2022-2023學(xué)年山西省名校聯(lián)考高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題及答案解析

2022-2023學(xué)年山西省名校聯(lián)考高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合A中元素X滿足2κ-α>0,Kl?A,2∈4貝∣J（）

A.a>4B.α≤2C.2<a≤4D.2≤a<4

2.設(shè)X,y是實(shí)數(shù)，則“X>yn是“X>∣y∣”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足：z(6+8i)=sin0+icosθ(π<θ<y),則IZl=()

1bD.—?sin2θ

A.To??C.——cosθ

4.在長方體ABCD-AIBlC山1中,BlC和GD與底面所成的角分別為60。和45。，則異面直線

BlC和CiD所成角的余弦值為（）

cDT

43?f

5.若兩平行直線X+2y+m=O（τn>0）與X-ny-3=0之間的距離是遙，則Zn+n=（）

A.0B.1C.-1D.-2

6.設(shè)尸為拋物線C：y2=4%的焦點(diǎn)，過尸的直線交拋物線C于4,B兩點(diǎn),且力F=3BF,。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，則A04B的面積為（）

C.竽

A考B.等D殍

7.過坐標(biāo)原點(diǎn)。作直線1：（ɑ+2）x+（1—α）y—6=0的垂線，若垂足在圓/+y2=r2（r>

0）上，貝b的取值范圍是（）

A.(0,√2]B.(0,2]C.(0,2√2]D.(0,4]

設(shè)Q>0,6>0,且2Q+b=1,

8.則H熹）

A.有最小值為產(chǎn)B.有最小值為學(xué)

C.有最大值為手D.有最大值為學(xué)

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.若曲線C：≠-+≠7=1，下列結(jié)論正確的是（）

A.若曲線C是橢圓，則1<k<9B.若曲線C是雙曲線，則1<k<9

C.若曲線C是橢圓，則焦距為4位D.若曲線C是雙曲線，則焦距為4魚

10.下列結(jié)論正確的是（）

A.sinl43o15,>sinl44o30,B.cos510o>COSl45°

/1、—0.35

c29Dlog30.3>logι0.7

?°?>G）-2

11.已知拋物線C：y2=4久的焦點(diǎn)為F、準(zhǔn)線為，，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于P（X1，%）

Q（X2，丫2）兩點(diǎn)，點(diǎn)P在2上的射影為Pr貝∣j（）

A.若X1+X2=6,則IPQl=8

B.以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線［相切

C.設(shè)M（0,2）,則IPMl+∣PP∕≥√^

D.過點(diǎn)M（0,2）與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線至多有2條

12.已知點(diǎn)P為雙曲線C：/―1=1的右支上一點(diǎn)，l1,L為雙曲線C的兩條漸近線，過點(diǎn)P分

別作PBIl2,垂足依次為4、B,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）

為定值

?-SAPABIo

B.2?AB?=√3∣0P∣

C.若APAB是直角三角形時(shí)，APAB的周長是逕空⑥

4

D.若APAB是正三角形時(shí)，SHOAB=?

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.已知向量N=（1,2,1）,石=（l,τn,l）,若五Ia則m的值為.

2

14.已知數(shù)列｛c?｝的前n項(xiàng)和SrI=2n+4,則αn=.

15.已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（2,0）,該橢圓被直線x+3y-4=0所截得

弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

16.已知在菱形4BCZ）中，AB=2,F=1,平面ABCD外一點(diǎn)P滿足PC=2√3,PTI2+PB2+

PD2=40,則四棱錐P-ABCD體積的最大值為.

四、解答題（本大題共6小題，共70.（）分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.(本小題10.0分)

已知直線，1為曲線y=χ2+χ-2在點(diǎn)(1,0)處的切線，F(xiàn)為該曲線的另一條切線，且，1工，2?求

直線%的方程.

18.(本小題12.0分)

已知等差數(shù)列｛%l｝中，3a2+α6=20,且前9項(xiàng)和S9=8l.

