2023-2024學年安徽省高二數學競賽模擬試題（含解析）

2023-2024學年安徽省高二數學競賽模擬試題

一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.

1.如果函數/")=CX4+(。2-3*+1在區(qū)間(_8,_1)上單調遞減，在區(qū)間(—1,0)上單調

遞增，則C的值為.

2.已知命題P：對任意的正數X,有0√>—l+2χ,命題夕：不存在實數X，使χ2<α<3-χ2.

若命題PM都為假命題，則實數4的取值范圍是.

3.在立方體中放人9個球，一個與立方體6個面都相切，其余8個相等的球都與這個球及立

方體的三個切，已知8個相等的球的半徑都為2-6，則立方體的體積為.

4.圓9+y=/2(/>0)上有一定點」(凡0),5,。是該圓上的兩動點如果14外|/。=>

為常數(0<∕?<R),可證SC必與某個圓Ω相切，則C的方程為.

5.對2x6的長方形方格帶的某些1×1小方格染色(染成紅色)，要求任何一個2x2的正方形

方格中至少有一個Ixl的小方格未被染色，這樣的染色方式有種.

6.一離散型隨機變量X的分布列為：

X0I23

P0.1ClbC

其中為變數，C為正常數，且當α=b≠O時方差。(X)有最大值，則C的值為

7.已知雙曲線0-營=1(。1>0)的右焦點為尸，過尸的直線與雙曲線右支交于48兩點,

若以/8為直徑的圓過原點，則雙曲線離心率e的取值范圍是.

lrπV_4πV_Sπ「

8..2cos------112cos------112cos------1=

-------------19人9人9)

二、解答題：本大題共3小題，共56分.解答應寫出文字說明、證明或演算步驟.

9.(本小題滿分16分)

已知函數/(x)=αr2+bχ+c(α,b,ceR),且對一切XeR,都有

4x+2,∕(x)"8x2+l2x+4.

(I)將仇C分別表示成關于4的函數，并求出口的取值范圍；

(2)對于給定的左，求/(x)在區(qū)間［-左,修上的最小值.

10.(本小題滿分20分)

某游戲公司開發(fā)了一款游戲，共有兩關，公司組織了水平相當的〃伍…3/eN*)位玩家測

試這款游戲.玩家按預先指定的順序依次上場，每位玩家的測試都是相互獨立的.他們通過第

一關測試的概率都為p(0<p<I),通過第二關測試的概率都為q(O<q<I).若玩家通不過

第一關測試，則他下場，由下一位玩家繼續(xù)上場測試，若玩家通過第一關測試，則繼續(xù)第二

關的測試，若第二關測試通過，則游戲測試終止，若第二關測試通不過，則下一位玩家直接

從第二關開始測試.當PRq時，求第MLK〃-I,左eN*)位玩家終止測試的概率(用含

P,%左的式子表示）.

IL（本小題滿分20分）

己知函數y=/—G（α為常數）的圖象上存在四個點4（七,乂），過4的切線為

/,?（i=l,2,3,4,其中《//A），且/”4,/3/圍成的圖形是正方形.

2

χ5

(1)求證：∣χ1χ3-^24∣???y

（2）試求Q的取值范圍.

數學答案

一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.

1.1

由題意得，∕,(X)=4C√+2(C2-3)X,由/(—I)=。，得TC一2卜2-3)=0,

解得c=-3或c=l.當C=一3時，/'(X)=-12x(X-I)(X+1),當χ<-l時，/”(無)〉0,

則/(x)在區(qū)間(一8,一1)上單調遞增，不滿足條件，舍去；當C=I時，

∕,(x)=4x(x-l)(x+l),則/(x)在區(qū)間(―力,一1)上單調遞減，在區(qū)間(TO)上單調遞

增，滿足題意，故c=l.

2.(0』

當命題P為真命題時，對任意的正數x,α>W=-[L—l]+l,.?.α>l,.?.命題P為假命

X)

題時，ɑ,1；當命題夕為假命題時，存在實數X,使f<Q<3-χ2,.?.o<α<3,故命題

P,9都為假命題時，實數。的取值范圍是(0』.

3.8

設立方體的邊長為。，則氐=。+2(1+6)(2-6),解得Q=2,則立方體的體積為

8.

