2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結(jié)解析版

2024年高考數(shù)學摸底考試卷

高三數(shù)學

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求.

I.設(shè)集合A={-3,-2,—1,0,1,2,3},B={ψ-x≤θ},則AB=()

A.{-l,0,l}B.{0,l}C.{0,l,2}D.0

【答案】B

【分析】解不等式χ2-x≤0得集合&再求A與5的交集即可得解.

【詳解】解不等式d-x≤0得O≤x≤l,

于是得B={x∣0≤x≤l},

而A={-3,-2,T,0,l,2,3},

所以月β={0,l}.

故選：B

2.已知復數(shù)Z滿足z(l+2i)=3-0則IZI=

A.2B.GC.√2D.I

【答案】C

【分析】根據(jù)復數(shù)除法運算可求得z,根據(jù)模長運算可求得結(jié)果.

3-/(3-z)(l-2z)=17.

【詳解】l+2z-(l+2Z)(l-2∕)-5-5z

本題正確選項：C

【點睛】本題考查復數(shù)模長的求解，關(guān)鍵是能夠通過復數(shù)除法運算求得復數(shù).

3.3.已知向量”，6滿足同=2忖=2,(d-6)儂+6)=8,貝IJd與6的夾角為()

A.至B.工C—D.運

3366

【答案】A

【分析】由(4-匕卜(2。+匕)=2回2-4為-時=8求得無6=-1，再根據(jù)向量夾角公式即可求解.

【詳解】因為(α-b)?(2α+b)=2，一α/一時=8.又同=2忖=2,所以α∕=T?

所以cx÷3j?T,

因為0≤(α,6>≤π,所以“與z,的夾角為等.

故選：A

4.已知隨機變量X8(2,p),隨機變量VNR,"),若P(X≤l)=0.36,P(Y<4)=p,則尸(0<F<2)=

()

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

【答案】C

【分析】由P(X41)=0?36求出p=0.8,進而P(Y<4)=p=0.8,由此求出尸(0<丫<2).

【詳解】因為XB(2,p),KN(2,/),P(X≤l)=0.36,

所以P(X≤1)=(JP)2+2P(JP)=O.36,

解得P=0?8或P=-0.8(舍)，

由P(Y<4)=p=0.8,則P(y≥4)=l-0.8=0?2,

所以P(0<y<2)=；(l-0.2x2)=0.3.

故選：C.

5.若函數(shù)“χ)=(g在口，2］單調(diào)遞減，)則a的取值范圍(

A.a≥-2B.a≤-2C.4≤TD.α≥T

【答案】A

【分析】根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性來求得。的取值范圍.

【詳解】依題意函數(shù)/(X)=在62］單調(diào)遞減,

y=［在R上遞減，

5

y=X2+ax的開口向上，對稱軸為X=,

根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，-?^≤l=”≥-2.

故選：A

,>2

6.已知點R、F2分別是橢圓「+馬=l(a>b>O)的左、右焦點，過B且垂直于X軸的直線與橢圓交于A、

ab

B兩點，若AABFz為正三角形，則橢圓的離心率是

A.2B.√2C.3D.且

3

【答案】D

b2

【分析】先求出A耳的長，直角三角形4￡鳥中，由邊角關(guān)系得tan30。=也=五建立關(guān)于離心率的方程，

'KK2c

解方程求出離心率的值.

【詳解】由已知可得，Λξ=-,

a

b2

tan30°=%~=旦="一"=匕S=3'??Cf+2e-6=0,

FiF22c2ac2e3

Q0<e<l,:.e=與.

故選D.

【點睛】本題考查橢圓的離心率，求解時要會利用直角三角形中的邊角關(guān)系，得到關(guān)于a，。的方程，從而求

得離心率的值.

7.已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S,,,命題?：“%>。，4>0”，命題《：“S7>0”，則命題。是命題夕的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合充分、必要條件分析判斷.

【詳解】由不能推出$>0,

例如“,,="-4,則4=0,。5=1>°，4=2>。，所以S?=7%=。，

故命題P是命題<?的不充分條件；

由S7>O,不能推出<?>°，%>°，例如4=9-2",則為=1,。5=T，4=-3,

所以S?=7%>0,為<0,4V0，故命題P是命題4的不必要條件；

綜上所述：命題P是命題4的既不充分也不必要條件.故選：D.