(1)求數(shù)列｛ajl｝的通項(xiàng)公式；

(2)若∕?=7;J,求數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和

19.(本小題12.0分)

在△4BC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是α,b,c,且滿足一的=1+誓.

ctanc

(1)求角B的大??；

(2)若6=4西，。為4C邊上的一點(diǎn)，BD=2,且B。是NABC的平分線，求AABC的面積.

20.(本小題12.0分)

己知圓C：(x-2)2+(y—4)2=25和直線I：(2m+l)x+(m+l)y-Ilm-8=0.

Q)證明：不論m為何實(shí)數(shù)，直線I都與圓C相交；

(2)當(dāng)直線2被圓C截得的弦長最小時(shí)，求直線/的方程；

(3)已知點(diǎn)P(X,y)在圓C上，求χ2+y2的最大值.

21.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-ABCn中，平面PAo，平面ABC。，PA=AD=2,BD=4,AB=2√3,

BD是Z?ACC的角平分線，且BD1BC.

(1)棱PC上是否存在點(diǎn)E,使BE〃平面PAD?若存在，求出點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說明理

由；

(2)若四棱錐P-4BC。的體積為10,求平面PBD與平面PCC的夾角的余弦值.

BC

22.(本小題12.0分)

已知橢圓E：胃+，=l(α>b>0)的左焦點(diǎn)為&,右焦點(diǎn)為F?,離心率e=：,過Fl的直線

交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且APQFz的周長為8.

(1)求橢圓E的方程；

(2)已知過點(diǎn)7(4,0)與橢圓E相切的直線分別為k，I2,直線心y=x+t與橢圓E相交于4B兩

點(diǎn)，與i%分別交于點(diǎn)M,N,若MMl=IBN|,求t的值.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

由已知條件列出不等式求解即可.

【解答】

解：???1￡4

2-α≤0,

解得α≥2,

又???25,

.?.4-ɑ>0,

解得α<4,

綜上所述，2≤α<4.

故選D.

2.【答案】B

【解析】

【分析】

本題考查充分、必要、充要條件的判斷，屬于較易題.

根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可.

【解答】

解：當(dāng)X=Ly=-2時(shí)，滿足x>y,但不滿足x>∣y∣,故充分性不成立,

當(dāng)X>Iyl時(shí)，一定有X>y,故必要性成立，

所以“X>y”是“X>∣y∣”的必要不充分條件.

故選8.

3.【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查復(fù)數(shù)的模及其幾何意義，屬于較易題.

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和模的概念即可求得結(jié)果.

【解答】

解：???z(6+8i)=Sin9+icosθ(π<θ<?),

Sine+icos6

-6+8i-

.,_∣sinθ+icosΘ∣_∣sinβ+icosθ∣

?'z'=I-6+8i-I=―∣6+8i∣-

故選B.

4.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查長方體的性質(zhì)、線面角的定義、異面直線所成的角的定義.

得出NCBICl是BlC與底面所成角，ZDGDl是CID與底面所成的角，連接A道，A1C1,貝吐4山6或

其補(bǔ)角為異面直線BlC與GD所成的角是解題的關(guān)鍵.

【解答】

解：如圖所示：

C1CJ"平面AIBIClD1,二Z?CBιG是BIC與底面所成角，

.??Z.CB1C1=60°.

???D1D，平面AlBICIZ)I,.?./DCIDl是ClC與底面所成的角,

???Z.DC1O1=45°.

連接4D,A1C1,則4D〃BiC.

.?.乙％。Cl或其補(bǔ)角為異面直線8傳與ClD所成的角.

不妨設(shè)BC=1,貝IJCBl=DA1=2,BB1=CC1=√3=CD,

.?.C1D=√6,A1C1=2.

在等腰ClD中，cos乙”G=世=乎.

11

A1D4

故選：A.

