探究化歸與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

探究化歸與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們時(shí)常會(huì)遇到這樣一些問(wèn)題，假設(shè)要直接解決會(huì)較為困難，假設(shè)通過(guò)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，歸類就會(huì)使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。這類問(wèn)題的解決方法就是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法之——化歸和轉(zhuǎn)化的思想方法。數(shù)學(xué)中的化歸與轉(zhuǎn)化思想方法，指在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或比擬容易解決的問(wèn)題，最終求得問(wèn)題的解答的一種手段和方法?；瘹w與轉(zhuǎn)化的思想方法的特點(diǎn)是實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)化，模式化，以便應(yīng)用的理論，方法和技巧到達(dá)問(wèn)題的解決。在化歸思維過(guò)程中，我們對(duì)原來(lái)問(wèn)題中的條件進(jìn)行了簡(jiǎn)化，分化，轉(zhuǎn)化，特殊化的變形，最后將原問(wèn)題歸結(jié)為簡(jiǎn)單的，熟悉的問(wèn)題而得到解決。因此，我們化歸的方向應(yīng)該是由未知到，由難到易，由繁到簡(jiǎn)。世界數(shù)學(xué)大師波利亞強(qiáng)調(diào)：“不斷的變換你的問(wèn)題”“我們必須一再變化它，重新表達(dá)它，變換它，直到最后成功地找到某些有用的東西為止”，他認(rèn)為解題的過(guò)程就是“轉(zhuǎn)化”，的過(guò)程。因此，“轉(zhuǎn)化”是解數(shù)學(xué)題的重要思想方法之一。由于轉(zhuǎn)化具有多向性，層次性和重復(fù)性的特點(diǎn)，為了實(shí)施有效的轉(zhuǎn)化，既可以變更問(wèn)題的條件，也可以變更問(wèn)題的結(jié)論；既可以變換問(wèn)題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，又可以變換問(wèn)題的外部形式，這就是多向性。轉(zhuǎn)化原那么既可應(yīng)用于溝通數(shù)學(xué)與各分支學(xué)科的聯(lián)系，從宏觀上實(shí)現(xiàn)學(xué)科間的轉(zhuǎn)換，又能調(diào)動(dòng)各種方法與技術(shù)，從微觀上解決多種具體問(wèn)題，這是轉(zhuǎn)化的層次性。而解決問(wèn)題可以屢次的使用轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題逐次到達(dá)標(biāo)準(zhǔn)化，這就是轉(zhuǎn)化原那么應(yīng)用的重復(fù)性。在高考中，轉(zhuǎn)化與化歸思想占有相當(dāng)重要的地位，掌握好化歸與轉(zhuǎn)化思想的兩大特點(diǎn)，學(xué)會(huì)在解題時(shí)注意依據(jù)問(wèn)題本身所提供的信息，利用動(dòng)態(tài)思維，去尋求有利于問(wèn)題解決的化歸與轉(zhuǎn)化的途徑和方法，對(duì)學(xué)好數(shù)學(xué)是很有幫助的。下面談?wù)劵瘹w與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)應(yīng)用中主要涉及的根本類型。正與反的相互轉(zhuǎn)化對(duì)于那些從“正面進(jìn)攻”很難奏效或運(yùn)算較繁的問(wèn)題，可先攻其反面，運(yùn)用補(bǔ)集思想從而使正面得以解決。函數(shù)在〔0，1〕內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：至少有一個(gè)零點(diǎn)的情況比擬復(fù)雜，而其反面為沒(méi)有零點(diǎn)，比擬容易處理。解：〔法一〕當(dāng)函數(shù)在〔0，1〕內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)在〔0，1〕內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即在〔0，1〕內(nèi)，.而當(dāng)〔0，1〕時(shí)，，得。要使，必有故滿足題設(shè)的實(shí)數(shù)的取值范圍是〔法二〕設(shè)，對(duì)稱軸為，注意到，故對(duì)稱軸必須在軸的右側(cè)。(1)當(dāng)時(shí)，即，有，此時(shí)；(2)當(dāng)時(shí)，有此時(shí)有。