圓錐曲線綜合應用（練習）（含解析）2023年高考數(shù)學二輪復習

考點8?5圓錐曲線綜合應用

卜維練基礎(chǔ)JH

22

1.（2022?全國?高三專題練習）已知A,B,P是雙曲線=-4=1（α>0,6>0）上不同

a^b^

4

的三點,且A,8連線經(jīng)過坐標原點，若直線雨，尸8的斜率乘積為則該雙曲線的離心

率為（)

在B.1

A.C.√2

22DT

【答案】D

【分析】設(shè)A(Λ?,%),P(x2,y2),根據(jù)對稱性,知B(Ff),然后表示出?,又由

于點A,P在雙曲線上，所以將其坐標代入方程中，兩式相減，結(jié)合前面的式子可得

A24

k?kpB=J=±,化簡可求出離心率

a3

【詳解】設(shè)Aa,χ）,P（x2,y2）,根據(jù)對稱性,知5（一1,一%）,

所以原履仁PB-

X2-XyX2+X1

因為點4,尸在雙曲線上，

日一業(yè)=1

1

2>22?22

所以《*",兩式相減,得々一再當f

2

?-?=1Crb

a2b2

所以2牛4

ax2-x1

所以女"?％=W,

所以/=七5=］，所以e√fT

a23亍

故選：D

2.（2022?江西?高三階段練習（理））已知雙曲線C:，nr2-ry2=l（相>o,〃>0）的一個焦點

4

坐標為（τ,o）,當利+〃取最小值時，C的離心率為（）

A.更B.√3C.2D.√2

【答案】B

1414

【分析】根據(jù)雙曲線的標準方程可得標=上,從=2,￠2=1,根據(jù)。力，C的關(guān)系可得上+2=1,

mnmn

由基本不等式的求解即可得"=2∕n=6,進而Y='=2,即可求離心率.

m3

X2y2_

【詳解】由C：〃優(yōu)2一=］（m>0,〃>0）可得，屋一1,所以〃2=,力2=±,2=1,

4——mn

mn

故可得工+3二1,所以"+〃=（'+△）（"?+〃）=5+2?+例..5+2=9,

mn?mnJmn?mn

當且僅當2=±"，即n=2m=6時等號成立，所以°2=2_=:，a=蟲又c=l,

mnm33

所以e=￡=6,

a

故選：B.

3.（2023?全國?高三專題練習）已知雙曲線C:二-1=l（α>0∕>0）滿足2=且，且與橢圓

a2h2a2

￡+21=1有公共焦點，則雙曲線C的方程為（）

123

2

X2-y

-一

Ba.8

√1￡0

-

4-3

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，列出方程，求得α,b的值，即可求解.

【詳解】由橢圓的標準方程為二+亡=1,可得￠2=12-3=9,即c=3,

123

因為雙曲線C的焦點與橢圓￡+T=I的焦點相同，所以雙曲線C中，半焦距c=3,

123

又因為雙曲線?！?1=1（。>0,方>0）滿足2=正，即〃=逝〃，

a'b-a22

又由〃+廿=c2,即/+（交=9,解得〃=4,可得〃=5，

I2）

所以雙曲線C的方程為三-E=L

45

故選：A.

4.（2022?重慶巴蜀中學高三階段練習）設(shè)拋物線。：〉2=2〃%（〃>0）的焦點為凡準線/與X

軸的交點為K,點A在C上，已知點4的橫坐標為正，∣A目=2后，則,.AKF的面積SAKF=

【答案】4.

【分析】先由拋物線的定義得點K的橫坐標為一夜，進而求得AF_LX軸，再計算,,AXF的

如圖，作A4」/于A,由拋物線定義知IAAi=MFl=2血，又點A的橫坐標為近，則點K

的橫坐標為

點尸的橫坐標為正，則ArX軸，則S"=gx20x2√∑=4.

故答案為：4.

