換元積分法與分部積分法

§8.2換元積分法與分部積分法教學(xué)目標(biāo)：掌握第一、二換元積分法與分部積分法．教學(xué)內(nèi)容：第一、二換元積分法；分部積分法．根本要求：熟練掌握第一、二換元積分法與分部積分法．教學(xué)建議：(1)布置足量的有關(guān)換元積分法與分部積分法的計(jì)算題．(2)總結(jié)分部積分法的幾種形式：升冪法，降冪法和循環(huán)法．教學(xué)過(guò)程：一、第一類換元法——湊微分法：有一些不定積分，將積分變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q后，就可利用根本積分表求出積分。例如，求不定積分，如果湊上一個(gè)常數(shù)因子2，使成為令那么上述右端積分然后再代回原來(lái)的積分變量，就求得原不定積分更一般的，假設(shè)函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，是可微函數(shù)，并且復(fù)合運(yùn)算有意義，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么

及不定積分的定義，有

由于

從而

〔1〕綜上所述，可得如下結(jié)論定理8.4：〔第一換元積分法〕設(shè)是連續(xù)函數(shù)，是的一個(gè)原函數(shù)。又假設(shè)連續(xù)可微，并且復(fù)合運(yùn)算有意義，那么

〔2〕第一換元積分公式〔2〕說(shuō)明如果一個(gè)不定積分的被積表達(dá)式能夠?qū)懗傻男问?，可通過(guò)變量代換把被積表達(dá)式等同于，假設(shè)不定積分

容易求得，那么再將代入，便求出原不定積分由于第一換元積分法的根本手段就是將被積表達(dá)式變?yōu)榈男问?。也就是把被積函數(shù)分解成兩個(gè)因子的乘積，其中一個(gè)因子與湊成某一函數(shù)的微分，而另一因子是的函數(shù)，且經(jīng)過(guò)這樣的微分變形后被積表達(dá)式變?yōu)槿菀追e分的形式，所以人們也經(jīng)常稱第一換元積分法為“湊微分法”。湊微分法技巧性強(qiáng)，無(wú)一般規(guī)律可循，因而不易掌握，初學(xué)者只有多做練習(xí)，不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，才能運(yùn)用自如。湊微分法1：例１、利用，求以下積分，令有再將代入，有令，有再將代入，有令再將代入，有如果運(yùn)算比擬熟練，為了簡(jiǎn)化解題步驟，變量代換可以不寫出來(lái)，只需默記在頭腦中就可以了。湊微分法2、.特別地,有和.例２、利用，求以下積分＝解：〔4〕例３、假設(shè)被積函數(shù)利用，有如下公式求以下積分以上３例都是直接利用“湊微分法”求不定積分。如果進(jìn)一步把“湊微分法”與不定積分的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合起來(lái)，就可以利用根本積分表來(lái)處理非常廣泛的初等函數(shù)的積分。例４、將以下被積函數(shù)先作代數(shù)恒等變形再求其不定積分＝＝湊微分法3：例５、對(duì)于與形式的積分，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，可利用三角恒等式來(lái)降低三角函數(shù)的冪，當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，變正〔余〕弦函數(shù)的積分為余〔正〕弦函數(shù)的積分。＝＝例６、對(duì)于形式的積分，可利用三角函數(shù)的積化和差公式＝例７、根據(jù)＝例８、＝湊微分法4：.例9、湊微分法5：例10、湊微分法6：.例11、.其他湊法舉例:例12、.例13、例14.例15、.例16、.例17、例18、.以上例子大都采用了初等數(shù)學(xué)〔代數(shù)或三角函數(shù)〕中的運(yùn)算技巧將被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危缓笤龠M(jìn)行變量帶換。因此在作積分運(yùn)算時(shí)，應(yīng)該重視有關(guān)初等數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用。習(xí)題：P188—1891〔1〕～(24)；二、第二類換元法 從積分出發(fā)，從兩個(gè)方向用湊微法計(jì)算，即==在式〔１〕中，如果容易求得，并且，那么式〔2〕右端的不定積分。利用這個(gè)過(guò)程求不定積分的方法，稱為第二換元積分法。第二換元積分法可以確切的表達(dá)如下。定理8.5〔第二換元積分法〕:設(shè)是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)可微函數(shù)，且定號(hào)，復(fù)合運(yùn)算有意義。設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，即