8.在邊長為6的菱形ABCO中，ZBAD=∣,現(xiàn)將菱形A8CO沿對角線BD折起，當AC=時，三棱錐

A-BC￡>外接球的表面積為（）

A.24πB.48πC.60πD.72π

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)求出相關(guān)線段的長，根據(jù)球的幾何性質(zhì)確定三棱錐外接球的球心

位置，求得外接球半徑，即可求得答案.

【詳解】由題意在邊長為6的菱形ABC。中，乙BAO=T知，

△ABZ）和48CZ）為等邊三角形，如圖所示，

取BD中點E,連接AE,CE,則/正AE=y∣AD2-DE2=√62-32=3√3-

同理可得CE=3√LXAC=3√6,貝!lAE?+CE?=AC?,則AEJ_CE,

又BDCE=E,8￡）,CEU平面CBO,故M，平面CB。，

而CEU平面CBD,故AEl.CE，

由于ABCD為等邊三角形，故三棱錐A-Ba）外接球球心O在平面88內(nèi)的投影為ABS的外心0∣,即

。。，平面。友），故。OI〃AE,

過。作O"，AE于H,則H為aABD的外心，則。O∣〃HE,即OO,4,E共面，

則OH//O1E,則四邊形OOFH為矩形，

則在RlZ?O?4中，OH=O\E=；CE=6,AW=∣AE=2√3,

22

所以外接球半徑R=y∣OH+AH=√15，則外接球表面積為S=4πR2=60π,

故選：C

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得O分.

9.有一組樣本甲的數(shù)據(jù)x,,一組樣本乙的數(shù)據(jù)2x,+l,其中%（i=1,2,3,4,5,6,7,8）為不完全相等的正數(shù)，則

下列說法正確的是（）

A.樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差

B.樣本甲的方差一定大于樣本乙的方差

C.若樣本甲的中位數(shù)是機，則樣本乙的中位數(shù)是2m+1

D.若樣本甲的平均數(shù)是〃，則樣本乙的平均數(shù)是2〃+1

【答案】ACD

【分析】根據(jù)統(tǒng)計中的相關(guān)概念和性質(zhì)運算求解.

【詳解】不妨設(shè)樣本甲的數(shù)據(jù)為0<X∣≤X2<…≤??,且為</，

則樣本乙的數(shù)據(jù)為2x∣+l≤2%+l≤…≤2Λ?+1,K2X1+1<2Λ?+1,

對于選項A：樣本甲的極差為甚-芭>0,樣本乙的極差（2為+1）-（2玉+1）=2（毛-玉），

因為2（/—Xl）-（X8—再）=/一X>0，即2（Λ?-XI）>網(wǎng)一玉，

所以樣本甲的極差一定小于樣本乙的極差，故A正確；

對于選項B：記樣本甲的方差為總>0,則樣本乙的方差為4s3

因為4s；,-4=3?>0,即4s1>4，

所以樣本甲的方差一定小于樣本乙的方差，故B錯誤；

對于選項C：因為樣本甲的中位數(shù)是機=巴髻，

則樣本乙的中位數(shù)是n=（2%+1）；（2、+1）=匕+$+1=2根+1,故C正確；

對于選項D：若樣本甲的平均數(shù)是〃，則樣本乙的平均數(shù)是2”+1,故D正確；

故選：ACD.

10.已知正方體ABCD-A4GR,則（）

A.直線BG與。A所成的角為90°B.直線Be與CA所成的角為90°

C.直線BG與平面BBQQ所成的角為45°D.直線8C∣與平面ABC力所成的角為45°

【答案】ABD

【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對所給選項進行判斷即可.

【詳解】如圖，連接B。、BG,因為DAJ/BQ,所以直線8C∣與BC所成的角即為直線BCl與。A所成的

角，

因為四邊形8與GC為正方形，則MC,BC,故直線Ba與OA所成的角為90。，A正確；

連接AC,因為A4，平面BMGC,BGU平面BBC。，則A百，8G，

因為B,CLBQ,A1B1BiC=Bl,所以BG?L平面ABC,

又ACU平面AMC,所以8GLCA1,故B正確；

連接AcI,設(shè)AGBR=O,連接80,

因為8片，平面44GR,GoU平面AAa。，則C0L8∣B,

因為CQLgq,B1D1OB1B=B11所以CQL平面BBQQ,

所以NG8。為直線BC1與平面BBQD所成的角,

設(shè)正方體棱長為1,則CQ=4，BC1=√2,SinNG8。=$=；,

所以，直線Ba與平面88Qo所成的角為30,故C錯誤；

因為平面ABCO,所以NGBC為直線BG與平面AB8所成的角，易得NGBC=45,故D正確.

