2023 年山東考研數(shù)學(xué)二試題及答案

2023年山東考研數(shù)學(xué)二試題及答案

一、選擇題：rio小題,每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)

是最符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.

1.y=xln（e—L）的斜漸近線為（）

X-1

1

A.y=x+eB.y=x+.

e

n1

c.y=xD.y=x-_

e

【答案】B.

【解析】由己知丫=*皿卜+7）)

F，則

v1

lim力lim、ln(七))|=lne=1,

1

lim)y-x=lim)xln=lim)xIn—

XwwXwA

1

1))|-1=limx-1?l-lne

limxIn1+

x)wLe(x-1)j

1

lim---

X)we(x-1)e

所以斜漸近線為y=X+」.故選B.

x試0

2.函數(shù)f（X）=的一個(gè)原函數(shù)為（）.

|l(x+l)COS.V,X>0

Qin(y1+X2-x),x試0

A.F(x)=(

||(x+1)cosx-sinx,x>0

(|ln,xMO

B.F(x)=(

|l(x+1)cosx-sinx,x>0

QinC1+X2-X^,XBS0

C.F(x)=

||(x+1)sinx+cosx,x>0

(|lnC1+X2+x^+1,xJS0

D.F(x)=

||(x+1)sinx+cosx,x>0

【答案】D.

【解析】由己知limf(x)=limf(x)=f(0)=1,即f(x)連續(xù).

x)0*x)0

所以F（x）在X=0處連續(xù)且可導(dǎo)，排除A,C.

Xx>0時(shí)，[(x+1)cosx-sinx],=cosx-(x+1)sinx-cosx=-(x+1)sinx,

排除B.

故選D.

11

3.設(shè)數(shù)列{x},{y}滿足x=y=_,x=sinx,y=一y,當(dāng)n)w時(shí)().

nn112n+1nn+12n

A.x是y的高階無(wú)窮小B.y是X的高階無(wú)窮小

nnnn

C.X是y的等價(jià)無(wú)窮小D.x是y的同階但非等價(jià)無(wú)

nnnn

窮小

【答案】B.

【解析】在（|（°《））|中，sinx琮x,從而Xn+1=sinx。［x。.又上色與，從而

^r<共二工＜小"?（?））?

x,2x4x

所以limin1-0.故選B.

n)wX

n+1

4.若y,+ay,+by=0的通解在(-w,+w)上有界，這().

A.a<0,b>0B,a>0,b>0

C.a=0,b<0D,a=0,b>0

【答案】D

【解析】微分方程y,+ay,+by=O的特征方程為n+ar+b=0.

x324ba2

①若a2_4b<0,則通解為y(x)=e-i(CcosC4b_x+Csin^-x\

1222

②若a2_4b>0,則通解為y(x)=Ce(ll('r'產(chǎn)評(píng)+C型與言亙那；

12

③若a2_4b=0,則通解為y(x)=(C+Cx)e4x.

12

由于y(x)在(_77,+w)上有界，若一,>0,則①②③中x)+w時(shí)通解無(wú)界，若_a,0,

22

則①②③中x)_w時(shí)通解無(wú)界，故a=0.

a=0時(shí)，若b>0,則r=Tbi,通解為y(x)=(CcqsTbx+Csin/5x),在(_w,+w)

1,21V2V

上有界.

a=0時(shí)，若b<0,則r=dfb,通解為y(x)=Gebx+celbx,在(_w,+w)上無(wú)界.

1,212

綜上可得a=0,b>0.故選D.

(x=2t+111

5.設(shè)函數(shù)y=f(x)由參數(shù)方程〈確定，則().

ly=|t|sint

A.f(x)連續(xù)，f,(0)不存在B.f,(0)存在，f,(x)在x=0處不連續(xù)

Cf,(x)i^,f,,(0)TO￡D.f,,(0)#4,f,,僅)故=0處不造賣

【答案】c

【解析】limy=lim|t|sint=0=y(0),故f(x)在x=0連續(xù).

x)0t)0

r八..fv(x)fv(0)7..1111sintn

fr(0)=hm=hm=0

x)oxt)o2t+|11

(sint+tcostt〉o

3，

f,(x)=y，/ot=o

X(t)

',sinttcostt<0

r-

i

t=0時(shí)，x=0；t>0時(shí)，x>0；t<0時(shí)，x<0,故f,(x)物=0艇.

sinr+rcosr

,ef,(x)f,(0)..--------------------°2

f?(0)=hm=hm_____±,

+x)o.xt)o.3t9

,i.f,(x)f,(0)..sinttcost0_

f,,(0)=lim''7=hm---=_2,

-x)0_Xt)0.t

故f,(o)不存在.故選c.

