形一定是（）

A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形

5.大家知道烏鴉喝水的故事，如圖，它看到一個水位較低的瓶子，喝不著水，沉思一會后

聰明的烏鴉銜來一個個小石子放入瓶中，水位上升后，烏鴉喝到了水.從烏鴉看到瓶子的那

刻起開始計時，設時間變量為工,水位高度變量為y,下列圖象中最符合故事情景的大致圖象

是（）

6.下列命題中正確的是（）

A.對角線相等的四邊形是矩形

B.對角線互相垂直的四邊形是菱形

C.對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形

D.一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形

7.如圖，將一個邊長分別為4、8的矩形紙片4BC0折疊，使點C與點4重合(AB=4,BC=8),

則折痕EF的長度為()

A.

B.2<3

C.

D.2√^5

8.如圖，菱形ZBCD,4。AB=70°,點E是對角線AC上一點，點尸是邊BC上一點，且DE=FE,

則NDEF的度數為()

A.IOO0B.IlOoC.120°D.140°

9.我國宋代數學家秦九韶和古希臘幾何學家海倫都曾提出利用

三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫-秦九韶公式：如果一個

三角形的三邊長分別是α,b,c,記p=g±Ξ,那么三角形的面

積為S=y/p(p—a)(p—e)(p—c).?IH,在AABC中，乙4,乙B,

Z?C所對的邊分別記為α,b,c,若α=7,b=8,c=9,則AABC的面積為()

A.12√^^5B.12√^6C.24D.y

10.如圖，點E為正方形ABCD內一點，NaEB=90。，將Rt△

ABE繞點B按順時針方向旋轉90。，得到△CBG.^AE^CG^

點F,連接DE.下列結論：（T）AF1CG,②四邊形BEFG是正方形，③若DZ=DE,則CF=FG-,

其中正確的結論是（）

A.①②③B.①②C.②③D.①③

二、填空題（本大題共9小題，共20.0分）

11.在實數范圍內因式分解：X2-2=.

12.當久=，9-1時，代數式/+2x+2的值是.

13.某市居民用電價格是0?58元/（千瓦?時），居民應付電費為y元，用電量為X千瓦?時，其中

常量是，變量是.

14.在RtΔ4BC中，NC=90o,AC=6,BC=8,則連結兩條直角邊中點的線段長為.

15.若y=√3x—2+√2—3x+1>求3x+y的值是.

16.已知α,b,C是AABC的三邊長，且滿足關系式√α—1+∣b-1∣+（C-√^2）2=0,則

△4BC的形狀為.

17.如果最簡二次根式√3α-8與√17-2α是同類二次根式,則α=

18.如圖，有一圓柱體，它的高為8cm,底面周長為12cτn.在圓柱的下底面4

點處有一個蜘蛛，它想吃到上底面上與4點相對的B點處的蒼蠅，需要爬行的

最短路徑是cm.

19.如圖，在菱形ABCD中，AB=√7.BD=6,M、N分別是

BC,Cz）的中點，P是對角線BD上的一個動點，則APMN周長的

最小值為.

三、計算題（本大題共1小題，共8.0分）

20.先化簡，再求值：?;-χ2^cy+y2÷^--其中X=/虧一2,y=<^5+2.

四、解答題（本大題共8小題，共62.（）分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

21.（本小題8.0分）

（1）計算：

（Γ）4√-3X√^3÷√^^;

(2)y∏A-2√^^6+√^18;

(2)在Rt△力BC中，NC=90°.

①已知C=25,b=15,求a；

②已知b=√^^6,乙4=60°,求a,c.

22.(本小題6.0分)

下列是三種化合物的結構式及分子式:

；HHHHH

結構式H-q-HH-i-A-HH-M—C—H

HHHAb:

分子式CHCH

426JHR

(1)請按其規(guī)律，寫出后一種化合物的分子式______；

(2)每一種化合物的分子式中H的個數n?是不是C的個數Zl的函數？如果是，寫出函數關系式.

23.(本小題8.0分)

如圖，平行四邊形ABCD的對角線4C、BD相交于點O,E、F分別是。4、OC的中點，求證:

BE=DF.