5.【答案】4

【解析】

【分析】

本題考查兩條平行直線間的距離，屬于較易題.

兩直線X+2y+m=0(m>0)與X-Tly-■3=0平行，可得-n=2,解得n,再利用平行線之間

的距離公式即可得出.

【解答】

解：兩直線X+2y+m=0(m>0)與X-ny-3=0平行，

???—n—2,解得n=-2,

又???兩平行直線X+2y+m=0(m>0)與X-ny-3=0之間的距離是遍，

.?.-l≡L=√5

又m>0,解得m=2,

τn+n=0.

故選A.

6.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查拋物線中的面積問題，屬于較易題.

設(shè)出直線ZB的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及由AF=38F得到y(tǒng)ι=-3%，

可求出直線AB的斜率，即可求解三角形的面積.

【解答】

解：由題意得焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸(1,0),且直線AB的斜率存在且不為0,

因此設(shè)直線4B的方程為y=k(x-l),k≠0,

與拋物線的方程y2=4x聯(lián)立，

化簡得y2_*y_4=O,

設(shè)4點(diǎn)坐標(biāo)為(XI,yι),B點(diǎn)坐標(biāo)為(%2，兆)，

則%+y2=QIy2=-4,

"AF=3BF,

???yι=-3y2>

則一3、2+y2=p-3yi=-4，

解得k=±V3?

F2216

???SACM8=21。FIlyI-乃1=110I√(yι+yz)-4yiy2=gXlXJ(τ)+=苧,

故選。.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷及求參，直線的方向向量，以及二次函數(shù)的最值，屬于中檔

題.

設(shè)垂足為H,且麗=(s,t)，由己知得直線，的方向向量記=(α-l,α+2),列式求解，用α表示s,

3結(jié)合垂足在圓/+y2=r2(r>0)上,即可求得r的取值范圍.

【解答】

解：設(shè)垂足為H,且麗=(s,t),

「直線2：(α+2)x+(1-d)y-6=0.

二直線I的方向向量記=(α—l,α+2),

(a—l)s+(α+2)t=O

(a+2)s—(ɑ-l)t=6,

6(α+2)

(α+2)2+(α-l)2

(a+2)2+(a—1)

r垂足在圓/+y2=r2(r>0)上,

(a+2)2+(a-1)22(a+去心+?，

當(dāng)且僅當(dāng)a=-∣0't,s2+/取得最大值為8,

.?.s2+t2的取值范圍為(0,8],即「2∈(0,8],

又r>O,.?.r的取值范圍是

故選C.

8.【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查由基本不等式求最值，屬于中檔題.

根據(jù)已知將5+篇變形為啜÷??=I÷??！?再利用基本不等式即可求出最小值?

【解答】

解：Vα>O,b>O,2α+b=l,

12a_3(2α+6)2a

'a+a+3b~3a+a+3b

5a+3tb2a

—___.1M__________________

33aa+3b

*+2呼奪卜2月=『，

3?3aa+3b3、33

當(dāng)且僅當(dāng)噤=瑞,即α=ξ?*=磊時(shí),取等號(hào)?

故選A.

9.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的焦點(diǎn)、焦距，以及橢圓的焦點(diǎn)、焦距,

屬于較易題.

利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)，結(jié)合曲線方程逐項(xiàng)判斷求解即可.

【解答】

22

解：對(duì)于從若曲線C：口+匕=1表示橢圓，

9-k1-k

9-fc>O

則1-k>O,

.9-k≠l-k

解得k<l,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于8,若曲線C：工+??=ι表示雙曲線，

9-k1-k

則(9-k)(l-k)<0,

解得l<k<9,故B正確；

對(duì)于C,若曲線C：昌+右=1表示橢圓，

9—κl—k

由選項(xiàng)4知k<l,則9-k>l-∕c,

a2=9—k,b2=1—k,

.?.c2=ɑ2—h2=9—fc—(1—fc)=8,

???c=2-∕2>則焦距2c=4√2>故C正確；

對(duì)于D,若曲線C是雙曲線，

由選項(xiàng)B知1<k<9,貝Ue?=a2+b2=9—k+(k.-1)=8,

.,.c=2√2>

則焦距2c=4√∑,故。正確.