故選：ABD

II.已知定義在R上的函數(shù)/(X)滿足/(x+2)+*x)=0,且y=∕(2-x)為偶函數(shù)，則下列說法一定正確

的是()

A.函數(shù)/(x)的周期為2B.函數(shù)“X)的圖象關(guān)于(LO)對稱

C.函數(shù)〃x)為偶函數(shù)D.函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于x=3對稱

【答案】BC

【分析】根據(jù)給定的信息，推理論證周期性、對稱性判斷AB；借助變量替換的方法，結(jié)合偶函數(shù)的定義及

對稱性意義判斷CD作答.

【詳解】依題意，R上的函數(shù)/(x),f(x+2)=-f(x),貝(∣∕(x+4)=一/(x+2)=F(X),函數(shù)/(x)的周期

為4,A錯誤；

因為函數(shù)》=〃2-可是偶函數(shù)，則/(2-x)="2+x),函數(shù)〃x)的圖象關(guān)于x=2對稱，

且f(2-x)=-"x),即〃2-x)+f(x)=0,函數(shù)〃x)圖象關(guān)于(1,0)對稱，B正確；

由"2-x)=∕(2+x)得4-X)=/(4+x)="x),則函數(shù)F(X)為偶函數(shù),C正確;

由“x+2)+f(X)=O得f(x+3)+f(l+X)=0,由"2-x)="2+x)得f(3-x)=F(I+x),

因此/(x+3)+"3τ?)=0,函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于(3,0)對稱，D錯誤.故選：BC

12.拋物線C：/=2Py(P>0)的準線方程為y=T,過焦點尸的直線/交拋物線C于A,B兩點,則()

A.C的方程為r=2y

B.I陰+2忸尸I的最小值為4+24

C.過點〃(4,2)且與拋物線僅有一個公共點的直線有且僅有2條

D.過點AB分別作C的切線，交于點P(ΛO,%)(ΛOHO),則直線尸EPAP5的斜率滿足廠二1+廠

KPFκPAKPB

【答案】BD

【分析】求出拋物線方程判斷A；設(shè)出直線/的方程并與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合拋物線定義及均值不等式計

算判斷B；設(shè)出過點M的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立求解判斷C;求導并結(jié)合選項B的信息求解判斷D

作答.

【詳解】對于A；依題意，4=7,解得P=2,C的方程為f=4y,A錯誤；

對于B,由選項A知，F(xiàn)(0,1),設(shè)直線/的方程為y="+l,由I，=?十1消去y得/-4fcv-4=0,

[x=4y

設(shè)A(xl,yl),B(X2,y2),則有xlx2=-4,?AB?+2?BF?=?AF?+3?BF∣=y+1+3(%+?)=?'+4

≥??+4=2√3+4＞當且僅當王=-6々時取等號，B正確；

4

對于C過點M(4,2)且與拋物線僅有一個公共點的直線不垂直于y軸，設(shè)此直線方程為x-4=(y-2),

由[[4：’"一2)消去y得：Jχ2-χ-2f+4=0,當r=0時，x=4,直線與拋物線僅只一個交點，

[x2=4y4

當時，A=I-f(-2f+4)=2∕-4r+l=0,解得f=l±巫，即過點"(4,2)且與拋物線相切的直線有2條，

2

所以過點M(4,2)且與拋物線僅有一個公共點的直線有3條，C錯誤；

對于D,由y=(求導得y=q,由選項B知，MA=B,即B=+，:4,

y=yU-?^∣)+y∣

1,12,22(X+X)?,,

—+—=—+—=―I!~2J=-2k,由〈；兩式相減得:

x

kpAkpBX]X2^]2

xx

X∣

!^Ax-λ^-x^+yι-y2=OJ即=則X=?二-；々=2k,

于是Xo=2Z,y0=y(2?-x1)+yl=kxt-yt=Axl-(Axl+1)=-1,即點P(2A,-1),

,D正確.故選：BD

第∏卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.現(xiàn)從4名男志愿者和3名女志愿者中，選派2人分別去甲、乙兩地擔任服務(wù)工作，若被選派的人中至

