2024屆五年高考數(shù)學(xué)真題分類訓(xùn)練：二 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ

專題二函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I

考點(diǎn)4函數(shù)的概念與基本性質(zhì)

題組

一、選擇題

1.［2023新高考卷II,5分］若/(%)=(尤+a)為偶函數(shù)，則a=(B)

1

ATB.OC,-D.l

［解析］設(shè)g(%)=InII、，易知g(x)的定義域?yàn)?一8,-習(xí)UG，+8)，且

。(一%)=In蕓=In箸=-In2=一g(x),所以g(%)為奇函數(shù).若

/(%)=(久+a)ln為偶函數(shù)，則、=久+a也應(yīng)為奇函數(shù)，所以a=0,

(在公共定義域內(nèi)：奇±奇=奇，偶士偶=偶，奇義奇=偶，偶乂偶=偶,奇

><偶=奇)故選B.

【速解】因?yàn)?(%)=(%+a)ln黑為偶函數(shù),/(-l)=(a-l)ln3,/(l)=

(a+l)ln|=—(a+l)ln3，所以(a—l)ln3=—(a+l)ln3，解得a=0，故選B.

【方法技巧】常見(jiàn)的偶函數(shù)有y-ax+a~x(a>0且aAl),y-cosx,y-

x2n(nEZ),y=|x|等;常見(jiàn)的奇函數(shù)有y=ax—a~x,y=sin%,y=

tanx,y=x2n+1(jieZ),y=：,y=logaW，y=log/%++第2)等,其

中a>0且aW1.

2.［2023全國(guó)卷甲，5分］已知函數(shù)f(%)=5(%—1尸.記@=b=

峭,C"件)，則(A)

A.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

［解析］函數(shù)/(%)=b(久-I)?是由函數(shù)y=eu和n=-(%-l)2復(fù)合而成的復(fù)合函

數(shù)，y=e比為R上的增函數(shù)，n=-(%-I/在(-8,1)上單調(diào)遞增，在

(1,+8)上單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，/(%)在(-8,1)上單調(diào)遞

增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.易知/(%)的圖象關(guān)于直線尤=1對(duì)稱，所以c=

既"(2-聿，若<2W<1,所以/(曰)</(2—乎)<

/(￥)，所以b〉c>a,故選A.

3.［2022新高考卷II,5分］已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镠，且/(%+y)+

fix-y)=/(x)/(y),/(l)=1，則變/(/c)=(A)

k=l

A.-3B.-2C.0D.1

［解析］因?yàn)?⑴=1,所以在/(%+y)+/(%-y)=/(%)f(y)中,令y=1,

得f(x+1)+f(x-1)=/(x)/(l),所以/(%+1)+f(x-1)=/(x)①，所以

f(x+2)+f(x)=f(x+1)②.由①②相加,得/(%+2)+/(%-1)=0,故

/(%+3)+/(%)=0,所以/(%+3)=-/(%),所以/(%+6)=-/(%+3)=

/(%)，所以函數(shù)/(%)的一個(gè)周期為6.在/'(%+y)+/(%-y)=f(%)f(y)中，

令y=0,得/(久)+/(%)=/(%)/(0),所以/(O)=2.令尤-1,y-1,得

/(2)+/(0)=/(1)/(1),所以/(2)=—1.由)(％+3)+/(%)=0,得/⑴+

/(4)=0,/(2)+/(5)=0,/(3)+/⑹=0,所以/(I)+/⑵+…+/⑹=

22

0,根據(jù)函數(shù)的周期性知，2f(k)=/(I)+/(2)+/(3)+/(4)=1-1-2-

k=l

1=-3,故選A.

4.［2022全國(guó)卷乙，5分］已知函數(shù)/(久)，g(K)的定義域均為R,且/(%)+

g(2-％)=5,g(%)--4)=7.若y=g(%)的圖象關(guān)于直線％=2對(duì)稱，

。⑵=4,則升㈤=(D)

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

［解析］由y=gO)的圖象關(guān)于直線％=2對(duì)稱，可得g(2+%)=g(2-%).在

/(%)+g(2-％)=5中,用一刀替換x,可得/(-%)+g(2+%)=5,可得

/(-%)=/(%)①，所以y=/(%)為偶函數(shù).在g(￡)-f(x-4)=7中，用2-%替

換％，得g(2-久)=/(-%-2)+7,代入/(X)+g(2-%)=5中，得/(%)+

/(—%—2)=—2②，所以y=f(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一1,—1)中心對(duì)稱，所以

/(I)=/(-I)=一1.由①②可得/(%)+/(%+2)=-2，所以/(%+2)+

/(%+4)=—2,所以/(%+4)=/(%),所以函數(shù)/(%)是以4為周期的周期函

數(shù).由/(久)+g(2—%)=5可得/(0)+g(2)=5,又g(2)=4,所以可得

/(0)=1,又f(x)+f{x+2)=-2，所以f(0)+/(2)=-2，得。(2)=-3,又

22

/⑶=/(-I)=-1,/(4)=/(0)=1,所以Ef(k)=6/(1)+6/(2)+

k=l

5/(3)+5/(4)=6x(-1)+6x(-3)+5x(-1)+5x1=-24.故選D.