6.若函數(shù)f(a)=j+fi!___二dx在a=a處取得最小值，則a=()

2X(lnx)a+100

1

A—B.—In(ln2)

In(ln2)

1

c.——D.In2

In2

【答案】A.

1dx=b的dQnx)=_J(|n「的=」_

【解析】已知f(a)=J+的則

x(lnx)a+i2(Inx)a+ia12a(In2)a

2

,I1IInIn211,1,,,

f,(a)=——-=—((+InIn2o))|,

a?(In2)?a(In2)?a(In2)?"a'

1

令f,(a)=0,解得a=—

oInIn2

故選A.

7.設(shè)函數(shù)f(x)=(X2+a)ex.若f(x)沒有極值點(diǎn),但曲線y=f(x)有拐點(diǎn)，則a的取值范

圍是().

A.[0,1)B」1,+的)C.[1,2)D.[2,+的)

【答案】C.

【解析】由于f(x)沒有極值點(diǎn),但曲線y=f(x)有拐點(diǎn)，則f,(x)=(X2+2x+a)ex有兩

個(gè)相等的實(shí)根或者沒有實(shí)根，f，(x)=(X2+4x+a+2)ex有兩個(gè)不相等的實(shí)根.于是知

4—4a共0,

解得1共a<2.故選C.

16—4(a+2)>0,

(AEY

8.A,B為可逆矩陣，E為單位陣，”,為M的伴隨矩陣，則I

(O8)

-BA)U(\\B\A--A-B-\

D.W

(0|B|A)(0\A\B-)

c.(l|e|A—BA]D(*|B-A-B-)

(0|A|8)(0\B\A-)

【答案】B

【解析】由于

『E)pE)-平E(f0)山和|8|0'

(0B)(08)04(0E)(oMIIBI)

故

E)：(AEr(\A\\B\0)

I=lIII

!：B)(0B)(OM||BI)

(Ai-A1B-1)(|/\||6|O)

IIII

(O8-1)(O|A||B|)

(|A|Ai|8|-|A|A1|8|Bi)

(OB-iMII8|)

(A|8|-A-B-)

I

(OB-\A\)

故選B

9.f(X,X,X)(1+.2+0+:)2-4(廠1)2的規(guī)范形為

123

乎

A.y2+y2B.y2-y2C.y2+-4y2D.y2+y2-y2

1212123123

【答案】B

【解析】f(x,X,X)(x+x)2+(x+x)2-4(x-x)2

123121323

=2x2-3x2-3x2+2xx+2xx+8xx,

123121323

(I211)l

二次型的矩陣為八二i-34

I.4-3)H

2-入112-入10

加入E|=1-3-入4=(入+7)1-3-入1

14-3-入14-1

2-入10

=(入+7)21-入0=-入(入+7)(入-3)=0,

14-1

卜3—。,故規(guī)范形為廣為故選B.

(1)(2)(2)(1)

a=1,b=5,b=

2|i||2|°；

io.已知向量組a=2,若Y既可由a/a2線性表

1

:1)1k9)15)

示，又可由b,b線性表示，則Y=()

12

33

壯(限冊(cè)k=RB-k(|||(5))|||.k=R

410

-11

&))|||'k=R?k(|||(5))|||-k=R

28

【答案】D

【解析】設(shè)丫=1<@+|<@=kb+kb,則ka+ka-kb-kb=0,對(duì)關(guān)于

1122314211223142

k,k,k,k的方程組的系數(shù)矩陣作初等變換化為最簡(jiǎn)形，

1234

(|12-2-1)(|1003)

=(a,a,-b,-b)=21-5o?o10-1,

11231-9一1州)W)oII

解得(k,k,k,k)T=C(-3,1,-1,1)T+(3,-1,1,0)T=(3-3C,-1+C,1-C,C)T,故

1234

I-C1

Y=ka+ka2=(3-3C)a」(C-1)a「(帕\-C))|||=k(峭帥k=R.故選D.

8(1-R

二、填空題：11~16小題,每小題5分，共30分.請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上.

11.當(dāng)x)0時(shí)，f(x)=ax+bx2+ln(1+x)與g(x)=ex2-cosx是等價(jià)無(wú)窮小，則

ab=_____.

