SAS統(tǒng)計(jì)之第十章-因子分析

第十章因子分析

Chapter

X

Factor

Analysis第二節(jié)

因子模型的主成分解法第一節(jié)因子分析的意義及因子模型第三節(jié)

常用的因子軸旋轉(zhuǎn)方法第四節(jié)

用軟件進(jìn)行因子分析

因子分析與主成分分析在思路上的區(qū)別第十章因子分析

Chapter

X

Factor

Analysis

主成分分析是尋求數(shù)據(jù)矩陣Ｘ的一個(gè)線性代換

Ｚ，令

Ｚ＝ＵＸ。

因子分析是尋求一個(gè)因子(Ｆ)分解，令Ｘ＝ＡＦ＋

。因子分析是主成分分析的進(jìn)一步推廣和開展，它們都是多維數(shù)據(jù)減維壓縮的數(shù)據(jù)處理方法。第一節(jié)因子分析的意義及因子模型

Function&Factor

Model如果有一組的多元數(shù)據(jù)資料，想要了解有些什么因素對(duì)原來的所有變量都有重要影響時(shí)，使用因子分析。

因子分析的意義例1：學(xué)生學(xué)習(xí)的課程：語文、政治、英語、歷史、地理、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物等。1.形象思維，記憶力比較好2.邏輯思維，推理能力較好從生理學(xué)知，這五個(gè)指標(biāo)是受植物神經(jīng)支配的。而植物神經(jīng)分為交感神經(jīng)和副交感神經(jīng)，因此這五個(gè)指標(biāo)至少受到兩個(gè)公共因子的影響。如果用和表示這兩個(gè)因子。可以設(shè)想第一節(jié)因子分析的意義及因子模型

Function&Factor

Model

例2：一定是的函數(shù)?？疾烊祟惖奈鍌€(gè)生理性狀：收縮壓、舒張壓、心跳間隔、呼吸間隔和舌底溫度。第一節(jié)因子分析的意義及因子模型

Function&Factor

Model再加上其他對(duì)這些變量有影響的因子，用函數(shù)的形式表示，就是即或Ｘ＝ＡＦ＋

其中Ａ、Ｆ和

都是待定的矩陣和向量。第一節(jié)因子分析的意義及因子模型

Function&Factor

Model因子分析的目的就是試圖將的多元數(shù)據(jù)的變異分解為兩局部即或Ｘ＝ＡＦ＋

一局部由對(duì)所有變量有公共影響的因子解釋。另一局部由只對(duì)某一變量有影響的特殊因子解釋。第一節(jié)因子分析的意義及因子模型

Function&Factor

Model這種分解不是唯一的。不同的因子分析方法可以得到不同的結(jié)果，采用那種結(jié)果完全由研究者決定。

因子分析的作用好比一個(gè)古董鑒賞家，化了許多代價(jià)，辛辛苦苦得到一件藝術(shù)珍品，一定將它前前后后、左左右右、上上下下地轉(zhuǎn)著欣賞，當(dāng)轉(zhuǎn)到某一個(gè)角度上時(shí)，他突然發(fā)現(xiàn)從這個(gè)角度看最有意義，于是他就決定按這個(gè)角度來擺設(shè)他的珍品。第一節(jié)因子分析的意義及因子模型

Function&Factor

Model同樣，如果我們收集到一組數(shù)據(jù)，對(duì)它進(jìn)行因子分析，用不同的分析方法求得的結(jié)果會(huì)有所不同。但是，如果能在眾多的分解方式中找到一種對(duì)您所研究的問題有合理的解釋，最能表達(dá)您的意念，就會(huì)對(duì)于您的研究有所幫助，就是最好的結(jié)果。這里僅介紹一些最根本、最常用的方法。第一節(jié)因子分析的意義及因子模型

Function&Factor

Model

因子模型

設(shè)有個(gè)樣本，每樣本觀察了等個(gè)平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的性狀。這些變量間的關(guān)系可以用協(xié)方差距陣〔也即相關(guān)矩陣〕表示?，F(xiàn)要找到適宜的、和使得每個(gè)樣本個(gè)變量的觀察值分解為：…………….即第一節(jié)因子分析的意義及因子模型

