材料力學(xué)章彎曲變形

第七章彎曲變形材料力學(xué)實(shí)驗(yàn)選課材料力學(xué)－第7章彎曲變形引言

上一章中，我們對(duì)梁彎曲情況下的應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算，并學(xué)習(xí)了如何進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計(jì)。在平面彎曲的情形下，梁的軸線將彎曲成平面曲線。如果變形太大，也會(huì)影響構(gòu)件正常工作。因此，對(duì)機(jī)器中的零件或部件以及土木工程中的結(jié)構(gòu)構(gòu)件進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，除了滿足強(qiáng)度要求外，還必須滿足一定的剛度要求，即將其變形限制在一定的范圍內(nèi)。為此，必須分析和計(jì)算梁的變形。

另一方面，某些機(jī)械零件或部件，則要求有較大的變形，以減少機(jī)械運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)所產(chǎn)生的振動(dòng)。汽車中的鈑簧即為一例。這種情形下也需要研究變形。

此外，求解靜不定梁，也必須考慮梁的變形以建立補(bǔ)充方程。

材料力學(xué)－第7章彎曲變形引言美國(guó)科羅拉多大峽谷著名的U形懸橋，距谷底1200多米，橋身全長(zhǎng)約49米，寬3米多，橋體自崖壁向外伸出21米。懸橋使用了454噸鋼梁，能夠抵御80公里外發(fā)生的里氏8級(jí)地震以及最高速度為每小時(shí)160公里的大風(fēng)。材料力學(xué)－第7章彎曲變形引言

機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中的齒輪軸，當(dāng)變形過大時(shí)(圖中虛線所示)，兩齒輪的嚙合處將產(chǎn)生較大的撓度和轉(zhuǎn)角，這就會(huì)影響兩個(gè)齒輪之間的嚙合，以致不能正常工作。

同時(shí)，還會(huì)加大齒輪磨損，同時(shí)將在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中產(chǎn)生很大的噪聲。

此外，當(dāng)軸的變形很大時(shí)，軸在支承處也將產(chǎn)生較大的轉(zhuǎn)角，從而使軸和軸承的磨損大大增加，降低軸和軸承的使用壽命。

材料力學(xué)－第7章彎曲變形引言

在工程設(shè)計(jì)中還有另外一類問題，所考慮的不是限制構(gòu)件的彈性位移，而是希望在構(gòu)件不發(fā)生強(qiáng)度失效的前提下，盡量產(chǎn)生較大的彈性位移。例如，各種車輛中用于減振的鈑簧，都是采用厚度不大的板條疊合而成，采用這種結(jié)構(gòu)，鈑簧既可以承受很大的力而不發(fā)生破壞，同時(shí)又能承受較大的彈性變形，吸收車輛受到振動(dòng)和沖擊時(shí)產(chǎn)生的動(dòng)能，收到抗振和抗沖擊的效果。

引言

本章將在上一章得到的曲率公式的基礎(chǔ)上，建立梁的撓度曲線微分方程；進(jìn)而利用微分方程的積分以及相應(yīng)的邊界條件確定撓度曲線方程;2.在此基礎(chǔ)上，介紹工程上常用的計(jì)算梁變形的疊加法;3.討論簡(jiǎn)單的靜不定梁的求解問題;

4.梁的剛度設(shè)計(jì)和合理剛度條件.材料力學(xué)－第7章彎曲變形梁彎曲問題的近似和簡(jiǎn)化

彎曲問題中，不考慮軸向拉伸。因此，梁內(nèi)力只有彎矩和剪力下面，我們分別考慮彎矩和剪力引起的彎曲變形效果材料力學(xué)－第7章彎曲變形引言撓度曲線彎矩引起的彎曲變形剪力引起的彎曲變形垂直于軸線的橫截面彎曲后仍為平面，仍垂直于軸線，只是相互間轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度垂直于軸線的橫截面彎曲后不垂直于軸線