少有一名男志愿者，則不同的選派方法共有種.(用數(shù)字作答)

【答案】36

【分析】依題意分兩種情況討論，①選一名男志愿者與一名女志愿者，②選兩名男志愿者，按照分步乘法

計數(shù)原理與分類加法計數(shù)原理計算可得；

【詳解】解：依題意分兩種情況討論，①選一名男志愿者與一名女志愿者，則有以C；度=24種選派方法;

②選兩名男志愿者，則有C：照=12種選派方法；

綜上可得一共有24+12=36種選派方法；

故答案為：36

14.已知正四棱臺的側(cè)棱長為3,兩底面邊長分別為2和4,則該四棱臺的體積為

【答案】竺五

3

【分析】根據(jù)正四棱臺的性質(zhì)求出高，即可由體積公式求出.

【詳解】如圖，正四棱臺ABS-AAG"中，設(shè)下底面中心為。，上底面中心為。I,

則。。即為四棱臺的高，過用作BIEIBZ),則B∣E=oo∣,

在RfABEB∣中，BBx=3,βf=2√2-√2=√2,則BlE=F^不可=Jj,

22

又^ABCD=4=16,SA耳Gq=2=4,

所以該四棱臺的體積為V∕=g(16+√iE+4)x√7=軍.

故答案為：竺6.

3

D1

,8

15.己知直線/：X-陽+1=()與：C:(X-I)-+V=4交于A,B兩點，寫出滿足“_ASC面積為]”的m的一

個值.

【答案】2(2,-2,g,-g中任意一個皆可以)

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長IABI,以及點C到直線AB的距離，結(jié)合面積公式即可解出.

【詳解】設(shè)點C到直線AB的距離為d,由弦長公式得IABI=2"-屋,

所以SOBC=JxdxZ"7/=:,解得：1=生5或d=也，

2?55

由&=4%=-r三，所以-r?T=華或-riT=半，解得：m=±2或機=±：.

2

Jl+療y∣]+m√1W5√1W52

故答案為：2(2,-2,；,-；中任意一個皆可以).

16.設(shè)函數(shù)/(x)=Sin(5+1)在區(qū)間(0,兀)恰有三個極值點、兩個零點，則0的取值范圍是.

【答案】(―,τl

o3

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解.

【詳解】由題意，當。<0時，不能滿足在(0,π)上極值點比零點多，

當69>()時，因為X￡(0,兀)，所以6tλX+§∈(],6M+§),

要使函數(shù)〃X)=Sin∕x+在區(qū)間(0,兀)恰有三個極值點、兩個零點，

由y=sinx的部分圖象如下圖所示：

八

z?z?、

Oπv275π3πx

,5π兀?r,z=13/8138

則rηl—<ωπ+~≤3π>解得-<a>≤-,a即n<ye(z―,—η],

236363

故答案為：(∏].

四、解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18~22題12分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明

過程或演算步驟.

17.S”為數(shù)列｛“"｝的前"項和,已知％>0,d+2αj,=4S,,+3.

(1)求證：數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列；

(2)設(shè)a=」一,求數(shù)列也｝的前n項和卻

【答案】(1)證明見解析

⑵=3(2/1+3)

S,,7?—1t?

【分析】(1)利用為=:c、.，作差得到4,是首項為3,公差4=2的等差數(shù)列，從而求出其通項

[S,l-Sn.t,n≥2

公式；

(2)由(1)可得4=；(丁二-丁二〕，利用裂項相消法計算可得.

2?2n+i2∏÷3)

【詳解】(D由d+2α.=4S,,+3,可知?3+20向=4Se+3

兩式相減得a；+i-a；+2(α,,+∣-?)=4??+,,

即2(?+l+a?)=<|-?X??+l+%)(4+∣-%)，

.4,>0，???！?|一%=2,

2

“當”=1時，α∣+2αl=4?,+3,Λax=-1(舍)或“∣=3,

則｛%｝是首項為3,公差4=2的等差數(shù)列，

｛叫的通項公式為=3+2(〃-1)=2〃+1；

(2)V?=2/7+1,

.k_a1a_=__J___JP___

,*",,n+ι(2"+l)(2w+3)2(2"+12n+3)'

???數(shù)列｛〃｝的前”項和

7H[H+H+…+Ξ?ΓΞ??士一熹

18.在銳角三角形_ABC中，角A,B,C的對邊分別為4,6,c,且√5(h-αcosC)=CSinA.