Function&Factor

Model用矩陣表示為：Ｘm1＝ＡmpＦp1＋

m1

其中Ｘm1是經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化的原數(shù)據(jù)矩陣；Ａmp稱為因子載荷陣〔factorloading)；Ｆp1稱為公共因子〔commonfactors)；m1稱為特殊因子〔specificfactors)；為了數(shù)學(xué)推導(dǎo)上的方便，還要對(duì)他們作以下規(guī)定：(1)公共因子均為標(biāo)準(zhǔn)化變量，且不同的之間不相關(guān)。即Ｅ(Ｆ)＝０；Cov(Ｆ)＝Ｉ；E(Ｆ)＝０；Cov(Ｆ)＝Ｉ；第一節(jié)因子分析的意義及因子模型

Function&Factor

Model用矩陣表示為：

Ｘm1＝ＡmpＦp1＋

m1

其中Ｘm1是經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化的原數(shù)據(jù)矩陣；Ａmp稱為因子載荷陣〔factorloading)；Ｆp1稱為公共因子〔commonfactors)；m1稱為特殊因子〔specificfactors)；為了數(shù)學(xué)推導(dǎo)上的方便，換要對(duì)他們作以下規(guī)定：(2)各與之間不相關(guān)；即Cov(Ｆ,

)＝０；

E(Ｆ)＝０；

Cov(Ｆ)＝Ｉ；

Cov(Ｆ,

)＝０；第一節(jié)因子分析的意義及因子模型

Function&Factor

Model用矩陣表示為：

Ｘm1＝ＡmpＦp1＋

m1

其中Ｘm1是經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化的原數(shù)據(jù)矩陣；Ａmp稱為因子載荷陣〔factorloading)；Ｆp1稱為公共因子〔commonfactors)；m1稱為特殊因子〔specificfactors)；

E(Ｆ)＝０；

Cov(Ｆ)＝Ｉ；

Cov(Ｆ,

)＝０；(3)各的平均數(shù)均為0，方差為,但不同的之間不相關(guān)；即

E(

)＝０；Cov(

)＝

＝

E(

)＝０；

Cov(

)＝

；第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution因子模型的解法因子載荷矩陣的解法有多種，主要包括主成分法、主因子法和極大似然法等。主成分法：把主成分分析中的逆轉(zhuǎn)分析來做的因子分析方法稱為主成分解法。主成分解法的原理主成分解法的計(jì)算步驟因子載荷陣的統(tǒng)計(jì)意義因子得分的專業(yè)解釋

主成分解法的原理在Ｒ型主成分分析中,若只保留前個(gè)主成分,則………………...即：Ｚp1＝Ｕp

ｍＸｍ1第１個(gè)特征向量；第２個(gè)特征向量；第個(gè)特征向量；第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution

主成分解法的原理在Ｒ型主成分分析中,若只保留前個(gè)主成分,則Ｚp1＝Ｕp

ｍＸｍ1矩陣Ｕ是由前個(gè)正交的向量構(gòu)成的p

ｍ矩陣用矩陣Ｕ的轉(zhuǎn)置陣前乘方程兩邊，得Ｕ’mpＺp1=Ｕ’mpＵp

ｍＸｍ1=Ｘｍ1-Vｍ

ｍＸｍ1

第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

SolutionＸｍ1=Ｕ’mpＺp1+Vｍ

ｍＸｍ1=Ｕ’mpＺp1+

ｍ1Ｕ’mpＵp

ｍ＝I-Ｕ’m(m-p)Ｕ(m-p)

ｍ＝I-Vｍ

ｍＸｍ1＝Ｕ’mpＺp1+

ｍ1如果在因子分析中，我們認(rèn)為前個(gè)主成分所解釋的變異是由公共因子造成的，剩下()個(gè)主成分所解釋的變異是由特殊因子造成的，利用此式就可以解出：第１個(gè)特征向量；第２個(gè)特征向量；第個(gè)特征向量；第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution注意：這里的Ｕ是轉(zhuǎn)置了的。元素叫不是...……………于是令第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution這樣，的由前個(gè)主成分所解釋的變異就轉(zhuǎn)換為的變異了。但這些還不符合因子模型中“因子變量是標(biāo)準(zhǔn)化變量”的要求。的平均數(shù)為0,方差為。將它們除以各自的標(biāo)準(zhǔn)差就可實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)化。...……………第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution記為，為方程變?yōu)樽⒁庀聵?biāo)的順序...……………...……………第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution記為，為方程變?yōu)?..……………注意下標(biāo)的順序...……………第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution這樣，便得到所求得因子模型：其中，Ａ就是因子載荷陣。記為Ｘ＝ＡＦ＋