材料力學(xué)中一般考慮細(xì)長(zhǎng)梁，顧而可以忽略剪力引起的變形，只考慮彎矩引起的變形。因?yàn)樗袡M截面始終與軸線垂直，所以，梁的彎曲變形可以僅用軸線來表征?？臻g的梁簡(jiǎn)化成一軸線。材料力學(xué)－第7章彎曲變形

－用什么物理量來描述梁的變形

問題1：如何表征梁的彎曲變形

問題2：如何計(jì)算梁的彎曲變形

－如何將梁承受的荷載與變形聯(lián)系起來撓度曲線材料力學(xué)－第7章彎曲變形

在平面彎曲的情形下，梁上的任意微段的兩橫截面繞中性軸相互轉(zhuǎn)過一角度，從而使梁的軸線彎曲成平面曲線，這一曲線稱為梁的撓度曲線（deflectioncurve）。*

梁的撓度曲線撓度曲線材料力學(xué)－第7章彎曲變形梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，這種位置的改變稱為位移(displacement)。梁的位移包括三部分：*

彎曲變形的表征1.橫截面形心處的鉛垂位移，稱為撓度（deflection），用w表示；2.變形后的橫截面相對(duì)于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，稱為轉(zhuǎn)角（slope），用

表示；撓度曲線材料力學(xué)－第7章彎曲變形梁在彎曲變形后，橫截面的位置將發(fā)生改變，這種位置的改變稱為位移(displacement)。梁的位移包括三部分：*

彎曲變形的表征3.橫截面形心沿水平方向的位移，稱為軸向位移或水平位移（horizontaldisplacement），用u表示。

#

在小變形情形下，上述位移中，水平位移u與撓度w相比為高階小量，故通常不予考慮。

撓度曲線材料力學(xué)－第7章彎曲變形*

撓度與轉(zhuǎn)角的相互關(guān)系在Oxw坐標(biāo)系中，撓度與轉(zhuǎn)角存在關(guān)系：

在小變形條件下，撓度曲線較為平坦，即

很小，因而上式中tan

。于是有w＝w（x），稱為撓度方程（deflectionequation）。

撓度曲線材料力學(xué)－第7章彎曲變形*

梁的曲率與彎矩、剛度之間的關(guān)系根據(jù)上一章所得到的結(jié)果，彈性范圍內(nèi)的撓度曲線在一點(diǎn)的曲率與這一點(diǎn)處橫截面上的彎矩、彎曲剛度之間存在下列關(guān)系：撓度曲線材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-2撓曲軸近似微分方程材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-2撓曲軸近似微分方程力學(xué)中的曲率公式數(shù)學(xué)中的曲率公式

撓曲軸近似微分方程

材料力學(xué)－第7章彎曲變形小撓度情形下對(duì)于彈性曲線的小撓度微分方程，式中的正負(fù)號(hào)與w坐標(biāo)的取向有關(guān)。

撓曲軸近似微分方程

§7-2撓曲軸近似微分方程材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-2撓曲軸近似微分方程材料力學(xué)－第7章彎曲變形采用向上的w坐標(biāo)系，有各物理量的正負(fù)方向：撓度：坐標(biāo)軸正向?yàn)檎ㄏ蛏希?fù)向?yàn)樨?fù)（向下）轉(zhuǎn)角：向撓度正方向偏轉(zhuǎn)為正（向上），負(fù)向偏轉(zhuǎn)為負(fù)（向下）彎矩：使微段產(chǎn)生上凹變形為正，上凸變形為負(fù)§7-2撓曲軸近似微分方程材料力學(xué)－第7章彎曲變形

撓曲軸近似微分方程

對(duì)于等截面梁，應(yīng)用確定彎矩方程的方法，寫出彎矩方程M(x)，代入上式后，分別對(duì)x作不定積分,得到包含積分常數(shù)的撓度方程與轉(zhuǎn)角方程：

其中C、D為積分常數(shù)。

§7-2撓曲軸近似微分方程材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-3計(jì)算梁位移的積分法－撓度曲線微分方程的積分與積分常數(shù)的確定材料力學(xué)－第7章彎曲變形材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-3計(jì)算梁位移的積分法

