誤差理論與數(shù)據(jù)處理知識(shí)總結(jié)

第一章緒論1.1研究誤差的意義1.1.1研究誤差的意義為：1）正確認(rèn)識(shí)誤差的性質(zhì)，分析誤差產(chǎn)生的原因，以消除或減小誤差2）正確處理測(cè)量和試驗(yàn)數(shù)據(jù)，合理計(jì)算所得結(jié)果，以便在一定條件下得到更接近于真值的數(shù)據(jù)3）正確組織實(shí)驗(yàn)過程，合理設(shè)計(jì)儀器或選用儀器和測(cè)量方法，以便在最經(jīng)濟(jì)條件下，得到理想的結(jié)果。1.2誤差的基本概念1.2.1誤差的定義：誤差是測(cè)得值與被測(cè)量的真值之間的差。1.2.2絕對(duì)誤差：某量值的測(cè)得值之差。1.2.3相對(duì)誤差：絕對(duì)誤差與被測(cè)量的真值之比值。1.2.4引用誤差：以儀器儀表某一刻度點(diǎn)的示值誤差為分子，以測(cè)量范圍上限值或全量程為分母，所得比值為引用誤差。1.2.5誤差來源：1）測(cè)量裝置誤差2）環(huán)境誤差3）方法誤差4）人員誤差1.2.6誤差分類：按照誤差的特點(diǎn)，誤差可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差三類。1.2.7系統(tǒng)誤差：在同一條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或在條件改變時(shí)，按一定規(guī)律變化的誤差為系統(tǒng)誤差。1.2.8隨機(jī)誤差：在同一測(cè)量條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)定方式變化的誤差稱為隨機(jī)誤差。1.2.9粗大誤差：超出在規(guī)定條件下預(yù)期的誤差稱為粗大誤差。1.3精度1.3.1精度：反映測(cè)量結(jié)果與真值接近程度的量，成為精度。1.3.2精度可分為：1）準(zhǔn)確度：反映測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差的影響程度2）精密度：反映測(cè)量結(jié)果中隨機(jī)誤差的影響程度3）精確度：反映測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差綜合的影響程度，其定量特征可用測(cè)量的不確定度來表示。1.4有效數(shù)字與數(shù)據(jù)運(yùn)算1.4.1有效數(shù)字：含有誤差的任何近似數(shù)，如果其絕對(duì)誤差界是最末位數(shù)的半個(gè)單位，那么從這個(gè)近似數(shù)左方起的第一個(gè)非零的數(shù)字，稱為第一位有效數(shù)字。從第一位有效數(shù)字起到最末一位數(shù)字止的所有數(shù)字，不論是零或非零的數(shù)字，都叫有效數(shù)字。1.4.2測(cè)量結(jié)果應(yīng)保留的位數(shù)原則是：其最末一位數(shù)字是不可靠的，而倒數(shù)第二位數(shù)字應(yīng)是可靠的。1.4.3數(shù)字舍入規(guī)則：保留的有效數(shù)字最末一位數(shù)字應(yīng)按下面的舍入規(guī)則進(jìn)行湊整：1）若舍去部分的數(shù)值，大于保留部分的末位的半個(gè)單位，則末位加一2）若舍去部分的數(shù)值，小于保留部分的末位的半個(gè)單位，則末位不變3）若舍去部分的數(shù)值，等于保留部分的末位的半個(gè)單位，則末位湊成偶數(shù)。1.4.4數(shù)據(jù)運(yùn)算規(guī)則：1）在近似數(shù)加減運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算數(shù)據(jù)以小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準(zhǔn)2）在近似數(shù)乘除運(yùn)算、平方或開方運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算數(shù)據(jù)以有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準(zhǔn)

3）在對(duì)數(shù)運(yùn)算、三角函數(shù)運(yùn)算時(shí)，數(shù)據(jù)有效位數(shù)應(yīng)查表得到。第二章誤差的基本性質(zhì)與處理2.1隨機(jī)誤差2.1.1隨機(jī)誤差的產(chǎn)生原因：1）測(cè)量裝置方面的因素2）環(huán)境方面的因素3）人員方面的因素。2.1.2隨機(jī)誤差一般具有以下幾個(gè)特性：對(duì)稱性，單峰性，有界性，抵償性。2.1.3正態(tài)分布：服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差均具有以上四個(gè)特征，由于多數(shù)隨機(jī)誤差都服從正態(tài)分布，因而正態(tài)分布在誤差理論中占有十分重要的地位。2.1.4算術(shù)平均值：在系列測(cè)量中，被測(cè)量的n個(gè)測(cè)得值的代數(shù)和除以n而得到的值稱為算術(shù)平均值。2.1.5殘余誤差：一般情況下，被測(cè)量的真值為未知，可用算術(shù)平均值代替被測(cè)量的真值進(jìn)行計(jì)算：lxii,υi為li的殘余誤差。2.1.6算術(shù)平均值的計(jì)算校核：算術(shù)平均值及其殘余誤差的計(jì)算是否正確，可用求得的殘余誤差代數(shù)和來校核。