廣東省湛江市第十五職業(yè)高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

廣東省湛江市第十五職業(yè)高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，則“”是“””的

（）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：A2.=7×8×n，則n=（）A．7 B．8 C．9 D．10參考答案：C【考點(diǎn)】排列及排列數(shù)公式．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】利用排列數(shù)公式求解．【解答】解：∵=7×8×n，∴由排列數(shù)公式得n=9．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列數(shù)公式的合理運(yùn)用．3.已知點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A

解析：關(guān)于某軸對(duì)稱，則某坐標(biāo)不變，其余全部改變4.已知點(diǎn)A（2，0），直線l：x=1，雙曲線H：x2﹣y2=2，P為H上任意一點(diǎn)，且到l的距離為d，則=（）A． B． C．1 D．2參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)P（x，y），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式以及點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【解答】解：設(shè)P（x，y），則x2﹣y2=2，即x2﹣2=y2，則=====，故選：A5.雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)是（

）A.

B．

C．

D．參考答案：C略6.若過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)的弦被該點(diǎn)平分，則該弦所在的直線方程為（

）． A． B． C． D．參考答案：A解：設(shè)弦的兩端點(diǎn)為，，為中點(diǎn)得，，在橢圓上有兩式相減得，則，且過(guò)點(diǎn)，有，整理得．故選．7.已知正項(xiàng)數(shù)列中，，，，則等于（

）A．16

B．8

C．

D．4參考答案：B略8.函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后所得的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值為（）A．

B.

C.

D.參考答案：D9.命題“存在，使成立”為真命題的一個(gè)必要不充分條件可以是（

）A．a(chǎn)≤1

B．a(chǎn)＜1

C.a≤4

D．a(chǎn)＜4參考答案：C“存在，使成立”即“存在，使成立”而,∴，∴命題“存在，使成立”為真命題的一個(gè)必要不充分條件可以是故選：C

10.隨機(jī)變量ξ的概率分布規(guī)律為P(ξ=k)=a(11-2k)(k＝1，2，3，4,5)，其中a是常數(shù)，則的值為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下列4個(gè)命題中假命題的是（寫(xiě)上對(duì)應(yīng)的程序號(hào)）①若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則q為假命題②命題“如果=2，則（x+1）（x﹣5）=0”的否命題是真命題③“方程x2+x+m=0有實(shí)數(shù)根”是“m＜”的必要不充分條件④命題p：?x∈R，x+＜2的否定為￢p：?x?R，x+≥2．參考答案：①②④【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①，若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則q、p有一個(gè)為假命題，一個(gè)為真；②，≠2時(shí)，（x+1）（x﹣5）=0可能成立；③，方程x2+x+m=0有實(shí)數(shù)根?△=1﹣4m≥0?是m≤；④，命題的否定只否定結(jié)論，不否定條件，【解答】解：對(duì)于①，若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則q、p有一個(gè)為假命題，一個(gè)為真，故錯(cuò)；對(duì)于②，≠2時(shí)，（x+1）（x﹣5）=0可能成立，故錯(cuò)；對(duì)于③，方程x2+x+m=0有實(shí)數(shù)根?△=1﹣4m≥0?是m≤

故正確；對(duì)于，④命題p：?x∈R，x+＜2的否定為￢p：?x∈R，x+≥2，故錯(cuò)．故答案為：①②④12.已知函數(shù)（，），它的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸之間的距離為，且函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)，則的解析式為

．參考答案：略13.圓心為且與直線相切的圓的方程是

▲

.參考答案：14.圓Q1：x2+y2=9與圓Q2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的公切線條數(shù)為

．參考答案：4【考點(diǎn)】?jī)蓤A的公切線條數(shù)及方程的確定．【分析】根據(jù)方程求解出圓心，半徑，判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系，再判斷公切線的條數(shù)．【解答】解：∵圓Q1：x2+y2=9與圓Q2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，Q1（0，0），Q2（3，4）∴|Q1Q2|=5，R1=3，R2=1，∴|Q1Q2|＞R1+R2=4，∴圓Q1圓Q2相離，圓Q1圓Q2公切線的條數(shù)為4，故答案為：415.已知a＞0，b＞0且a+b=2，則的最小值為

．參考答案：2【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞0且a+b=2，則===2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào)．因此其最小值為2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16.已知雙曲線的漸近線方程為，虛軸長(zhǎng)為4，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

參考答案：17.已知函數(shù)f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1時(shí)有極值0，則m+n=

．參考答案：11【考點(diǎn)】6C：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)f（x）在x=﹣1有極值0，可以得到f（﹣1）=0，f′（﹣1）=0，代入求解即可【解答】解：∵f（x）=x3+3mx2+nx+m2