綜合〔1〕〔2〕得實(shí)數(shù)的取值范圍是點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用法二直接求解時(shí)，要有較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合能力，分類討論能力和較強(qiáng)的洞察力〔注意到有一定的難度；假設(shè)轉(zhuǎn)為先考慮它的反面情形〔法一〕，那么解題目標(biāo)與思路會(huì)變得更集中與明確?！罢y那么反”有時(shí)會(huì)給我們的解題帶來(lái)意想不到的妙處。2、常量與變量的轉(zhuǎn)化在處理多變?cè)臄?shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們可以選取其中的常數(shù)〔或參數(shù)〕，將其看做是“主元”，而把其它變?cè)醋鍪浅Ａ?，從而到達(dá)減少變?cè)?jiǎn)化運(yùn)算的目的。曲線系的方程為,試證明:坐標(biāo)平面內(nèi)任一點(diǎn)(,在中總存在一橢圓和一雙曲線過(guò)該點(diǎn).分析：假設(shè)從曲線的角度去考慮,即以x,y為主元,思維受阻.假設(shè)從k來(lái)考慮,不難看出,當(dāng)表示的曲線分別為橢圓和雙曲線,問(wèn)題歸結(jié)為證明在區(qū)間和(4,9)內(nèi)分別存在k值,使曲線過(guò)點(diǎn)(a,b).解：設(shè)點(diǎn)()在曲線上,那么整理得①可知f(k)=0,根據(jù)函數(shù)圖象開(kāi)口向上,可知方程①在和(4,9)內(nèi)分別有一根,即對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)(a,b),在曲線系中總存在一橢圓和一雙曲線通過(guò)該點(diǎn).點(diǎn)評(píng)：此題巧妙地將解析幾何中的曲線系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為視變量為主元的方程的根的問(wèn)題,降低了難度,這種方法在解析幾何中用的較普通。特殊與一般的轉(zhuǎn)化一般成立，特殊也成立。特殊可以得到一般性的規(guī)律。這種辯證思想在高中數(shù)學(xué)中普遍存在，經(jīng)常運(yùn)用，這也是化歸思想的表達(dá)。向量，假設(shè)，滿足，那么的面積等于。分析：可取的某些特殊值代人求解。解：由條件可得。利用特殊值，如設(shè)代入，那么，故面積為1。例4、函數(shù),求的值.分析:直接代入計(jì)算較為復(fù)雜,可尋求f(x)與f(1-x)的關(guān)系.解:===于是==點(diǎn)評(píng)：一般問(wèn)題特殊化,使問(wèn)題處理變得直接、簡(jiǎn)單。特殊問(wèn)題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問(wèn)題的一般規(guī)律，從而到達(dá)成批的處理問(wèn)題的效果。等與不等的轉(zhuǎn)化相等于不等是數(shù)學(xué)解題中矛盾的兩方面，但是它們?cè)谝欢ǖ臈l件下可以互相轉(zhuǎn)化，例如有些題目，外表看來(lái)似乎只具有相等的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)這些相等關(guān)系又難以解決問(wèn)題，但假設(shè)能挖掘其中的不等關(guān)系，建立不等式〔組〕去轉(zhuǎn)化，往往能獲得簡(jiǎn)捷求解的效果。例5、都是實(shí)數(shù)，且求證：。分析：利用均值不等式先得到一個(gè)不等關(guān)系，再結(jié)合中的相等關(guān)系尋求與之間的關(guān)系。解：，。又，且即。點(diǎn)評(píng)：利用等與不等之間的辯證關(guān)系，相互轉(zhuǎn)化，往往可以使問(wèn)題得到有效解決。數(shù)與形的轉(zhuǎn)化許多數(shù)量關(guān)系的抽象概念假設(shè)能賦予幾何意義，往往變得直觀形象，有利于解題途徑的探求；另一方面，一些涉及圖形的問(wèn)題如能化為數(shù)量關(guān)系的研究，又可以獲得簡(jiǎn)捷而一般的解法。這就是數(shù)形結(jié)合的相互轉(zhuǎn)化。例6、求函數(shù)的最大值和最小值。分析：令，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，結(jié)合二次函數(shù)圖像討討論可得。解：.設(shè)那么，并且。當(dāng)時(shí)如圖。有當(dāng)時(shí)，,為和中的較大者，即或.當(dāng)時(shí)，有。點(diǎn)評(píng)：通過(guò)換元降三角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較為熟悉的二次函數(shù)問(wèn)題，利用二次函數(shù)圖像結(jié)合分類討論，使問(wèn)題得到解決。陌生與熟悉的轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)解題過(guò)程事實(shí)上就是把問(wèn)題由陌生向熟悉的轉(zhuǎn)化過(guò)程，注意類比以前解決過(guò)的問(wèn)題，找出其共性和差異性，應(yīng)用解題中，通常表現(xiàn)為構(gòu)造熟悉的事例模型，在待解決問(wèn)題和已解決問(wèn)題之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化。