(2、2

4.(x-A)2+/=—

12刈

設/到8C的距離為人,NBAC=Q,則;?Mqsinα=；忸CM=RSina?/2,

2/2A2

又|，8卜?。|=L2,二//=匚,；.8°與圓(8—&)2+/=2_相切.

27??2R,

5.3105

考慮2x(〃+l)個方格的染色情況.最后2個方格如果沒有染色或只有一個染色(它有3種可

能的情況)，前面的2χ〃個方格有為種染色方式，共有3α“種染色方式；如果最后兩個方格

都染色，則與它相鄰的2個方格或者沒有染色或者只有一格染色，前面的2x(〃-1)方格有

ɑ,?種染色方式，共有3α,ι種染色方式，故/M=3(α,,+α,τ),其中

4

a2=2—1=15,α3=3x(15+4)=57,由此可知a4=3x(15+57)=216,

%=3x(57+216)=819,&=3x(216+819)=3105.

6.0.1

由題意得，

α+b+c=0.9,E(X)=α+2b+3c=0.9+b+2c,E(H)=α+4b+%=0.9+3b+8c,D(X)

2

=E(X2)TE(X)1=09+3h+8c_(0.9+h+2c)

=-?2+(1.2-4C)∕>+0.09+4.4C-4C2,

.?.當b=0.6—2c時有最大值，此時1.2—4c+c=0.9,解得c=0.1.

7.,√3

7

當43,X軸時，—=c，解得e=1±L當/8不與X軸垂直時，設48:y=A:(x—c),

a2

2211122122

與二r—與=1聯(lián)立得^ak-b?x-2ackx+a(ck+/?)=0,設/(石,弘),

a1b2

網均力)，則的+"磊。==TH"則

yy=k2(x↑-c)(x-c)=~

l22a2k2-h2'

由題意得，

22222422

a(ck+b)-khaψe-lb21

XX+yy=---------∑-z∑---------=Gnir=------Z-7=-------∑—>-T-=e-1

1291T7a2k1-b2b4-a2c2e4-3e2+la2

oO<eJ3∕+ι<ioi±Yl<e<百.綜上，雙曲線離心率e的取值范圍是

2

,√3,

Z

2τr

8.1方法一：令6=—,

9

(2cos0-1)(2cosO+1)=4cos2^-1=2(CoS28+1)-1=2cos26+1,

2cos28+l2cos49+1

/.2cos^-l=同理得2cos26-l=

2cos6+l2cos29+l

2cos86+1

2cos46-1以上三式相乘有:

2cos46+1

.I6π

2cos+11

9=1.

C2乃

2cos------1

9

.2π2萬4π8萬1.16萬

sincoscoscossin

一工,2π4π3π999L

方法二：令Q=COS——COS——COS——=_9_=89

999.2π.2τr

sin——sin——

99

?2萬4π8τr

令b1=cos——+cos——+cos——,

999

2π4萬6π8萬

?.?COS——+COS——+COS——+COS一=

9999

C2π.πA4〃.〃C6π.π.Sπ.π

2cos——sin÷2cossin—+2cossm—+2cosSln

99999999=

?.π

2sm-

9

(.3%.π?(.Sπ.3π?(.lπ.5π?(.9π.Qπ?

sin-----sin—+sm-----sm——+sm------sm——+sin------sm-

(99八99八99八99J

2si∏X

9

一s'”Q12π4πSπ_

--------=——6=cos——+cos——+cos—=0.

2sii2999

9

?2π4乃4乃8乃2π8〃2π(4〃

令C=CoS——COS——+COS——COS—+COS——COS—=COS——COS——÷cos—+

9999999(99)

4π8πC2π6π2π4π3π2?4π8兀

COS——COS—=ZCOS——COS——COS——+COS——COS—=-COS2——+COS——COS—

9999999999

14πI2π4πI

一I-cos—cos÷cos-—1—?

9.99_2_3，

--------------------------1-----------------------------------------------------——--------

2224

.?.^2cos-^--l^^2cos^--l^^2cos-^--lj=84-4c+2b-l=-l+3+0-l=l.

二、解答題：本大題共3小題，共56分.解答應寫出文字說明、證明或演算步驟.

9.(本小題滿分16分)

(I)原不等式可化為4x+2J(X)”(4x+2)(2x+2).

