（江西版）高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十一章算法初步、推理與證明、復(fù)數(shù)單元檢測(cè) 理 北師大版（含詳解）

(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．(2011安徽高考，文1)設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)eq\f(1＋ai,2－i)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a為()．A．2B．－2C．－eq\f(1,2)D．eq\f(1,2)2．如圖是一個(gè)算法的程序框圖，該算法輸出的結(jié)果是()．A．eq\f(1,2)B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,4)D．eq\f(4,5)3．觀察下圖中圖形的規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫上合適的圖形為()．4．下面程序運(yùn)行的結(jié)果是()．A．5050B．5049C．3D．25．下列推理是歸納推理的是()．A．A，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C．由圓x2＋y2＝r2的面積為πr2，猜出橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的面積S＝πabD．科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇6．定義運(yùn)算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，則符合條件eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1＋2i,1－i1＋i))＝0的復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限7．如圖，程序框圖的輸出結(jié)果為170，那么在判斷框中①表示的“條件”應(yīng)該是()．A．i＞5B．i≥7C．i≥9D．i＞98．在數(shù)列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，則猜想an＝()．A．2n－2－eq\f(1,2)B．2n－2C．2n－1＋1D．2n＋1－49．若三角形內(nèi)切圓半徑為r，三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則三角形的面積為S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)．根據(jù)類比思想，若四面體內(nèi)切球半徑為R，四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，則這個(gè)四面體的體積為()．A．V＝eq\f(1,6)R(S1＋S2＋S3＋S4)B．V＝eq\f(1,4)R(S1＋S2＋S3＋S4)C．V＝eq\f(1,3)R(S1＋S2＋S3＋S4)D．V＝eq\f(1,2)R(S1＋S2＋S3＋S4)10．(2011山東高考，理12)設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若＝λ(λ∈R)，＝μ(μ∈R)，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2，則稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2.已知平面上的點(diǎn)C，D調(diào)和分割點(diǎn)A，B，則下面說法正確的是()．A．C可能是線段AB的中點(diǎn)B．D可能是線段AB的中點(diǎn)C．C，D可能同時(shí)在線段AB上D．C，D不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)11．i是虛數(shù)單位，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))4＝__________.12．定義某種運(yùn)算?，S＝a?b的運(yùn)算原理如圖所示．則0?(－1)＝__________；設(shè)f(x)＝(0?x)x－(2?x)，則f(1)＝__________.13．將正整數(shù)12分解成兩個(gè)正整數(shù)的乘積有1×12,2×6,3×4三種，其中3×4是這三種分解中，兩數(shù)差的絕對(duì)值最小的，我們稱3×4為12的最佳分解．當(dāng)p×q(p≤q且p，q∈N*)是正整數(shù)n的最佳分解時(shí)，我們規(guī)定函數(shù)f(n)＝eq\f(p,q)，例如f(12)＝eq\f(3,4).關(guān)于函數(shù)f(n)有下列敘述：①f(7)＝eq\f(1,7)；②f(24)＝eq\f(3,8)；③f(28)＝eq\f(4,7)；④f(144)＝eq\f(9,16).其中正確的序號(hào)為__________(填入所有正確的序號(hào))．14．對(duì)于命題：若O是線段AB上一點(diǎn)，則有||＋||＝0.將它類比到平面的情形是：若O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則有S△OBC＋S△OCA＋S△OBA＝0.將它類比到空間的情形應(yīng)該是：若O是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)，則有__________．15．在計(jì)算“eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,n(n＋1))(n∈N*)”時(shí)，某同學(xué)學(xué)到了如下一種方法：先改寫第k項(xiàng)：eq\f(1,k(k＋1))＝eq\f(1,k)－eq\f(1,k＋1)，由此得eq\f(1,1×2)＝eq\f(1,1)－eq\f(1,2)，eq\f(1,2×3)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，…，eq\f(1,n(n＋1))＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，將上述各式相加，得eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,n(n＋1))＝1－eq\f(1,n＋1).類比上述方法，請(qǐng)計(jì)算“eq\f(1,1×2×3)＋eq\f(1,2×3×4)＋…＋eq\f(1,n(n＋1)(n＋2))(n∈N*)”，其結(jié)果為__________．三、解答題(本大題共6小題，共75分)16．(12分)已知集合A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}(其中i是虛數(shù)單位)，集合B＝{－1,3}，A∩B＝{3}．求實(shí)數(shù)a的值．17．(12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－1，x<0，,2－5x，x≥0，))寫出求該函數(shù)的函數(shù)值的算法，并畫出程序框圖．18．(12分)已知α，β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，且sinθ＋cosθ＝2sinα，①sinθcosθ＝sin2β，②求證：eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(1－tan2β,2(1＋tan2β)).19．(12分)已知函數(shù)f(x)＝kx＋b的圖象與x，y軸分別相交于點(diǎn)A，B，＝2i＋2j(i，j分別是與x，y軸正半軸同方向的單位向量)，函數(shù)g(x)＝x2－x－6.(1)求k，b的值；(2)當(dāng)x滿足f(x)＞g(x)時(shí)，求函數(shù)eq\f(g(x)＋1,f(x))的最小值．20．(13分)已知a，b，c是互不相等的實(shí)數(shù)，且都不為零．求證：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．21．(14分)如圖，梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直，其中AB∥DC，AD＝CD＝eq\f(1,2)AB，且O為AB中點(diǎn)．(1)求證：BC∥平面POD；(2)求證：AC⊥PD.