例7、對(duì)任意函數(shù)可按圖示構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：輸入數(shù)據(jù)，經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出；②假設(shè)，那么數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；假設(shè)那么將反應(yīng)回輸入端，再輸出，并依此規(guī)律繼續(xù)下去，現(xiàn)定義。⑴假設(shè)輸入，那么由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列，請(qǐng)寫出的所有項(xiàng)；⑵假設(shè)要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮的常數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)的值；⑶假設(shè)輸入時(shí)，產(chǎn)生的無(wú)窮數(shù)列，滿足對(duì)任意正整數(shù)n均有，求的取值范圍。分析：此題富有新意，綜合性、抽象性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵就是應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想將題意條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言。解：〔1〕的定義域，數(shù)列只有三項(xiàng)，，，〔2〕，即，故當(dāng)時(shí)，〔3〕解不等式，得或，要使，那么或?qū)τ诤瘮?shù)，假設(shè)那么；假設(shè)那么且依此類推可得數(shù)列的所有項(xiàng)均滿足綜上所述，由，得點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生的閱讀審題、綜合理解的能力，涉及函數(shù)求值的簡(jiǎn)單運(yùn)算、方程思想的應(yīng)用，解不等式及化歸轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。由以上幾種典型題型的剖析足以說(shuō)明掌握好化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法對(duì)學(xué)好高中數(shù)學(xué)是非常有幫助的，它可以幫助我們尋找到一些簡(jiǎn)單的方法來(lái)解決一些較為復(fù)雜的題目。但我們?cè)趹?yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法還應(yīng)注意它的三個(gè)根本要素：1、把什么東西轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化的對(duì)象；轉(zhuǎn)化到何處，即轉(zhuǎn)化的目標(biāo)；如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化的方法。為了讓我們更好地應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，我們?cè)趹?yīng)用時(shí)還應(yīng)遵循以下五條原那么：熟悉化原那么，將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題來(lái)解；簡(jiǎn)單化原那么，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決，到達(dá)解決復(fù)雜問(wèn)題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)。和諧化原那么，轉(zhuǎn)化問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧統(tǒng)一的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或符合人們的思維規(guī)律。直觀化原那么，將比擬抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比擬直觀的問(wèn)題來(lái)解決。正難那么反原那么，當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí)，應(yīng)想到考慮問(wèn)題的發(fā)面，設(shè)法從問(wèn)題的反面去探求，使問(wèn)題獲得解決，或證明問(wèn)題的可能性?？傊瘹w與轉(zhuǎn)化的思想方法是高中數(shù)學(xué)的一種重要思想方法，掌握好化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法的特點(diǎn)，題型，方法，要素，原那么對(duì)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是非常有幫助?