【方法技巧】函數(shù)圖象的對(duì)稱性的常用結(jié)論

(1)f(a+%)=f(b一%)u＞函數(shù)/(久)的圖象關(guān)于直線％=當(dāng)對(duì)稱；

(2)/(%+a)+f(b一％)=cQ函數(shù)y=/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(早,|)中心對(duì)

稱.

5.［2021全國(guó)卷甲，5分］下列函數(shù)中是增函數(shù)的為(D)

A./(%)——XB./(%)—(：)C./(%)—x2D./(%)—V%

［解析］如圖，在坐標(biāo)系中分別畫出A,B,C,D四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的大致圖象,

即可快速直觀判斷D項(xiàng)符合題意.故選D.

6.［2021全國(guó)卷乙，5分］設(shè)函數(shù)/(%)=三，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(B)

A.f(%—1)—1B.f(%—1)+1C.f(%+1)—1D.f(%+1)+1

［解析］因?yàn)?(%)=震，所以/(久—1)=簽引=w，/(%+1)=W翳=

-X

x+2?

對(duì)于A尸(%)=/(%—1)—1=——1=亨，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但不滿足

F(x)=—F(—%)；

對(duì)于B,G(x)=/(%—1)+1=+1=|,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足

G(x)=-G(—%)；

對(duì)于C,/(%+1)_1=三_1=—W,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

x+2x+2

對(duì)于D,/(%+1)+1=—三+1=——，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.故選B.

x+2x+2

【速解】/(%)=尸=中3=1-1,為保證函數(shù)變換之后為奇函數(shù)，需將

J1+xl+x1+X

函數(shù)y=/Q)的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，得到

的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=/(%-1)+1,故選B.

7.［2021新高考卷II,5分］設(shè)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,且/(%+2)為偶函

數(shù),f(2x+l)為奇函數(shù),則(B)

A./(-習(xí)=0B./(-1)=0C.〃2)=0D.〃4)=0

［解析］因?yàn)楹瘮?shù)/1(%+2)是偶函數(shù),所以f(%+2)=f(-%+2),則函數(shù)/(%)

的圖象關(guān)于直線％=2對(duì)稱.因?yàn)楹瘮?shù)/(2x+1)是奇函數(shù)，所以/(-2%+1)=

-7(2%+1),則/⑴=0,且函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱./(%)=

7(4-%)=-/［2-(4-%)］=-/(%-2),則/(%+4)=-/(%+2)=

—(_/(%))=/(%),所以函數(shù)/(%)是以4為周期的周期函數(shù)，所以/(1)=

/(I+4)=/(5)=0,又函數(shù)/(久)的圖象關(guān)于直線％=2對(duì)稱，所以/(5)=

/(4-5)=/(-1)=0,故選B.

【方法技巧】函數(shù)的奇偶性和圖象的對(duì)稱性的關(guān)系

(1)若/(a%+b)是奇函數(shù)，則函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(5,0)對(duì)稱；

(2)若/(a%+匕)是偶函數(shù)，則函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直線久=b對(duì)稱；

(3)若函數(shù)/(%)是奇函數(shù)，則函數(shù)/(a%+b)(aA0)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-/,0)對(duì)

稱；

(4)若函數(shù)/(久)是偶函數(shù)，則函數(shù)/(a%+b)(aA0)的圖象關(guān)于直線久=—?

對(duì)稱.

8.［2021全國(guó)卷甲，5分］設(shè)函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镠,/(%+1)為奇函數(shù)，

+2)為偶函數(shù)，當(dāng)％G［1,2］時(shí)/(%)ax2+b.若/(0)+/(3)=6,則

/O(D)

9375

A「B-2CJD2

［解析］由于/(久+1)為奇函數(shù)，所以函數(shù)/(無(wú))的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，即有

/(%)+/(2—%)=0,令％—1,得/(I)—0,即a+b=O①，令％—0，得

/(0)=一/(2).由于/(%+2)為偶函數(shù)，所以函數(shù)/(無(wú))的圖象關(guān)于直線％=2對(duì)

稱，即有/(%)-/(4-%)=0,令％=1，得/(3)=/(I)，所以/(0)+/(3)=

—/(2)+/(I)——4a—b+a+b——3a-6②.根據(jù)①②可得a——2,b—2,

所以當(dāng)％G［1,2］時(shí)，/(%)=-2x2+2.

根據(jù)函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直線％=2對(duì)稱，且關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，可得函數(shù)/(久)

的周期為4,所以/(J=/G)=-/(|)=2x(I?-2=|?

【方法技巧】函數(shù)周期性的常用結(jié)論

設(shè)函數(shù)y=/(%),xeR,a>0,a豐b.