【答案】-2

【解析】由題意可知,

_f(x)ax+bx2+ln(1+x)依+丘+-"丘+。(月)

1=lim'7=lim''-lim----------------------=------------------

1

x)0g(X)x)0ex2-C0SXx)01+X2+0(x2)-[1-_j(2+0(x2)]

2

1

(a+1)x+(b-)x2+0(x2)

=lim~

x)0_X2+0(X2)

2

i3

于是a+1=0,b=_,B|Ja=_1,b=2,從而ab=_2.

22

12.曲線y二jx“3_t2dt的孤長(zhǎng)為.

【答案】聯(lián)石

o

【解析】曲線y=J：_，3_t2dt的孤長(zhǎng)為

_*3

j￡J+y，2dx1+3_X2dx=J^4_X2dx=014_X2dx

6j/3>30

.￡濁力聶costd2sint=8)Tcos2tdt=8)象+8s21出

=4,+'sin》)：駕■+褥

0

13.設(shè)函數(shù)z=z(x,y)由方程ez+xz=2x_y確定

3

【答案】一一

2

【解析】將點(diǎn)(1,1)帶入原方程，得z=0.

方程8+xz=2x_y兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)，得ezz+x一=2

?x?x'

(?Z)2?2Z?Z?2Z,,

兩邊再對(duì)x求偏導(dǎo)，得+&,T2)TXI-0,將x=1,y=1,z=0代入以

,(?x)|?X2?X?X2

?z?2Z3

上兩式，得=1

?x元=-'2'

(1.1)(1.1)

14.曲線3x3=y5+2y3在X=1對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的法線斜率為.

11

【答案】

9

【解析】當(dāng)x=1時(shí)，y=1.

方程3x3=y5+2y3兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得9x2=(5y4+6y2)y,，將x=1,y=1代入，得

911

y,(1)=,.于是曲線3x3=y5+2y3在X=1對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的法線斜率為_____

119

15.設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(x+2)_f(x)=x,j2f(x)dx=0,貝j3f(x)dx=.

01

【答案】

【解析】j3f(x)dx=j3f(x)dx—j2f(x)dx=j3f(x)dx—j1f(x)dx—j2f(x)dx

j3f(x)dx—j1f(x)dxf(t+2)dt—j1f(x)dx=j1xdx

ax+x=1,

+“x+x=0.

123有解，其中a,b為常數(shù)，=4，則

+2x+a.x=0,

123

ax+/?x=7

2

b

【答案】8

1a10

【解析】方程組有解，則IR=4on-12a+21a1=0,故

ab03b°12a

1a1

12a=8.

ab0

三、解答題：17~22小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本題滿分10分)

設(shè)曲線L:y=y(x)(x>e)經(jīng)過點(diǎn)(e2,0),L上任一點(diǎn)P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于該點(diǎn)

處的切線在y軸上的截距，

(I)求y(x)；

(ID在L上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸所圍三角形面積最小，并求此最小面積.

【解】(I)曲線L在點(diǎn)P(x,y)處的切線方程為丫—y=y,(x)(X—x),令X=0,則切線

1

在y軸上的截距為Y=y—xy,(x),則*=丫一xy,(x),即y,一、=—1,解得

y(x)=x(C—Inx),其中C為任意常數(shù).

又y(e2)=0,則C=2,故y(x)=x(2—Inx).

(II)設(shè)曲線L在點(diǎn)(x,x(2—Inx))處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍三角形面積最小，此時(shí)切線方程

為

Y-x(2-lnx)=(1-lnx)(X-x).

4Y=0,則*=匚，，；令X=0,則丫=*.

Inx—1

11XX2

故切線與兩坐標(biāo)軸所圍三角形面積為S(x)=—XY=----------------x=-----------------,

22Inx—12(lnx—1)

則S,(x)=x(2nx3)令s,(x)=。，得駐點(diǎn)x=

2(lnx-1)2,

當(dāng)e想x想言時(shí)，5伙)想0；當(dāng)x>^e2時(shí)，S,(x)>0,故S(x)在x=%處取得極小值，同

時(shí)也取最小值，且最小值為S(e2^=e3.

18.(本題滿分12分)

X2

求函數(shù)f(x,y)=xecosy+一的極值.