其規(guī)則為1）合殘余誤差代數(shù)和應(yīng)符：nnx當(dāng)lnx，求得的為非湊整的準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，為零；iii1i1nnx當(dāng)lnx，求得的為湊整的非準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，為正，其大小為求x是的余數(shù)；iii1i1nn當(dāng)lnx，求得的x為湊整的非準(zhǔn)確數(shù)時(shí)，為負(fù)，其大小為求x是的虧數(shù)。iii1i12）殘余誤差代數(shù)和絕對(duì)值應(yīng)符合：nn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，A；i2i1nn當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，iA。0.52i12.1.7測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差：測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差簡(jiǎn)稱為標(biāo)準(zhǔn)差，也可稱之為方均根誤差。2.1.8單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差σ是表征同一被測(cè)量的n次測(cè)量的測(cè)得值的分散性的參數(shù)，可作為測(cè)量列中單次測(cè)量不可靠性的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。2.1.9在等精度測(cè)量列中單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差按下式計(jì)算：n2ii1nn2i2.1.10貝塞爾公式：據(jù)此式可由殘余誤差求的單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值。i1n-1nn2224ii2.1.11評(píng)定單次測(cè)量不可靠性的參數(shù)還有或然誤差和平均誤差。i11i3n-15n-12.1.12算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差x是表征同一被測(cè)量的各個(gè)獨(dú)立測(cè)量列算術(shù)平均值分散性的參數(shù)，可作為算術(shù)平均值不可靠性的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。12.1.13在n此測(cè)量的等精度測(cè)量列中，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差的，當(dāng)測(cè)量次數(shù)nn愈大時(shí)，測(cè)量精度越高。2.1.14標(biāo)準(zhǔn)差的其他計(jì)算方法：1）別捷爾斯法1.253nni1in-12）極差法nxmax-xminnnd3）最大誤差法imaxK'n2.1.16極限誤差：測(cè)量的極限誤差是極端誤差，測(cè)量結(jié)果的誤差不超過該極端誤差的概率為P。2.1.17單次測(cè)量的極限誤差：xtx。lim2.1.18算術(shù)平均值的極限誤差：正態(tài)分布：limxtx；t分布：xtax。lim2.1.19不等精度測(cè)量：不同的測(cè)量條件、不同的儀器、不同的測(cè)量方法、不同的測(cè)量次數(shù)和不同的測(cè)量者。2.1.20權(quán)：各測(cè)量結(jié)果的可靠程度可用一數(shù)值來表示，這個(gè)數(shù)值即為權(quán)。2.1.21單位權(quán)化：使權(quán)數(shù)不同的不等精度測(cè)量列轉(zhuǎn)化為具有單位權(quán)的等精度測(cè)量列。2.1.22隨機(jī)誤差的其他分布：均勻分布、反正弦分布、三角形分布、x分布、t分布、F分布等。2.2系統(tǒng)誤差2.2.1系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因：系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素所造成的。這些因素可以是1）測(cè)量裝置方面的因素2）環(huán)境方面的因素3）測(cè)量方法的因素4）人員方面的因素。2.2.2系統(tǒng)誤差的特征：在同一條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。2.2.3系統(tǒng)誤差的種類：不變的系統(tǒng)誤差，線性變化的系統(tǒng)誤差，周期性變化的系統(tǒng)誤差。2.2.4系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)未螠y(cè)量多次測(cè)量實(shí)驗(yàn)對(duì)比法改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件進(jìn)行不同條件的測(cè)量，用于發(fā)現(xiàn)不計(jì)算ix2jij若，則兩組結(jié)果之間不存x22變的系統(tǒng)誤差數(shù)在系統(tǒng)誤差據(jù)比較法殘余誤差根據(jù)測(cè)量列殘余誤差大小和符秩將獨(dú)立測(cè)得的兩組數(shù)據(jù)，混合后按大小順序重新排列，觀察法號(hào)的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)和取測(cè)量次數(shù)較少的一組，數(shù)出它的測(cè)得值混合后的次據(jù)或曲線圖形來判斷系統(tǒng)誤差，檢序，相加的秩和T。