24.(本小題8.0分)

如圖正方形ABC。的邊長為4,AF=CE.

(1)求證：XCBE王AABF.

(2)若AF=1,求四邊形BEDF的面積.

A

25.（本小題8.0分）

如圖，四邊形SBCC是菱形,對角線ZC與BD相交于O,AB=5,AC=8,求BC的長和菱形ABCD

的面積.

26.（本小題8.0分）

城市綠化是城市重要的基礎設施，是改善生態(tài)環(huán)境和提高廣大人民群眾生活質量的公益事業(yè).

某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街清理出了一塊可以綠化的空地.如

圖，已知4C=4,BC=3,BD=12,AD=13,?ACB=90°,試求陰影部分的面積.

27.（本小題8.0分）

我國古代數學著作仇章算術J）中有“折竹抵地”問題：今有竹高9尺，末折抵地，去根三尺

.問折者高幾何？意思是：如圖，有一根竹子，原高9尺，一陣風將竹子折斷，折斷后竹子頂

端落在離竹子底部3尺遠的位置，求折斷處離地面的高度.

A

28.(本小題8.0分)

如圖，在四邊形力BCD中，AB//CD,乙4=90。，DC=24cm,AB=26cm,動點P從D開始

沿OC邊向C點以ICnl/s的速度運動，動點Q從點B開始沿84向A點以3cm∕s的速度運動，P、Q

分別從點。、B同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，運動的時間為t秒.

(l)t為何值時，四邊形DPQa為矩形？

(2)t為何值時，四邊形PQBC為平行四邊形？

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：由題意得：x-2≥0,

解得：x≥2,

故選:A.

根據被開方數為非負數可得2≥0,再解即可.

此題主要考查了二次根式有意義的條件，關鍵是掌握二次根式中的被開方數是非負數.

2.【答案】C

【解析】解：462+82=102,故是直角三角形，故此選項不合題意；

B、242+72=252,故是直角三角形，故此選項不合題意；

C、22+1.52≠32,故不是直角三角形，故此選項符合題意；

D、92+12z=152,故是直角三角形，故此選項不合題意.

故選C

由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可.

本題考查勾股定理的逆定理的應用.判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要

利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.

3.【答案】D

【解析】解：4、/%不能合并，故錯誤，不合題意；

B、√-9α+√25α=3α+5α=8α>故錯誤，不合題意；

C、3+C不能合并，故錯誤，不合題意；

。、√(3.14-7Γ)2=∣3.14-π?=π-3.14,故正確，符合題意；

故選：D.

根據二次根式的性質和加減法則分別判斷即可.

本題考查了二次根式的性質和加減運算，解題的關鍵是掌握相應的運算法則.

4.【答案】C

H

【解析】解:連接AC、BD,D

在AABD中，

VAH=HD,AE=EB

.?.EH=^BD,B------^C

，π

同理尸G=^BD,HG=^AC,EF=^AC,

又??,在矩形ABCD中，AC=BD,

?EH=HG=GF=FE,

??.四邊形EFGH為菱形.

故選：C.

因為題中給出的條件是中點，所以可利用三角形中位線性質，以及矩形對角線相等去證明四條邊

都相等，從而說明是一個菱形.

本題考查了菱形的判定，菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：①

定義，②四邊相等，③對角線互相垂直平分.

5.【答案】D

【解析】解：???烏鴉在沉思的這段時間內水位沒有變化，

???排除C,

???烏鴉銜來一個個小石子放入瓶中，水位將會上升，

二排除4，

???烏鴉喝水后的水位應不低于一開始的水位，

???排除B,

?,.￡＞正確.

故選：D.

由于原來水位較低，烏鴉沉思一會后才想出辦法，說明將在沉思的這段時間內水位沒有變化，烏

鴉銜來一個個小石子放入瓶中，水位將會上升，烏鴉喝水后的水位應不低于一開始的水位，由此

即可作出判斷.

本題注意分析y隨X的變化而變化的趨勢.

6.【答案】C

【解析】解：人對角線相等的平行四邊形是矩形，所以A選項錯誤；

反對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以B選項錯誤；

C、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，所以C選項正確；

。、一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，所以。選項錯誤.

故選：C.