∴f′（x）=3x2+6mx+n依題意可得聯(lián)立可得當(dāng)m=1，n=3時(shí)函數(shù)f（x）=x3+3x2+3x+1，f′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0函數(shù)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)無(wú)極值，舍故答案為：11三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，，其中的函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸．（Ⅰ）確定與的關(guān)系；（II）若，試討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）設(shè)斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)（）證明：．參考答案：解：（1）依題意得，則由函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸得：∴（2）由（1）得∵函數(shù)的定義域?yàn)閗s5u

∴當(dāng)時(shí)，由得，由得，即函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令得或，若，即時(shí)，由得或，由得，即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；若，即時(shí)，由得或，由得，即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；若，即時(shí)，在上恒有，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，綜上得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．

（3）依題意得，證，即證因，即證令（），即證（）令（）則∴在（1，+）上單調(diào)遞增，∴=0，即（）

綜①②得（），即．19.已知過(guò)點(diǎn)A（﹣4，0）的動(dòng)直線l與拋物線C：x2=2py（p＞0）相交于B、C兩點(diǎn)．當(dāng)l的斜率是時(shí)，．（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．【分析】（1）設(shè)出B，C的坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式求得直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立消去x，利用韋達(dá)定理表示出x1+x2和x1x2，根據(jù)求得y2=4y1，最后聯(lián)立方程求得y1，y2和p，則拋物線的方程可得．（2）設(shè)直線l的方程，AB中點(diǎn)坐標(biāo)，把直線與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式求得k的范圍，利用韋達(dá)定理表示出x1+x2，進(jìn)而求得x0，利用直線方程求得y0，進(jìn)而可表示出AB的中垂線的方程，求得其在y軸上的截距，根據(jù)k的范圍確定b的范圍．【解答】解：（1）設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），由已知k1=時(shí)，l方程為y=（x+4）即x=2y﹣4．由得2y2﹣（8+p）y+8=0①②∴又∵，∴y2=4y1③由①②③及p＞0得：y1=1，y2=4，p=2，即拋物線方程為：x2=4y．（2）設(shè)l：y=k（x+4），BC中點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0）由得：x2﹣4kx﹣16k=0④∴．∴BC的中垂線方程為∴BC的中垂線在y軸上的截距為：b=2k2+4k+2=2（k+1）2對(duì)于方程④由△=16k2+64k＞0得：k＞0或k＜﹣4．∴b∈（2，+∞）20.設(shè)函數(shù)（I）當(dāng)時(shí)，求的最小值；

（II）如果，解不等式：參考答案：解：（I）根據(jù)題意將絕對(duì)值符號(hào)去掉得分段函數(shù)：

….4分作出函數(shù)的圖象如圖，由圖象可知，函數(shù)的最小值為3

….6分（II）當(dāng)，…………8當(dāng)…………9當(dāng)………10原不等式的解集為：…………1221.已知圓C的方程為：（1）若圓C的切線l在x軸和y軸上的截距相等，求切線l的方程；（2）過(guò)原點(diǎn)的直線m與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=2，求直線m的方程.參考答案：(1)①若切線l過(guò)原點(diǎn),設(shè)l方程為y=kx,即kx-y=0

則由C（-1,2）到l的距離：得：

∴此時(shí)切線l的方程為：y=

②若切線l不過(guò)原點(diǎn),設(shè)l方程為x+y-a=0,

則由C（-1,2）到l的距離：得：3或a=-1此時(shí)切線l的方程為：x+y-3=0或x+y+1=0

∴所求切線l的方程為：y=或x+y-3=0或x+y+1=0

(2)①當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，其方程為x=0,m與圓C的交點(diǎn)為A(0,1),B(0,3)

滿足|AB|=2，∴x=0符合題意。

②當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)m的方程為y=kx,即kx-y=0，

則圓心C到直線m的距離為：

解得：k=-

∴此時(shí)m的方程為：3x+4y=0

故所求m的方程為：x=0或3x+4y=0

22.（本小題滿分14分）已知A（-1，2）為拋物線C:y=2x2上的點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)A，且與拋物線C相切，直線:x=a(a>-1)交拋物線C于B，交直線于點(diǎn)D.（1）求直線的方程.（2）設(shè)的面積為S1，求及S1的值.（3）設(shè)由拋物線C，直線所圍成的圖形的面積為S2，求證S1:S2的值為與a無(wú)關(guān)的常數(shù).參考答案：（1）由當(dāng)x=1時(shí)，y＇=-4

………………2分

∴的方程為y-2=-4(x+1)即y=-4x-2