那么

=

〔3〕其中。證明：有定理假設(shè)定號(hào)，，故函數(shù)存在反函數(shù)，又

于是=可見是式〔3〕左端不定積分的被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，所以式〔3〕成立。第二換元積分法指出，求式〔3〕左端不定積分，作變量代換，從而，于是假設(shè)上式右端的不定積分

〔4〕容易求出，那么再代回原來(lái)的變量，便求出原不定積分由于第二換元積分法的關(guān)鍵在于選擇滿足定理8.5條件的變換，從而使式〔4〕的不定積分容易求出。那么如何選擇變換呢？這往往與被積函數(shù)的形式有關(guān)。例如，假設(shè)被積函數(shù)中有根式，一般選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q來(lái)去掉根式，從而使被積函數(shù)得到簡(jiǎn)化，不定積分容易求出。常用代換有所謂無(wú)理代換,三角代換,雙曲代換,倒代換,萬(wàn)能代換,Euler代換等.以下我們著重介紹三角代換和無(wú)理代換.1、三角代換〔1〕正弦代換：正弦代換簡(jiǎn)稱為“弦換”.是針對(duì)型如的根式施行的,目的是去掉根號(hào).方法是:令,那么例19、計(jì)算解：令，且從而

=

=由圖2.1知

所以==〔2〕正割代換：正割代換簡(jiǎn)稱為“割換”.是針對(duì)型如的根式施行的,目的是去掉根號(hào).方法是:利用三角公式令有變量還愿時(shí),常用輔助三角形法.例20、計(jì)算

解“令存在反函數(shù)。這里僅討論的情況，同法可討論的情況。由于0<t<，，從而

由圖2.2知，，所以這里〔3〕正切代換：正切代換簡(jiǎn)稱為“切換”.是針對(duì)型如的根式施行的,目的是去掉根號(hào).方法是:利用三角公式即令.此時(shí)有變量復(fù)原時(shí),常用所謂輔助三角形法.例21、計(jì)算〔〕解：令那么存在反函數(shù)。且，從而=由圖2.3知

sect=

所以=這里?？偨Y(jié)例2.19～2.21，有如下規(guī)律：〔1〕假設(shè)被積函數(shù)含有，一般令或〔2〕假設(shè)被積函數(shù)含有，一般令〔3〕假設(shè)被積函數(shù)含有，一般令2、無(wú)理代換假設(shè)被積函數(shù)是的有理式時(shí),設(shè)為的最小公倍數(shù),作代換,有.可化被積函數(shù)為的有理函數(shù).例22、計(jì)算解：為了去掉被積函數(shù)的根式，令，即作變量代換那么，從而==

=例23、.假設(shè)被積函數(shù)中只有一種根式或可試作代換或.從中解出來(lái).例24、.此題還可用割換計(jì)算,但較繁.3、雙曲代換利用雙曲函數(shù)恒等式,令,可去掉型如的根式..化簡(jiǎn)時(shí)常用到雙曲函數(shù)的一些恒等式,如:〔參閱復(fù)旦大學(xué)(陳傳璋等)編,數(shù)學(xué)分析,上冊(cè)P24.〕例25、.此題可用切換計(jì)算,但歸結(jié)為積分,該積分計(jì)算較繁.參閱后面習(xí)題課例3.例26、(可用切換計(jì)算過(guò)該題.現(xiàn)用曲換計(jì)算).解：.例27、.(曾用割換計(jì)算過(guò)該題.現(xiàn)用曲換計(jì)算).解4、倒代換當(dāng)分母次數(shù)高于分子次數(shù),且分子分母均為“因式”時(shí),可試用倒代換例28、.5、萬(wàn)能代換萬(wàn)能代換常用于三角函數(shù)有理式的積分(參[1]P261).令，就有，，例29、.解法一：(用萬(wàn)能代換).解法二：(用初等化簡(jiǎn)).解法三：(用初等化簡(jiǎn),并湊微)例30、解：=.代換法是一種很靈活的方法.習(xí)題：[1]P1891(25)(27)(28)～(30)三、分部積分法設(shè)與均為的連續(xù)可微函數(shù)。于是，由函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式，有

或

再由不定積分的定義及線性性質(zhì)，有

即

〔5〕或

〔6〕

公式〔5〕或公式〔6〕稱為不定積分的分部積分公式。一般地說(shuō)，利用分部積分公式求不定積分就是追求被積函數(shù)形式的轉(zhuǎn)變，把比擬難求甚至無(wú)法求出的不定積分轉(zhuǎn)變成容易求的不定積分，起到化繁為簡(jiǎn)的作用。對(duì)于給定的不定積分作分部積分運(yùn)算，通常要把被積函數(shù)分解為兩個(gè)因子的乘積，這會(huì)有多種選擇，對(duì)兩個(gè)因子中哪一個(gè)選作也會(huì)有多種選擇。選擇不同，效果不一樣的。例如，在積分中，假設(shè)選擇，，那么