小撓度微分方程的積分和積分常數(shù)的確定

轉(zhuǎn)角方程撓度方程積分法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指約約束對(duì)于撓度和轉(zhuǎn)角的限制：

小撓度微分方程的積分和積分常數(shù)的確定

在固定鉸支座和活動(dòng)鉸支座處約束條件為撓度等于零：w=0;材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-3計(jì)算梁位移的積分法F材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-3計(jì)算梁位移的積分法積分法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指約束對(duì)于撓度和轉(zhuǎn)角的限制：

小撓度微分方程的積分和積分常數(shù)的確定

在固定端處撓度和轉(zhuǎn)角都等于零：w=0，θ＝0。積分法中常數(shù)由梁的約束條件與連續(xù)條件確定。約束條件是指約束對(duì)于撓度和轉(zhuǎn)角的限制：

連續(xù)條件：

小撓度微分方程的積分和積分常數(shù)的確定

梁在彈性范圍內(nèi)加載，其軸線將彎曲成一條連續(xù)光滑曲線，因此，在集中力、集中力偶以及分布載荷間斷處，兩側(cè)的撓度、轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)相等：w1=w2，θ1＝θ2等等。

材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-3計(jì)算梁位移的積分法Fx例題

1

求：梁的彎曲撓度與轉(zhuǎn)角方程，以及最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。

已知：左端固定、右端自由的懸臂梁承受均布載荷。均布載荷集度為q

，梁的彎曲剛度為EI、長(zhǎng)度為l。q、EI、l均已知。材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-3計(jì)算梁位移的積分法

解：1．建立Oxw坐標(biāo)系

建立Oxw坐標(biāo)系（如圖所示）。因?yàn)榱荷献饔糜羞B續(xù)分布載荷，所以在梁的全長(zhǎng)上，彎矩可以用一個(gè)函數(shù)描述，即無需分段。

2．建立梁的彎矩方程Oxw材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-3計(jì)算梁位移的積分法

從坐標(biāo)為x的任意截面處截開，因?yàn)楣潭ǘ擞袃蓚€(gè)約束力，考慮截面左側(cè)平衡時(shí)，建立的彎矩方程比較復(fù)雜，所以考慮右側(cè)部分的平衡，得到彎矩方程：

解：2．建立梁的彎矩方程xM(x)FS(x)材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-3計(jì)算梁位移的積分法3．

建立微分方程并積分

解：2．建立梁的彎矩方程將上述彎矩方程代入小撓度微分方程，得

Oxw材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-3計(jì)算梁位移的積分法3．

建立微分方程并積分積分后，得到Oxw材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-3計(jì)算梁位移的積分法解：4．

利用約束條件確定積分常數(shù)固定端處的約束條件為：

材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-3計(jì)算梁位移的積分法解：5．

確定撓度與轉(zhuǎn)角方程材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-3計(jì)算梁位移的積分法解：6．

確定最大撓度與最大轉(zhuǎn)角

從撓度曲線可以看出，在懸臂梁自由端處，撓度和轉(zhuǎn)角均為最大值。

于是，將x=l，分別代入撓度方程與轉(zhuǎn)角方程，得到：材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-3計(jì)算梁位移的積分法例題

2

求：加力點(diǎn)B的撓度和支承A、C處的轉(zhuǎn)角。

已知：簡(jiǎn)支梁受力如圖所示。FP、EI、l均為已知。材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-3計(jì)算梁位移的積分法

解：1．

因?yàn)锽處作用有集中力FP，所以需要分為AB和BC兩段建立彎矩方程。

首先，應(yīng)用靜力學(xué)方法求得梁在支承A、C二處的約束力分別如圖中所示。

解：2．

在圖示坐標(biāo)系中，為確定梁在0～l/4范圍內(nèi)各截面上的彎矩，只需要考慮左端A處的約束力3FP/4；而確定梁在l/4～l范圍內(nèi)各截面上的彎矩，則需要考慮左端A處的約束力3FP/4和荷載FP。確定梁約束力分段建立梁的彎矩方程材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-3計(jì)算梁位移的積分法解：2．

