高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1第二章1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程作業(yè)1

[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1.橢圓2x2＋y2＝8的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(±2，0) B．(0，±2)C．(±2eq\r(3)，0) D．(0，±2eq\r(3))解析：選B.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1，∴橢圓焦點(diǎn)在y軸上，且c2＝8－4＝4，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±2)．2.橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，那么m的值為()A．－16 B．－4C．16 D．4解析：選C.焦點(diǎn)在x軸且c＝3，由25＝m＋9，∴m＝16.eq\a\vs4\al(3.)已知方程eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,3－k)＝1(k∈R)表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則k的取值范圍是()A．k<1或k>3 B．1<k<3C．k>1 D．k<3解析：選B.由題意知k＋1>3－k>0，∴1<k<3.4.過(guò)點(diǎn)(－3，2)且與eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程是()A.eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1 B.eq\f(x2,225)＋eq\f(y2,100)＝1C.eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1 D.eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,225)＝1解析：選A.c2＝9－4＝5，由題意可設(shè)所求橢圓方程為eq\f(x2,b2＋5)＋eq\f(y2,b2)＝1，代入(－3，2)得eq\f(9,b2＋5)＋eq\f(4,b2)＝1，∴b2＝10，橢圓方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1.5.如圖，橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離為2，N為MF1的中點(diǎn)，則|ON|(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的值為()A．8 B．2C．4 D.eq\f(3,2)解析：選C.由橢圓定義知|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，又|MF1|＝2，∴|MF2|＝8，由于N為MF1的中點(diǎn)，ON為中位線，∴|ON|＝eq\f(1,2)|MF2|＝4.6.已知兩定點(diǎn)F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項(xiàng)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是________．解析：由題意得：|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4>|F1F2|＝2，∴動(dòng)點(diǎn)P是以F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓，且a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3，軌跡方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.答案：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝17.已知F1，F(xiàn)2為橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．若|F2A|＋|F2B|＝12，則|AB|＝________．解析：由于|AB|＋|F2A|＋|F2B|＝4a＝20，∴|AB|＝20－(|F2A|＋|F2B|)＝20－12＝8.答案：88.若方程eq\f(x2,k－2)＋eq\f(y2,5－k)＝1表示橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．解析：由方程eq\f(x2,k－2)＋eq\f(y2,5－k)＝1表示橢圓，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k－2>0，,5－k>0，,k－2≠5－k，))解得2<k<5且k≠eq\f(7,2).即當(dāng)2<k<eq\f(7,2)或eq\f(7,2)<k<5時(shí)，方程eq\f(x2,k－2)＋eq\f(y2,5－k)＝1表示橢圓．答案：(2，eq\f(7,2))∪(eq\f(7,2)，5)9.設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn)，(1)PF1⊥PF2，且|PF1|>|PF2|，求eq\f(|PF1|,|PF2|)的值．(2)當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)，|PF2|的取值范圍．解：(1)∵PF1⊥PF2，∴∠F1PF2為直角，則|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20＝|PF1|2＋|PF2|2，,|PF1|＋|PF2|＝6，))解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴eq\f(|PF1|,|PF2|)＝2.(2)設(shè)|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，則r1＋r2＝6.∵∠F1PF2為鈍角，∴cos∠F1PF2<0.又∵cos∠F1PF2＝eq\f(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)－20,2r1r2)<0，∴req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)<20，∴r1r2>8，∴(6－r2)r2>8，∴2<r2<4.即|PF2|的取值范圍是(2，4)．10.(1)等腰直角三角形ABC中，斜邊BC長(zhǎng)為4eq\r(2)，一個(gè)橢圓以C為其中一個(gè)焦點(diǎn)，另一個(gè)焦點(diǎn)在線段AB上，且橢圓經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對(duì)的三邊分別是a，b，c，且|BC|＝2，求滿足b，a，c成等差數(shù)列且c>a>b的頂點(diǎn)A的軌跡．解：(1)如圖，設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，有|AM|＋|AC|＝2a，|BM|＋|BC|＝2a，兩式相加，得8＋4eq\r(2)＝4a，∴a＝2＋eq\r(2)，|AM|＝2a－|AC|＝4＋2eq\r(2)－4＝2eq\r(2).