故選BCD.

10.【答案】AC

【解析】

【分析】

本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于較易題.

由y=Sinx在生機(jī)上單調(diào)遞減，即可判斷4由y=cosx在生兀］上單調(diào)遞減，即可判斷8；由函

數(shù)y=2'在R上單調(diào)遞增，即可判斷C；通過與0作比較，即可判斷0.

【解答】

解：對(duì)于4由y=sinx在g,τr］上單調(diào)遞減，

因?yàn)?43°15'<144o30,,

所以Sinl43°15'>sinl44°30',故A正確；

對(duì)于B,cos510°=cosl50o,由y=cosx在我,捫上單調(diào)遞減，

因?yàn)?50°>145°,

所以COSl50°<cosl45o,

即cos510°<cosl45°,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,由函數(shù)y=2'在R上單調(diào)遞增，G)-°35=2θ?7,

因?yàn)?.9>0.7,

所以2。9>2°7,即2°?9>(J-85,故C正確；

171

對(duì)于O,log30.3<Iog3I=0,°gιθ?>'θg?=°,

j?log30.3<logι0.7,故。錯(cuò)誤.

2

故選AC.

11.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，拋物線中的弦長問題，以及直線與拋物線位置關(guān)系及其應(yīng)用，

屬于中檔題.

利用拋物線焦點(diǎn)弦長公式可判斷4選項(xiàng)；設(shè)N為PQ中點(diǎn)，點(diǎn)N在I上的射影為N],可得INNll=年

即可判斷B選項(xiàng)；利用拋物線的定義結(jié)合三點(diǎn)共線可判斷C選項(xiàng)；求出過點(diǎn)M(0,2)與拋物線C有且

僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的方程，可判斷。選項(xiàng).

【解答】

解：對(duì)于4因?yàn)閽佄锞€C：y2=4x,

所以IPQl=%ι+Λ?+2,

又因?yàn)閄l÷X2=6,

所以IPQl=8,故A正確；

對(duì)于8,設(shè)N為PQ中點(diǎn)，點(diǎn)N在[上的射影為Ni，點(diǎn)Q在I上的射影為Qi，

則由梯形性質(zhì)可得INMl=再出=嗎也=號(hào)1,

所以以PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線，相切，故B正確,

對(duì)于C,易知F(1,O),

所以IPMl+IPPll=?PM?+?PF?≥?MF?=√5.當(dāng)且僅當(dāng)P,M,尸三點(diǎn)共線且P在線段MF上時(shí)取

等號(hào)，故C正確；

對(duì)于D,顯然直線X=0,y=2與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，

當(dāng)直線的斜率存在且不為。時(shí)，設(shè)過M的直線為y=kx+2,

聯(lián)立2,化簡得9/+(妹-4)X+4=0,

令4=(4k-4)2-16∕C2=0,解得Zc=

所以直線y=|%+2與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以過點(diǎn)M(0,2)與拋物線C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，故。錯(cuò)誤.

故選ABC.

12.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本題考查雙曲線的漸近線，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，圓的幾何性質(zhì)等，屬于綜

合題.

【解答】

解：由Pa1。，PBIl2,則O,P，A,B四點(diǎn)在以O(shè)P為直徑的圓上，

由雙曲線C:合一］=1，可設(shè)ky=√3χ,∕2:y=-√3x.則乙40B=120°,?APB=60°

設(shè)P(%o,y0)，滿足瞪一苧=1，

則3詔一%=3,

由點(diǎn)到直線的距離的公式可得，伊川=哼歲=l^xθ~yθl?