分段建立梁的彎矩方程AB段

BC段

AB和BC兩段的彎矩方程分別為

材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-3計(jì)算梁位移的積分法解：3．

將彎矩表達(dá)式代入小撓度微分方程并分別積分材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-3計(jì)算梁位移的積分法解：3．

積分后，得

其中，C1、D1、C2、D2為積分常數(shù)，由支承處的約束條件和AB段與BC段梁交界處的連續(xù)條件確定。

將彎矩表達(dá)式代入小撓度微分方程并分別積分材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-3計(jì)算梁位移的積分法解：4．

在支座A、C兩處撓度應(yīng)為零，即x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0因?yàn)椋簭澢蟮妮S線應(yīng)為連續(xù)光滑曲線，所以AB段與BC段梁交界處的撓度和轉(zhuǎn)角必須分別相等，即

x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，

1=

2

利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-3計(jì)算梁位移的積分法解：4．

利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，

1=

2D1＝D2=0材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-3計(jì)算梁位移的積分法解：5．

確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程以及指定橫截面的撓度與轉(zhuǎn)角

將所得的積分常數(shù)代入后,得到梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為：

AB段

BC段

據(jù)此，可以算得加力點(diǎn)B處的撓度和支承處A和C的轉(zhuǎn)角分別為

材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-3計(jì)算梁位移的積分法

確定約束力,判斷是否需要分段以及分幾段

分段建立撓度微分方程

微分方程的積分

利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)

確定撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度與轉(zhuǎn)角積分法小結(jié)

分段寫出彎矩方程材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-3計(jì)算梁位移的積分法本節(jié)作業(yè)：

7-1（a）,（c）7-3（a）,（d）材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-5計(jì)算梁位移的疊加法材料力學(xué)－第7章彎曲變形

疊加法－分解載荷逐段分析求和法－分解結(jié)構(gòu)材料力學(xué)－第7章彎曲變形材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-5計(jì)算梁位移的疊加法

何為疊加法

qF＋＋qF查表(附錄E)查表(附錄E)

為什么用疊加法

在很多工程計(jì)算手冊(cè)中，已將各種支承條件下的靜定梁，在各種典型載荷作用下的撓度和轉(zhuǎn)角表達(dá)式一一列出，簡(jiǎn)稱為撓度表。－附錄E根據(jù)疊加原理——在若干載荷作用下，梁上任一截面的應(yīng)力、撓度、轉(zhuǎn)角分別等于各個(gè)載荷單獨(dú)作用下該截面的應(yīng)力、撓度、轉(zhuǎn)角之和。可利用若干已知的、簡(jiǎn)單的梁變形結(jié)果得到較復(fù)雜載荷作用下的梁的變形結(jié)果材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-5計(jì)算梁位移的疊加法

疊加法的物理機(jī)制小變形情況下，且梁內(nèi)應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，撓曲軸近似微分方程為線性微分方程：同時(shí)，小變形情況下，由于橫截面形心的軸向位移可以忽略不計(jì)，因而梁內(nèi)任一截面的彎矩和荷載成線性齊次關(guān)系，例如：qFMe材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-5計(jì)算梁位移的疊加法求解圖示懸臂梁在分布載荷q作用下自由端截面的撓度。其中，抗彎剛度EI為常數(shù)，。例題3：解：由附錄知，在固定端x處的微載荷作用下，梁自由端撓度為：因此，分布載荷在自由端引起的撓度為：材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-5計(jì)算梁位移的疊加法

逐段分析求和法

FQM=Fa材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-5計(jì)算梁位移的疊加法F＋＋自由端總的撓度：a如圖懸臂梁，同時(shí)承受均布載荷q和集中載荷F的作用，且F＝qa，試求自由端C處撓度，彎曲剛度EI為常數(shù)。例題4：解：根據(jù)疊加原理，C處撓度是載荷F和q分別單獨(dú)作用時(shí)的撓度之和查表，載荷F單獨(dú)作用時(shí)，截面C撓度為載荷q單獨(dú)作用時(shí)，需要考慮B點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角，并利用連續(xù)性條件求得載荷q引起C處的撓度材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-5計(jì)算梁位移的疊加法＋載荷q單獨(dú)作用時(shí)，需要考慮B點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角，并利用連續(xù)性條件求得載荷q引起C處的撓度BC單元不受載荷，仍保持直線。但由連續(xù)性條件知，其左端的撓度和轉(zhuǎn)角必須和AB單元右端B點(diǎn)一致。材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-5計(jì)算梁位移的疊加法+如左圖，進(jìn)一步將結(jié)構(gòu)分解。qq根據(jù)連續(xù)性條件和幾何關(guān)系，載荷q在C點(diǎn)引起的撓度為：材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-5計(jì)算梁位移的疊加法

