九年級上學(xué)期期中【壓軸60題練習(xí)】九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末知識(shí)點(diǎn)串講（人教版）（解析版）

九年級上學(xué)期期中【壓軸60題考點(diǎn)專練】

一.解一元二次方程-因式分解法（共1小題）

1.（2021秋?湯陰縣期中）閱讀下面的例題：

解方程：X2-M-2=0

解：（1）當(dāng)x20時(shí)，原方程化為/-X-2=0,解得：Xi=2,X2=-1（不合題意，舍去）.

（2）當(dāng)x<0時(shí)，原方程化為x2+χ-2=0,解得：Xl=I（不合題意，舍去），Xi=-2

二原方程的根是Xi=2,X2=-2.

請參照例題解方程/-Ix-3∣-3=0,則此方程的根是χ∣=-3,X2=2.

【分析】當(dāng)絕對值內(nèi)的數(shù)不小于0時(shí)，可直接去掉絕對值，而當(dāng)絕對值內(nèi)的數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，

去絕對值時(shí)，絕對值內(nèi)的數(shù)要變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù).本題要求參照例題解題，要先對X的

值進(jìn)行討論，再去除絕對值將原式化簡.

【解答】解：（1）當(dāng)x23時(shí)，原方程化為/-（χ-3）-3=0,

即X2-X=O

解得xι=0（不合題意，舍去），*2=1（不合題意，舍去）；

（2）當(dāng)x<3時(shí)，原方程化為了+χ-3-3=0

即x1+x-6=0,

解得Xl=-3,X2=2.

所以原方程的根是XI=-3,X2=2.

【點(diǎn)評】本題考查了絕對值的性質(zhì)和一元二次方程的解法，另外去絕對值時(shí)要注意符號(hào)

的改變.解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要

根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法.

二.根的判別式（共1小題）

2.（2021秋?徐匯區(qū)校級期中）如果關(guān)于X的方程N(yùn)t?-2（w+2）x+m+5=0沒有實(shí)數(shù)根，

試判斷關(guān)于X的方程-5）X2-2（m-1）x+m=0的根的情況.

【分析】根據(jù)題意：要使方程(m+2)x+m+5=0沒有實(shí)數(shù)根，必有△<(),解可

得加的取值范圍，將其代入方程(根-5)f-2(機(jī)-1)χ+m=0的△公式中，判斷△的

取值范圍，即可得出答案.

【解答】解：①Y當(dāng)m≠O時(shí)，方程，-2(?7+2)x+s+5=0沒有實(shí)數(shù)根，

,A=[-2("i+2)]2-4m(m+5)=4(w2+4∕n+4-m2-5m)—4(4-m)<0.

Λ∕n>4.

對于方程(m-5)X2-2("?-1)x+zw=O.

當(dāng)加=5時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

當(dāng)m≠5時(shí)，Δ∣=[-2(/W-1)]2-4fn{tn-5)=12m+4.

V∕π>4,

??.Δ,=12w÷4>0,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

②當(dāng)m=0時(shí)，方程mχ2-2("7+2)x+m+5=0有實(shí)數(shù)根，不符合題意，

答：當(dāng),w=5時(shí),,方程(m-5)X2-2(m-I)x+m=0有一個(gè)實(shí)數(shù)根：

當(dāng)〃?>4且zwW5時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

【點(diǎn)評】主要考查一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系及根的情況的判斷公式的使用；要

求學(xué)生熟練掌握.

本題易錯(cuò)點(diǎn)是忽視對第二個(gè)方程是否是一元二次方程進(jìn)行討論，這個(gè)方程可能是一元一

次方程.

≡.一元二次方程的應(yīng)用(共1小題)

3.(2021秋?宿州期中)某批發(fā)商以每件50元的價(jià)格購進(jìn)800件7恤，第一個(gè)月以單價(jià)80

元銷售，售出了200件；第二個(gè)月如果單價(jià)不變，預(yù)計(jì)仍可售出200件，批發(fā)商為增加

銷售量，決定降價(jià)銷售，根據(jù)市場調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出10件，但最低單價(jià)

應(yīng)高于購進(jìn)的價(jià)格；第二個(gè)月結(jié)束后，批發(fā)商將對剩余的T恤一次性清倉銷售，清倉時(shí)

單價(jià)為40元，設(shè)第二個(gè)月單價(jià)降低X元.

(1)填表：(不需化簡)

時(shí)間第一個(gè)月第二個(gè)月清倉時(shí)

單價(jià)（元）80—40

銷售量（件）200——

（2）如果批發(fā)商希望通過銷售這批7恤獲利9000元，那么第二個(gè)J習(xí)的單價(jià)應(yīng)是多少元？

【分析】（I）根據(jù)題意直接用含X的代數(shù)式表示即可；

（2）利用“獲利9000元”，即銷售額-進(jìn)價(jià)=利潤，作為相等關(guān)系列方程，解方程求解

后要代入實(shí)際問題中檢驗(yàn)是否符合題意，進(jìn)行值的取舍.

【解答】解：（1）

時(shí)間第一M月清倉時(shí)

單價(jià)（元）8080-X40

銷售量（件）200200+IOx800-200-

(200+10%)

（2）根據(jù)題意，得

200×（80-50）+（200+10x）X（80-χ-50）+（400-IOx）（40-50）=9000

整理得10?-200x+l000=0,

BPX2-20X+100=0,

解得Xl=X2=10

當(dāng)X=10時(shí)，80-χ≈70>50

答：第二個(gè)月的單價(jià)應(yīng)是70元.