(1)若f(%+a)=-f(%)，則函數(shù)的周期為2a;

(2)若/Q+a)=±六，則函數(shù)的周期為2a;

/(X)

(3)若f(x+a)=f(x+b),則函數(shù)的周期為|a-b\;

(4)若函數(shù)/(為)的圖象關(guān)于直線久=a與久=b對(duì)稱，那么函數(shù)/(%)的周期為

2\b—a\;

(5)若函數(shù)/(久)的圖象既關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)(40)對(duì)稱，則函數(shù)

/(%)的周期是21b-a\;

(6)若函數(shù)/(%)的圖象既關(guān)于直線久=a對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)(b,0)對(duì)稱，則函數(shù)

/(x)的周期是41b-a\.

9.[2020新高考卷I,5分]若定義在R上的奇函數(shù)/(久)在(-8,0)單調(diào)遞減，

且/(2)=0，則滿足為/(久-1)>0的式的取值范圍是(D)

A.[—1,1]U[3,+8)B.[—3,—1]U[0,1]C.[—1,0]U[1,+oo)D.[—1,0]U[1,3]

[解析]由題意知/(%)在(-8,0),(0,+8)單調(diào)遞減，(奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的

區(qū)間上單調(diào)性相同)

且/(-2)=/(2)=/(0)=0.當(dāng)％〉0時(shí)，令/(%-1)>0>0<%-1<21<

x<3；當(dāng)％<0時(shí)，令/(%—1)<0，得—2<%—1<0—1<x<1，又％<

0,-1<%<0；當(dāng)久=0時(shí)，顯然符合題意.綜上，原不等式的解集為

[-1,0]U[1,3]，選D.

【速解】當(dāng)％=3時(shí),/(3—1)=0，符合題意，排除B；當(dāng)％=4時(shí)，f(4—1)=

/(3)<0，此時(shí)不符合題意，排除選項(xiàng)A,C.故選D.

10.[2019全國(guó)卷III,5分]設(shè)/(%)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)

遞減，則(C)

A-f(log3>/(2-1)>f(2-t)B.f(log3(2-t)>f(2-1)

C./(2-1)>f(2-t)>f(log3￡)D./(2-t)>f(2-1)>f(log3

[解析]根據(jù)函數(shù)/(%)為偶函數(shù)可知，f(10g3y=/(-log34)=/(log34),因?yàn)?/p>

32/3、

0<2"<2-<2°<log34,且函數(shù)/(久)在(0,+00)單調(diào)遞減，所以/(2一。>

f(2")>/(log34)=f(log3J.故選C.

11.[2019天津，5分]已知aGR.設(shè)函數(shù)/(%)=產(chǎn)—"+2a；“<L若關(guān)于％

1%—amx,x>1.

的不等式/(%)20在R上恒成立，貝Ua的取值范圍為(C)

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1,e]

[解析]解法一當(dāng)a=0時(shí),不等式/(無(wú))>0恒成立，排除D;當(dāng)￡1=e時(shí),/(久)=

儼2_產(chǎn)+2e,x&1，當(dāng)％K1時(shí)/(%)=/一2ex+2e的最小值為/(1)=1>

0，滿足/(%)>0;當(dāng)％>1時(shí)，由/(%)=%-eln%可得/'(%)=1-2=濘，易得

/(%)在％=e處取得極小值(也是最小值)/(e)=0，滿足/(%)>0恒成立，排除

A,B.故選C.

解法二若％<1,/(%)-x2—2ax+2a-(x—a)2—a2+2a，當(dāng)a<1時(shí)，可得

f(x)的最小值為/(a)=-a2+2a,令/(a)>0，解得0<a<2，故0<a<1;

當(dāng)a>1時(shí)，可得/(%)的最小值為/(l)=1>0，滿足條件.所以a>0.

若%>1，由/(久)-x-a\nx可得/'(%)=1-￡=，當(dāng)a<1時(shí)/'(%)>0，則

/(%)單調(diào)遞增,故只需/(I)>0，顯然成立;當(dāng)a>1時(shí)，由/'(%)=0可得久=a，易

得/(%)的最小值為/(a)=a-alna,令/(a)>0，解得a<e，故1<aWe,所

以a<e.綜上,a的取值范圍是[0,e].

12.[2019全國(guó)卷II,5分]設(shè)函數(shù)/(國(guó)的定義域?yàn)镽,滿足/(%+1)=2/(%),

且當(dāng)％E(0,1]時(shí)，/(%)=%(%-1).若對(duì)任意％E(-co,m],都有/(久)>,

則m的取值范圍是(B)

9758

A.(-CX)-]B.(―8月C.(-CX)-]D.(―8月

43Z3

[解析]當(dāng)-1<%W0時(shí)，0<%+1工1,貝1]/(%)=[/(%+1)=](久+1)%；

當(dāng)1<%工2時(shí)，0〈光一1W1,貝U/(%)=2/(尤-1)=2(%—1)(%—2)；當(dāng)

2<%W3時(shí)，0<%—2工1,則/(%)=2/(%—1)=22f(x-2)=

22(x-2)(%-3),……由此可得

1

-(%+l)x,-1<%<0,

，(”)=<2(xX-XlXx-02)l<x<2由此作出函數(shù)"%)的圖象，如圖所示?由

22(%—2)(%—3),2<%<3,

圖可知當(dāng)2〈無(wú)工3時(shí)，令22(尤一2)(%—3)=—『整理，得(3%一7)(3%—

8)=0,解得％=|或%=|,將這兩個(gè)值標(biāo)注在圖中.要使對(duì)任意久E(-co,m］

都有/(%)>-1,必有m1,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(一8,3，故選B.