根據(jù)連續(xù)性條件和幾何關(guān)系，C點(diǎn)總的撓度為：材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-5計(jì)算梁位移的疊加法＋

疊加法應(yīng)用于間斷性分布載荷作用的情形

材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-5計(jì)算梁位移的疊加法已知：懸臂梁受力如圖所示，q、l、EI均為已知。求：C截面的撓度wC和轉(zhuǎn)角

C。例題

5材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-5計(jì)算梁位移的疊加法解：1.首先，將梁上的載荷變成有表可查的情形

為了利用撓度表中關(guān)于梁全長(zhǎng)承受均布載荷的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算自由端C處的撓度和轉(zhuǎn)角，先將均布載荷延長(zhǎng)至梁的全長(zhǎng)，為了不改變?cè)瓉磔d荷作用的效果，在AB段還需再加上集度相同、方向相反的均布載荷。

材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-5計(jì)算梁位移的疊加法

分別畫出這兩種情形下的撓度曲線大致形狀。于是，由撓度表中關(guān)于承受均布載荷懸臂梁的計(jì)算結(jié)果，上述兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為

解：2．再將處理后的梁分解為簡(jiǎn)單載荷作用的情形，計(jì)算各個(gè)簡(jiǎn)單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角

材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-5計(jì)算梁位移的疊加法

兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為

解：2．再將處理后的梁分解為簡(jiǎn)單載荷作用的情形，計(jì)算各個(gè)簡(jiǎn)單載荷引起的撓度和轉(zhuǎn)角

材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-5計(jì)算梁位移的疊加法解：3．將簡(jiǎn)單載荷作用的結(jié)果疊加

材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-5計(jì)算梁位移的疊加法

疊加法分析簡(jiǎn)例

Qq自由端總的撓度：材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-5計(jì)算梁位移的疊加法q＋＋

疊加法分析簡(jiǎn)例

FlaABCFAFa材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-5計(jì)算梁位移的疊加法BCFA

疊加法分析簡(jiǎn)例

FlFFxFy材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-5計(jì)算梁位移的疊加法

疊加法小結(jié)

材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-5計(jì)算梁位移的疊加法

疊加法可以是荷載的疊加、結(jié)構(gòu)的疊加

疊加法中可施加相互抵消的荷載將結(jié)構(gòu)所承受的荷載變?yōu)榭刹楸淼那闆r

使用疊加法的前提是小變形假設(shè)，梁彎矩與外力成線性關(guān)系

疊加法將復(fù)雜的荷載情況分解為簡(jiǎn)單的可查表求解的荷載情況，從而簡(jiǎn)化了計(jì)算。本節(jié)作業(yè)：

7-10（a）,（c）7-14（a）材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁

材料力學(xué)－第7章彎曲變形

多余約束與靜不定次數(shù)

求解靜不定梁的基本方法

求解靜不定梁示例材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁

靜定與靜不定問題

材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁

靜定與靜不定問題

靜定問題與靜定結(jié)構(gòu)——未知力（內(nèi)力或外力）個(gè)數(shù)等于獨(dú)立的平衡方程數(shù)Fq平衡方程（三個(gè)）：未知約束力（三個(gè)）FAyFAxFByFAyFAxM(x)平衡方程（三個(gè)）：未知約束力（三個(gè)）材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁

靜定與靜不定問題

靜不定問題與靜不定結(jié)構(gòu)——未知力個(gè)數(shù)多于獨(dú)立的平衡方程數(shù)Fq平衡方程（三個(gè)）：未知約束力（四個(gè)）FAyFAxFByFAyFAxM(x)平衡方程（三個(gè)）：未知約束力（四個(gè)）FByFBx靜不定次數(shù)——未知力個(gè)數(shù)與獨(dú)立平衡方程數(shù)之差多余約束——保持結(jié)構(gòu)靜定多余的約束

多余約束與靜不定次數(shù)

材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁FqFAyFAxFByFAyFAxM(x)FByFBx靜不定次數(shù)：1靜不定次數(shù)：1

求解靜不定梁的基本方法

材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁

求解靜不定梁的基本方法

1.分析結(jié)構(gòu)是靜定或靜不定，靜不定次數(shù)？2.解除多余約束，代之于約束反力，使問題成為含約束反力的靜定問題——稱之為原靜不定梁的相當(dāng)系統(tǒng)3.通過變形協(xié)調(diào)條件補(bǔ)充變形協(xié)調(diào)方程，結(jié)合平衡方程和物理方程求解

求解靜不定梁示例

材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁lABq3-3=04-3=1MAFAyFAxFB

求解靜不定梁示例

材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁ABlMAFAyFAxq第1步.分析結(jié)構(gòu)是靜定或靜不定，靜不定次數(shù)？5－3＝26－3＝3FBxMBBFByFBxFBy材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁AlMAFAyFAxqAlMAFAyFAxq第1步.分析結(jié)構(gòu)是靜定或靜不定，靜不定次數(shù)？材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁FBxBFByAlMAFAyFAxq

由于在小變形條件下，梁的軸向位移忽略不計(jì)，因此，F(xiàn)Ax

＝FBx=0。FBy第2步.找出多余約束，建立相當(dāng)系統(tǒng)求解這種靜不定問題只需1個(gè)補(bǔ)充方程：相當(dāng)系統(tǒng)第3步.通過變形協(xié)調(diào)條件補(bǔ)充變形協(xié)調(diào)方程，結(jié)合平衡方程和物理方程求解

應(yīng)用對(duì)稱性分析可以推知某些未知量FAx=FBx=0,FAy=FBy=ql/2,MA=MB

對(duì)于兩端固定的梁，同樣有FBx=0，但這時(shí)的多余約束力除FBy外，又增加了MB，于是需要兩個(gè)補(bǔ)充方程。但是，利用對(duì)稱性分析，這種梁不僅結(jié)構(gòu)和約束都對(duì)稱，而且外加載荷也是對(duì)稱的，即梁的中間截面為對(duì)稱面。于是可以確定：材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁MBFByAlMAFAyFBxFAxqFAx=FBx=0,FAy=FBy=ql/2,MA=MB材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁

應(yīng)用對(duì)稱性分析可以推知某些未知量MBAlMAqql/2ql/2

與未知力偶MB對(duì)應(yīng)的約束是對(duì)截面B轉(zhuǎn)角的限制，故這種情形下的變形協(xié)調(diào)方程為

MB例題

6求:

梁的約束力。已知：A端固定、B端鉸支梁的彎曲剛度為EI，長(zhǎng)度為l。材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁BAlqBAlq解：1.列出平衡方程2.列出變形協(xié)調(diào)方程

FAy+FBy-ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0MAFAyFAxFB材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁3.列出物性關(guān)系2.列出變形協(xié)調(diào)方程

wB=wB(q)+wB(FBy)=0wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl3/3EIwB(q)wB(FBy)lBAMAFAyFAxFB材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁BAlq解：4.綜合求解FAy+FBy-ql=0FAx=0MA+FByl-ql/2=0wB=wB(q)+wB(FBy)=0