【點(diǎn)評】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列

出方程，再求解.有關(guān)銷售問題中的等量關(guān)系一般為：利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià).

四.二次函數(shù)的性質(zhì)（共1小題）

4.（2021秋?蒙城縣校級期中）若兩個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、開口方向都相同，則稱這兩個(gè)

二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”.

(1)請寫出兩個(gè)為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)；

(2)已知關(guān)于X的二次函數(shù)川=2x2-4mx+2,∕+ι和y2="x2+Z>x+5,其中A的圖象經(jīng)過

點(diǎn)”(1,1),若yi+”與》為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)”的表達(dá)式，并求出當(dāng)OWXW

3時(shí)，”的最大值.

【分析】(1)只需任選一個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，同號(hào)兩數(shù)作為二次項(xiàng)的系數(shù)，用頂點(diǎn)式表示兩個(gè)

為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式即可.

(2)由”的圖象經(jīng)過點(diǎn)N(1,1)可以求出/M的值，然后根據(jù)川+”與“為“同簇二次

函數(shù)”就可以求出函數(shù)”的表達(dá)式，然后將函數(shù)盟的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，在利用二次

函數(shù)的性質(zhì)就可以解決問題.

【解答】解：(1)設(shè)頂點(diǎn)為(h,k)的二次函數(shù)的關(guān)系式為y=α(χ-Λ)2+k,

當(dāng)α=2,h=3,%=4時(shí)，

二次函數(shù)的關(guān)系式為y=2(X-3)2+4.

V2>0,

該二次函數(shù)圖象的開口向上.

當(dāng)α=3,h=3,無=4時(shí)，

二次函數(shù)的關(guān)系式為y=3(X-3)2+4.

V3>0,

該二次函數(shù)圖象的開口向上.

?；兩個(gè)函數(shù)y=2(χ-3)2+4與y=3(χ-3)2+4頂點(diǎn)相同，開口都向上，

，兩個(gè)函數(shù)y=2(X-3)2+4與y=3(X-3)2+4是“同簇二次函數(shù)”.

.?.符合要求的兩個(gè)“同簇二次函數(shù)”可以為：y=2(χ-3)2+4與y=3(χ-3)2+4(答

案不唯一).

(2)VJI的圖象經(jīng)過點(diǎn)Z(1,1),

Λ2×l2-4×∕M×l+2∕n2+l=l.

整理得:m2-2w+l=0.

解得：m?-m2=?.

.?.yI=Zr2-4x+3

=2(X-I)2÷1.

.?.yι~^2=2χ2-4x+3÷6rx2+?x+5

=(α+2)X2+(?-4)x+8

??？巾2與"為“同簇二次函數(shù)”，

Λji÷y2=(α÷2)(X-I)2+l

=(a÷2)X2-2(a÷2)x÷(α+2)÷1.

其中〃+2>0,即1>-2?

?fb-4=-2(a+2)

*I8=(a+2)+l?

解得：(a=5.

Ib=-IO

二函數(shù)”的表達(dá)式為：y2=5x2-10.r+5.

.^.)>2-5X2-IOX+5

=5(X-I)2.

，函數(shù)"的圖象的對稱軸為x=l.

V5>0,

.?.函數(shù)J，2的圖象開口向上.

①當(dāng)OWXWI時(shí)，：函數(shù)二的圖象開口向上，

隨X的增大而減小，

，當(dāng)X=O時(shí)，y2取最大值，最大值為5X(O-I)2=5,

②當(dāng)IWXW3時(shí)，Y函數(shù)”的圖象開口向上,

二”隨X的增大而增大，

，當(dāng)x=3時(shí),”取最大值,

最大值為5(3-1)2=20.

綜上所述：當(dāng)OWXW3時(shí)，y2的最大值為20.

【點(diǎn)評】本題考查了求二次函數(shù)表達(dá)式以及二次函數(shù)一般式與頂點(diǎn)式之間相互轉(zhuǎn)化，考

查了二次函數(shù)的性質(zhì)(開口方向、增減性)，考查了分類討論的思想，考查了閱讀理解能

力.而對新定義的正確理解和分類討論是解決第二小題的關(guān)鍵.

五.待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式(共1小題)

5.(2021秋?銅山區(qū)期中)已知二次函數(shù)的圖象以/(-1,4)為頂點(diǎn)，且過點(diǎn)8(2,-5)

(1)求該函數(shù)的關(guān)系式；

(2)求該函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)將該函數(shù)圖象向右平移，當(dāng)圖象經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，4、8兩點(diǎn)隨圖象移至H、)，求

AOA,B'的面積.

【分析】(1)已知了拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可用頂點(diǎn)式設(shè)該二次函數(shù)的解析式，然后將3點(diǎn)

坐標(biāo)代入，即可求出二次函數(shù)的解析式.

(2)根據(jù)的函數(shù)解析式，令x=0,可求得拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；令y=0,可求得拋

物線與X軸交點(diǎn)坐標(biāo).