【方法技巧】破解此類題的關(guān)鍵：一是會(huì)轉(zhuǎn)化，把不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩

個(gè)函數(shù)的圖象的關(guān)系問(wèn)題，如本題，把“對(duì)任意％C(-8,瓶］,都有/(%)2

"轉(zhuǎn)化為“xG(―8,瓶］時(shí)，函數(shù)/(%)的圖象都不在直線y=-I的下

99

方”；二是會(huì)借形解題，即畫出函數(shù)的圖象，借助圖象的直觀性，可快速找到

參數(shù)所滿足的不等式，從而得到參數(shù)的取值范圍.

13.［2023新高考卷I,5分］(多選題)已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,f(xy)=

y2/(x)+x2f(y),則(ABC)

A./(0)=0B./⑴=0

C./(%)是偶函數(shù)D.久=0為的極小值點(diǎn)

［解析］取為=y=0,則/(0)=0,故A正確；取久-y-1,則/(I)=/(I)+

/(I)，所以/(I)=0，故B正確；取％=y=-1,則/(I)=/(-I)+/(-I),

所以/(一1)=0,取y=-1,則/(-%)=/(%)+%27(-1)，所以/(-%)=

/(久)，所以函數(shù)/(無(wú))為偶函數(shù)，故c正確；由于/(0)=0,且函數(shù)/(無(wú))為偶函

數(shù)，所以函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以久=0可能為函數(shù)/(無(wú))的極小值

點(diǎn)，也可能為函數(shù)/(K)的極大值點(diǎn)，也可能不是函數(shù)/(久)的極值點(diǎn)，故D不正

確.綜上，選ABC.

14.［2022新高考卷I,5分］(多選題)已知函數(shù)/(%)及其導(dǎo)函數(shù)/'(￡)的定義

域均為R,記g(%)=/'(%).若/?-2%)，g(2+%)均為偶函數(shù)，則(BC)

A./(0)=0B.g(—3=0C./(—1)=/(4)D.g(—1)=g⑵

［解析］因?yàn)?(|-2x)為偶函數(shù)，所以/(|一2%)=/(|+2%)，所以函數(shù)/(久)的

圖象關(guān)于直線％=|對(duì)稱，/(|-2X|)=/(|+2X|),iP/(-l)=/(4),所以

C正確；

因?yàn)間(2+%)為偶函數(shù)，所以g(2+%)=g(2,函數(shù)g(%)的圖象關(guān)于直線

%=2對(duì)稱，因?yàn)間(x)=/'(%),所以函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(|,0)對(duì)稱，

(二級(jí)結(jié)論：若函數(shù)九(久)為偶函數(shù)，則其圖象上在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)處的切線

的斜率互為相反數(shù)，即其導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.本題函數(shù)/(無(wú))的圖象關(guān)

于直線久對(duì)稱，則其導(dǎo)函數(shù)g(K)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱)

所以9(%)的周期7=4義(2-|)=2,因?yàn)?(一1)=/(4),所以/，(—1)=

—/'⑷，即g(—1)=—g⑷=—g⑵，所以D不正確；

因?yàn)?(;2)=/?+2)，即/(一￡>=/()所以/'(一3=一/'(%所以

g(―§=-g0=-g(2x2—})=~9>所以9—0>所以B正

確；

不妨取/(%)=1(%GR)，經(jīng)驗(yàn)證滿足題意，但/(0)=1,所以選項(xiàng)A不正確.綜

上，選BC.

【速解】因?yàn)?(|一2%)國(guó)(2+￡)均為偶函數(shù)，所以函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直線

%對(duì)稱，函數(shù)以無(wú))的圖象關(guān)于直線％=2對(duì)稱.取符合題意的一個(gè)函數(shù)

/(%)=1(%ER),則/(0)=1,排除A；取符合題意的一個(gè)函數(shù)/(%)=

sinTVX,則/'(%)=TTCOSTVX,即g(%)=TTCOSTVX,所以g(—1)=TTCOS(—TT)=

-TT,g(2)=TTCOS2TT=n,所以g(-l)Hg(2),排除D.故選BC.

二、填空題

15.［2023全國(guó)卷甲，5分］若/(%)=(%—1)2+a%+sin(%+］)為偶函數(shù)，則

a=2.

［解析］解法一因?yàn)閒(%)為偶函數(shù)，所以f(一%)=/(%)，即(一％-I)2-ax+

sin(—%+^=(%—I)2+ax+sin(%+］)，得a=2.