取X=—；,則有Qj卜；1O=>,∕^-∣Uθ.

，令/(X)=(ax+〃)

當x>-L時，?ax+n..A

由上式知恒有〈0/.v

2lαx+/7,,8(x+1)

a,且一色+&8∣-?+1I=4,.?.--+M=4.

-----h"...4,

22V2J2

同理，當不，——時，也有----?-n=4,

22

.?.∕?=?+4,.,../(x)=(X+??ɑr+?∣?+4=>b=α+4,c=(+2.

ax1+(b-4)x+c-2="卜+%+?j=?+?j..O(T)

由題意得,

(8—ɑ)/+(12—b)x+4一C=(8—a)[x+萬]..0②

?.?①②兩式恒成立，.?.α∈［0,8］.

（2）當α=0時，C（X）=4x+2,此時/（x）在［一左用上的最小值為/（一左）=一4左+2；

當αe（0,8］時，/（尤）圖象的對稱軸方程為x=--=3<0

2a2a

..?fQ+44

此時/F

a

記/（x）的最小值為機，當—丁?—8,-修時，得（2左一1）44⑤,

故當乂g時，⑤成立，此時加=/（一左）=（＞2%）［（=2左）α+8］

?4

當人?一時，(2%—1)?.4=>?,-------

2、)2k-l

434313

注意到：-----,，8=左..一,----->80攵v—n—V攵V—,

2k-l42k-↑424

當,<左<2時，⑥戊立，)匕時"7=(1-2?)[(1-2.)"8]

244

340+44

當上..一時：當-----<α,8時，-------≡(-k,k],此時加=一一.

42k-↑2a'」a

當43π時'—誓以一"'一/’此時加=〃-攵)=°一2磯(丁人”+8].

ZZc-ILa`/4

綜上，/（χ）在區(qū)間［-左,句上的最小值如下:

3_(1一2左)[(1-24)α+8]

當0＜左＜一時,YYl----------------------------------------?

44

(l-2?)[(l-2λ)α+8]4

3,Q.a.

當上.二時,m="42k-?

444C

—一,τ7?〈“,8

Ia2κ-1

10.（本小題滿分20分）

設第左（L仁〃一L左eN*）位玩家終止測試的概率為必.

當p*q且第左（LE〃一1,左eN*）位玩家終止測試時，第左位玩家必通過第二關測試.

若前面（左-1）位玩家都沒有通過第一關測試，其概率為Pk=（I-P）IPq,

若前面（左一1）位玩家中人第i（L4,左—LEieN*）位玩家才通過第一關測試,

則前面(，-1)位玩家無人通過第一關測試，其概率為(I-P)I,

第i位玩家通過第一關測試，但沒有通過第二關測試，其概率為p(l-q),

第(i+1)位玩家到第(k-1)位玩家中都沒有通過第二關測試，其概率為(Jq)JT

；?前面(％-1)位玩家中恰有一人通過第一關測試的概率為：

p；=E(I-P)IMl-q)(i-q尸Z=MI-q)"5

/=1Z=ICqJ

∕?k-i

I-I?1??

=MlP)I=絲支?[(ip嚴-(1-°)力

ι-1z2p-qL」

i-q

Pk=p∣t+p∣t=pqQ-Pyτ+彳：；)[口_"-1_口_"-1

』取一產+,(1一”=4[(1—q)Q(I一”]

p-qp-qp-q

因此，第MLk〃一L%eN*)位玩家終止測試的概率為臺;[(1—g)*—(1—p)].

11.(本小題滿分20分)

(I)設直線4的斜率為尢(，=1,2,3,4),又L=3χ2-α,則勺=3x；—a(i=1,2,3,4),

"/2二—1

***/]〃,3，’2〃，4，則k]=k3>k]—k4,Aj—Xy,%="4—Xl=—??，X?=一工4'

χ

..2,BP∣x1x3-X24?-^?

(2)若4,0,則&=-α..O(7=1,2,3,4),"2=-1不成立，「.Q>O?

不失一般性，可設玉>0,%2>°，占>°，k2<0.

,

/?.y-yi=k^x-xi^<^>y-kix-2j^=0(z=1,2,3,4).

/?與I3的距離J2與I4的距離分別設為d與d',

49，,3Y

則d=11