中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：例析涉及拋物線中一類(lèi)隱含角的問(wèn)題

例析涉及拋物線中一類(lèi)隱含角的問(wèn)題有這樣一類(lèi)角，它們常常以拋物線和平面直角坐標(biāo)系為掩護(hù)，隱藏在題中，神秘而又特殊.如果答題者沒(méi)有洞察出這樣的角，往往會(huì)使解題陷入困境，下面僅以我們常見(jiàn)的一些特殊角為例，談?wù)劥祟?lèi)問(wèn)題的解題思路，希望能給大家一點(diǎn)啟發(fā).一、隱含30°角例1如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，若為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，則的最小值為.解題思路如圖1，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，求最小值首先要考慮如何處理,一般而言，容易讓人聯(lián)想到“直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”.如何尋找30°角并將放置其中，成為解題的關(guān)鍵.考慮到二次函數(shù)解析式為，，可以求出點(diǎn)的坐標(biāo)分另。為，所以，進(jìn)而發(fā)現(xiàn).于是就轉(zhuǎn)化為，求的最小值即求的最小值，也就是求點(diǎn)到的距離.求的長(zhǎng)方法有三:①運(yùn)用銳角三角函數(shù)在含60°角的中求解;②運(yùn)用相似()求解;③利用的面積等于，也等于，列方程求解(等積法).注本題以二次函數(shù)為背景，在拋物線與軸、軸交點(diǎn)坐標(biāo)的“掩護(hù)”下，隱藏了30°角，重點(diǎn)考查了“點(diǎn)到直線的距離最短”問(wèn)題，滲透了轉(zhuǎn)化的思想和化曲為直的方法.所以，解題的關(guān)鍵在于對(duì)的處理，處理的關(guān)鍵又在于能否發(fā)現(xiàn)30°角.命題者有意將“30°角”通過(guò)拋物線與坐標(biāo)系的交點(diǎn)進(jìn)行了偽裝，考驗(yàn)考生的觀察能力與思維方式.二、隱含45°角例2如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線,若點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在某一位置使，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解題思路第一步，找點(diǎn)，如圖2，連結(jié).由已知條件，可求得，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)是等腰直角三角形，所以，容易讓人聯(lián)想到圓周角定理.設(shè)的外接圓為⊙，由直線垂直平分可知:圓心在l上，且⊙交l于點(diǎn)，據(jù)圓周角定理得，此時(shí).第二步，求點(diǎn)的坐標(biāo)，在等腰直角三角形中，結(jié)合求得⊙半徑.在中求出，即可求出點(diǎn)和的坐標(biāo).注本題以二次函數(shù)圖象為載體，將45°隱藏在坐標(biāo)系中，答題者若不注意這個(gè)45°角，幾乎無(wú)從下手.重點(diǎn)考查了學(xué)生能否通過(guò)45°相等聯(lián)想到三角形的外接圓，在增添輔助圓并確定圓心的基礎(chǔ)上通過(guò)構(gòu)造等腰直角三角形解決問(wèn)題，所以解題的思路是在發(fā)現(xiàn)45°角后打開(kāi)的.三、隱含60°角例3如圖3，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連結(jié)，在內(nèi)取一點(diǎn)，以為邊在它的右側(cè)作等邊，連結(jié)，求證:.解題思路證明，通常的思路是證三角形全等，所以找準(zhǔn)兩個(gè)三角形是關(guān)鍵.由等邊可得，在求得三點(diǎn)的坐標(biāo)后，即可發(fā)現(xiàn)(連結(jié))，從而發(fā)現(xiàn)隱含在圖中的(也可在中通過(guò)與的數(shù)量關(guān)系發(fā)現(xiàn))，所以.同時(shí)減去公共角后得到，最終運(yùn)用“邊角邊”的判定方法得到，從而證得.注本題通過(guò)二次函數(shù)解析式求得三點(diǎn)的坐標(biāo)，在連結(jié)的基礎(chǔ)上，可得到為等邊三角形.但命題者有意以拋物線為掩護(hù)，將這一重要的條件隱藏題中，尤其是在證明全等時(shí)需要的條件:“60°角”成為不少考生的解題障礙.如果不求出拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，就很難發(fā)現(xiàn)等邊(或者不會(huì)發(fā)現(xiàn))，也就不會(huì)有60°角的出現(xiàn)，沒(méi)有60°角也就證不到全等.如果出現(xiàn)等邊三角形，問(wèn)題即回到大家熟悉的問(wèn)題.四、隱含的90°角例4如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線過(guò)兩點(diǎn)，與軸的另一交點(diǎn)為.(1)求拋物線解析式及點(diǎn)坐標(biāo);(2)向右平移拋物線，使平移后的拋物線恰好經(jīng)過(guò)的外心，拋物線相交于點(diǎn)，求四邊形的面積.解題思路第一步，如圖4，由直線得出點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4),點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0).將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線求出其解析式為.在求得點(diǎn)坐標(biāo)(8,0)的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)(或)，進(jìn)而得到為直角三角形，所以其外心坐標(biāo)為.第二步，由拋物線與軸交點(diǎn)到平移后的拋物線與軸交點(diǎn)，可知，拋物線向右平移了5個(gè)單位，所以拋物線的解析式為.將兩拋物線的解析式組成方程組，求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為,連結(jié),過(guò)點(diǎn)作軸，交與點(diǎn)(點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同)，將四邊形視為之和進(jìn)行求解.注如何確定的外心，成為解決本題的關(guān)鍵.命題者將為直角三角形這一重要條件以直線和拋物線進(jìn)行掩蓋，進(jìn)而隱藏了直角三角形的外心即為其斜邊的中點(diǎn).所以答題者必須先找出，在確定好的外心的基礎(chǔ)上求出拋物線的解析式，然后求出拋物線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，最后求四邊形AOCD的面積.可見(jiàn)，找出隱藏在題中的90°角()是解決本題的基礎(chǔ).事實(shí)上，無(wú)論命題者將“角”隱藏得有多深，只要將拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)求出來(lái)，然后轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)，并注意觀察同一三角形的三條邊長(zhǎng)是否存在“,”的“直角三角板”關(guān)系，或者三條邊的