2

解法二因?yàn)?(%)為偶函數(shù)，所以/(—§=/管)，即(_…)一聲=

(］-1)+a，得a=2.

16.［2022北京，5分］函數(shù)/(%)=:+VI-%的定義域是(-8,0)u￡QJJ.

［解析］因?yàn)?(%)=：+V1-%，所以％0,1-%>0,解得％G(-00,0)U

(0,1］.

17.(2022全國(guó)卷乙，5分)若/(%)=In|a+上|+b是奇函數(shù)，則。=

—1,b—In2.

［解析］/(%)=In|a+占|+b=In|a+汽|+Ineb=In|(a+1^_-aex|.：f(x)為

22fc

奇函數(shù)，；./(r)+/(久)=上『+1)；二:ex［二0,|(a+l)e-

a2e2bx2\=|1—/|.當(dāng)(a+l)2e2b—a2e2、2=i_/時(shí)，則j(a+=1,

IazeZD=1,

22b22=

解得?=后，當(dāng)g+2b_aex=-1+x時(shí)，則卜無(wú)

Lb=In2.(ae=T

解.綜上，a=-1,b=ln2.

【速解】易知函數(shù)/(久)為奇函數(shù)，.??由奇函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可

得％H-1,當(dāng)％=-1時(shí)，|a+上］￡0.又N0恒成立，當(dāng)％=

—1時(shí)，|a+--=0,?-a——鼻.又由/(0)——0可得b=In2.經(jīng)檢驗(yàn)符合題

/號(hào)、9ct—,b—In2.

2

18.［2022浙江，6分］已知函數(shù)/(無(wú))=i+,則/(f(J)=,；若當(dāng)

IX-\----1,Xx>1\

IX

xe［a，句時(shí)，1</(%)<3,則b—a的最大值是3+K.

：一1=||.作出函數(shù)/(光)的大致圖象，如圖所示，結(jié)合圖象，令一/+2=

728

1,解得％=±1;令%+工-1=3,解得工=2±百，又％>1,所以％=2+

X

V3，所以(b—G)max=2+V3—(―1)=3+V3.

19.［2022北京，5分］設(shè)函數(shù)/(久)若/(%)存在最小值，則a

的一個(gè)取值為0(答案不唯一)；a的最大值為1.

［解析］當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)/(%)=(:點(diǎn)°,存在最小值0,所以a的一個(gè)取

值可以為0；當(dāng)a<0時(shí)，若X<a,/(%)=—a%+1,此時(shí)函數(shù)/(%)不可能存

在最小值；當(dāng)0<aW2時(shí)，若％<a,則/(久)=-ax+1,止匕時(shí)/(%)E

(-a2+1,+oo),若%>a,則/(%)=(%-2)2e［0,+oo),若函數(shù)/(%)存在最

小值，則一a?+1>0,得0<aW1；當(dāng)a>2時(shí)，若％<a,則/(%)=

—ax+1,止匕時(shí)/(%)E(—a2+1,+oo),若%>a,則/(為)=(%—2)2G

［(a-2尸,+8),若函數(shù)/(%)存在最小值，則一a?+1>(a-2)2,此時(shí)不等式

無(wú)解.綜上,0<a<l,所以a的最大值為1.

20.［2021浙江，4分］已知aGR,函數(shù)/(久)=［'一若

/(/(孤))=3，則a=2

［解析］因?yàn)檫B>2,所以/(e)=6—4=2,所以/(/(V6))=/(2)=1+

a—3,解得a—2.

21.［2021新高考卷II,5分］寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)/(%):

(答案不唯一).

①=/(%1)/(%2)；②當(dāng)％C(0,+00)時(shí)，/z(x)>0；③/'(%)是奇函數(shù).

［解析］由題意，可考慮二次函數(shù),如函數(shù)/(%)=/,則f=好好,

/(%1)=%1,/(%2)=媛，所以=/(%1)/(%2)；因?yàn)?'(%)=2%,

/'(—%)=-2%=—/'(X),所以/'(%)為奇函數(shù)，且當(dāng)％>0時(shí)，/'(%)>o.故

函數(shù)/(%)=%2符合題意.

22.［2020北京，5分1函數(shù)“北=±+In%的定義域是9+8).

［解析］函數(shù)/(久)=a+In久的自變量滿足｛:：j。仇???％>0，即定義域?yàn)?/p>

(0,+00).

2

23.［2020江蘇，5分］已知y=/(%)是奇函數(shù)，當(dāng)久20時(shí)，/(%)=百，則

/(—8)的值是二4.

22

［解析］由題意可得/(一8)=-/⑻=-83=-(23)3=-22=-4.

24.［2019北京，5分］設(shè)函數(shù)/(%)=e*+ae-x(a為常數(shù)).若/(%)為奇函數(shù),

則a==1；若/(久)是R上的增函數(shù)，貝1Ja的取值范圍是(-8,0］.