22

5.（2023?全國?高三專題練習）已知雙曲線-A-4=l（a>0⑦>0）的實軸為A4,對于

aZr

實軸A&上的任意點P，在實軸A&上都存在點Q,使得IPQI=物，則雙曲線「的兩條漸

近線夾角的最大值為；

【答案】y

【分析】通過分析得到a*Mb,設(shè)漸近線與X軸的夾角為。，則tan"≤巫，求出?！?,

從而求出雙曲線r的兩條漸近線夾角的最大值.

【詳解】對于實軸Aa上的任意點尸，在實軸44上都存在點Q,使得歸。=血，

當點P位于原點時，則要aN石才能滿足要求，

所以2?3，設(shè)漸近線與X軸的夾角為。，則tand≤且，

a33

因為e≤Tmr,則雙曲線r的兩條漸近線夾角為2。VT?r,

63

故答案為：I

2維練能力J//

6.（2021?黑龍江?大慶實驗中學高三開學考試（理））已知點F為拋物線C：Γ=2px（p>0）

的焦點，點K為點尸關(guān)于原點的對稱點，點〃在拋物線C上，則下列說法錯誤的是（）

A.NM"的范圍決定了點”的個數(shù)

JT

B.不存在使得NMKF=§的點〃

Tr

C.使得NMK尸的點M有且僅有2個

4

JT

D.使得NMKF=丘的點”有且僅有2個

【答案】D

［分析］問題可轉(zhuǎn)化為過點作拋物線的切線,求出切線斜率,即可得到ZMKF的最大

值,結(jié)合拋物線的圖像,問題即可解決.

設(shè)過點K拋物線的切線方程為:y=k1

代入y2=2px后整理得以2+W-2p）x+（=0

因為相切，<?（?>-2p）3-4?2×?^=O

TT

化簡得公=1,解得Z=±l,所以NMK廠的最大值為

4

-TT

做出圖像:顯然當M在切點位置時，ZMKb最大為丁,此時點M有兩個（1軸上卜各有一個，

4

位置①）；

當《05時,點M有四個（X軸上下各有兩個,位置②；

當NMK尸=0時點即為原點0,只有一個，

故ABC選項的命題正確,D選項錯誤.

故選：D

7.（2022?河南?高三開學考試（文））在正方體ABs-ABCa中，E為AR的中點，F(xiàn)

為底面ABC。上一動點，且EF與底面48C。所成的角為60。.若該正方體外接球的表面積

為12π,則動點尸的軌跡長度為（）.

?4√3r√3r2√3n4√3

A.---TCo?TtC?--------TCL）?-------Tt

9333

【答案】A

【分析】取Ao的中點，，連接E”，判斷出NEFH為EF與底面ABCo所成的角，即

ZEFH=60°.設(shè)正方體的棱長為m利用外接球的表面積求出α=2.判斷出F的軌跡為以H

為圓心，爰為半徑的圓在正方形ABC。區(qū)域內(nèi)的部分，利用弧長公式求出動點F的軌跡的

長度.

圖1圖2

如圖1,取的中點“，連接E”，貝IJEH/∕AA∣.

在正方體ABCD-AgC∣A中，AA，底面ABCD,所以EHjL底面ABCD

所以AEFH為EF與底面ABCD所成的角，則N及H=60°.

設(shè)正方體的棱長為a,因為該正方體外接球的表面積為12π,

所以4π=3τιa2=12π,解得。=2,

所以￡7/=AAI=Q=2,從而HF=專,

美為半徑的圓在正方形ABCO區(qū)域內(nèi)的部分，如圖2.

所以尸的軌跡為以H為圓心,

2

在圖2中，HG=HM=而

所以cos/AHG=四="，則NA"G=?

HG26

7rTT2冗

根據(jù)對稱性可知NO”M=一,所以NMUG=兀-2x-二,

66τ3r

故動點F的軌跡周長為女X」==遞π.