在直角三角形AMC中，∵|MC|2＝|AM|2＋|AC|2＝8＋16＝24，∴c2＝6，b2＝4eq\r(2).故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,6＋4\r(2))＋eq\f(y2,4\r(2))＝1.(2)由已知條件可得b＋c＝2a，則|AC|＋|AB|＝2|BC|＝4>|BC|，結(jié)合橢圓的定義知點(diǎn)A在以B，C為焦點(diǎn)的一個(gè)橢圓上，且橢圓的焦距為2.以BC所在的直線為x軸，BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．設(shè)頂點(diǎn)A所在的橢圓方程為eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1(m>n>0)，則m＝2，n2＝22－12＝3，從而橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.又c>a>b且A是△ABC的頂點(diǎn)，結(jié)合圖形，易知x>0，y≠0.故頂點(diǎn)A的軌跡是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的右半部分(x>0，y≠0)．[能力提升]1.設(shè)過(guò)點(diǎn)P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))，且eq\o(OQ,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝1，則P點(diǎn)的軌跡方程是()A.eq\f(3,2)x2＋3y2＝1(x>0，y>0)B.eq\f(3,2)x2－3y2＝1(x>0，y>0)C．3x2－eq\f(3,2)y2＝1(x>0，y>0)D．3x2＋eq\f(3,2)y2＝1(x>0，y>0)解析：選A.由題意Q坐標(biāo)為(－x，y)(x>0，y>0)，設(shè)A(x0，0)，B(0，y0)，由eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))得(x，y－y0)＝2(x0－x，－y)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2x0－2x,y－y0＝－2y))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝3y,x0＝\f(3,2)x)).由eq\o(OQ,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝1得(－x，y)·(－x0，y0)＝1，∴x0x＋y0y＝1，把eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝3y,x0＝\f(3,2)x))代入上述得eq\f(3,2)x2＋3y2＝1(x>0，y>0)．2.設(shè)α∈(0，eq\f(π,2))，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則α的取值范圍是________．解析：方程x2sinα＋y2cosα＝1可化為eq\f(x2,\f(1,sinα))＋eq\f(y2,\f(1,cosα))＝1.∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，∴eq\f(1,cosα)>eq\f(1,sinα)>0.又∵α∈(0，eq\f(π,2))，∴sinα>cosα>0，∴eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2).答案：(eq\f(π,4)，eq\f(π,2))3.已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)．(1)若∠F1PF2＝eq\f(π,3)，求△F1PF2的面積；(2)求|PF1|·|PF2|的最大值．解：(1)設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n(m>0，n>0)．根據(jù)橢圓的定義，得m＋n＝20.在△F1PF2中，由余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝|F1F2|2，即m2＋n2－2mn·coseq\f(π,3)＝122，∴m2＋n2－mn＝144，即(m＋n)2－3mn＝144.∴202－3mn＝144，即mn＝eq\f(256,3).又∵S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝eq\f(1,2)mn·sineq\f(π,3)，∴S△F1PF2＝eq\f(1,2)×eq\f(256,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(64\r(3),3).(2)∵a＝10，∴根據(jù)橢圓的定義，得|PF1|＋|PF2|＝20.∵|PF1|＋|PF2|≥2eq\r(|PF1|·|PF2|)，∴|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,2)))eq\s\up12(2)＝100，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|＝|PF2|時(shí)，等號(hào)成立，∴|PF1|·|PF2|的最大值是100.4．(2014·玉溪一中高二期末)已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F2作垂直于x軸的直線MF2交橢圓于M，設(shè)|MF2|＝d.(1)證明：d，b，a成等比數(shù)列；(2)若M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，1))，求橢圓C的方程；(3)在(2)的橢圓中，過(guò)F1的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，求直線l的方程．解：(1)證明：由條件知M點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，y0))，其中|y0|＝d，∴eq\f(c2,a2)＋eq\f(d2,b2)＝1，d＝b·eq\r(1－\f(c2,a2))＝eq\f(b2,a)，∴eq\f(d,b)＝eq\f(b,a)，即d，b，a成等比數(shù)列．(2)由條件知c＝eq\r(2)，d＝1，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b2＝a·1,a2＝b2＋2))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝\r(2)))，∴橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(3)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)，當(dāng)l⊥x軸時(shí)，A(－eq\r(2)，－1)、B(－eq\r(2)，1)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))≠0.設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋eq\r(2))，代入橢圓方程得(1＋2k2)x2＋4eq\r(2)k2x＋4k2－4＝0.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(4\r(2)k2,1＋2k2)，