根據根據矩形、菱形、正方形和平行四邊形的判定方法對各選項進行判斷.

本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命

題；經過推理論證的真命題稱為定理.

7.【答案】D

【解析】解：過點F作FMIBC于GM,

EF是矩形4BC。的折痕

.?.AE=CE,?AEF=乙CEF.

XvAD//BC,

■■Z-AFE=Z.FEM,

根據反折不變性，/-AEF=?FEM,

■■Z.AFE=Z.AEF,

：.AE=AF.

在Rt△4BE中，設BE=X,AB=4,AE=CE=8—+42=(8—x＞解得χ=3.

在RtΔFEM中，EM=BM-BE=AF-BE=AE-BE=5-3=2,FM=4,

.?.EF=√22+42=2√^5?

故選：D.

先過點尸作FMJLBC于M.利用勾股定理可求出力E,再利用翻折變換的知識，可得到AE=CE,

?AEF=/.CEF,再利用平行線可得乙4EF=NAFE,故有AE=力凡求出EM,再次使用勾股定理可

求出EF的長.

本題考查了折疊的知識，矩形的性質，勾股定理等知識點的理解和運用，關鍵是根據題意得出方

程/+42=(8—x)2.

8.【答案】B

【解析】解:連接BD交AC于G,連接BE,

???四邊形ABCD是菱形，

???BG=DG,AC±BD,

???AC垂直平分BD,

又點E在AC上，

：?ED=BE=EF,

???Z-DAB=70°,

Z-AGD=90o,Z.DCE=乙BCE=35o,Z-GBC=55°,

???乙EDB=乙EBD,乙DEG=90°—乙EDB,

(EBD+乙DBC=Z-CEF+(ECF,^?EBD+55o=Z-CEF+35°,

???乙CEF=20。+NEBD,

????DEF=乙DEG+乙CEF=90°-Z-EDB+20°+乙EBD=110°,

故選：B.

連接BD交AC于G,連接BE,根據菱形的性質得出ED=EB=EF,進而解答即可.

此題考查菱形的性質，關鍵是根據菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角

解答.

9.【答案】A

【解析】解：???a=7,6=8,c=9,

α+b+c7+8+9

???P=---=---=λ1n2,

???S.=√p(,p-a^p-b^p-c)=√12×(12-7)×(12-8)×(12-9)=/720=

12√^5,

故選：A.

根據題意套入公式即可求解.

本題考查了二次根式的應用，解題時理解題意是關鍵.

10.【答案】A

【解析】

【分析】

本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質等知

識，靈活運用這些性質進行推理是本題的關鍵.

設4尸交BC于K,由/4BK=90。及將Rt△4BE繞點B按順時針方向旋轉90。，得至必CBG,可得

乙KAB=乙BCG,即可得ZKFC=90。，從而判斷①正確;由旋轉的性質可得乙IEB=/.CGB=90。，

BE=BG,NEBG=90。，由正方形的判定可證四邊形BEFG是正方形，可判斷②正確;過點D作

DHIAE于H,由等腰三角形的性質可得AH=；4E,DH1.AE,由“44S可得△ADH三△B4E,

可得4H=BE=^AE,由旋轉的性質可得4E=CG,從而可得CF=FG,判斷③正確.

【解答】

解：設4F交BC于K,如圖：

???四邊形ABCD是正方形，

乙ABK=90°,

乙KAB+&AKB=90°,

???將RtΔABE繞點B按順時針方向旋轉90。，得到△CBG,

??KAB=Z.BCG,

?.??AKB=乙CKF,

乙BCG+乙CKF=90°,

.?.?KFC=90°,

：.AFLCG,故①正確；

將RtΔABE繞點B按順時針方向旋轉90。，

.?.ΛAEB=乙CGB=90o,BE=BG,4EBG=90o,

又?.?Z.BEF=90°,

四邊形BEFG是矩形，

XvBE=BG,

四邊形BEFG是正方形，故②正確；

如圖，過點。作。HLAE于H,

???DA=DE,DH1AE,

.?.AH=^AE,

???乙ADH+?DAH=90°,

???四邊形ABCD是正方形，

.?.AD=AB,4DAB=90°,

4DAH+?EAB=90°,

???乙ADH=?EAB,

又???AD=AB,?AHD=Z.AEB=90°,

.?.^ADH^^BAE(AAS),

.?.AH=BE=?AE,

???將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉90。,

AE=CG，

???四邊形BEFG是正方形，

.?.BE—GF,

.?.GF=^CG,

.?.CF=FGj故③正確;

.?.正確的有：①②③，

故選：A.