將平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程和物性關(guān)系聯(lián)立解出:wB(q)=ql4/8EIwB(FBy)=-Fbyl3/3EIFBy=3ql/8,FAx=0,MA=ql2/8FAy=5ql/8,材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁BAlqMAFAyFAxFB材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁例題7懸臂梁AB在自由端承受集中力F的作用。因其剛度不夠，用一根短梁加固，如圖所示。設(shè)二梁的抗彎剛度均為EI，計(jì)算梁AB最大撓度的減少量。Al/2FBCl/2解當(dāng)無支承加固時(shí)，懸臂梁AB在自由端集中力F作用下的最大撓度為（附錄E）材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁用一根短梁加固后，結(jié)構(gòu)為一次超靜定。選擇C處的支承為多于約束，解除約束，代之以約束反力FR,如圖所示。加固短梁在C處約束反力FR作用下C處的撓度為（附錄）FFRFRAl/2FBCl/2材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁懸臂梁AB在自由端集中力F和約束反力FR作用下C處的撓度為（附錄）Al/2FBCl/2利用變形協(xié)調(diào)條件得FFRFR材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁懸臂梁AB在自由端集中力F和約束反力FR=5F/4作用下B處的撓度（最大撓度）為Al/2FBCl/2因此材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁例題8已知AB，BC為相同的兩根懸臂梁，中間用鉸鏈相連接，抗彎剛度為EI，求兩梁相聯(lián)的鉸鏈內(nèi)所傳遞的作用力。AaqCaB解結(jié)構(gòu)為一次靜不定問題。AaqCyxFCy（結(jié)構(gòu)A）BxyCaFCy（結(jié)構(gòu)B）解除鉸鏈C處的約束，代之于約束反力FCy，則結(jié)構(gòu)變?yōu)閮蓚€(gè)靜定梁，并如圖建立坐標(biāo)系。

材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁對(duì)于結(jié)構(gòu)A，根據(jù)簡(jiǎn)單變形梁的結(jié)果，得截面C處的撓度為AaqCyxFCy（結(jié)構(gòu)A）BxyCaFCy（結(jié)構(gòu)B）對(duì)于結(jié)構(gòu)B，截面C處的撓度為變形協(xié)調(diào)條件為由此得鉸鏈C處傳遞的作用力材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁解此問題為二次靜不定。解除A端的約束，代之于約束反力FAy和反力偶MA，并建立坐標(biāo)系。AB

δB

AδFAyMAxyx注意本例題坐標(biāo)系的取向例題9

如圖所示的梁AB，若左固定端相對(duì)于右固定端垂直移動(dòng)δ，確定梁的撓曲線和左固定端的內(nèi)力。則梁中的彎矩為材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁利用撓曲線微分方程由邊界條件：解得：B

AδFAyMAxyx可得：材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁變形協(xié)調(diào)條件為：由此得（補(bǔ)充方程）AB

δB

AδFAyMAxyx材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-6簡(jiǎn)單的靜不定梁解得梁的撓曲線方程為AB

δ§7-6

梁的剛度條件與合理剛度設(shè)計(jì)

材料力學(xué)－第7章彎曲變形

剛度計(jì)算的工程意義

梁的剛度條件

材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-7梁的剛度問題

剛度計(jì)算的工程意義

材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-7梁的剛度問題

對(duì)于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉(zhuǎn)角過大會(huì)影響構(gòu)件或零件的正常工作。例如齒輪軸的撓度過大會(huì)影響齒輪的嚙合，或增加齒輪的磨損并產(chǎn)生噪聲；機(jī)床主軸的撓度過大會(huì)影響加工精度；由軸承支承的軸在支承處的轉(zhuǎn)角如果過大會(huì)增加軸承的磨損等等。

剛度計(jì)算的工程意義

材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-7梁的剛度問題

梁的剛度條件

材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-7梁的剛度問題

對(duì)于主要承受彎曲的零件和構(gòu)件，剛度設(shè)計(jì)就是根據(jù)對(duì)零件和構(gòu)件的不同工藝要求，將最大撓度和轉(zhuǎn)角(或者指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角)限制在一定范圍內(nèi)，即滿足彎曲剛度條件：

上述二式中

w

和

分別稱為許用撓度和許用轉(zhuǎn)角，均根據(jù)對(duì)于不同零件或構(gòu)件的工藝要求而確定。材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-7梁的剛度問題

梁的剛度條件

例題

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材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-7梁的剛度問題簡(jiǎn)支梁的中點(diǎn)承受集中力F的作用，已知F=35kN，l=4m，許用應(yīng)力[s