(1)求角A的大小;

(2)若a=2,求.45C周長的取值范圍.

【答案】(I)A=I

⑵(2+236]

【分析】(I)對已知條件的邊換成角，結(jié)合三角公式求出tanA,根據(jù)A的范圍得出角的度數(shù);

(2)根據(jù)正弦定理，將邊6+c用角來表示，轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的值域問題的求解.

【詳解】(1)由正弦定理得石(SinB-SinAeOSC)=SinCsinA,

又A+8+C=π,sin(A+C)=sin(π-8)=SinB,

則yβ[sin(A+C)-sinΛcosC]=sinCsinA,

化簡得GCe)SASinC=sinCsinA,

又SinC>0,所以GcosA=sinA9則G=tanA,

因為Ae(O,W),

所以A=全

a_b_c_2_4?∕3

(2)由正弦定理得：sinΛ"sinB-sinC~?π~~，

sin—

3

..4√3.4√3.,

??b=-----smBr,C=------SinCr,

33

4

??/?-4g?o?^■「?46

..a+b+c=2+-----sinB+------sι∏C=2d-------

333

=2+—f-sinfi+-cosβ=2+4Sin(8+斗

3(22

為銳角三角形,

π

0<B<-

2,

?-2πCit

O<C=----B<—

32

解得：’

62

.兀C兀2π

..-<B+-<—,

363

.?-?<sin(8+≤1,

.?.2√3<4sin^B+∣^∣≤4,

??2+2?∕3<α+b+c≤6,

即^ABC的取值范圍為(2+26,6].

19.如圖，在四棱錐P-ABC。中，PCl底面ABS,四邊形ABCD是直角梯形，AOLOC,ABHDC,

PC=AB=2AD=2CD=2,點E在棱PB上.

P

⑴證明：平面E4CJ■平面PBC；

(2)當BE=2EP時，求二面角P-AC-E的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵述

3

【分析】(D由線面垂直得到線線垂直，求出各邊長，由勾股定理逆定理得到AC/BC,從而證明出線面

垂直，面面垂直；

(2)解法一：以C為原點，CB,CA,CP所在直線分別為X軸，、軸，Z軸，建系，寫出點的坐標及平面

的法向量，求出二面角的余弦值；

解法二：取AB的中點G,連接CG,以點C為原點，CG,CD,CP所在直線分別為X軸，y軸，Z軸，

建系，寫出點的坐標及平面的法向量，求出二面角的余弦值；

【詳解】(1)因為PCL底面ABcr),ACU平面ABC。，

所以PCJ_AC.

因為AS=2,AD=CD=I,所以4C=BC=√∑.

AC2+BC2=AB2,所以ACIBC.

又因為PCCBC=C,PCU平面PBC,BCu平面PBC,

所以ACJ_平面PBC.

又ACU平面EAC,

所以平面E4CJ_平面PBC.

(2)解法一：

以點C為原點,CB,CA,CP所在直線分別為X軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則C(0,0,0),

β(√2,θ,θ),λ(θ,√2,θ),P(0,0,2).

設(shè)點E的坐標為(x,y,z),因為BE=2EP,所以(x-a,y,z)=2(-x,-y,2-z),

即X=也,y=0,Z=.所以Ed"

33(33)

所以C4=(θ,"θ),CE=Iq,0,：.

/、n?CA=0

設(shè)平面ACE的一個法向量為"=(x,y,z),貝叫

n?CE=0

√2γ=0

所以“五4，取x=20,則y=°,Z=-I.

4--=0

I---3--X3Z

所以平面ACE的一個法向量為"=(2五,0,-1).

又因為BC工平面PAC,所以平面PAC的一個法向量為CB=(√Σ,O,θ「

設(shè)平面PAC與平面ACE的夾角為6,

貝Ucosθ=∣COS(M,CB)∣=*0閩----==華.

1123

y∣M)+Eχ耐

所以，平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為2也.

3

解法二：

取AB的中點G,連接CG,以點C為原點，CG,CD,CP所在直線分別為X軸，y軸，Z軸，建立如圖

所示

的空間直角坐標系，則C(0,0,0),B(l,T,0),A(l,l,0),P(0,0,2).