［解析］：為奇函數(shù)，；./(-%)=-/(%),BPe-x+aex=-ex-ae~x

(1+a)e~x+(1+a)ex—0a——1;??,/(%)是R上的增函數(shù)，/'(%)—ex—

2x

ae~x-彳J>0e2x-a>0，則a<0，故a的取值范圍是(一8,0］.

考點(diǎn)5函數(shù)的圖象

題組

選擇題

1.［2023天津，5分］函數(shù)/(%)的圖象如圖所示，則/(%)的解析式可能為(D)

A"(%)=/?2B./(%)=券c./(%)=皚FD./(%)=含

［解析］由題圖可知函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以函數(shù)/(%)是偶函數(shù).因?yàn)?/p>

y=/+2是偶函數(shù)，y=eX—eT是奇函數(shù)，所以/(久)=巴黑歲是奇函

數(shù)，故排除A；因?yàn)閥=/+1是偶函數(shù)，y=sin%是奇函數(shù)，所以/(%)=

舞是奇函數(shù)，故排除B；因?yàn)椋?+2>0,eX+eT>o,所以/(%)=

5(e；+e］)>0恒成立,不符合題意，故排除C.分析知，選項(xiàng)D符合題意，故選

xz+2

D.

2.［2022全國(guó)卷甲，5分］函數(shù)y=(3支一3一支)?COSK在區(qū)間［―；弓］的圖象大致

為(A)

［解析］解法一(特值法)取％=1，則y=(3-§cos1=geos1>0；取X=

-1,則y=(|-3)cos(-l)=-1cos1<0.結(jié)合選項(xiàng)知選A.

解法二令y—/(%),則/(—%)—(3-x—3z)cos(—%)=—(3Z—3-z)cosx-

-/(%),所以函數(shù)y=(3X-3-x)cosx是奇函數(shù)，且當(dāng)％G(0弓)時(shí),3芯-3T>

0,cosx>0，故f(%)>0，故選A.

【方法技巧】解圖象識(shí)別題的關(guān)鍵：一是活用函數(shù)的性質(zhì)，常利用函數(shù)的單調(diào)

性與奇偶性來(lái)排除不符合題意的選項(xiàng)；二是取特殊點(diǎn)進(jìn)行排除，根據(jù)函數(shù)的解

析式，選擇特殊點(diǎn)，即可排除不符合題意的選項(xiàng).

3.［2022全國(guó)卷乙，5分］如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間［一3,3］的大

致圖象，則該函數(shù)是(A)

［解析］對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)％=1時(shí)，y-0,與圖象不符，故排除B；對(duì)于選項(xiàng)

D,當(dāng)％=3時(shí)，y=1sin3>0,與圖象不符，故排除D；對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)％〉

0時(shí)，y-2：；；：<X=COS久W1,與圖象在y軸右側(cè)最高點(diǎn)大于1不符，

所以排除C.故選A.

C.D.

［解析］/(%)=左尹的定義域?yàn)椋?%豐0),且/(一%)==一生二0=

-/(%),所以函數(shù)/(%)是奇函數(shù)，函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除選項(xiàng)

C,D;因?yàn)镮/-1|>0，所以當(dāng)％>0時(shí)/(%)20,當(dāng)“<0時(shí)/(%)<0，故排除選

項(xiàng)B.故選A.

5.［2021浙江，4分］已知函數(shù)/(%)=/+］應(yīng)(%)=sin久,則圖象如圖的函數(shù)可

能是(D)

/(%)g(%)D.y=若

［解析］易知函數(shù)/(%)=%2+；是偶函數(shù)，gO)=sin%是奇函數(shù)，給出的圖象對(duì)

4

應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù).選項(xiàng)A,y-/(%)+g(久)一:=/+sin%為非奇非偶函

數(shù)，不符合題意，排除A；選項(xiàng)B,y=/(久)一g(K)-［=/一sin%也為非奇

非偶函數(shù)，不符合題意，排除B；因?yàn)楫?dāng)為6(0,+8)時(shí)，/(%)單調(diào)遞增，且

/(%)>0，當(dāng)為C(0弓)時(shí)，g(%)單調(diào)遞增，且。(%)>0,所以y=在

(0,3上單調(diào)遞增，由圖象可知所求函數(shù)在(0,9上不單調(diào)，排除C.故選D.

6.12019全國(guó)卷I,5分］函數(shù)/(%)=也坐在［―n,n］的圖象大致為(D)

cosXI%

A.

sin(-x)-xsinx+x

［解析］易知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?/p>

R.???/(-%)cos(-x)+(-x)2cosx+x2

一/(%)，???f(%)為奇函數(shù)，排除A；-/(TT)==三＞0，???排除C；

v/(l)=-......，且sin1>cos1，??.f(1)>1，.,?排除B?選D.