]=160MPa，許用撓度[d

]=l/500，彈性模量E=200GPa，試選擇工字鋼型號(hào)Al/2FBCl/2解簡(jiǎn)支梁的最大彎矩為材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-7梁的剛度問題（1）由強(qiáng)度條件Al/2FBCl/2得（2）由剛度條件得由型鋼表查得(附錄F)，No.22a工字鋼可同時(shí)滿足強(qiáng)度和剛度的要求。其值為

已知：鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa。規(guī)定軸承B處的許用轉(zhuǎn)角

θ

=0.5°。

試求：根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d。

B例題

11

材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-7梁的剛度問題解：根據(jù)要求，所設(shè)計(jì)的軸直徑必須使軸具有足夠的剛度，以保證軸承B處的轉(zhuǎn)角不超過許用數(shù)值。為此，需按下列步驟計(jì)算。

B1．查表確定B處的轉(zhuǎn)角由撓度表（附錄E-表8）中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-7梁的剛度問題1．查表確定B處的轉(zhuǎn)角

由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為

B2．根據(jù)剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則確定軸的直徑根據(jù)設(shè)計(jì)要求，有

材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-7梁的剛度問題B2．根據(jù)剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則確定軸的直徑

根據(jù)設(shè)計(jì)要求，有

其中，

的單位為rad（弧度），而

θ

的單位為（°）（度），考慮到單位的一致性，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑

材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-7梁的剛度問題

提高剛度的途徑

材料力學(xué)－第7章彎曲變形1.合理選用材料（E）2.合理選取截面形狀（I）3.梁跨度的選?。╨,a）4.梁的合理加強(qiáng)，合理安排梁的約束和加載方式（綜合以上三點(diǎn)）§7-7梁的剛度問題

提高梁的剛度主要是指減小梁的彈性位移。而彈性位移不僅與載荷有關(guān)，而且與桿長(zhǎng)和梁的彎曲剛度（EI）有關(guān)。

提高剛度的途徑

對(duì)于梁，其長(zhǎng)度對(duì)彈性位移影響較大，例如對(duì)于集中力作用的情形，撓度與梁長(zhǎng)的三次方成比例；轉(zhuǎn)角則與梁長(zhǎng)的二次方成比例。

因此,減小彈性位移除了采用合理的截面形狀以增加慣性矩I外，主要是減小梁的長(zhǎng)度l。當(dāng)梁的長(zhǎng)度無法減小時(shí)，則可增加中間支座。材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-7梁的剛度問題

因此,減小彈性位移除了采用合理的截面形狀以增加慣性矩I外，主要是減小梁的長(zhǎng)度l。當(dāng)梁的長(zhǎng)度無法減小時(shí)，則可增加中間支座。

例如，在車床上加工較長(zhǎng)的工件時(shí)，為了減小切削力引起的撓度，以提高加工精度，可在卡盤與尾架之間再增加一個(gè)中間支架。材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-7梁的剛度問題

此外，選用彈性模量E較高的材料也能提高梁的剛度。但是，對(duì)于各種鋼材，彈性模量的數(shù)值相差甚微，因而與一般鋼材相比，選用高強(qiáng)度鋼材并不能提高梁的剛度。材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7-7梁的剛度問題

結(jié)論與討論材料力學(xué)－第7章彎曲變形

關(guān)于變形和位移的相互關(guān)系

關(guān)于梁的連續(xù)光滑曲線

關(guān)于求解靜不定問題的討論

關(guān)于靜不定結(jié)構(gòu)性質(zhì)的討論材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7結(jié)論與討論

關(guān)于變形和位移的相互關(guān)系

材料力學(xué)－第7章彎曲變形§7結(jié)論與討論二梁的受力(包括載荷與約束力)是否相同？二梁的彎矩是否相同？二梁的變形是否相同？二梁的位移是否相同？

正確回答這些問題，有利于理解位移與變形之間的相互關(guān)系。

關(guān)于變形和位移的相互關(guān)系

材料力學(xué)－第7