同理可得∣P8∣=也浮如，

所以IP*IPBl=喀覺?=*

13等

故

A對(duì)

XX√3-

o2-4-2

S^PAB=l-?PA?-?PB?-sin60

因?yàn)?,P,4,B四點(diǎn)在以O(shè)P為直徑的圓上,設(shè)0P、48的中點(diǎn)為H、M,連接H4HB,則乙4/7B=120°,

在直角△力中，∣4Ml=I砌sin60。=竽MH|，

又IABl=2?AM?,?OP?=2?AH?,

所以網(wǎng)=苧∣0P∣,BP2∣ΛB∣=√3∣0P∣,故B對(duì)；

若^P4B是直角三角形，則點(diǎn)4或點(diǎn)B與原點(diǎn)。重合，

設(shè)點(diǎn)4與原點(diǎn)0重合，?ABP=90o,/.BAP=30°,

在直角△PAB中，設(shè)∣BP∣=t,則MPl=23?AB?=√3t.

33

2得

=Λ2=√6

,_C4-=

×?PA??PB?4τ,

所以的周長是（3+√?t=吟國，當(dāng)點(diǎn)B與原點(diǎn)。重合時(shí)結(jié)果相同，故C對(duì);

當(dāng)仃43是正三角形時(shí)，伊知=陷|=|48|=乎得40AB="B4=30。，

==,

在等腰△%B中，邊AB上的高八=苧tan30。=；，SΔOΛB×^y×γ∣

此時(shí)IOPl=I,點(diǎn)P為雙曲線的右頂點(diǎn).故。錯(cuò).

13.【答案】一1

【解析】

【分析】

本題主要考查空間向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)空間向量垂直的坐標(biāo)表示列式計(jì)算求解即可.

【解答】

I?：VaLbfa=(l,2ll),K=(l,m,1)，

?α?h=1÷2m+1=0,

解得m=-1.

故答案為：—1?

∣4?【答案】:?≥2

【解析】

【分析】

本題考查數(shù)列的前幾項(xiàng)和及Sn與On的關(guān)系，屬于較易題.

分71=1和九≥2兩種情況，根據(jù)/l=Sn-Snγ,即可得出答案.

【解答】

2

解：?：Sn=2n+4,

???當(dāng)Tl=I時(shí)，QI=SI=6,

22

當(dāng)Ti≥2時(shí)，an=Sn-Sn_1=2n+4—[2(n-I)+4]=4n—2,

把九=1代入上式得Ql=2≠6,

二數(shù)列｛απ｝的通項(xiàng)公式為廝=｛：；二，>2?

故答案為：｛16,71=1

An—2,n≥2,

15.【答案】?+?=1

62

【解析】

【分析】

本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的中點(diǎn)弦問題，屬于中檔題.

由點(diǎn)差法可得的B=—4,則α2=3∕√,又。2-/=4,聯(lián)立解得。2,即可得出橢圓方程.

λua2

【解答】

22

解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為%+%=l(α>b>0),

由題意，橢圓被直線X+3y-4=O所截得弦4B的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(L1),

設(shè)4點(diǎn)坐標(biāo)為(Xi,yι),8點(diǎn)坐標(biāo)為(尤2，、2)，

二Xl+%2=2，JzI+)z2=2,

b2xl÷a2yl=a2b2

由

b2xl+a2yl=a2b2"

2

化簡得+χ2)(χ1-χ2)+a(y1+y2)(yι-y2)=。，

22

BP2b(x1—x2)+2α(y1-y2)=0,

貝垢B=矣=一9

?'?-?=-∣,即。2=3扭,

Xva2-b2=4,

???=6,b2=2,

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為=L

62

故答案為1+4=1.

62

16.【答案】粵

【解析】

【分析】

本題主要考查棱錐的體積，屬于中檔題.