(3)由(2)可知：拋物線與X軸的交點(diǎn)分別在原點(diǎn)兩側(cè)，由此可求出當(dāng)拋物線與X軸負(fù)

半軸的交點(diǎn)平移到原點(diǎn)時(shí)，拋物線平移的單位，由此可求出、4的坐標(biāo).由于

B1不規(guī)則，可用面積割補(bǔ)法求出aOHB1的面積.

【解答】解：(1)設(shè)拋物線頂點(diǎn)式y(tǒng)=“(x+l)2+4

將8(2,-5)代入得：a=-1

,該函數(shù)的解析式為：y=-(x+l)?+4=-χ2-2X+3

(2)令x=0,得y=3,因此拋物線與y軸的交點(diǎn)為：(0,3)

令y=0,-X2-2x+3=0,解得：Xi=-3,X2=l,即拋物線與X軸的交點(diǎn)為：(-3,0),

(1,O)

（3）設(shè)拋物線與X軸的交點(diǎn)為/、N（M在N的左側(cè)），由（2）知：M（-3,0）,N（1,

0）

當(dāng)函數(shù)圖象向右平移經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，例與O重合，因此拋物線向右平移了3個(gè)單位

故4(2,4),B'(5,-5)

'-S^OA'B=A×(2+5)×9-A×2×4--×5×5=15.

222

【點(diǎn)評】本題考查了用待定系數(shù)法求拋物線解析式、函數(shù)圖象交點(diǎn)、圖形面積的求法等

知識(shí).不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差.

六.二次函數(shù)的應(yīng)用（共2小題）

6.（2021秋?蜀山區(qū)校級期中）如圖，在RtZSNBC中，N∕=90°,Z8=8,∕C=6.若動(dòng)點(diǎn)

。從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段A4運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)力為止，運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長度.過點(diǎn)。作

DE〃BC交AC于點(diǎn)、E,設(shè)動(dòng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為X秒，NE的長為y.

（1）求出y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量X的取值范圍；

（2）求出48DE的面積S與X之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)X為何值時(shí)，48Z）E的面積S有最大值，最大值為多少？

【分析】（1）由平行線得CS根據(jù)相似形的性質(zhì)得關(guān)系式;

（2）s=-?BD?AE;

2

（3）運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求解.

【解答】解：（1）,CDE//BC,

：.XADESMABC.

?AD?AE（2分）

ABAC

又?.?ΛO=8-2x,AS=8,AE=y,∕C=6,

???8----2--xZ：—?y

86

?'?y=-^^x+6?（3分）

自變量X的取值范圍為OWXW4.（4分）

（2）S=^BD?AE=.^?2x?y（6分）

22

="當(dāng)2+6χ（8分）

2

（3）S=--X2+6X

2

=-2χ2+6χ+9-9

2

=-?.（χ-2）2+6.（10分）

2

.?.當(dāng)x=2時(shí)，S有最大值，且最大值為6.（11分）

【點(diǎn)評】此題為代數(shù)和幾何的綜合題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.

7.（2021秋?西城區(qū)期中）某食品零售店為儀器廠代銷一種面包，未售出的面包可退回廠家,

以統(tǒng)計(jì)銷售情況發(fā)現(xiàn)，當(dāng)這種面包的單價(jià)定為7角時(shí)，每天賣出160個(gè).在此基礎(chǔ)上，

這種面包的單價(jià)每提高1角時(shí)，該零售店每天就會(huì)少賣出20個(gè).考慮了所有因素后該零

售店每個(gè)面包的成本是5角.

設(shè)這種面包的單價(jià)為X（角），零售店每天銷售這種面包所獲得的利潤為y（角）.

（1）用含X的代數(shù)式分別表示出每個(gè)面包的利潤與賣出的面包個(gè)數(shù)；

（2）求y與X之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)面包單價(jià)定為多少時(shí)，該零售店每天銷售這種面包獲得的利潤最大？最大利潤為

多少？

【分析】（1）設(shè)每個(gè)面包的利潤為（χ-5）角.

（2）依題意可知y與X的函數(shù)關(guān)系式.

（3）把函數(shù)關(guān)系式用配方法可解出x=10時(shí)y有最大值.

【解答】解：（1）每個(gè)面包的利潤為（χ-5）角

賣出的面包個(gè)數(shù)為［160-（χ-7）X20］）（4分）

（2）V=（300-20.γ）（X-5）=-20√+400x-1500

即y=-20√+400x-1500（8分）

（3）y=-20Λ?2+400X-1500=-20（X-IO）2+500（10分）

當(dāng)X=10時(shí)，V的最大值為500.

???當(dāng)每個(gè)面包單價(jià)定為10角時(shí)，該零售店每天獲得的利潤最大，最大利潤為500角.（12

分）

【點(diǎn)評】求二次函數(shù)的最大（?。┲涤腥N方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配

方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法.本題難度一般.

七.二次函數(shù)綜合題（共46小題）

8.（2021秋?長沙期中）如圖1,拋物線、=層-16fir+48f（f為常數(shù)，/V0）與X軸交于Z,

8兩點(diǎn)（點(diǎn)力在點(diǎn)8左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.

（1）點(diǎn)/的坐標(biāo)是（4,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)是（⑵0）；

（2）如圖2,點(diǎn)。是拋物線上的一點(diǎn)，且位于第一象限，連接8。，延長BD交y軸于點(diǎn)

E,若NBCE=∕BEC.