并沒有到達(dá)簡(jiǎn)化積分計(jì)算的目的。假設(shè)選擇，，那么

由此可見，與的選擇對(duì)于初學(xué)者來(lái)講，只有認(rèn)真總結(jié)規(guī)律，才能熟練地運(yùn)用分部積分技巧。一般來(lái)說(shuō)，在使用分部積分法求不定積分時(shí)，假設(shè)被積函數(shù)是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)的乘積時(shí)，應(yīng)選擇；假設(shè)被積函數(shù)是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積時(shí)，應(yīng)選擇。1、冪X型函數(shù)的積分分部積分追求的目標(biāo)之一是:對(duì)被積函數(shù)兩因子之一爭(zhēng)取求導(dǎo),以使該因子有較大簡(jiǎn)化,特別是能降冪或變成代數(shù)函數(shù).代價(jià)是另一因子用其原函數(shù)代替(一般會(huì)變繁),但總體上應(yīng)使積分簡(jiǎn)化或能直接積出.對(duì)“冪”型的積分,使用分部積分法可使“冪”降次,或?qū)Α啊鼻髮?dǎo)以使其成為代數(shù)函數(shù).例31、計(jì)算以下不定積分〔1〕

〔2〕

〔3〕

〔4〕

〔5〕

2、建立所求積分的方程求積分分部積分追求的另一個(gè)目標(biāo)是:對(duì)被積函數(shù)兩因子之一求導(dǎo),進(jìn)行分部積分假設(shè)干次后,使原積分重新出現(xiàn),且積分前的符號(hào)不為1.于是得到關(guān)于原積分的一個(gè)方程.從該方程中解出原積分來(lái).例32、例33、求和解：解得例34、解：==〔參閱例41〕解得例35、=，解得.例36、==,解得.分部積分法也常用來(lái)產(chǎn)生循環(huán)現(xiàn)象，然后經(jīng)過(guò)代數(shù)運(yùn)算求出不定積分。例37、計(jì)算以下不定積分〔1〕。設(shè)，那么

再由例21，有=故原積分

這里〔2〕計(jì)算和解：==

=移項(xiàng)，整理，有

=同理可得

=在含有自然數(shù)的不定積分中，常用分部積分法來(lái)建立求不定積分的遞推公式。例38、n〕解：

=即

這就是遞推公式。例如時(shí)有=

〔n，)解：設(shè)

，那么==從而

〔7〕特別當(dāng)時(shí)，有于是利用遞推公式〔2.7〕，有=++這里=分部積分法與換元積分法有時(shí)在同一題中配合使用效果更佳。例39、計(jì)算解：==

==由圖8.2.4

所以通過(guò)本節(jié)的討論，我們還應(yīng)在根本積分表中再補(bǔ)充如下公式：

根本積分表〔補(bǔ)充〕綜上所述，我們已經(jīng)對(duì)求不定積分的根本方法進(jìn)行了全面的討論。由不定積分的定義知，求不定積分的運(yùn)算是微分法的逆運(yùn)算。而第一、第二換元積分法對(duì)應(yīng)與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒敲矗植糠e分法那么是基于乘積函數(shù)的求導(dǎo)法那么推導(dǎo)出來(lái)的。求不定積分的根本思想是：采用各種方法將被積函數(shù)化為根本積分表中的被積函數(shù)的形式或它們的線性組合。然后利用根本積分表和線性性質(zhì)求出不定積分。顯然，掌握較多的不定積分公式會(huì)給求不定積分帶來(lái)方便，為此人們把一些常用的不定積分公式聚集起來(lái)，做成根本積分表。同學(xué)們可以利用這個(gè)表進(jìn)行運(yùn)算。但是無(wú)論容量多么大的積分表也不能把所有的不定積分都羅列出來(lái)。所以，上面介紹的求不定積分的各種方法都是最根本的，作為初學(xué)者必須掌握。另外，把不定積分法與微分法相比擬，求積分要比求微分困難的多，復(fù)雜的多，甚至于有些被積函數(shù)很簡(jiǎn)單，但他們的不定積分卻無(wú)法積出。例如：

，等等這說(shuō)