查表判斷是否存在系統(tǒng)誤差。用于發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變化的系統(tǒng)誤驗(yàn)差法殘余誤差校馬利科夫準(zhǔn)用于發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差：Kii1njk1j若顯著不為零，則有理由認(rèn)為t檢驗(yàn)法nnnn2txyxyxynnnn22xyxxyy查表，若tta則無根據(jù)懷疑兩組間由系統(tǒng)誤差。核則測(cè)量列存在線性系統(tǒng)誤差法阿用于發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差：卑-赫梅n1uii1i1若特準(zhǔn)un2，則認(rèn)為測(cè)量則列存在周期性系統(tǒng)誤差不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法4）21u，若1u2n1，則懷疑測(cè)量列存在系統(tǒng)誤差。2.3粗大誤差2.3.1粗大誤差的產(chǎn)生原因：測(cè)量人員的主觀原因，客觀外界條件的原因。2.3.2判別粗大誤差的準(zhǔn)則3σ準(zhǔn)則（萊以特準(zhǔn)則）如果在測(cè)量列中發(fā)現(xiàn)有大于3σ的殘余誤差測(cè)得值，則可認(rèn)為它含有粗大誤差。羅曼諾夫斯基準(zhǔn)則首先剔除一個(gè)可疑的測(cè)得值，然后按t分布檢驗(yàn)被剔除的測(cè)量值是否含有粗大誤差。若xxK，則剔除正確。j格羅布斯準(zhǔn)則xx當(dāng)x服從正態(tài)分布時(shí)，將xi按大小順序排列，得到g，nng1xx,，若，則判別該測(cè)得值含有粗大誤差。gg0n1i狄克松準(zhǔn)則xxxxx的統(tǒng)計(jì)量，，rrn1nnn1n10xx11xx12nnxxxxrr，與與各統(tǒng)計(jì)量的臨界值比較（查n2nn2n21xx22xx

23nnij大于臨界量，則認(rèn)為xn含有粗大誤差。第三章誤差的合成與分配3.1函數(shù)誤差3.1.1函數(shù)誤差概念：間接測(cè)量的量是直接測(cè)量所得到的各個(gè)測(cè)量值的函數(shù)，而間接測(cè)量誤差則是各個(gè)直接測(cè)得值誤差的函數(shù)，稱為函數(shù)誤差。fff3.1.2函數(shù)系統(tǒng)誤差計(jì)算公式：nyxxx12xxx12n222fff223.1.3函數(shù)隨機(jī)誤差計(jì)算公式：yx1xx1x2xx12n2xn3.1.4ρ來反映。3.1.5相關(guān)系數(shù)的確定方法：直接判斷法，實(shí)驗(yàn)觀察和簡(jiǎn)略計(jì)算法，理論計(jì)算法。3.2隨機(jī)誤差的合成qq3.2.1標(biāo)準(zhǔn)差的合成：aiaa22iijijii1ijj2qaq3.2.2極限誤差的合成：ti2aaiijijijttti1ijjii3.3系統(tǒng)誤差的合成r3.3.1已定系統(tǒng)誤差的合成：aiii13.3.2未定系統(tǒng)誤差的合成：ss1）標(biāo)準(zhǔn)差的合成：uiuaauua2222iijijii1ijj2esaese2）極限誤差的合成：e2tiaaiijijijttti1jiiji3.4系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成sq3.4.1按極限誤差合成：e22總iii1i1sq3.4.2按標(biāo)準(zhǔn)差合成：u2ii1i12i3.5誤差分配3.5.1誤差分配步驟：1）按等作用原則分配誤差即或y1infxi1infxi2）按可能性調(diào)整誤差3）驗(yàn)算調(diào)整后的總誤差3.6微小誤差的取舍準(zhǔn)則3.6.1對(duì)于隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差，微小誤差舍去準(zhǔn)則是被舍去的誤差必須小于或等于測(cè)量結(jié)果總標(biāo)準(zhǔn)差的1/3-1/10。3.7最佳測(cè)量方案的確定3.7.1選擇最佳函數(shù)誤差公式：選取包含直接測(cè)量值最少的公式。3.7.2使誤差傳遞系數(shù)等于零或?yàn)樽钚。河珊瘮?shù)誤差公式可知，若使各個(gè)測(cè)量值對(duì)函數(shù)的誤差傳遞系數(shù)為零或最小，則函數(shù)誤差可相應(yīng)減小。第四章測(cè)量不確定度4.1測(cè)量不確定度的基本概念4.1.1測(cè)量不確定度定義：測(cè)量不確定度是指測(cè)量結(jié)果變化的不肯定，是表征被測(cè)值的真值在某個(gè)量值范圍的一個(gè)估計(jì)，是測(cè)量結(jié)果含有的一個(gè)參數(shù)，用以表示被測(cè)量值的分散性。4.1.2測(cè)量不確定度與誤差的聯(lián)系：誤差是不確定度的基礎(chǔ)，只有對(duì)誤差的分布規(guī)律、性質(zhì)、相互聯(lián)系及對(duì)測(cè)量結(jié)果的誤差傳遞關(guān)系等有了充分的認(rèn)識(shí)和了解，才能更好的估計(jì)各不確定度分量，正確得到測(cè)量結(jié)果的不確定度。用不確定度代替誤差表示測(cè)量結(jié)果，易于理解便于評(píng)定，具有合理性和實(shí)用性。4.1.3測(cè)量不確定度與誤差的區(qū)別：1）從定義上，誤差是測(cè)量結(jié)果與真值之差，它以真值或約定真值為中心；而測(cè)量不確定度是以被測(cè)量的估計(jì)值為中心，因此誤差是一個(gè)理想概念，難以定量；而測(cè)量不確定度是反映人們對(duì)測(cè)量認(rèn)識(shí)不足的程度，是可以定量評(píng)定的。