2

【解】由己知條件，有

f,(x,y)=ecosy+x,

X

f,(x,y)=xecosy(—siny).

y

1

令f,(x,y)=0,f,(x,y)=0,解得駐點(diǎn)為(|(—e>kJl))|,其中k為奇數(shù)；(一e,k/L),其中

k為偶數(shù).

f?(x,y)=1,f,(x,y)=ecosy(—siny),f,(x,y)=xecosysin2y—xecosycosy.

xxxyyy

在點(diǎn)［一;一沖I處,其中k為奇數(shù)，

111

A=fxx(l(_e，kH))l=1,8，(1(-［山))1=°，0=］(|(-丁機(jī)))|=1,

由于AC—B2想0,其|2—，，1|不是極值點(diǎn)，其中k為奇數(shù).

在點(diǎn)(一e,kTL)處，其中k為偶數(shù)，

A=f,(―e,k幾)=1,B=f,(―e,k幾)=0,C=f,(―e,k幾)=e-2,

xxxyyy

由于AC-B2〉0,且A>0,故（一e,k兀）為極小值點(diǎn)，其中k為偶數(shù)，且極小值為

19.(本題滿分12分)

1

已知平面區(qū)域D=y)|0<y<—rx>1!,

x7+X2J

(1)求平面區(qū)域D的面積S.

(2)求平面區(qū)域D繞x一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

【解】(1)

S=f+工」仆=.sec2t巾=ft_U

1x.+X2?tantsect*sint

卜sintpl,

-J?1.at——J'-------"dcost

■sin2tcos2t

44

20.（本題滿分12分）

設(shè)平面區(qū)域D位于第一象限，由曲線x2+y2-xy=1,x2+y2-xy=2與直線

y=技,y=0圍成，計(jì)算dxdy.

3x2+y2

D

【解】ff-r—!~~dxdy=J：dO￡33-----------J--------r—^pdp

3X2V2,,___j__3P2COS20+O2Sin20

D+CosOsirW

1

d01rncuciril-dp

sin2043COS20'___1__o

\'1-cosUsinU

弓嗎而樂3cos20

=lln2J:-----!_-dtar>0

2(1tanzQ+3

21.(本題滿分12分)

設(shè)函數(shù)f(x)在［—a,a］上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù).

1

⑴證明：若f(0)=0,存在飛=(—a,a),使得f,(飛)=—［f(a)+f(—a)］；

32

(2)若f(x)在(—a,a)上存在極值，證明：存在n=(—a,a),使得

If,⑻I之，If(a)—f(—a)

2a2

【證明】⑴將f(x)在x=0處展開為

o

f(x)=f。+f,(0)x+f"(6)%=f,(0)x+)4,

其中6介于。與x之間.

分別令x=—a和*=a,則

—)="0)(—3)+外嗎，-a(飛<0,

2!1

f(a)=f,(0)(a)+f"(飛嗎，0<飛<a,

2!2

兩式相加可得

f(—a)+f(a)=az/?』，"),

2

又函數(shù)f(X)在［—a,a］上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，由介值定理知存在飛=「8y二(一a,a),使得

f，g)+fgf(ns),

2

即f(飛)=L［f(-a)+f⑻］.

a2

⑵設(shè)f(x)在x處取得極值，則f,(x)=0.

00

將f(X)在X處展開為

0

“、，/、，，、，、f?(6)(x—x>.f?(6)(x—x)2

f(x)=f(x)+f,(x)(x—x)+八7o.=f(x)+八'o-,

ooo2!o2!

其中6介于x與x之間.

0

分別令x=—a和乂=a,則

，/、一\.)"(nxa+x)2

f(—a)=f(x)+-——--------?—,—a<n<x,

。2!10

*/、xf?(n)(a—x)2

f(a)=f￡(zx)+〃'八720.x<n<a,

o2!02

兩式相減可得

f(a)-f(-a)=f”(n)(ax)2^---------2-J叩葉]卜,

所以

。⑺)(a—x)2f,(n)(a+x>

|f(a)—f(—a)|二：2八一()L

22

-17,(n)im+x)2/八n)i(?-x)?

兀I0+3。

77

元|f，(n)l[包+x)2+(a—x)2](|f,(n)|=max(|f,(n)|,|f,(n)|))

2o012

元|f，(n)|Ra+x)+(a—x)>=2a2|f,(n)|,

2oo

1

即If,(n)|之，|f(a)—f(—a)

2a2

22.（本題滿分12分）

(\X),1X+X+X)

(I1?(I123q

設(shè)矩陣A滿足對(duì)任意的x,x,x均有4x=I2x—