①求點(diǎn)。的坐標(biāo)（用含，的式子表示）;

②若以點(diǎn)。為圓心，半徑為8作。。，試判斷與y軸的位置關(guān)系;

(3)若該拋物線經(jīng)過點(diǎn)(h,旭)，且對于任意實(shí)數(shù)X,不等式M-16fx+48twJ旦恒成

33

立，求480C外心F與內(nèi)心/之間的距離.

圖1圖2

【分析】(1)令y=0,則Z?-i6tt+48f=0,可得答案；

(2)①如圖2,根據(jù)“三角形中，等角對等邊”可得8C=8E,進(jìn)而可證得Rt48OC絲

RtABOE(HL),得出OE=OC,可得E(0,-48/),利用待定系數(shù)法求得直線BE的解

析式為y=4∕x-483聯(lián)立方程組求解即可得出答案；

②利用切線的判定定理即可得出答案;

(3)根據(jù)題意可得該拋物線頂點(diǎn)為(〃，」旦)，建立方程求出，=-工，從而得出：OB=

33

12,OC=16,BC=2Q,過48CO的內(nèi)心/作/M_L08于點(diǎn)M,W_LoC于點(diǎn)N,IGLBC

于點(diǎn)G,則∕Λ∕=∕N=∕G=r,利用SAB。C=SA8Λ7÷SAC7O+SAB∕C,可求得r=4,進(jìn)而得出/

(4,-4),再由尸是RtZSBCO的外心，可得F(6,-8),運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式即可求

得答案.

【解答】解：(1)令y=0,貝IJM-16∕x+48f=0,

解得：Xl=4,X2=12,

：點(diǎn)/在點(diǎn)8左側(cè)，

：.A(4,O),B(12,0),

故答案為：(4,0),(12,0)；

(2)①如圖2,?/NBCE=ZBEC,

：.BC=BE,

"：OB=OB,NBoC=NBoE=90°,

,RtABOgRtZMOE(HL),

：.OE=OC,

在y=tr2-16fx+48f中，令X=0,得y=48l,

：.C(0,48/),

：.E(0,-48f),

設(shè)直線BE的解析式為y="+6,

則(12k+b=0

lb=-48t

解得:∫k=4t

lb=-48t

宜線BE的解析式為y=4fx-48/,

聯(lián)立方程組，得，y=4tχ-48t

9

y=tx^-16t+48t

X?=8X2=12

解得：(舍去),

Yl=-16t

y2=0

：.D(8,-I6/)；

②。。與y軸相切，理由如下:

,：D(8,-I6/),

點(diǎn)。到y(tǒng)軸的距離為8,

：。。的半徑為8,

二。。與V軸相切.

(3)Y對于任意實(shí)數(shù)x,不等式/-16a+48fW兇■恒成立，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)(力，西),

33

.?.該拋物線頂點(diǎn)為(/7,」旦)，

3

,."y=tx1-16tr+48∕=f(x-8)2-16/,

二拋物線頂點(diǎn)為(8,-16/),

?g―16

3

解得：f=-1,

3

.*.y=--i-x2+-^-x-16.

33

：.B(12,0),C(0,-16),

.?.O8=12,OC=16,

ΛβC=√Qβ2+θc2=^122+162=2O,

過48CO的內(nèi)心/作IMLOB于點(diǎn)M,INlOC于點(diǎn)N,/G1.8C于點(diǎn)G,

則IM=IN=IG=Y,

?.?SABOC=S4B1(KS&cl6S4BIC,

.?.A×12×16=AX12∕÷-1×16>H-A×20∕?,

2222

解得：「=4,

：.!(4,-4),

,.7是Rt48CO的外心，

尸是8C的中點(diǎn)，

：.F(6,-8),

?'?(4-6)2+(-4+8)2=2后

圖2

圖1

【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線與坐標(biāo)軸及

直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，三角形的內(nèi)心和外心，三角形面積，

中點(diǎn)公式，勾股定理，圓的切線判定等，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，有一定難度，是一

道典型的中考數(shù)學(xué)壓軸題.

9.（2021秋?章貢區(qū)期中）如圖，直線y=x-3與X軸、y軸分別交于點(diǎn)8、點(diǎn)C,經(jīng)過8、

C兩點(diǎn)的拋物線y=-χ2+mx+”與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)為4頂點(diǎn)為P.

（1）求3m+n的值；

（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使以C,P,Q為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角

形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

（3）將該拋物線在X軸上方的部分沿X軸向下翻折，圖象的其余部分保持不變，翻折后

的圖象與原圖象X軸下方的部分組成一個(gè)”形狀的新圖象，若直線y=x+6與該

形狀的圖象部分恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，求b的值.

【分析】（1）求出8、。的坐標(biāo)，將點(diǎn)8、C的坐標(biāo)分別代入拋物線表達(dá)式，即可求解;

（2）令CP=PQ、CP=CQ,CQ=PQ,分別求解即可；

（3）分兩種情況，分別求解即可.