3√39

故選：A

8.（2022.天津市武清區(qū)楊村第一中學模擬預測）已知第一象限內(nèi)的點M既在雙曲線

22

G:0-5=13>0/>0）的漸近線上，又在拋物線C2：y2=2px（p>（））上,設(shè)Cl的左、右焦

ab

點分別為「、F2,若C?的焦點為B,且AMKFz是以MK為底邊的等腰三角形，則雙曲線

的離心率為（）

A.2B.√5

C.l+√2D.2+√3

［答案］B

【5■析】由題意可得拋物線的準線方程為：x=-c,過M作垂直準線x=-c,利用拋物

線的定義得到MA=ME=6耳，則四邊形⑷鳴M是正方形，從而△叫鳥是等腰直角三角

形，然后結(jié)合圖形和離心率公式即可求解.

【詳解】因為G的左、右焦點分別為"、F2,C2的焦點為尸2，

所以拋物線的準線方程為：x=-c,

乂因為6是以M6為底邊的等腰三角形，

過例作ΛM垂直準線X=Y,如圖所示：

則ΛM=M鳥=K鳥，所以四邊形AMgK是正方形，

則AMFiF2是等腰直角三角形，所以M4==片工=2c,

故選：B

9.(2022.廣東.高三開學考試)已知雙曲線C:0-5=1,耳、鳥是雙曲線C的左、右焦點,

M是雙曲線C右支上一點，/是NKMK的平分線，過K作/的垂線，垂足為P，則點P的軌

跡方程為.

【答案】X2+∕=4(X>0)

【分析】延長后尸，交耳M于。，可證得4M%g2?MPQ,結(jié)合題意易證得尸的軌跡是以

。為圓心，半徑為2的圓的一部分，即可求出點P的軌跡方程.

【詳解】延長交KM于。，因為NPMg=NPMQ,ZMPF2=ZMPQ,

?MF?^?MP?,所以△"「亮四4MPQ,所以阿Kl=IM。，

所以IQ制=|嗎ITMa=PW制一PW國，

因為例是雙曲線C右支上一點，所以|。娟=2α=4,

乂因為尸是QK的中點，。是耳巴的中點，所以IPol=TIQKl=2,

所以尸的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為2的圓的一部分，

所以點尸的軌跡方程為V+y2=4(x>0).

故答案為：X2+∕=4(X>0).

2222

10.(2022?全國?高三專題練習)已知八，8是橢圓。$+斗=1和雙曲線,-馬=1(“>人>0)

的左右頂點，P,。分別為雙曲線和橢圓上不同于A,B的動點，且滿足

PA+PB=λ(QA+QB)(λ∈R,∣Λ∣>1),設(shè)直線B4、PB、QA、Q8的斜率分別為吊、右、&、%，

貝IJArl+k2+k3+k4=.

【答案】O

【分析】依題意可得OP=2OQ,即點尸，Q,。三點共線，設(shè)Pa,)1),Q(χ2,y2),即可

得到勺+七與自+%，從而得解.

【詳解】解：依題意A、8為橢圓5+4=1和雙曲線1-1=l(a>6>0)=l的公共頂點,

crb2a2b2

P、。分別為雙曲線和橢圓上不同于A、8的動點，

由PA+P8="Q4+QB)(∕leR,U∣>1),

即IPO=2λQO,

可得OP=2。。，則點P,Q,。三點共線.

設(shè)P(XI,%),Q(x2,y2),

上+422xlylIlrx,

則k'+h2—2

a

xi+aXA-axλ-cΓ>2礦乂

鏟X

2h2γ

同理可得%+&=--F-->

ay2

OP=λOQ..*.X1=λx2,yi=Xy2,

y乃’

占+&+&+&=甯土上］=o.

ay2)

3維練素養(yǎng)JIl

2222

11.(2022?上海黃浦?二模)將曲線上+E=1(x00)與曲線上+21=1(XWO)合成的曲線記

16979

作C.設(shè)&為實數(shù)，斜率為左的直線與C交于A,B兩點，P為線段A8的中點，有下列兩個

結(jié)論：①存在3使得點P的軌跡總落在某個橢圓上；②存在女，使得點P的軌跡總落在某

條直線上，那么().