...……………(5)用前

p個(gè)特征根的平方根乘相應(yīng)特征向量得因子載荷陣Ａ；

主成分解法的計(jì)算步驟第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution...……………(2)求相關(guān)矩陣Ｒ；(3)求相關(guān)矩陣的特征根、特征向量、各特征根的方差奉獻(xiàn)和累計(jì)方差奉獻(xiàn)率；(4)決定保留特征根的數(shù)目；(1)將原始數(shù)據(jù)按列(個(gè)變量)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化；...……………

主成分解法的計(jì)算步驟第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution

(1)將原始數(shù)據(jù)按列(個(gè)變量)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化；(2)求相關(guān)矩陣Ｒ；(3)求相關(guān)矩陣的特征根、特征向量、各特征根的方差貢獻(xiàn)和累計(jì)方差貢獻(xiàn)率；(4)決定保留特征根的數(shù)目；(5)用前個(gè)特征根的平方根乘相應(yīng)特征向量得因子載荷陣Ａ；(6)求相關(guān)矩陣的逆陣Ｒ-1；(7)用因子載荷陣Ａ乘相關(guān)矩陣的逆陣Ｒ-1得回歸系數(shù)〔因子得分〕矩陣Ｂ；(8)用因子得分矩陣Ｂ乘標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)得因子得分。因子分析主成分解法的例題：第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution30個(gè)小麥品種的10個(gè)性狀：抽穗期〔天〕；株高〔cm)；單株穗數(shù)〔穗)；主穗長〔cm)；主穗粒數(shù)〔粒)；穗下節(jié)長〔cm)；主穗小穗數(shù)〔穗)；每小穗粒數(shù)〔粒)；單株粒重〔g)；百粒重〔g)；研究的目的是想找出對(duì)這些變量有共同影響的因子和只對(duì)某個(gè)變量有影響的特殊因子。并利用它們對(duì)實(shí)際情況作有意義的解釋。(數(shù)據(jù)見課本p66表3.1〕...……………

主成分解法的計(jì)算步驟第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution

(1)將原始數(shù)據(jù)按列(個(gè)變量)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化；(2)求相關(guān)矩陣Ｒ；(3)求相關(guān)矩陣的特征根、特征向量、各特征根的方差貢獻(xiàn)和累計(jì)方差貢獻(xiàn)率；(4)決定保留特征根的數(shù)目；(5)用前個(gè)特征根的平方根乘相應(yīng)特征向量得因子載荷陣Ａ；(6)求相關(guān)矩陣的逆陣Ｒ-1；(7)用因子載荷陣Ａ乘相關(guān)矩陣的逆陣Ｒ-1得回歸系數(shù)陣Ｂ；(8)用回歸系數(shù)陣Ｂ乘標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)得因子得分。資料總方差=1.0000+1.0000+…+1.0000=10.0000...……………

主成分解法的計(jì)算步驟第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution

(1)將原始數(shù)據(jù)按列(個(gè)變量)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化；(2)求相關(guān)矩陣Ｒ；(3)求相關(guān)矩陣的特征根、特征向量、各特征根的方差貢獻(xiàn)和累計(jì)方差貢獻(xiàn)率；(4)決定保留特征根的數(shù)目；(5)用前個(gè)特征根的平方根乘相應(yīng)特征向量得因子載荷陣Ａ；(6)求相關(guān)矩陣的逆陣Ｒ-1；(7)用因子載荷陣Ａ乘相關(guān)矩陣的逆陣Ｒ-1得回歸系數(shù)陣Ｂ；(8)用回歸系數(shù)陣Ｂ乘標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)得因子得分。