2）從分類上，誤差按自身特征和性質(zhì)分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差，并可采取不同的措施來減小或消除各類誤差對(duì)測(cè)量的影響。但各類誤差之間并不存在絕對(duì)的界限，故在分類判別和誤差計(jì)算時(shí)不易準(zhǔn)確掌握；測(cè)量不確定度不按性質(zhì)分類，而是按評(píng)定方法分為A類評(píng)定和B類評(píng)定，不考慮不確定度因素的來源和性質(zhì)，從而簡(jiǎn)化了分類，便于評(píng)定和計(jì)算。4.2標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定4.2.1標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用標(biāo)準(zhǔn)差表征的不確定度。4.2.2A類評(píng)定：A類評(píng)定用統(tǒng)計(jì)分析法評(píng)定，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u等同于由系列觀測(cè)值獲得的標(biāo)準(zhǔn)差來評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)差并得到標(biāo)準(zhǔn)不4.2.3B類評(píng)定：B類評(píng)定不用統(tǒng)計(jì)分析法，而是基于其他方法估計(jì)概率分布或分布假設(shè)4.2.4自由度：將不確定度計(jì)算表達(dá)式中總和所包含的項(xiàng)數(shù)減去各項(xiàng)之間存在的約束條件數(shù)，所得差值稱為不確定度的自由度。14.2.5自由度的確定：A類：根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算方法和n，查表可獲得自由度。B類：。2uu4.3測(cè)量不確定度的合成4.3.1合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度：當(dāng)測(cè)量結(jié)果受多重因素影響形成了若干個(gè)不確定度分量時(shí)，測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)不NN確定度用各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量合成后所得的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc表示。ucu22uuiijiji1ij4.3.2展伸不確定度：展伸不確定度由合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc乘以包含因子k得到，記為U。其中k由t分t布的臨界值給出，是合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度。p4.3.3不確定度的報(bào)告：當(dāng)測(cè)量不確定度用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度表示時(shí)，應(yīng)給出合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc及其自由度；當(dāng)測(cè)量不確定度用展伸不確定度表示時(shí)，除給出展伸不確定度U外，還應(yīng)說明計(jì)算式所依據(jù)的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc、自由度、置信概率P和包含因子k。第五章線性參數(shù)的最小二乘法處理5.1最小二乘法原理5.1.1最小二乘法原理：測(cè)量結(jié)果的最可信賴值應(yīng)在殘余誤差平方和為最小的條件下求出。5.1.2線性參數(shù)的誤差方程式：VLAX?5.2正規(guī)方程5.2.1最小二乘法可以將誤差方程轉(zhuǎn)化為有確定解的代數(shù)方程組，這些有確定解得代數(shù)方程組成為最小二乘法估計(jì)的正規(guī)方程。5.2.2等精度測(cè)量線性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程：ni1nnnaiaxaaxaaxal1111i221itt1ii1i1i1ni1nnnaiaxaaxaaxal211i2i22i2itti2ii1i1i1ni1nnnaita1xaaxaaxali1iti22itittitii1i1i1可表示為矩陣形式：ATV0，則：CATA，?C1ATL。5.2.3不等精度測(cè)量線性參數(shù)最小二乘法處理的正規(guī)方程：ni1nnnpia1axpaaxpaaxpali11i1i22i1itti1ii1i1i1ni1nnnpia2axpaaxpaaxpali11ii2i22ii2ittii2ii1i1i1ni1nnnpiaaxpaaxpaaxpaliti1iiti22iitittiiti1i1i1i1可表示為矩陣形式：ATPV0，則：C*ATPA，?C*1ATPL。5.2.4最小二乘原理與算術(shù)平均值原理的關(guān)系：最小二乘原理與算術(shù)平均值原理是一致的，算術(shù)平均值原理可以看作是最小二原理的特例。5.3精度估計(jì)5.3.1測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)：n2i等精度測(cè)量數(shù)據(jù)的精度估計(jì)：