；瘹w與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解題舉例化歸與轉(zhuǎn)化的思想確是指在解決問(wèn)題時(shí)，采用某種手段使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問(wèn)題得到解決的一種解題策略，是數(shù)學(xué)學(xué)科與其它學(xué)科相比，一個(gè)特有的數(shù)學(xué)思想方法，化歸與轉(zhuǎn)化思想的核心是把生題轉(zhuǎn)化為熟題。事實(shí)上，解題的過(guò)程就是一個(gè)縮小與求解的差異的過(guò)程，是求解系統(tǒng)趨近于目標(biāo)系統(tǒng)的過(guò)程，是未知向熟知轉(zhuǎn)化的過(guò)程，因此每解一道題，無(wú)論是難題還是易題，都離不開(kāi)化歸。下面介紹一些常用的轉(zhuǎn)化方法，及化歸與轉(zhuǎn)化思想解題的應(yīng)用?；瘹w與轉(zhuǎn)化常遵循以下幾個(gè)原那么〔1〕熟悉化原那么：將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題來(lái)解決。〔2〕簡(jiǎn)單化原那么：將復(fù)雜的問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決，到達(dá)解決復(fù)雜問(wèn)題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù)。〔3〕和諧化原那么：化歸問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合人們的思維規(guī)律。(4)直觀化原那么：將比擬抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比擬直觀的問(wèn)題來(lái)解決?！?〕正難那么反原那么：當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問(wèn)題的反面，設(shè)法從問(wèn)題的反面去探求，使問(wèn)題獲解。一、正與反的轉(zhuǎn)化：有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果直接從正面入手求解難度較大，致使思想受阻，我們可以從反面著手去解決。如函數(shù)與反函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題，對(duì)立事件的概率、間接法求解排列組合問(wèn)題、舉不勝舉。例1：某射手射擊1次擊中目標(biāo)的概率是0.9他連續(xù)射擊4次且他各次射擊是否擊中目標(biāo)是相互獨(dú)立的，那么他至少擊中目標(biāo)1次的概率為。分析：至少擊中目標(biāo)一次的情況包括1次、2次、3次、4次擊中目標(biāo)共四種情況，可轉(zhuǎn)化為其對(duì)立事件：一次都未中，來(lái)求解略解：他四次射擊未中1次的概率P1=0.14=0.14∴他至少射擊擊中目標(biāo)1次的概率為1－P1=1－0.14=0.9999例2：求常數(shù)m的范圍，使曲線y=x2的所有弦都不能被直線y=m(x－3)垂直平分.分析：直接求解較為困難，事實(shí)上，問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為：在曲線y=x2存在關(guān)于直線y=m(x－3)對(duì)稱的兩點(diǎn)，求m的范圍。略解：拋物線y=x2上存在兩點(diǎn)〔x1，xeq\o(\s\up8(2),\s\do3(1))〕和〔x2，xeq\o(\s\up8(2),\s\do3(2))〕關(guān)于直線y=m(x－3)對(duì)稱，那么即消去x2得∴存在∵上述方程有解∴△=＞0∴＜0，從而m＜因此，原問(wèn)題的解為｛m|m≥｝二、一般與特殊的轉(zhuǎn)化當(dāng)面臨的數(shù)學(xué)問(wèn)題由一般情況難以解決，可以從特殊情況來(lái)解決，反之亦然，這種方法在選擇題，填空題中非常適用。例1：設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q，前n項(xiàng)和為Sn，假設(shè)Sn+1、Sn、Sn+2成等差數(shù)列，那么q=___________.分析：由于該題為填空題，我們不防用特殊情況來(lái)求q的值.如：成等差，求q的值.這樣就防止了一般性的復(fù)雜運(yùn)算.略解：∵∴(a1≠0)∴q=－2或q=0〔舍去〕例2：平面上的直線l的方向向量，點(diǎn)(0，0)和A(1,－2)在l上的射影分別為，假設(shè)那么λ為〔〕A．B．－C．2D．－2分析：直線l的斜率一定，但直線是變化的，又從選項(xiàng)來(lái)看，必為定值?？梢?jiàn)直線l的變化不會(huì)影響的值。因此我們可取l為來(lái)求解的值。略解：設(shè)l:那么可得∴即，=－2例3：設(shè)三棱柱ABC—A1B1C1的體積為V，P、Q分別是側(cè)棱AA1、CC1上的點(diǎn)，且PA=QC，那么四棱錐B—PAQCA．VB．VC．VD．