=2.9118+2.3357+1.7883+…+0.0016=10.0000...……………

主成分解法的計(jì)算步驟第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution

(1)將原始數(shù)據(jù)按列(個(gè)變量)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化；(2)求相關(guān)矩陣Ｒ；(3)求相關(guān)矩陣的特征根、特征向量、各特征根的方差貢獻(xiàn)和累計(jì)方差貢獻(xiàn)率；(4)決定保留特征根的數(shù)目；(5)用前個(gè)特征根的平方根乘相應(yīng)特征向量得因子載荷陣Ａ；(6)求相關(guān)矩陣的逆陣Ｒ-1；(7)用因子載荷陣Ａ乘相關(guān)矩陣的逆陣Ｒ-1得回歸系數(shù)陣Ｂ；(8)用回歸系數(shù)陣Ｂ乘標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)得因子得分。...……………

主成分解法的計(jì)算步驟第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution

(1)將原始數(shù)據(jù)按列(個(gè)變量)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化；(2)求相關(guān)矩陣Ｒ；(3)求相關(guān)矩陣的特征根、特征向量、各特征根的方差貢獻(xiàn)和累計(jì)方差貢獻(xiàn)率；(4)決定保留特征根的數(shù)目；(5)用前個(gè)特征根的平方根乘相應(yīng)特征向量得因子載荷陣Ａ；(6)求相關(guān)矩陣的逆陣Ｒ-1；(7)用因子載荷陣Ａ乘相關(guān)矩陣的逆陣Ｒ-1得回歸系數(shù)陣Ｂ；(8)用回歸系數(shù)陣Ｂ乘標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)得因子得分。

=2.9118+2.3357+1.7883+…+0.0016=10.00000.29120.23360.1788第1特征根的方差奉獻(xiàn)：2.911810.0000=29.12%第2特征根的方差奉獻(xiàn)：2.335710.0000=23.36%第3特征根的方差奉獻(xiàn)：1.788310.000=17.88%0.0002第10特征根的方差奉獻(xiàn)：0.001610.0000=0.02%...……………

主成分解法的計(jì)算步驟第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution

(1)將原始數(shù)據(jù)按列(個(gè)變量)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化；(2)求相關(guān)矩陣Ｒ；(3)求相關(guān)矩陣的特征根、特征向量、各特征根的方差貢獻(xiàn)和累計(jì)方差貢獻(xiàn)率；(4)決定保留特征根的數(shù)目；(5)用前個(gè)特征根的平方根乘相應(yīng)特征向量得因子載荷陣Ａ；(6)求相關(guān)矩陣的逆陣Ｒ-1；(7)用因子載荷陣Ａ乘相關(guān)矩陣的逆陣Ｒ-1得回歸系數(shù)陣Ｂ；(8)用回歸系數(shù)陣Ｂ乘標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)得因子得分。

=2.9118+2.3357+1.7883+…+0.0016=10.0000第1個(gè)特征根的方差奉獻(xiàn)：0.2912頭兩個(gè)特征根的累計(jì)奉獻(xiàn)：0.2912+0.2336=52.48%頭三個(gè)特征根的累計(jì)奉獻(xiàn)：0.5248+0.1788=70.36%全部特征根的累計(jì)奉獻(xiàn)：1.0000=100.00%0.29120.52480.70361.00000.29120.23360.17880.0002...……………

主成分解法的計(jì)算步驟第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution

(1)將原始數(shù)據(jù)按列(個(gè)變量)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化；(2)求相關(guān)矩陣Ｒ；(3)求相關(guān)矩陣的特征根、特征向量、各特征根的方差貢獻(xiàn)和累計(jì)方差貢獻(xiàn)率；(4)決定保留特征根的數(shù)目；(5)用前個(gè)特征根的平方根乘相應(yīng)特征向量得因子載荷陣Ａ；(7)用因子載荷陣Ａ乘相關(guān)矩陣的逆陣Ｒ-1得回歸系數(shù)陣Ｂ；(8)用回歸系數(shù)陣Ｂ乘標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)得因子得分。0.29120.52480.70361.00000.29120.23360.17880.0002假設(shè)要保存85%以上信息，需要保存前五個(gè)特征根。...……………