【解答】解：（1）直線V=X-3,令y=0,則x=3,令X=O,則y=-3,

故點(diǎn)8、C的坐標(biāo)分別為（3,0）、（0,-3）,

將點(diǎn)8、C的坐標(biāo)分別代入拋物線表達(dá)式得：In=-3,解得：Im=4,

I0=-9+3m-nIn=-3

則拋物線的表達(dá)式為：y=-X2+4X-3,則點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,0）,頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,1）,

3m+n=12-3=9；

（2）①當(dāng)CP=CQ時(shí)，

C點(diǎn)縱坐標(biāo)為PQ中點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同為-3,

故此時(shí)0點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-7）；

②當(dāng)CP=P。時(shí),

同理可得：點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,1-2?）或（2,l+2√ξ）;

③當(dāng)CQ=尸。時(shí)，

同理可得：過該中點(diǎn)與CP垂直的直線方程為：y=-L-工,

22

當(dāng)x=2時(shí)，y=-?∣,即點(diǎn)0的坐標(biāo)為（2,--∣）;

故：點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,1-2√S或（2,1+2遙）或（2,--∣）或（2,-7）；

（3）圖象翻折后的點(diǎn)尸對應(yīng)點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（2,-1）,

①在如圖所示的位置時(shí)，直線y=x+6與該“M”形狀的圖象部分恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，

此時(shí)C、P'、8三點(diǎn)共線，b=-3；

②當(dāng)直線y=x+b與X軸上方的部分沿X軸向下翻折后的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

此時(shí)，直線y=x+6與該“M”形狀的圖象部分恰好有三個(gè)公共點(diǎn)；

即：X2-4x+3=x+b,Δ=52-4（3-b）=0,解得：b=-區(qū).

4

即：h=-3或-1?.

4

【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，難點(diǎn)在于（3）,關(guān)鍵是通過數(shù)形變換，確定變

換后圖形與直線的位置關(guān)系，難度不大.

10.（2021秋?思明區(qū)校級期中）已知拋物線y=x2-（W-I）X+（“L3）（機(jī)為常數(shù)，m>

1）.A（w+4,jι）,B（2m,絲）是該拋物線上不同的兩點(diǎn)，現(xiàn)將拋物線的對稱軸繞坐標(biāo)

原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到直線α,過拋物線頂點(diǎn)P作PHLa于

(1)當(dāng)機(jī)=3時(shí)，求出這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);

(2)若無論團(tuán)取何值，拋物線與直線y=χ-〃？(?2+?)(人為常數(shù))有且僅有一個(gè)公

4m

共點(diǎn)，求人的值：

(3)當(dāng)2VP//W4時(shí)，試比較川，州之間的大小.

【分析】(1)化成頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo).

(2)列方程組根據(jù)Δ=O解決問題.

2

(3)拋物線的對稱軸為直線X=QL頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(QIF+6m-13),PH=Ql

2242

22

--IU+6m-13=(πτ2,)+7,由2<p∕∕≤4,可得3<wW5,再由7<∕n+4W9,6<2∕n

44

≤10,1<≡Z1≤2,可知：點(diǎn)4、8均在拋物線對稱軸的右側(cè)，而拋物線開口向上，在拋

2

物線對稱軸的右側(cè)y隨X的增大而增大，故分分類討論即可判斷.

【解答】解：(1)-：m=3,

.?.y=χ2-2x=(X-I)2-1,

???該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1)；

y=x2-(m-l)x+(m-3)

(2)由題意得｛m3,

y=χ-m—+k)

消去得：X2-∕∏χ+-l√w2+w(Hl)=0,

4

?.?拋物線與直線V=X-用(a+2+yt)(%為常數(shù))有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，

4m

.?.Δ=0,即m2-4×1×[‰2+∕∏(Hl)]=0,

Λ-4"(?÷1)=0,

Vw>l,

:?k=-1；

2

(3)?>=x2-(77?-1)x+(∕n-3)=(x-??)2+m-3-(πr1J_=(X-Ξ?Z11)2+

242

-m2+6m-13

----------------，

4

2

.?.拋物線的對稱軸為直線X=Qk頂點(diǎn)坐標(biāo)為P(Qi,~m+6m~13),

224

Vm>l,

2

.?nr]>0-m+6m-13=,(Irr3)2+4Vo

??亍’4

?產(chǎn)"=m~?]_-ι∏2+6m-13=(I∏-2)2+3

~2~44~

V2<P∕∕≤4,

2

：.2<(∏t-2)+7≤4,

4

Λl<(w-2)2≤9,

二當(dāng)l<m<2時(shí)，-3WM-2<-1,即-IWm<1,與矛盾，此時(shí)無解；

當(dāng)力22時(shí)，1V∕M-2W3,即3<∕nW5,

,：A3w+4,y∣),B(2機(jī)，”)是該拋物線上不同的兩點(diǎn)，

7<w+4≤9,6<2m≤10,

2

.?.點(diǎn)力、8均在拋物線對稱軸的右側(cè)，

???拋物線開口向上，在拋物線對稱軸的右側(cè)y隨X的增大而增大，

當(dāng)3〈加V4時(shí)，-IV2〃L(加+4)<0,

/.2加Vm+4,

??yι<y?；

當(dāng)∕n=4時(shí)，2加=m+4,

?"?y2-yι;

當(dāng)4<mW5時(shí)，2m>"z+4,

：.y2>yi;

綜上所述，當(dāng)3V"i<4時(shí)，y2<yn當(dāng)"?=4時(shí)，y2-yn當(dāng)4<∕nW5時(shí)，y2>y↑-

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)綜合題、頂點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握利用

根的判別式解決拋物線與直線的交點(diǎn)問題，學(xué)會(huì)分類討論，學(xué)會(huì)利用函數(shù)的增減性質(zhì)判

斷函數(shù)值的大小，屬于中考壓軸題.