11.【答案】(x—√~Σ)Q+√~Σ)

【解析】

【試題解析】

【分析】

本題考查實數范圍內的因式分解，因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式.在實數范圍內進

行因式分解的式子的結果一般要分到出現無理數為止.利用平方差公式即可分解.

【解答】

解：X2—2=(x—?Γ~2){x+y∕~^2').

故答案是(X—√^^2)(x+√^^2).

12.【答案】24

【解析】解：TX=√23—1>

■-X+1=√23,

?(x+1)2=23,即/+2x=22,

?1.X2+2x+2=22+2=24.

故答案為24.

先把已知條件變形得到x+1=口，再兩邊平方整理得到/+2x=22,然后利用整體代入的

方法計算.

本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化箍再代入求值.二次根式運

算的最后，注意結果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區(qū)分，避免互相干

擾.

13.【答案】0.58x、y

【解析】解：由題意，可知：常量是0.58,變量是X,y.

故答案為：0.58；X,y.

根據變量是變化的量，常量是固定不變的量，即可得出結論.

本題考查變量和常量，熟練掌握變量是變化的量，常量是固定不變的量，是解題的關鍵.

14.【答案】5

【解析】解：???NC=90。，AC=6,BC=8,

.?.AB=√AC2+BC2=10.

???連接兩條直角邊中點的線段是RtΔABC的中位線，

二連結兩條直角邊中點的線段長=?AB=5,

故答案為：5.

首先利用勾股定理求出斜邊AB的長，再根據三角形中位線定理即可求出連接兩條直角邊中點的線

段長.

此題考查的是勾股定理的運用以及三角形中位線的性質，即三角形的中位線平行于第三邊且等于

第三邊的一半.

15.【答案】3

【解析】

【分析】

根據被開方數大于等于0列式求出％、y的值，然后代入代數式進行計算即可得解.

本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式中的被開方數必須是非負數，否則二次根式無意義.

【解答】

解:由題意得3x-2≥0且2-3x≥0,

解得X≥I且X≤I，

所以X-|,y=1,

7

所以3x+y=3x§+l=2+l=3.

故答案為：3.

16.【答案】等腰直角三角形

【解析】

【分析】

本題考查了非負數的性質，勾股定理的逆定理的應用，關鍵是求出+b2=c2.根據算術平方根、

絕對值和偶次方的非負性求出a、b、C的值，再根據勾股定理的逆定理判斷即可.

【解答】

解：,.?√ɑ—1+∣h—1∣+(c—√-2)2=0,

而√α-1≥0,?b-l?≥0,(c-√1)2≥0,

ɑ-1=0,6—1=0,c—√-2=O，

解得：α=l,6=1,c-√-2>

.?.a2+b2=c2,a=b,

.?.ZC=90°,

即44BC的形狀為等腰直角三角形.

故答案為：等腰直角三角形.

17.【答案】5

【解析】解：???最簡二次根式√3a—8與√17-2α是同類二次根式,

.?.3α-8=17-2α,解得：a=5.

根據最簡二次根式和同類二次根式的定義，列方程求解.

此題主要考查最簡二次根式和同類二次根式的定義.

18.【答案】10

【解析】解：如圖，把圓柱的側面展開，得到如圖所示的圖形,

其中AC=6cm,BC—8cm,

在Rt△力BC中，AB=762+82=10cm.

故答案為：10.

要求需要爬行的最短路徑首先要把圓柱的側面積展開，得到一個矩形，然后利用勾股定理求兩點

間的線段即可.

本題考查了平面展開-最短路徑問題，解題的關鍵是理解要求需要爬行的最短路徑首先要把圓柱

的側面積展開，底面周長和高以及所走的路線構成一個直角三角形，然后再求線段的長.