V分析：P、Q運(yùn)動(dòng)四棱錐B—PAQC是變化的，但從選項(xiàng)來(lái)看其體積是不變的，所以可以轉(zhuǎn)化為特殊情況來(lái)解決略解：取P與A重合，Q與C重合的特殊情況三、主與次的轉(zhuǎn)化利用主元與參變量的關(guān)系，視參變量為主元〔即變量與主元的角色換位〕常常可以簡(jiǎn)化問(wèn)題的解決，先看下面兩題。例1:〔2006年四川卷文21題〕函數(shù)其中是的的導(dǎo)函數(shù)?！并瘛硨?duì)滿足的一切的值，都有求實(shí)數(shù)的取值范圍；〔Ⅱ〕〔略〕分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：及,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù)。顯然可將視作自變量，那么上述問(wèn)題即可轉(zhuǎn)化為在內(nèi)關(guān)于的一次函數(shù)大于0恒成立的問(wèn)題。解：〔Ⅰ〕由題意令對(duì)，恒有，即∴即解得故時(shí)，對(duì)滿足的一切的值，都有≤0對(duì)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.例2、對(duì)任何函數(shù)的值總大于0，那么實(shí)數(shù)x的取值范圍是：_______分析：對(duì)于例2：我們也可以轉(zhuǎn)化為例1的形式只需視為關(guān)于a的函數(shù)，問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為例1的情況：略解：令為關(guān)于a的一次函數(shù)，由圖像知或x＜1或x＞3例3：設(shè)的實(shí)數(shù)，那么的取值范圍是：___________分析：把看作是關(guān)于的二次方程，那么利用△≥0求解的范圍。略解：把看作是關(guān)于的二次方程，因?yàn)榈膶?shí)數(shù)，所以方程有解?！唷?≥0∴｛x|x≤-2或x≥3｝四、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化。數(shù)形結(jié)合其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形相結(jié)合。可以使許多概念和關(guān)系直觀而形象，有利于解題途徑的探求。o-2xy2例1：設(shè)對(duì)于任意實(shí)數(shù)o-2xy2總有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解法一：有意義，有，即在時(shí)總成立，設(shè)，即當(dāng)時(shí)，總成立。依拋物線的特征，將其定位，有解得：解法二：不等式可化成oxy1oxy13510設(shè),,的圖象如圖，可知的最大值為，故最小值為.故[點(diǎn)評(píng)]通過(guò)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，抓住了拋物線的特征，建立了實(shí)數(shù)的不等式組，從而求出的范圍。解法二是通過(guò)別離參數(shù)的方法，再通過(guò)換元，利用函數(shù)的特征求其最值，同樣表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)。五、陌生與熟悉的轉(zhuǎn)化把一個(gè)復(fù)雜的、陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、熟悉的問(wèn)題來(lái)解決，這是數(shù)學(xué)解題的一條重要原那么。例1：某廠2001年生產(chǎn)利潤(rùn)逐月增加，且每月增加的利潤(rùn)相同，但由于廠方正在改造建設(shè)，元月份投入資金建設(shè)恰好與元月的利潤(rùn)相等，隨著投入資金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建設(shè)資金又恰好與12月的生產(chǎn)利潤(rùn)相同，問(wèn)全年總利潤(rùn)與全年總投入的大小關(guān)系是〔〕A.>B.<C.=D.無(wú)法確定分析：每月的利潤(rùn)組成一個(gè)等差數(shù)列，且公差，每月的投資額組成一個(gè)等比數(shù)列，且公比。，且，比擬與的大小。假設(shè)直接求和，很難比擬出其大小，但注意到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，其圖象是一條直線上的一些點(diǎn)列。等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，其圖象是指數(shù)函數(shù)上的一些點(diǎn)列。在同一坐標(biāo)系中畫出圖象，直觀地可以看出,那么＞，即＞。[點(diǎn)評(píng)]把一個(gè)原本是求和的問(wèn)題，退化到各項(xiàng)的逐一比擬大小，而一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象又是每個(gè)學(xué)生所熟悉的。在對(duì)問(wèn)題的化歸過(guò)程中進(jìn)一步挖掘了問(wèn)題的內(nèi)涵，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的反思、再加工后，使問(wèn)題直觀、形象，使解答更清新。