參考答案一、選擇題1．A解析：eq\f(1＋ai,2－i)＝eq\f((1＋ai)(2＋i),(2－i)(2＋i))＝eq\f((2－a)＋(2a＋1)i,5)＝eq\f(2－a,5)＋eq\f(2a＋1,5)i為純虛數(shù)，∴eq\f(2－a,5)＝0，∴a＝2.2．C解析：n＝eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).3．A解析：表格中的圖形都是矩形、圓、正三角形的不同排列，規(guī)律是每一行中只有一個(gè)圖形是空心的，其他兩個(gè)都是填充顏色的，第三行中已經(jīng)有正三角形是空心的了，因此另外一個(gè)應(yīng)該是陰影矩形．4．A解析：讀程序知，該程序的功能是求S＝1＋2＋3＋…＋100的值，由等差數(shù)列的求和公式S＝eq\f(100×(1＋100),2)＝5050.5．B解析：從S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式，是從特殊到一般的推理，所以B是歸納推理．6．A解析：由已知得z(1＋i)－(1＋2i)·(1－i)＝0，∴z＝eq\f((1＋2i)(1－i),1＋i)＝(1＋2i)(－i)＝2－i.∴eq\x\to(z)＝2＋i，即eq\x\to(z)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(2,1)在第一象限．7．C解析：依次運(yùn)行程序可得當(dāng)S＝2時(shí)，i＝3；S＝10時(shí)，i＝5，…；S＝170時(shí)，i＝9，故判斷框內(nèi)可填入i≥9.8．B解析：∵a1＝0＝21－2，∴a2＝2a1＋2＝2＝22－2，a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，……猜想an＝2n－2.9．C解析：平面幾何中結(jié)論的推導(dǎo)是面積分割，類比到空間幾何中，應(yīng)用體積分割的方法即可得到答案．10．D解析：∵C，D調(diào)和分割點(diǎn)A，B，∴＝λ，＝μ，且eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2(*)，不妨設(shè)A(0,0)，B(1,0)，則C(λ，0)，D(μ，0)，對(duì)A，若C為AB的中點(diǎn)，則＝eq\f(1,2)，即λ＝eq\f(1,2)，將其代入(*)式，得eq\f(1,μ)＝0，這是無意義的，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若D為AB的中點(diǎn)，則μ＝eq\f(1,2)，同理得eq\f(1,λ)＝0，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，要使C，D同時(shí)在線段AB上，則0＜λ＜1且0＜μ＜1，∴eq\f(1,λ)＞1，eq\f(1,μ)＞1，∴eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＞2，這與eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝2矛盾；故C錯(cuò)誤；顯然D正確．二、填空題11．1解析：＝＝i4＝1.12．1－1解析：根據(jù)框圖可知0(－1)＝|－1|＝1；f(x)＝(0x)x－(2x)?f(1)＝(01)－(21)＝0－1＝－1.13．①③解析：因?yàn)?＝1×7，所以f(7)＝eq\f(1,7)，①正確；24＝3×8＝4×6＝2×12，最佳分解應(yīng)該是4×6，所以f(24)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，所以②錯(cuò)誤；同理③正確；對(duì)于④，144＝12×12，所以f(144)＝eq\f(12,12)＝1.14．VO－BCD＋VO－ACD＋VO－ABD＋VO－ABC＝0解析：由線段到平面，線段的長(zhǎng)類比為面積，由平面到空間，面積可以類比為體積，由此可以類比得一命題為O是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn)，則有VO－BCD＋VO－ACD＋VO－ABD＋VO－ABC＝0.15．eq\f(n2＋3n,4(n＋1)(n＋2))解析：∵eq\f(1,n(n＋1)(n＋2))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,n(n＋1))－\f(1,(n＋1)(n＋2))))，∴eq\f(1,1×2×3)＋eq\f(1,2×3×4)＋…＋eq\f(1,n(n＋1)(n＋2))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,1×2)－\f(1,2×3)＋\f(1,2×3)－\f(1,3×4)＋…＋))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,n(n＋1))－\f(1,(n＋1)(n＋2))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,1×2)－\f(1,(n＋1)(n＋2))))＝eq\f(n2＋3n,4(n＋1)(n＋2)).三、解答題16．解：∵A∩B＝{3}，∴3∈A.∴(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3.根據(jù)復(fù)數(shù)相等，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a－1＝3，,a2－5a－6＝0，))解得a＝－1.17．解：算法如下：第一步，輸入x.第二步，如果x＜0，那么f(x)＝3x－1；否則f(x)＝2－5x.第三步，輸出函數(shù)值f(x)．程序框圖如下：18．證明：因?yàn)?sinθ＋cosθ)2－2sinθ·cosθ＝1，所以將①②代入，可得4sin2α－2sin2β＝1.③另一方面，要證eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(1－tan2β,2(1＋tan2β))，即證eq\f(1－\f(sin2α,cos2α),1＋\f(sin2α,cos2α))＝eq\f(1－\f(sin2β,cos2β),2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(sin2β,cos2β))))，即證cos2α－sin2α＝eq\f(1,2)(cos2β－sin2β)，即證1－2sin2α＝eq\f(1,2)(1－2sin2β)，即證4sin2α－2sin2β＝1.由于上式與③相同，于是問題得證．19．解：(1)由已知得k≠0，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,k)，0))，B(0，b)，則＝(eq\f(b,k)，b)，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,k)＝2，,b＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,b＝2.))(2)由f(x)＞g(x)，得x＋2＞x2－x－6，即(x＋2)(x－4)＜0，得－2＜x＜4.eq\f(g(x)＋1,f(x))＝eq\f(x2－x－5,x＋2)＝x＋2＋eq\f(1,x＋2)－5，由于x＋2＞0，則eq\f(g(x)＋1,f(x))≥－3，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x＋