設(shè)點E的坐標為(x,y,z),因為8E=2EP,所以(xT,y+l,z)=2(-x,-χ2-z),

即X=y=-；,z=g,所以

所以CA=(1,1,0),CE=(X,力.

n?CA=0

設(shè)平面ACE的一個法向量為“=(x,y,z),則｛.

nCE=O

x+y=0

所以“114八，取x=3,貝!∣y=-3,z=-?∣.

-X一一y÷-z=02

〔333

所以，平面ACE的一個法向量為〃=(3,-3,-|).

又因為BC/平面PAC,所以平面PAC的一個法向量為CB=(I,-1,0).

設(shè)平面PAC與平面ACE的夾角為

cos^∣cos(w,Cβ)∣=-pχl+(-3)χ(T)∣---------=2√2

則J(力i(>E3

所以，平面PAC與平面ACE夾角的余弦值為半

20.為了宣傳航空科普知識，某校組織了航空知識競賽活動.活動規(guī)定初賽需要從8道備選題中隨機抽取4

道題目進行作答.假設(shè)在8道備選題中，小明正確完成每道題的概率都是［且每道題正確完成與否互不影

響，小宇能正確完成其中6道題且另外2道題不能完成.

(1)求小明至少正確完成其中3道題的概率：

(2)設(shè)隨機變量X表示小宇正確完成題目的個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望；

(3)現(xiàn)規(guī)定至少完成其中3道題才能進入決賽，請你根據(jù)所學概率知識，判斷小明和小宇兩人中選擇誰去參

加市級比賽(活動規(guī)則不變)會更好，并說明理由.

【答案】(1)一

(2)分布列見解析，3

(3)選擇小宇，理由見解析

【分析】(1)小明至少正確完成其中3道題包含兩種情況：一是小明正確完成3道題，二是小明正確完成4

道題，然后由互斥事件的概率公式求解即可；

(2)由題意得X的可能取值為2,3,4,然后求各自對應(yīng)的概率，從而可求出X的分布列及數(shù)學期望；

(3)分別計算出他們兩人至少完成其中3道題的概率，通過比較概率的大小可得答案.

【詳解】(1)記“小明至少正確完成其中3道題”為事件A,則

4

P(A)=咱卜鳴唱

(2)X的可能取值為2,3,4

W=?)=警=*得，

Wχ=3)=堂L竺，

(JC：707,

'8

C0C41S3

尸(X=4)=5?=D=±,

?'Cs7014

X的分布列為;

X234

343

P

147M

443

數(shù)學期望E(X)=2χK+3x1+4χ∕=3.

120

(3)由(1)知，小明進入決賽的概率為P(A)=黑；

4411

記，，小宇至少正確完成其中3道題”為事件B,貝IJP(B)=]+福=三；

因為P(B)>P(A),故小宇進決賽的可能性更大，

所以應(yīng)選擇小宇去參加比賽.

21.已知函數(shù)/(*)=m'-4出入在》=1處的切線方程為丫=(26+1卜一/?(4萬€1<)

(1)求實數(shù)a，b的值；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=/(X)-2e*-x+3,當Xe?,?時，g[x)<m(機∈Z)恒成立，求加的最小值.

【答案】(l)a=T,?=e+l

(2)0

【分析】(D求導，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可得解；

(2)當Xe?1時，g{x)<m(meZ)恒成立，只要m>g(x)maχ即可，利用導數(shù)求出Xe1,1上g(x)的

最大值即可得出答案.

【詳解】(D定義域為(0,+8),∕,(x)=(x+l)er-p

由題意知匕、??..,

"⑴=2e+l-b=e

解得。二-1,fe=e÷l；

(2)g(x)=/(x)-2ex-x+3=(x-2)eA+lnx-x÷3,

則g'(x)=(x7)ejr+gτ=(x7)k-j}

令MX)=e*-！，其中Xe?,?,貝!]〃'(X)=e*+3>0,

X_N」X

所以函數(shù)MX)=e'-L在xe[,l[上單調(diào)遞增，

X_乙_

因為唱卜庭-2<0,A(l)=e-l>O,所以存在唯一與€(；』)，

使得〃a,)=e&-」=0,即e&=,，可得XO=-In%,

Xo?θ

當;<x<x°時，g'(x)>O,此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

當不<x<ι時，F(xiàn)a)<o,此時函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.

所以當Xe?j時，g(x)maχ=g(x°)=伍-2)e*,+ln%-X(,+3,

1