JCOS1+1J

考點(diǎn)6指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)

題組

選擇題

1.[2023天津，5分]若。=1.O105,b=1.O106,c=O.605,則a,b,c的大小關(guān)

系為(D)

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

[解析]因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=1.0y是增函數(shù)，且0.6>0.5>0,所以

1.O105>1,即b>a>l；因?yàn)楹瘮?shù)g(%)=0.6X是減函數(shù)，且0.5>0,所以

O.605<0.6°=1,即c<1.綜上，b>a>c.故選D.

2.[2023新高考卷I,5分]設(shè)函數(shù)/(久)=2以"。)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，貝南

的取值范圍是(D)

A.(-oo,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+^)

[解析]解法一由題意得y=x(x-a)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減，所以久=^>1,

解得a>2.故選D.

解法二取a=3,則y=x(x—3)=(%—：在(o］)單調(diào)遞減，所以

/(%)=2皿-3)在(0,1)單調(diào)遞減，所以a=3符合題意，排除A,B,C,故選D.

Q7

07

3.［2022天津，5分］已知a=2',b=',c=log2|，則(C)

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

07

［解析］因?yàn)閍=2'>2°-1,0<b=Q)<Q)=1,c-log21<

log2l=0,所以a>b>c,故選C.

4.［2022天津,5分］化簡(jiǎn)⑵og43+log83)(log32+log92)的值為(B)

A.1B.2C.4D.6

［解析K210g43+log83)(log32+log92)=(21og223+log233)(log32+log322)=

(log23+|log23)(log32+|log32)=|xlog23x|xlog32=2,故選B.

5.［2022北京，4分］已知函數(shù)/(久)=備，則對(duì)任意實(shí)數(shù)無(wú)，有(C)

A./(—%)+/(%)=0B./(—%)—/(%)=0C./(—%)+

1

/(%)=1D./(-%)-/(%)=］

［解析］函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,/(-X)=號(hào)工=3不，所以/(-%)+/(%)=

總+a=1,故選j

6.［2022浙江,4分］已知2a=5,log83=b，則4"3b=(c)

2555

ABD-

3

［解析］由2a=5得a=log25.又匕=log83=?og23,所以a—3b=log25—

55

310-

2=2--g4-所以4-3b=41og居=弓，故選

310g423

c

7.［2022全國(guó)卷甲，5分］已知9加=10,a=10m-11,b=8m-9,^lj(A)

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

［解析］因?yàn)?M=10,所以m=log910,所以。=10徵—ll=10iog910—

11=10】og910—lObgioll.因?yàn)閘ogglO-logioll=翳一昌=

Qg?：g9-igii>agio：-產(chǎn)丹=HzfS>o，所以a>0,b=8bg91。-9=

1g91g101g91g101g9

81Og91<

°-8*，因?yàn)榛?°-log89=翳嚕lg8=咒院詈尸

（―明Qg9）2J譬）篤（叫2

<0,所以b<0.綜上,a>0>b.故選A.

lg91g8Ig91g8

8.[2021新高考卷II,5分]若a=log52,b=log83,c=|,則（C）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

［解析］a=logs2=log5V4<log5V5=(=c,b-log83=log8M>log8V8=

|=c,所以a<c<b.故選C.

9.［2021全國(guó)卷甲，5分］青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助

視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)

L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)U滿足L=5+IgU.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)

為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為CVTUX1.259)(C)

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

［解析］4.9=5+lgUnlg，=-0.1V-lO-io=-^―??0.8，所以該同

學(xué)視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8.

10.［2020全國(guó)卷I,5分］設(shè)alog34=2，則=(B)

1111

A.—B.-C.-D.-

16986

［解析］解法一因?yàn)閍log34=2,所以log34a_2,則有4a-32-9,所以

4Y=2=2，故選B-

解法二因?yàn)閍log34=2,所以-alog34=-2,所以logs，。=-2,所以

4-a=3-2=2=—故選B.

349

11.［2020新高考卷I,5分］基本再生數(shù)&與世代間隔T是新冠肺炎的流行病

學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間

傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：/(t)=ert

描述累計(jì)感染病例數(shù)/(t)隨時(shí)間t(單位：天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與

Ro，T近似滿足品=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出品=3.28,7=6.據(jù)

此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為

(In2-0.69)(B)

A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天

(/(以)=e038tl,

038t

［解析］：A。=1+廠73.28=1+6rr=0.38.若｛7(t2)=e2,則

(/(切=2/Qi),

eo.38(t2-tl)=2,o.38(t2-=In2?0.69,t2-~1.8，選B.

12.［2020新高考卷II,5分］已知函數(shù)f(%)=lg(x2-4x-5)在(a,+8)上單調(diào)

遞增，則a的取值范圍是(D)

A.(-oo,-l］B.(―8,2］C.［2,+8)D.［5,+8)

［解析］由久2-4%一5>0,解得%〉5或久<一1,所以函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?/p>

(—co,—1)u(5,4-00).又函數(shù)y-x2—4x—5在(5,+oo)上單調(diào)遞增，在

(-oo,-l)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)/(%)=lg(x2-4%-5)在(5,+8)上單調(diào)遞

增，所以a>5,故選D.