例2：兩條異面直線稱為“一對(duì)”，那么在正方體八個(gè)頂點(diǎn)間的所有連線中，成異面直線的共有多少對(duì)？分析:如果以其中一條棱進(jìn)行分類的話，很難搞清“重”和“漏”。然而我們對(duì)以下兩題很熟悉：①以正方體的八個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐有多少個(gè)？②如果兩條異面直線稱為“一對(duì)”的話，任一三棱錐中有多少對(duì)異面直線？略解：故可把此題分解成兩個(gè)熟悉的問(wèn)題，即考慮一種對(duì)應(yīng)。由于①的答案是個(gè)；②的答案是3對(duì)，故此題答案為對(duì)。[點(diǎn)評(píng)]直接尋找異面直線的對(duì)數(shù)很繁且易漏，而引入三棱錐通過(guò)計(jì)算三棱錐個(gè)數(shù)，使得三棱錐的個(gè)數(shù)與異面直線的對(duì)數(shù)建立了一個(gè)對(duì)應(yīng)，從而使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的問(wèn)題。歸納小結(jié)：我們學(xué)習(xí)了化歸與轉(zhuǎn)化思想，正與反的轉(zhuǎn)化從集合的角度來(lái)看就是“補(bǔ)集”的思想一般與特殊的轉(zhuǎn)化只限選擇題，填空題中使用，在大題中可有管種方法來(lái)探究解題的突破口，尋求解題的方法。數(shù)學(xué)分支間的轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)分支間內(nèi)在聯(lián)系的具體表達(dá)。將陌生變?yōu)槭煜?，是解每一道題的一般過(guò)程。主與次的轉(zhuǎn)化的方法，是如何看待一個(gè)等式〔或不等式〕中的兩個(gè)元素的地位，只要需要，就可以把其中任何一個(gè)元素看作“主”要元素來(lái)解題?；瘹w與轉(zhuǎn)化思想在教學(xué)中應(yīng)用非常普遍，我們?cè)诮饷恳坏李}時(shí)，實(shí)際上都在轉(zhuǎn)化和類比。將問(wèn)題由難轉(zhuǎn)易，由陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)為熟悉的問(wèn)題，從而從問(wèn)題得到解決，類比與轉(zhuǎn)化的類型很多，歸納如下：高次問(wèn)題——→低次問(wèn)題復(fù)雜未知多元問(wèn)題——→一元問(wèn)題問(wèn)題問(wèn)題超越運(yùn)算——→代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化無(wú)限問(wèn)題——→有限問(wèn)題簡(jiǎn)單已知空間問(wèn)題——→平面問(wèn)題問(wèn)題問(wèn)題幾何問(wèn)題——→代數(shù)問(wèn)題別離變量法一齊次偏微分方程的別離變量法1有界弦的自由振動(dòng)考慮兩端固定的弦振動(dòng)方程的混合問(wèn)題=1\*GB3①這個(gè)定解的特點(diǎn)是：偏微分方程是齊次的，邊界條件是齊次的。求解這樣的方程可用疊加原理。類似于常微分方程通解的求法先求出其所有線性無(wú)關(guān)的特解，通過(guò)疊加求定解問(wèn)題的解。所謂具有別離變量的形式，即把帶入方程=1\*GB3①中，可得到常微分方程定解為：＝＝其中：，2離變量法的解題步驟可以分成三步：(一)首先將偏微分方程的定解問(wèn)題通過(guò)別離變量轉(zhuǎn)化為常微分方程的定解問(wèn)題。(二)確定特征值與特征函數(shù)。(三)求出特征值和特征函數(shù)后，再解其它的常微分方程，將所得的解與同一特征值報(bào)驪應(yīng)的特征函數(shù)相乘得到所有別離變量的特解。3有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo)設(shè)有一均勻細(xì)桿，長(zhǎng)為，比熱為，熱傳導(dǎo)系數(shù)為，桿的側(cè)面是絕緣的，在桿的一端溫度保持為0度，另一端桿的熱量自由散發(fā)到周圍溫度是0的介質(zhì)中，桿與介質(zhì)的熱交換系數(shù)為，桿上的初溫分布為，求桿上溫度的變化規(guī)律，也就是要考慮以下問(wèn)題：(2.18)(2.19)(2.20)其中，注意到此定解問(wèn)題中方程和邊界條件均是齊次的，因此仍用別離變量法來(lái)求解。設(shè)，代入方程〔2.18〕得：上式右端不含，左端不含，所以只有當(dāng)兩端均為常數(shù)時(shí)才能相等。令此常數(shù)為，那么有：〔2.21〕〔2.22〕所齊次邊界條件可得：〔2.23〕從而特征值問(wèn)題:對(duì)的取值分三種情況，進(jìn)行討論。極坐標(biāo)系下位勢(shì)方程的別離變量法如果求解區(qū)域是圓域、圓柱域等，在直角坐標(biāo)系下，其邊界不能用別離變量形式的方程來(lái)表示，進(jìn)行別離變量就會(huì)受阻。然而假設(shè)轉(zhuǎn)換坐標(biāo)，例如圓形域換成極坐標(biāo)系后，其邊界方程為，符合別離變量的要求。因此，當(dāng)求解域?yàn)閳A、扇形、球、