A.①②均正確B.①②均錯誤

C.①正確，②錯誤D.①錯誤，②正確

【答案】C

【分析】對①，分析當々=0時點P的軌跡總落在某個橢圓上即可；

x

對②，設(shè)A(Xl,y),3(x2'K),∣???>尸(匹，兒),則??=%；玉.,%=2,利用點差法，

9口回

化簡可得_1167」故若存在％,使得點P的軌跡總落在某條直線上則

"2?(xl-x2)

%-自Λ0(&wR)為常數(shù)，再化簡分析推出無解即可

【詳解】設(shè)Aa,%),3(%，%)，-vI<j?>尸(XO，幾)，則％=："：*,%=\：也.

對①，當Z=O時，K+M=ι,E→K?=1,易得y=%,故兩式相減有*-E=o,易得

79169167

∕z778

此時也<0<為2，故Xl=-業(yè)工2，所以__彳々+々_,即々=；；—后不，%=%.代

4^XO=2，%=%4-√∕

22(8YX；+/=］

入微+&=1可得［匚不切$_，所以(4一")一9,故存在/=0,使得點尸的

16~9~一廠

-

-----------------?-^1——］

軌跡總落在橢圓(4-√7)^9上.故①正確；

4

對②，P(Xo,y。),XO=當上,%=入產(chǎn).由題意，若存在左,使得點P的軌跡總落在某

條直線上，則E+匯=1,反+%=1,

79169

兩式相減有&_?+.—貨=0,即式_豆+。|+刀2)(%一必)=0,又2LZA=&,故

716997169Xl-X2

看_反+獨?3=0,即9(京一十］又然故若存在jfc,使得點P的

7*169%=西E2

軌跡總落在某條直線上，則NO-%x°(%∈R)為常數(shù).即

9住_看］9僅一回

(167J_(x∣+>j7=(167J_(占+苫2)秘(刃一多)

2?(x1-x2)22?(x1-x2)2?(x1-x2)

為定值，因為分子分母不多次數(shù)不

2k(X1-x2)2?(x1-X2)

同，故若為定值則(4+火。4)只一(^+%%)芭2=0恒成立，99

即3+/z==+K∕=o,無解?即

167

不存在&，使得點P的軌跡總落在某條直線上

故選：C

12.(2022?全國?高三專題練習)已知拋物線C:f=2Py(P>0)的焦點到準線的距離為M

點。(為,%)在拋物線G上，點AB在圓C2：Y+y2-4y+3=0上，直線D4,D8分別與圓G

僅有1個交點,且與拋物線Cl的另一個交點分別為P,Q,若直線PQ的傾斜角為120。，則XO=

()

A.士走B.一百或昱C.-B或6D.±√3

333

【答案】C

【分析】根據(jù)題意求得P=g,得到f=y,設(shè)過點。與圓C2相切直線的斜率為得到切

線方程H-y+χ-5=o,利用七竺二a=1,結(jié)合韋達定理，求得尢+%=2?%Q?2),

√ι+FXoT

聯(lián)立方程組上'+jv°"一°,取得&=x+x0,得到%=K-%，q=e-Xo,

=y

結(jié)合浮°=-6,列出方程，即可求解.