【方法技巧】函數(shù)y=loga/(%)的單調(diào)性與函數(shù)a=/(%)(/(%)>0)的單調(diào)性

在a>1時(shí)相同，在0<a<1時(shí)相反.注意研究對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一定

要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”原則，否則所得范圍易出錯(cuò).

13.［2020全國(guó)卷II,5分］設(shè)函數(shù)/(%)=In|2%+1|-ln|2x-1|,則/(久)(D)

A.是偶函數(shù)，且在(［,+8)單調(diào)遞增0B.是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增D.是奇函數(shù)，且在(-8,-9單調(diào)遞減

［解析］由J&得函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?_8,_習(xí)UU@,+8),

其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?(一%)=ln|2(-x)+1|-ln|2(-x)-1|=ln|2x-1|-

ln|2x+l|=-/(%),所以函數(shù)f(%)為奇函數(shù),排除A,C.當(dāng)上?_4

時(shí)，/(%)=ln(2久+1)-ln(l-2%),易知函數(shù)/(%)單調(diào)遞增，排除B.當(dāng)％C

(一叫一f時(shí)，/(%)=ln(-2x-1)-ln(l-2x)=In含=In(1+后)，易

知函數(shù)/(%)單調(diào)遞減，故選D.

【方法技巧】解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)：(1)判斷函數(shù)的奇偶性通常利用定義，但必

須要先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；(2)確定函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要注

意化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，并利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.

07

14.［2020天津，5分］設(shè)。=3,b=,c=log0,70.8，則a,b,c的大小關(guān)系

為(D)

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

—0.8

?=30'8,易知函數(shù)y=3X在R上單

調(diào)遞增，所以6=3。8>3。，7=。>1,所以c<a<b,故選D.

15.［2020全國(guó)卷II,5分］若2久一2><3T—3->，則(A)

A.ln(y—x+1)>0B.ln(y—%+1)<0C.ln|x-y\>

0D.ln|x-y|<0

［解析］由>-2y<3-x-3-y,得才-3T<2,—3-y,即2丫_qy<A—

g)y.設(shè)/(t)=2t-，則/(%)</(').因?yàn)楹瘮?shù)z=2t在R上為增函

數(shù)，z=—Q'在R上為增函數(shù)，所以/(t)=2t—G)'在R上為增函數(shù)，則由

/(%)</(、)，得為<y,所以y-%>0,所以+所以

ln(y—x+1)>0,故選A.

【方法技巧】解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)：(1)對(duì)于結(jié)構(gòu)相同(相似)的不等式，通常

考慮變形，構(gòu)造函數(shù)；(2)利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到的大小

關(guān)系及l(fā)n(y-%+1)的符號(hào).

16.［2020全國(guó)卷I,5分］若2a+log2a=4s+210g4b，則(B)

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

XX

［解析］令/(%)=2+log2x，因?yàn)閥=2在(0,+8)上單調(diào)遞增，y=log2x在

X

(0,+oo)上單調(diào)遞增，所以/(%)=2+log2X在(0,+8)上單調(diào)遞增.又2a+

b

log2a=4+210g4b=22b+log2b<22b+\Og2(2b),所以/(a)</(2b),所

以a<2b.故選B.

【方法技巧】破解此類題的關(guān)鍵：一是細(xì)審題，盯題眼，如本題的題眼為

ab

"2+log2a=4+21og4b"；二是巧構(gòu)造，即會(huì)構(gòu)造函數(shù)，注意活用初等函

數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷；三是會(huì)放縮，即會(huì)利用放縮法比較大小.

17.［2020全國(guó)卷III,5分］已知55<84,134<85.設(shè)a=log53力=log85,c=

log138,WA)

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

454

［解析］55<8=>In5<In8n51n5<41n8，所以'>等=log85=b;同理

5In8

134<85nIn134<In85n41n13<51n8，所以±<—=log8=

5In13o1,。3

c;34<53=>In34<In53041n3V3In5，所以三>—=log3=

4In55

3434

a;8<5=>In8<In5n31n8<41n5,所以三<等=log85=b.綜上可

4In8

知，a<2<b<3<c,故選A.

45

【方法技巧】比較兩數(shù)(式)大小的方法

(I)作差法：根據(jù)兩數(shù)或兩式的差與0的大小關(guān)系判斷大小.

(2)作商法：根據(jù)兩數(shù)或兩式的商與1的大小關(guān)系判斷大小.作商比較大小時(shí)

要注意兩者的符號(hào)，否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)解.比如，若￡>1，則當(dāng)5>0時(shí)，有a>

b；當(dāng)匕<0時(shí)，有a<b.

(3)中間值法：對(duì)于兩個(gè)數(shù)值，如果無(wú)法直接比較大小，那么可以考慮利用中

間值來(lái)比較大小.一般常用的中間值有0,1,［等.如比較大?。?.1。3和

0.321,顯然2.163大于1,0.32工小于1,則中間值可取1；log32和

log3(log32),顯然log3