對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

4.4.2對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.掌握對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)2.會應用對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)識圖、比較大小、求定義域等.主要內(nèi)容

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…………-31/81/41/21248-2-10123函數(shù)y=log2x的性質(zhì)(1)函數(shù)y=log2x在定義域(0，+∞)上是___函數(shù),且值域為__;(2)若x>1,則y__0;若x=1,則y=0;若0<x<1,則____;(3)函數(shù)y=log2x與函數(shù)y=2x的圖象關于直線y=x對稱.增R

函數(shù)y=log2xy=log0.5x圖像定義域R+R+值域RR單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)過定點（1，0）（1，0）取值范圍0<x<1時，y<0.x>1時，y>00<x<1時，y>0,x>1時，y<0

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當a>1,x軸上方圖象自上向下，底數(shù)a越來越大.當0<a<1,x軸下方圖象自上向下，底數(shù)a越來越大.

函數(shù)y＝logax(a＞1)y＝logax(0＜a＜1)圖像對數(shù)增減有思路,函數(shù)圖象看底數(shù);底數(shù)只能大于0,等于1來也不行;底數(shù)若是大于1,圖象從下往上增;底數(shù)0到1之間,圖象從上往下減;無論函數(shù)增和減,圖象都過(1,0)點.

函數(shù)y＝logax(a＞1)y＝logax(0＜a＜1)性質(zhì)定義域：_____________值域：___________過點_______，即x＝1時，y＝______.x______1時,y＞0;_________時,y＜0.x______1時，y＜0;_________時,y＞0.單調(diào)性：在(0，＋∞)上是增函數(shù).單調(diào)性：在(0，＋∞)上是減函數(shù).(0，＋∞)R(1,0)0＞＞0＜x＜10＜x＜1

函數(shù)y＝logax(a＞1)y＝logax(0＜a＜1)圖像當x值趨近于正無窮大時,函數(shù)值趨近于正無窮大;當x值趨近于0時,函數(shù)值趨近于負無窮大當x值趨近于正無窮大時,函數(shù)值趨近于負無窮大;當x值趨近于0時,函數(shù)值趨近于正無窮大

1.判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)若f(x)是對數(shù)函數(shù),則f(1)=0.(

√

)(2)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象一定位于y軸的右側(cè).(

√

)(3)若對數(shù)函數(shù)y=log(a-1)x(x>0)是增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是a>1.(

×

)(4)對于y=logax(0<a<1),若0<x<1,則logax>0;若x>1,則logax<0.(

√

)？？？？

2.

函數(shù)y＝ax與y＝logax(a＞0，a≠1)的圖像是什么關系？答：y＝ax與y＝logax互為反函數(shù)，其圖像關于y＝x對稱3.

函數(shù)y＝logax與y＝logx的圖像有什么對稱性？答：y＝logx＝－logax與y＝logax關于x軸對稱．

例1.（1）已知a>0,且a≠1,函數(shù)y=ax與y=loga(-x)的圖象可能是下圖中的(

)解析:方法1:首先,曲線y=ax只可能在上半平面,y=loga(-x)只可能在左半平面,從而排除選項A,D.其次,從單調(diào)性著眼,y=ax與y=loga(-x)的增減性正好相反,又可排除選項C.故選B.

例1.（1）已知a>0,且a≠1,函數(shù)y=ax與y=loga(-x)的圖象可能是下圖中的(

)方法2:若0<a<1,則曲線y=ax下降且過點(0,1),而曲線y=loga(-x)上升且過點(-1,0),所有選項均不符合這些條件.若a>1,則曲線y=ax上升且過點(0,1),而曲線y=loga(-x)下降且過點(-1,0),只有選項B滿足條件.

例1.（2）已知函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)的反函數(shù)為g(x)，則函數(shù)g(x＋1)的圖像是下圖中的(

)解：依題意，g(x)＝logax，g(x＋1)＝loga(x＋1)∴g(0＋1)＝loga1＝0，即y＝g(x＋1)的圖像過點(0,0)，故選A.

例1.（3）當0＜a＜1時，在同一坐標系中，函數(shù)y＝a－x與y＝logax的圖像是(

)

例1.（4）已知a<b,函數(shù)f(x)=(x-a)·(x-b)的圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=logb(x+a)的圖象可能為(

)解析:由題圖可知0<a<1<b,故函數(shù)g(x)為增函數(shù),排除A,D.又0<a<1,結(jié)合選項可知選B.答案:B

原理:∵

當a>1時,圖象上升;當0<a<1時,圖象下降.又當a>1時,a越大,圖象向右越靠近x軸;當0<a<1時,a越小,圖象向右越靠近x軸.

解：∵f(1)＝loga(2×1－1)＝loga1＝0，∴P點的坐標是(1,0)．.

例2.（2）函數(shù)f(x)=loga(x+1)+1(a>0,且a≠1)的圖象恒過定點P,則點P在函數(shù)(

)的圖象上.A.y=3x+2 B.y=4-x2C.y=2x D.y=log2x解析:令x+1=1,得x=0.又f(0)=loga1+1=1.所以P(0,1),將P(0,1)代入各選項,可知只有選項C符合,故選C.答案:C

例2.（3）已知函數(shù)f(x)=loga(x-1)(a>0,且a≠1),則函數(shù)f(x)的圖象必過定點(

)A.(1,0) B.(2,0) C.(0,1) D.(0,2)解析:因為函數(shù)f(x)=loga(x-1)(a>0,且a≠1)的圖象是由對數(shù)函數(shù)y=logax的圖象向右平移1個單位長度得到的,且對數(shù)函數(shù)y=logax的圖象恒過點(1,0),故f(x)的圖象恒過點(2,0).答案:B

方法2:作出y=log1.1x與y=log1.2x的圖象,如圖所示,由兩函數(shù)圖象與直線x=0.7的交點的縱坐標大小可知log1.10.7<log1.20.7.

可知在區(qū)間