主成分解法的計(jì)算步驟第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution

(7)用因子載荷陣Ａ左乘相關(guān)矩陣的逆陣Ｒ-1得回歸系數(shù)〔因子得分〕矩陣Ｂ；(8)用因子得分矩陣Ｂ左乘標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)得因子得分。

(1)將原始數(shù)據(jù)按列(個(gè)變量)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化；(2)求相關(guān)矩陣Ｒ；(3)求相關(guān)矩陣的特征根、特征向量、各特征根的方差貢獻(xiàn)和累計(jì)方差貢獻(xiàn)率；(4)決定保留特征根的數(shù)目；(5)用前個(gè)特征根的平方根乘相應(yīng)特征向量得因子載荷陣Ａ；1.72971.52831.33731.04230.8363(6)求相關(guān)矩陣的逆陣Ｒ-1；...……………

主成分解法的計(jì)算步驟第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution

(7)用因子載荷陣Ａ左乘相關(guān)矩陣的逆陣Ｒ-1得回歸系數(shù)〔因子得分〕矩陣Ｂ；(8)用因子得分矩陣Ｂ左乘標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)得因子得分。

(1)將原始數(shù)據(jù)按列(個(gè)變量)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化；(2)求相關(guān)矩陣Ｒ；(3)求相關(guān)矩陣的特征根、特征向量、各特征根的方差貢獻(xiàn)和累計(jì)方差貢獻(xiàn)率；(4)決定保留特征根的數(shù)目；(5)用前個(gè)特征根的平方根乘相應(yīng)特征向量得因子載荷陣Ａ；(6)求相關(guān)矩陣的逆陣Ｒ-1；...……………

主成分解法的計(jì)算步驟第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution

(7)用因子載荷陣Ａ左乘相關(guān)矩陣的逆陣Ｒ-1得回歸系數(shù)〔因子得分〕矩陣Ｂ；(8)用因子得分矩陣Ｂ左乘標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)得因子得分。

(1)將原始數(shù)據(jù)按列(個(gè)變量)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化；(2)求相關(guān)矩陣Ｒ；(3)求相關(guān)矩陣的特征根、特征向量、各特征根的方差貢獻(xiàn)和累計(jì)方差貢獻(xiàn)率；(4)決定保留特征根的數(shù)目；(5)用前個(gè)特征根的平方根乘相應(yīng)特征向量得因子載荷陣Ａ；(6)求相關(guān)矩陣的逆陣Ｒ-1；Ｂ＝Ｒ-11010Ａ105...……………

主成分解法的計(jì)算步驟第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution

(7)用因子載荷陣Ａ左乘相關(guān)矩陣的逆陣Ｒ-1得回歸系數(shù)〔因子得分〕矩陣Ｂ；(8)用因子得分矩陣Ｂ左乘標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)得因子得分。

(1)將原始數(shù)據(jù)按列(個(gè)變量)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化；(2)求相關(guān)矩陣Ｒ；(3)求相關(guān)矩陣的特征根、特征向量、各特征根的方差貢獻(xiàn)和累計(jì)方差貢獻(xiàn)率；(4)決定保留特征根的數(shù)目；(5)用前個(gè)特征根的平方根乘相應(yīng)特征向量得因子載荷陣Ａ；(6)求相關(guān)矩陣的逆陣Ｒ-1；Ｆ＝Ｘ3010Ｂ105Ｆ’見課本第87頁表4.4

因子載荷陣的統(tǒng)計(jì)意義第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution3公共因子的方差奉獻(xiàn)的統(tǒng)計(jì)意義；

2

變量共同度的統(tǒng)計(jì)意義；1

因子載荷量的統(tǒng)計(jì)意義；第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution因子載荷陣Ａ中的每一個(gè)元素稱為因子載荷量(factorloading)。它是與之間的相關(guān)系數(shù)，衡量了原變量與公共因子之間的關(guān)系密切程度。這意味著如果大，則原變量與公共因子之間的關(guān)系就密切，原變量受公共因子的影響就大。因此，在的表達(dá)式中衡量了第個(gè)公共因子對(duì)的影響所占的比重。第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution因子載荷陣Ａ中第行元素的平方之和稱為變量的共同度(communality),記為。即因?yàn)槭鞘Ｓ喾讲?，也稱為特殊因子對(duì)方差奉獻(xiàn)。第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution在本例中：