11.(2021秋?洪山區(qū)期中)如圖1,已知拋物線的解析式為y=-L2-3,直線y=fcr-4”

62

與X軸交于與拋物線相交于點(diǎn)4B(/在8的左側(cè)).

(1)當(dāng)先=1時(shí)，直接寫出4B,M三點(diǎn)的橫坐標(biāo)：X4=-3-2√fi,XR=-3+2

Vδ_，XM=4;

(2)作4尸，X軸于尸，8。，X軸于0,當(dāng)〃變化時(shí)，MP?Λ∕0的值是否發(fā)生變化？若變

化，求出其變化范圍；若不變，求出其值；

(3)如圖2,點(diǎn)E在拋物線上，作EFLX軸于F,OE以EF為半徑，且與y軸相交于

定點(diǎn)G.

①求定點(diǎn)G的坐標(biāo)；

②點(diǎn)G關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)Gl到直線y=fcv-秋距離的最大值是5.(直接寫出結(jié)果)

【分析】(1)在y=x-4中，令y=0,可求得M(4,0),解方程--旦=X-%可

62

求得點(diǎn)48的橫坐標(biāo)；

(2)由題意可得：χ2+6米+9-24A?=0,運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系得：XA+XB=-6k,XA,XB=Z9-

24k,進(jìn)而可得Λ∕(4,0),再由Λ/尸?Λ∕Q=(4-xp)?(4-xρ)=16-4(jrj÷x5)+XA9XB=

16+24k+9-24左=25,即可得出MP?MQ的值為定值；

(3)①如圖2,設(shè)EC,-l-t2-l),G(0,y),過點(diǎn)E作即，y軸于點(diǎn)“，G'與G

62

關(guān)于原點(diǎn)對稱，連接EG、G'H,根據(jù)EG=EF,建立方程即可得出答案；

②當(dāng)MG'，直線/時(shí)，點(diǎn)Gl到直線y=履-4A距離最大，利用勾股定理可得MG'=

VθM2-K)G2=√32+42=5-

【解答】解：(1)當(dāng)k=?時(shí)，y=x-4,

令尸0，得χ-4=0,

解得：x=4,

：.M(4,0),

由題意得：-L2-W=X-4,

62

解得：Xi=-3-2Λ∕6>X2=~3+2Vβ>

?,?A(-3-2Λ∕6,-7-2yfζ)),B(-3+2Λ∕G,-7+2?/θ)>

故答案為：-3~2Λ∕6'-3+2J4；

(2)MP?Λ∕0的值不變.

f_123

由Lrt^τ,

y=kχ-4k

得：-1√-2=AX-必，

62

整理得：√+6AΛ+9-24?=0,

Λxj+Xj?=-6k,XA*XB=9-24k,

??ZP_Lx軸，LX軸,

.?.XF=M，XQ=XB，

在y=fcv-4%中，令y=0,得x=4,

：.M(4,0),

:.MP?MQ=(4-χp)?(4-xρ)=16-4(%+XB)+%?XB=16+24A+9-244=25；

(3)①如圖2,設(shè)E(t,-lι2-l),G(0,y),

62

過點(diǎn)E作E4,y軸于點(diǎn)“，G'與G關(guān)于原點(diǎn)對稱，連接EG、G'H,

則￡7/=0尸=∣f∣,EG=E尸=I-?r2-?=Af2+A,

6262

YEG=EF,

22

：.(Z-O)+(-X-3-y)2=(Af2+3.)2,

6262

整理得：(尹3)(y+A?)=0,

解得：M=-3,y2=-?/2,

3

；點(diǎn)G是一個(gè)定點(diǎn)，

：.G(0,-3)；

②?.?G'與G關(guān)于原點(diǎn)對稱，

：.G'(0,3),

.".OG1=3,

在Rt△"(%;'中，MG'≈√0M2OG2≈√32+42=5,

.?.當(dāng)〃G'，直線/時(shí)，點(diǎn)Gl到直線y=米-4k距離的最大值是5,

故答案為：5.

圖2

≡1

【點(diǎn)評】本題是：次函數(shù)綜合題，考查了直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、拋物線與直線交點(diǎn)的求法，

一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，點(diǎn)到直線距離，中心對稱，圓的性質(zhì)等，該題綜合性

強(qiáng)，難度較大，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和方程思想是解題關(guān)鍵.

12.(2021秋?開福區(qū)校級期中)如圖1,拋物線y=x2-(α+I)X+α與X軸交于4B兩點(diǎn)

(點(diǎn)/位于點(diǎn)8的左側(cè))，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,若4B=4.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,E是第三象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作E尸〃/C交拋物線于點(diǎn)R過

E作EG,X軸交/C于點(diǎn)"，過F作尸，LX軸交AC于點(diǎn)N,當(dāng)四邊形EMNF的周長最

大值時(shí)，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)；

(3)在X軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)。，使得以。、C、B、O為頂點(diǎn)的四邊形被對

角線分成面積相等的兩部分？如果存在，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

【分析】(I)X2-(Λ+1)x+a—O,則AS?=(x1+χ2)2-4xιx2(α-1)2=16,即可求解；

(2)設(shè)點(diǎn)E(w,m1+2m-3),點(diǎn)尸(-3-m,m2+4w),四邊形EMNF的周長S=

ME+MN+EF+FN,即可求解；

(3)分當(dāng)點(diǎn)0在第三象限、點(diǎn)。在第四象限兩種情況，分別求解即可.

