河南正陽縣高級中學(xué)高三第四次素質(zhì)檢測數(shù)學(xué)（理）試卷

正陽高中2020—2021學(xué)年上期18級第四次素質(zhì)檢測數(shù)學(xué)試題（理）2020年12月20日一、單選題（每小題5分，共60分）1．設(shè)集合，，則（）．A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．如圖，在空間四邊形中，，，．點在上，且，是的中點，則=（）A． B．C． D．5．設(shè)，滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．以拋物線的焦點為圓心且過點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．7.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，且，則（）A．15 B．20 C．25 D．308．將曲線上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再將得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線，則（）A． B． C． D．9．在矩形中，，以，為焦點的雙曲線經(jīng)過，兩點，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．0.618被公認為是最具有審美意義的比例數(shù)字，是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割.被譽為“中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”的著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實踐中得到了非常廣泛的應(yīng)用.他認為底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形是“最美三角形”，即頂角為36°的等腰三角形，例如，中國國旗上的五角星就是由五個“最美三角形”與一個正五邊形組成的，如圖，在其中一個黃金中，黃金分割比為.根據(jù)以上信息，計算（）A． B． C． D．11.設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．的最小正周期為 B．的圖像關(guān)于直線對稱C．的一個零點為 D．在單調(diào)遞減12．設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，對任意，都有，且當(dāng)時，，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程至少有個不同的實數(shù)根，至多有個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題（每小題5分，共20分）13．設(shè)a>0，b>0，若3是3a與32b的等比中項，則的最小值為14．已知向量，且，則15.已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則曲線在處的切線方程為16.四棱錐的底面是矩形，側(cè)面平面，，，則該四棱錐外接球的體積為 三、解答題（共70分）17．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，滿足．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．18．（12分）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，，．（1）求角B的大??；（2）求的面積．19．（12分）已知四棱錐中，底面為直角梯形，平面，且，，.（1）求證：平面平面；（2）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值.20．（12分）已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于，不同兩點，且直線與直線的傾斜角互補，試求直線的斜率。21．（12分）設(shè)函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）如果對于任意的，都有成立，試求的取值范圍.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點P的直角坐標(biāo)為，若曲線與相交于A，B兩點，求的值.23．（10分）已知.（1）畫出函數(shù)的圖象；（2）求不等式的解集.答案1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】B【分析】由空間向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義即可求解.【詳解】由題，在空間四邊形，，，．點在上，且，是的中點，則．所以故選：B5．【答案】C【詳解】由題意得可行域為陰影部分，如圖所示：則在取得最小值為，無最大值，即的取值范圍為，故選：C.6．【答案】A【解析】【詳解】拋物線的焦點F（1，0），即圓心坐標(biāo)為（1，0），又圓過點，且P在拋物線上，∴r=，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選A.7.【答案】B【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由已知可得，所以故選：B8．【答案】D【詳解】由題意，得：，則．故選：D．9．【答案】D【分析】利用雙曲線的定義及性質(zhì)，直接列出關(guān)系式求解雙曲線的離心率即可．【詳解】由題可知，，所以，即，所以此雙曲線的離心率為.故選D.10．【答案】B【分析】利用正弦定理及正弦的二倍角公式求得，然后由誘導(dǎo)公式求解．【詳解】在中，由正弦定理可得，∴，.故選：B.．11.【答案】D【詳解】由，得，故A正確，不符合題意；由得，令得：，故B正確，不符合題意；因為，當(dāng)時，，故C正確，不符合題意；因為，即，令得，，故D錯誤，符合題意.故選：D12．【答案】A【詳解】對任意，都有，則函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，當(dāng)時，，作出函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上的圖象如下圖所示：由于在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程至少有個不同的實數(shù)根，至多有個不同的實數(shù)根，則，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：A.13．【答案】4【詳解】因為a>0，b>0，且3是3a與32b的等比中項，所以解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以的最小值為414．【答案】15.【答案】 【詳解】因為，，，又由是偶函數(shù)，，令，則，根據(jù)是偶函數(shù)，，得到時，，所以，時，，，利用直線的點斜式方程，曲線在處的切線方程為，即.16.【答案】 【詳解】取的中點E，連接中，∴，，設(shè)的中心為，球心為O，則，設(shè)O到平面的距離為d，則，∴，∴四棱錐的外接球的體積為.17．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用，，可得為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式即可求得通項公式；（2）利用錯位相減法求和即可求．【詳解】（1）當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，由可得，兩式相減可得，即，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以（2）由（1），，則，兩式相減得，所以．18．【答案】（1）；（2）．【詳解】解：（1）由正弦定理，得．由，得．由，得．所以．又，所以．又，得．（2）由余弦定理及，得．即．將代入，解得．所以．19．【答案】（1）證明見解析（2）【詳解】解：（1）證明：取的中點，連接，，.∵，∴.又∵，，∴四邊形為正方形，則.∵平面，平面，∴.∵，∴平面.∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴平面.又平面，∴平面平面.（2）∵平面，∴為與平面所成的角，即，則.設(shè)，則，，.以點為坐標(biāo)原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.∵平面，∴平面的一個法向量.設(shè)平面的法向量，∵，，則，取，則.設(shè)二面角的平面角為，∴.由圖可知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.20．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由題意得，解得故橢圓的方程為.（2）由直線與直線的傾斜角互補可設(shè)，，，，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得.因為，是以上方程的兩根，所以，即，則，同理可得，，故，即直線的斜率為.21．【答案】（1）答案見解析；（2）.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，當(dāng)時，則，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以時，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上遞增；（2）由已知得，所以當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以函數(shù)在上的最大值為1，依題意得，只需在，恒成立，即，也即是在上恒成立，令，則，有，當(dāng)時，，，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，故，即實數(shù)a的取值范圍是.22．【答案】（1），；（2）【分析】（1）把參數(shù)方程消去參數(shù)得，極坐標(biāo)方程，兩邊同乘以，化簡得：；（2）把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程中，利用參數(shù)的幾何意義知：，再把韋達定理代入，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）由消去參數(shù)得曲線的普通方程為，由的極坐標(biāo)方程為，兩邊同乘以，得，將代入，得曲線的直角坐標(biāo)方程為；（2）將曲線的參數(shù)方程代入，整理得，，，．【點睛】方法點睛：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的方法，即四個公式：，利用直線的參數(shù)方程求直線與圓錐曲線相交的弦長，方法是：（1）將直線參數(shù)方程代入圓錐曲線方程，得到關(guān)于參數(shù)t的一元二次方程；（2）利用韋達定理寫出，；（3）利用弦長公式代入計算.23．【答案】（1）見解析；（2）.【分析】（1）函數(shù)的圖象如圖所