19.【答案】<7+3

【解析】解：如圖，作ME_LBD交4B于E,連接EN,與BD交于點P',

當P與P'重合時，則EN就是PM+PW的最小值，

A

E

?；M、N分別是BC、CD的中點，

：.CN=BM=CM,

?.?ME1BD交AB于E,

.?.BE=BM,

：.BE=CN,BE∕∕CN,

??.四邊形BCNE是平行四邊形，

.?.EN=BC=AB=√^7,

.?.DN=NC,CM=BM,

.?.MN=^BD=3,

????PMN的周長的最小值為，萬+3.

故答案為；yj~7+3-

作M關于BD的對稱點E,連接NE,交BD于P,連接MP,此時MP+NP的值最小.此時△PMN的

周長最小.

此題考查菱形的性質和軸對稱及平行四邊形的判定等知識的綜合應用.綜合運用這些知識是解決

本題的關鍵.

20.【答案】解：原式=后-,苗

=--2--------1-

x-yx—y

1

一，

×-y

當％=2,y=√~^+2時，

庫式=_____?_______=_?

房八J(廠5-2)-(r5+2)4,

【解析】先將除法轉化為乘法，再約分，然后利用同分母分式的減法法則計算得到最簡結果，最

后把X與y的值代入計算即可求出值.

此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

21.【答案】解：(1)①4√^3X√Γ3+√~Σ

=12÷y∕~2

=6√^;

②√^Σ5-2√^6+√^18

=2√^6-2<6+3√1

-3y∕^~2↑

(2)①根據勾股定理可得：

a—√C2—b2—√252—152—20：

②4BC為直角三角形，Z-A=60°,

???4B=30°,

：.c=2b—2√^^6>

根據勾股定理可得：α=√C2—b2=3√^^2?

【解析】(1)①先算乘法，再算除法：②先化簡二次根式，再合并；

(2)①根據勾股定理即可直接求出ɑ的值；②根據含30度的直角三角形的性質得到c,再利用勾股

定理求出ɑ.

本題考查了二次根式的混合運算、含30度的直角三角形性質，勾股定理，解題的關鍵是掌握二次

根式的運算法則，勾股定理的運用.

22.【答案】C4H10

【解析】解：(1)?.?每增加一個C原子，必然增加2個H原子，

???下一種化合物分子式為C4/0;

(2)???第一種有化合物的分子式C“4，即一個C,3個H；

每一種化合物的分子式中”的個數Tn與C的個數n的函數之間的關系式m=2n+2.

(1)由圖可知：每增加一個C原子，必然增加2個H原子，故下一種化合物分子式為C4Hio；

(2)第一種有化合物的分子式CH*即一個C，3個H；故即可求得每一種化合物的分子式中H的個

數m與C的個數n的函數之間的關系式.

此題考查了圖形的變化規(guī)律，函數的解析式的求法，首先審清題意，發(fā)現變量間的關系；再列出

關系式或通過計算得到關系式.

23.【答案】證明：連接8尸、DE,如圖所示:

???四邊形ABCD是平行四邊形，

，OA=OC,OB=OD,

?：E、F分別是OA、。。的中點，

.?.OE=^0A,OF=?θC,

：?OE=OF,

???四邊形8/DE是平行四邊形，

?BE=DF.

【解析】本題考查了平行四邊形的基本性質和判定定理的運用.根據平行四邊形的性質：對角線

互相平分得出04=0C,OB=OD,利用中點的意義得出OE=OF,從而利用平行四邊形的判定

定理“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”判定四邊形BrDE是平行四邊形，從而得出BE=

DF.

24.【答案】(1)證明：???四邊形ABCD是正方形，

：?AB=BC,?A=?C=90°,

-AF=CE,

SCBE三AABF(SAS)；

(2)解：???正方形4BCD的邊長為4,AF=1,

AB=BC=4,CE=AF=1,

?S四邊形BEDF=S正方形ABCD-SMBF-SbBCE

=42--×4×l--×4×l

=16-2-2

=12.

【解析】(1)由正方形的性質可得4B=BC,?A=?C=90。，結合4F=CE,即可得證;

3粒據S四邊形BEDF=S正方加4BC