【詳解】由拋物線G：/=2Py(P>0)的焦點到準線的距離為可得P=3,

所以拋物線的方程為V=>,

又由C2*+y2-4y+3=0,可得圓心坐標為G(°，2),半徑廠=1，

設(shè)過點D(x0,%)與圓C?相切的直線的斜率為Z,

可得方程為丁一%=%(X-Xo),即y—x；=A(x-x0),即依一y+片-Ax。=。,

則圓心到直線的距離為叱竺二1=1,

整理得(4一1)公+(4/-2")2+$—4年+4=0,可得仁+&=2%(F：2)

?^?

kx-y-?-x^-Ax0=0

聯(lián)立方程組,可得/一6-Xj+fc∣Q)=0,

=y

β∣JA(X-Xo)=X2一片，所以％=κ+/,

所以??=占一??,??=h-χ0,

因為直線PQ的傾斜角為120。，所以Q=-G

-7XX

-τzg,_?3p_Q~P__,,?_2x0(xθ-2)_-2x0_?

可得%Q=----=----=XQ+Xp=k?+k?-2x0=--------2Λ0=-?~~-=73,

xQ-XPXQ-XP?θ-'?^1

解得毛=百或Xo=-*.

*3?(2021?全國?高三專題練習(文))如圖'已知G分別為雙曲線

的左、右焦點，P為第一象限內(nèi)一點，且滿足優(yōu)H=",(∕=JP+6E)?KP=0,線段EP與雙

曲線C交于點Q,若怩H=5∣6Q∣,則雙曲線C的漸近線方程為()

A.y=±^-xB.y=±：xC.y=+^-xD.y=±^-x

5223

【答案】B

【分析】由同起點的向量做加法想到平行四邊形法則，從而取心P的中點E,由已知可知

FiEYF2P,由三線合一知三角形PK6為等腰三角形，再由余弦的定義表示NKgE的余弦

值，又由雙曲線的定義表示|。耳|,最后在?大。亮中，由余弦定理構(gòu)建方程，求得《■，將其

代入漸近線方程，得答案.

【詳解】取線段EP的中點E,連接耳E,

因為（鳥尸+耳g）?gF=O,所以KEJ.憑尸，

故三角形刊前為等腰三角形，且出H=忻聞=2c?

在中,FE

Rt4￡7^CoSNFIF#=?2?_2_?,

巧用2c4c

連接片。，又EQl=]，點。在雙曲線C上,

所以由雙曲線的定義可得，|。耳閭=2α,故IQ用=2a+]=^.

在一片。鳥中，由余弦定理得,

a

COSZFF2Oδ-M2H∣“<MΞ0∣<.^

4c

2×2c×-

5

整理可得4C2=5∕,所以與=±￡=3-l=L,

a2a244

故雙曲線C的漸近線方程為y=±gχ.

故選：B

【點睛】本題考查由幾何關(guān)系求雙曲線的漸近線，由余弦定理構(gòu)建方程，還考查了平面向量

加法的平行四邊形法則和垂直關(guān)系，屬于難題.

14.（2022?河南?新安縣第一高級中學模擬預測（理））己知拋物線C:V=4y的焦點為尸，

平行丫軸的直線/與圓「：/+（）-1）2=1交于A,B兩點（點A在點B的上方），/與C交于點

D,則AAOF周長的取值范圍是

【答案】（3,4）

【分析】過點。作ZW垂直與拋物線的準線，垂足為點由拋物線的定義得|0I=IDMI,

從而得出AAD尸的周長為IAMl+1,考查直線AM與圓「相切和過圓心F,得出A、D、F

不共線時IAMl的范圍，進而得出MDF周長的取值范圍.

【詳解】如下圖所示：

拋物線C的焦點F(0,1),準線為/：y=T,過點。作垂足為點〃，

由拋物線的定義得QFl=IDMI,圓「的圓心為點F,半徑長為1,

則AAOF的周長L=I陰+∣DF∣+∣AFI=Iml+0M+1=∣AM∣+1,

當直線/與圓「相切時，則點A、8重合，此時A(l,l),∣4M∣=2;

當直線/過點/時.，則點A、D、『三點共線，則IAM=IFM+∣Aq=2