連接4C,BD交于點(diǎn)0,由4POC+?POA=ττ,則CoSNPoC+cos?P0A=0,結(jié)合余弦定理可得

PA2=2OP2-10,同理可得PB?+=2op2+結(jié)合已知條件可得OP=√∏,當(dāng)P。1平面

PD26）

ABCD時(shí)，四棱錐P-ABCD的體積取到最大值，利用體積公式求解即可得出答案.

【解答】

解：???四邊形ABCD為菱形，AB=2,B=p

?AC—2,BD-2>/3，

?*.OA=OC=1,

?.?Z-POC+Z.POA=7Γ,

???COSZ.POC+CQSΔP0A=0,

由余弦定理得°P2+℃2-PC2M+Md#=0.

20P0C20P0A

OP2+1-12,OP2+1-PA2

?20P+-2δΓ~=λ°,

整理得PA2=20P2-10,

/.POB+Z.POD=π,

則同理可得PB?+PD2=2OP2+6,

???PA2+PB2+PD2=4OP2-4=40,

解得。P=√11,

???當(dāng)P。_L平面ABCO時(shí)，四棱錐P-ABCD的體積取到最大值，

???四棱錐P-ABCD體積的最大值U=^SABCD?OP=?×2√3X√∏=等.

故答案為等

17.【答案】解：?.?y=∕+x-2,

.?.yz=2x+1,

將％=1代入y'=2%+1,,得y'=3,

，曲線y=χ2÷χ-2在點(diǎn)(1,0)處的切線。的斜率為3,

YLl?∣2,

直線，2的斜率為-3,

當(dāng)2x+l=-1時(shí),解得久=一|,

將X=-1代入y=X2+X-2,得y=-y.

???直線，2與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為-當(dāng)，

???切線0的方程為y+9=一如+1)，

即3x+9y+22=0.

【解析】本題考查求曲線上一點(diǎn)的切線方程，屬于較易題.

求得y=/+x-2的導(dǎo)函數(shù)，可得切線k的斜率，由兩直線垂直的條件可得%的斜率，求得直線G

與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式方程可得所求直線方程.

18.【答案】解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,

r

∕3α2+@6=÷8d=20

,

由題屈'得=9α1+?d=9a1+36d=81

解得｛建J，

數(shù)列｛斯｝是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，

?αn=α1÷(n—l)d=1÷2(n-1)=2n—1,幾∈N*,

?,?數(shù)列｛%J的通項(xiàng)公式為%1=2n-1,nEN*;

(2)山(1)得6∏=＞即+1=(2n-l)(2n+l)=2Qn-1-2n+l)，

Λ^=K1-I+I-I+-?,+?-2?I)=K1-2?I)=2?T?

【解析】本題主要考查求數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和，屬于中檔題.

(1)根據(jù)3。2+。6=20,S9=81,列出方程組，解方程組可得由與d的值，從而可得數(shù)列｛arι｝的通

項(xiàng)公式；

(2)由⑴可得%=/=(2n,n+l)=X?T-焉)，利用裂項(xiàng)相消法求和即可求解?

19.【答案】解:(1)???-?=1÷?

SinB

_1,CoSB

-1IS:inC7T"

COSC

SinBCoSC

=Id-----------------------------

SineCOSB

SinBcosC+SinCCOSB

SinCcosB

Sin(B+C)

SineCOSB'

在△4Bc中，sin(B÷C)=sin(π—A)=SinAfSinA>0,SinC>0,

sin4

cSinCcosF

由正弦定理得一黑=品,則"SB=—",

又???B∈(O,τr),解得B=等

(2)???BD平分NaBC,BD=2,S^ABC=SLABD÷S^BCDf

：,-acsιn-y=-×2csιn-÷-×2αsιn-,

化簡得αc=2α+2c,

在44BC中，由余弦定理可得接=α2+c2-2accos等

又??,b=4√5,

?α2÷c2+αc=80,

∣∣?γ.-yΓCIC—2Q+2c

'tα2+c2÷αc=80，

解得αc=20或QC=-16(舍去)，

???SAABC=?αcsiny=∣×20×y=5√3?