【解答】解：(I)X2-(α+l)x+a=O,

則x1+x2=α+l,x?x2=a,

22

則力爐=(χ∣+χ2)-4xιx2=(α-l)=16,

解得：a=5或-3,

拋物線與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,故α=5舍去，則α=-3,

則拋物線的表達(dá)式為：y=∕+2t-3…①；

(2)由y=f+2χ-3得：點(diǎn)/、B、C的坐標(biāo)分別為：(-3,0)、(1,0)、(0,-3),

設(shè)點(diǎn)E("?,渥+2"?-3),OA=OC,故直線/C的傾斜角為45°,EF//AC,

直線AC的表達(dá)式為：V=-X-3,

則設(shè)直線EF的表達(dá)式為：y=-χ+h,將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入上式并解得：

直線￡7Z的表達(dá)式為：y=-x+("P+3"L3)…②，

聯(lián)立①@并解得：x=m或-3-

故點(diǎn)∕z(-3-∕n,"J+4m),點(diǎn)ΛΛN的坐標(biāo)分別為：(如-w-3)>(-3-m,/?).

則EF=加(XF-XE)=√2(-2/W-3)=MN,

四邊形EMNF的周長S=ME+MN+EF+FN=-2m2-（6+4√2）m-6√2.

?.?-2<0,故S有最大值，此時(shí)用=-3+2近,

2

故點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為：-絲巨；

2

（3）①當(dāng)點(diǎn)0在第三象限時(shí)，

當(dāng)OC平分四邊形面積時(shí)，

則IXd=X6=1，故點(diǎn)0（7,-4）；

當(dāng)BO平分四邊形面積時(shí)，

則SA080=?∣?X1X[yo∣,S四邊形OCBo=∕×1×3+l×3×?,

則2（aXlX[yd）=?∣?X1X3+上X3XkoI，

解得：整=-3，故點(diǎn)0（一旦，--）；

224

②當(dāng)點(diǎn)0在第四象限時(shí)，

同理可得：點(diǎn)Q（.__3+j?∕37—',15—3"。?!—）；

22

綜上，點(diǎn)0的坐標(biāo)為：（-1,-4）或（-旦，-」互）或（-5+√^7,15-3√37λ

2422

【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、圖形的面積計(jì)算等，其中

（1）（3）,都要注意分類求解，避免遺漏.

13.（2021秋?昌江區(qū)校級期中）如圖，在矩形0/8C中，點(diǎn)。為原點(diǎn)，點(diǎn)4的坐標(biāo)為（0,

8）,點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6,0）.拋物線y=-?∣χ2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)“、c,與AB交于點(diǎn)D.

（1）求拋物線的函數(shù)解析式;

（2）點(diǎn)P為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)0為線段NC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，AQ=

CP,連接P。，設(shè)CP=%,4CP0的面積為S.

①求S關(guān)于加的函數(shù)表達(dá)式；

②當(dāng)S最大時(shí)，在拋物線y=-??χ2+fcv+c的對稱軸/上，若存在點(diǎn)尸，使△。尸。為直角

9一

三角形，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【分析】（1）將AC兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=-?∣∕+fcv+c,即可求得拋物線的解析式:

（2）①先用加表示出0E的長度，進(jìn)而求出三角形的面積S關(guān)于m的函數(shù)；

②直接寫出滿足條件的尸點(diǎn)的坐標(biāo)即可，注意不要漏寫.

【解答】解：（1）將/、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線，得

rc=3

,

<-?4×36+6b+c=0

y

解得：<D3，

c=8

.?.拋物線的解析式為y=-生&&+8；

93

(2)①?.Q=8,OC=6,

?,^C=VOA2-OC2=10,

過點(diǎn)Q作QELBC于E點(diǎn)，則SinN/08=&氏=膽=§

QCAC5

.QE=3

IO-In5

.?.QE=g(IO-Zn),

2

.?.S=λ?CP?QE=^-m×2-(10-w)=-Awι+3ffl;

22510

②?.?S=?1?CP?QE=A√"X3(IO-"?)=--?-W2+3W≈--?(w-5)2+J^?,

22510102

.?.當(dāng)加=5時(shí)，S取最大值;

在拋物線對稱軸/上存在點(diǎn)F，使aFD0為直角三角形,

：拋物線的解析式為y=-1Λ-2+AY+8的對稱軸為X=2,

932

。的坐標(biāo)為（3,8）,Q（3,4）,

當(dāng)NFD0=90。時(shí),FI(旦,8),

當(dāng)"00=90°時(shí)，W∣JF2(?∣,4),

當(dāng)NDF0=90。時(shí)，設(shè)尸（旦,〃）,

則FDr+FQ2=DQ1,

即9+(8-?)2+-i+(〃-4)2=16,

44

解得：〃=6±近,

2

.?.F36嗎FA6一冬,

滿足條件的點(diǎn)尸共有四個(gè)，坐標(biāo)分別為

Fl（旦，8）,Fi（3,4）,尸3（3,6+近），F(xiàn)4（旦，6-近）.