因子載荷陣Ａ中第行元素的平方之和稱為變量的共同度(communality),記為。即8.9213

1.0787

10

第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution在本例中：

比較各個(gè)的共同度，就可以看出在各個(gè)中，共同因素所起作用的大小。、、均已接近1，說明公共因子起了很大的作用。反之，在中則是特殊因子起很大作用。xi12345h2i0.80310.86700.92470.75020.9969xi678910h2i0.89800.86420.95890.88360.9747第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution因子載荷陣Ａ中第列元素的平方之和記為。它衡量了第個(gè)公共因子對(duì)所有原變量的方差貢獻(xiàn)在本例中：

在主成分解中：

第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution8.9213

1.0787

由于全部原變量的總方差為，在未進(jìn)行因子分析之前，平均每個(gè)公共因子的方差貢獻(xiàn)為１，我們稱“先驗(yàn)的公共因子方差為1，總估計(jì)為，平均估計(jì)為1”。經(jīng)過因子分析后，各公共因子的方差發(fā)生了變化，如本例，我們說“最后的公共因子方差估計(jì)為8.9213，前個(gè)因子解釋了總方差的89.21%。”假設(shè)用主成分解法求得的因子解仍不是最正確角度，還可以將它進(jìn)行適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)。第二節(jié)

因子模型的主成分解法

PrincipalFactor

Solution用主成分解法求得的因子得分與用Ｒ型主成分分析所求得的標(biāo)準(zhǔn)化主成分值是一致的，因此其解釋也根本一致。與主成分分析類似，可以利用因子得分對(duì)資料進(jìn)一步進(jìn)行排隊(duì)評(píng)比和分類等分析。第三節(jié)

常用的因子軸旋轉(zhuǎn)方法

Factor

AxisRotation因子軸旋轉(zhuǎn)有正交旋轉(zhuǎn)(orthogonalrotation)和斜交旋轉(zhuǎn)(obliquerotation)。正交旋轉(zhuǎn)是經(jīng)過旋轉(zhuǎn)之后，要求得到的新公共因子之間能保持不相關(guān)。這對(duì)于某些研究是必要的。(例如想用加得的總分來對(duì)樣本進(jìn)行優(yōu)劣評(píng)比等)。斜交旋轉(zhuǎn)那么不要求經(jīng)過旋轉(zhuǎn)之后得到的新公共因子之間保持不相關(guān)的性質(zhì)，只要他們的因子結(jié)構(gòu)具有對(duì)實(shí)際意義的適當(dāng)解釋即可。

2方差最大旋轉(zhuǎn)1因子旋轉(zhuǎn)的原理第三節(jié)

常用的因子軸旋轉(zhuǎn)方法

Factor

AxisRotation因子分析的目的是把的Ｘ分解為待定的Ａ、Ｆ和，即Ｘm1＝ＡmpＦp1＋m1。如果找到一個(gè)正交矩陣Ｔpp能使得向量

Ｙp1＝Ｔ’ppＦp1

那么，這種分解決不是唯一的。因?yàn)椋詐pＹp1＝ＴppＴ’ppＦp1＝Ｆp1

代入上式，有Ｘm1＝ＡmpＴppＹp1＋

m1記ＡmpＴpp為ＤmpＸm1＝ＤmpＹp1＋

m1Ｄ變成新的因子載荷陣，Ｙ變成新的因子。矩陣Ｔ稱為轉(zhuǎn)換矩陣第三節(jié)

常用的因子軸旋轉(zhuǎn)方法

Factor

AxisRotation方差最大旋轉(zhuǎn)(VarimaxRotation)當(dāng)利用因子分析結(jié)果對(duì)實(shí)踐問題進(jìn)行解釋時(shí)，常會(huì)碰到在一個(gè)公共因子結(jié)構(gòu)中有多個(gè)原始變量的權(quán)重(載荷量)差異不大、難以比較的情況。例如在本例中(p.85表4.1):第一公共因子的載荷量除、