【解析】本題主要考查三角形面積公式，以及正、余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦定理、三角函數(shù)的恒等變換公式，角B的取值范圍，即可求解;

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合三角形的面積公式，以及余弦定理，即可求解.

20.【答案】解：(I)證明：：直線心(2m+l)x+(m+l)y-Ilm-8=0,

：.(2x+y-1l)m+(x+y—8)=O,

令信不道”，解喉;,

???直線/過定點(diǎn)(3,5),

而(3-2)2+(5-4)2<25,

則點(diǎn)(3,5)在圓內(nèi)部，

.?.直線/與圓C相交；

(2)如圖所示，過圓心C作CEL,于點(diǎn)E,

設(shè)I所過定點(diǎn)為M(3,5),

NX

由圖可知，圓心到直線的距離d=CE,且O≤d≤CM,r=5,

又?；直線/被圓C截得的弦長為2＜產(chǎn)一d2=2√25-d2,

二當(dāng)d取最大值時(shí)，弦長最小，

二當(dāng)d=CM,即直線1,CM時(shí)，直線被圓C截得的弦長最小，

又???圓心C(2,4),

∣icM~=1，

直線1的斜率k=-1,

二直線，的方程為y—5=—(x—3),即X+y—8=0；

(3)?.?x2+y2=(x-O)2+(y-O)2,表示圓C上的點(diǎn)(X,y)到(0,0)的距離的平方，

:圓心到原點(diǎn)的距離d=√22+42=2Λ∕5,

?(x2+y2)max=(5+2√5)2=45+20√5.

%2+y2的最大值為45+20√5?

【解析】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，以及點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值問題，屬于中檔題.

(1)把直線/的方程變形后，根據(jù)直線計(jì)亙過定點(diǎn)，得到關(guān)于X與y的二元一次方程組，求出方程組的

解即為直線/恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)，判斷定點(diǎn)在圓內(nèi)，可證直線(與圓恒交于兩點(diǎn)；

(2)根據(jù)直線與圓相交，則弦長公式為2√r匚d2,由此可確定當(dāng)圓心到直線的距離最大值時(shí)，弦

長最小，即直線I與CM垂直時(shí)，即可求得直線方程；

(3)x2+y2表示圓C上的點(diǎn)(χ,y)到(0,0)的距離的平方，求其最值即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(0,0)與圓上的點(diǎn)的距

離最大值的平方，結(jié)合圓的性質(zhì)可求.

21.【答案】解：(1)存在，當(dāng)點(diǎn)E為PC中點(diǎn)時(shí)，BE〃平面24。，理由如下：

延長CB,ZM交于點(diǎn)尸，連接PF,

在ACZ)F中，BD是4WC的角平分線，5.BD1BC,

???△CD尸是等腰三角形，點(diǎn)B是C尸的中點(diǎn)，

又???E是PC的中點(diǎn)，

.?.BE//PF,

?.?PFu平面PAD,BEC過平面PAD,

:?BE〃平面PAD；

(2)在AABD中，AD=2,BD=4,AB=2√3,

.?.AD2+AB2=BD2,

??BAD=90°,即B4J.AZ),

由SinNBDA=霽=竽=俘，

BD42

.?.?BDA=乙BDC=60°,

.?.CD=8,BC=4√3,

二四邊形4BCO的面積為SA皿+SABDC=i×2×2√3+∣×4×4√3=10√3,

作POlAD,垂足為。，。為4D的中點(diǎn)，

?；平面24。_L平面4BC0,PoU平面240,平面24On平面4BCD=4。，

ΛPO1平面ABCD,

則四棱錐P-力BCD體積為：X10√3×P0=10,

解得P。=√3.

???乙PAD=60°,

又?.?PA=AD=2,

???ΔPAD為正三角形，

以。為原點(diǎn)，以04OP為X,Z軸，作Oy平行于ZB,