【點(diǎn)評】本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的解析式的求法拋物

線的最值等知識(shí)點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，

同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題.

14.(2021秋?新羅區(qū)校級期中)已知二次函數(shù)y=以2+慶什C圖象的對稱軸為y軸，且過點(diǎn)

(1,2),(2,5).

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)如圖，過點(diǎn)E(0,2)的一次函數(shù)圖象與二次函數(shù)的圖象交于48兩點(diǎn)(1點(diǎn)在8

點(diǎn)的左側(cè))，過點(diǎn)力,8分別作/CLX軸于點(diǎn)C,80,X軸于點(diǎn)D

①當(dāng)8=3時(shí)，求該一次函數(shù)的解析式;

②分別用Si,S,S3表示ANCE,XECD,zλED8的面積，問是否存在實(shí)數(shù)f,使得S2?

=⑸S3都成立？若存在，求出f的值；若不存在，說明理由.

【分析】（1）把點(diǎn)（1,2）,（2,5）坐標(biāo)和對稱軸為y軸三個(gè)條件，代入二次函數(shù)的表達(dá)

式即可求解：

（2）①將一次函數(shù)表達(dá)式與二次函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立并整理得：X2-AA-I=O,利用X2-X∣

=y∣（）2=23,即可求解；

xi+x2-4X1X2Vk+4??

②分別求出Si、S2、S3,用韋達(dá)定理化簡，即可求解.

'b=0a=l

【解答】解：（1）由題意得：J+b+c=2，解得:

a<b=0>

4a+2b+c=5c=l

故：二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x2+l;

（2）①設(shè)過點(diǎn)E的一次函數(shù)表達(dá)式為：y=h+2,

將一次函數(shù)表達(dá)式與二次函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立并整理得：x2-kx-1=0,

設(shè)點(diǎn)4、8的坐標(biāo)分別為（xi，yi）、（X2，J2）（x∣<x2）>

貝∣]:x?+x2=k,XlX2=-1,

22

“2-XI=（x1+x2）-4x1X2=Vk+4=3，

解得：k=±√5,

,該一次函數(shù)表達(dá)式為：或y=-JmX+2；

②S=*∕c?oc=--?-?i?i,

Se=C^CD?OE）2=（A（X2-XI）×2）2=（X2-XI）2=Z^+4.

22

S3=-BD?OD=—X2V2,

22

Xl+X2=左，XIX2=^1，

222

則：S??S3=--1X∣X2[?XIX2+2?(x∣+x2)+41=-Ax(-1)(-??+4)=上(?+4)

444

=??,

4

，.?∕=4.

【點(diǎn)評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，主要考查利用韋達(dá)定理處理復(fù)雜的數(shù)據(jù)，難

度不大.

15.(2021秋?潢川縣期中)如圖，拋物線y=-χ2+?r+c交X軸于點(diǎn)4(-3,0)和點(diǎn)8,交

.軸于點(diǎn)C(0,3).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)若點(diǎn)尸在拋物線上，且SΔΜP=4SABOC,求點(diǎn)尸的坐標(biāo);

(3)如圖6,設(shè)點(diǎn)。是線段/C上的一動(dòng)點(diǎn),作。。J_x軸，交拋物線于點(diǎn)。，求線段

。。長度的最大值.

【分析】(1)把點(diǎn)月、C的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)的方程組，通過解方

程組求得系數(shù)的值;

(2)設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為(x,-/-2x+3),根據(jù)SA∕OP=4S,?8OC列出關(guān)于X的方程，解方程

求出X的值，進(jìn)而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線4C的解析式為y=x+3,再設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為(x,戶3),

則。點(diǎn)坐標(biāo)為G,X2+2X-3),然后用含X的代數(shù)式表示。￡>,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可

求出線段。。長度的最大值.

【解答】解：(1)把/(-3,0),C(0,3)代入y=-χ2+bx+c,得

0=~9~3b+c

3=c

(2)設(shè)P(x,-X2-2X+3),

由(1)知，該拋物線的解析式為y=-%2-2x+3,則易得3(1,0).

*：SAAoP=AS8BoC，

.?.A×3×∣-X2-2r+3∣=4×-∣×l×3.

整理，得(x+l)2=0或f+2χ-7=0,

解得X=-1或X=-I±2&.

則符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(-1,4)或(-1+2弧，-4)或(-1-2√2.-4)；

(3)設(shè)直線/C的解析式為y=fcc+r,將/(-3,0),C(0,3)代入，

得卜3k+t=0,

1t=3

解得［k=l.

It=3

即直線NC的解析式為y=x+3.

設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)為(x,x+3),(-3≤x≤0),則。點(diǎn)坐標(biāo)為(x,-X2-2X+3),

QD=(-χ2-2x+3)-(x+3)=-χ2-3x=-(X+旦)2+-,

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.?.當(dāng)x=-?∣∏寸，°。有最大值日.

【點(diǎn)評】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、-次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及

三角形面積、線段長度問題.此題難度適中，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用方程思想與數(shù)形結(jié)合思

想.

16.(2021秋?靈寶