為0.8以上外，還有好幾個(gè)變量的載荷量在0.5上下。第二公共因子的載荷量除大于0.9外,還有好幾個(gè)變量的載荷量在0.7左右。第三節(jié)

常用的因子軸旋轉(zhuǎn)方法

Factor

AxisRotation方差最大旋轉(zhuǎn)(VarimaxRotation)當(dāng)利用因子分析結(jié)果對(duì)實(shí)踐問題進(jìn)行解釋時(shí)，常會(huì)碰到在一個(gè)公共因子結(jié)構(gòu)中有多個(gè)原始變量的權(quán)重(載荷量)差異不大、難以比較的情況。例如在本例中(p.85表4.1):第一公共因子的載荷量除、

為0.8以上外，還有好幾個(gè)變量的載荷量在0.5上下。第二公共因子的載荷量除大于0.9外,還有好幾個(gè)變量的載荷量在0.7左右。這有時(shí)會(huì)給專業(yè)解釋帶來困難。如果能經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，使得在同一列中的元素，要么盡可能大，要么盡可能小，即盡量“分散”，就會(huì)給專業(yè)解釋帶來方便。方差最大正交旋轉(zhuǎn)就是在這樣的思路下開展出來的。第三節(jié)

常用的因子軸旋轉(zhuǎn)方法

Factor

AxisRotation求轉(zhuǎn)換矩陣Ｔ的方法：如果原來的因子模型是現(xiàn)在要找一個(gè)Ｔ將因子模型變成Ｘm1＝ＡmpＴppＹp1＋

m1＝ＤmpＹp1＋

m1Ｘm1＝ＡmpＦp1＋

m1條件是:1.新的公共因子Ｙ保持正交的性質(zhì)；2.新的因子載荷陣Ｄ具有最大的方差。這件工作不能一次完成，要通過迭代法來進(jìn)行。先用最簡單(載荷陣Ａ只有兩列)的情況作說明。第三節(jié)

常用的因子軸旋轉(zhuǎn)方法

Factor

AxisRotation求轉(zhuǎn)換矩陣Ｔ的方法：如果原來的因子模型是現(xiàn)在要找一個(gè)Ｔ將因子模型變成Ｘm1＝ＡmpＴppＹp1＋

m1＝ＤmpＹp1＋

m1Ｘm1＝ＡmpＦp1＋

m1對(duì)于Ａ＝求一個(gè)正交轉(zhuǎn)換矩陣Ｔ1＝使得Ｄ1＝ＡＴ1具有最大方差可以驗(yàn)證:

Ｔ’1Ｔ1＝Ｔ1Ｔ’1＝Ｉ第三節(jié)

常用的因子軸旋轉(zhuǎn)方法

Factor

AxisRotation如果原來的因子模型是現(xiàn)在要找一個(gè)Ｔ將因子模型變成Ｘm1＝ＡmpＴppＹp1＋

m1＝ＤmpＹp1＋

m1Ｘm1＝ＡmpＦp1＋

m1第1次迭代，求Ｔ1使Ｄ1＝ＡＴ1具有最大的方差；…….如此一直迭代

次，第2次迭代，求Ｔ2使Ｄ2＝Ｄ1Ｔ2＝ＡＴ1Ｔ2具有最大的方差；若大于則迭代有進(jìn)展。第3次迭代，求Ｔ3使Ｄ3＝Ｄ2Ｔ3＝ＡＴ1Ｔ2Ｔ3具有最大的方差；若大于則迭代有進(jìn)展。求轉(zhuǎn)換矩陣Ｔ的方法：第三節(jié)

常用的因子軸旋轉(zhuǎn)方法

Factor

AxisRotation求轉(zhuǎn)換矩陣Ｔ的方法：如果原來的因子模型是現(xiàn)在要找一個(gè)Ｔ將因子模型變成Ｘm1＝ＡmpＴppＹp1＋

m1＝ＤmpＹp1＋

m1Ｘm1＝ＡmpＦp1＋

m1第1次迭代，求Ｔ1使Ｄ1＝ＡＴ1具有最