河南省南陽市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2023年春期高中二年級期終質(zhì)量評估數(shù)學(xué)試題注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.考生做題時將答案答在答題卡的指定位置上，在本試卷上答題無效.2.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整，筆跡清楚.4.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.5.保持卷面清潔，不折疊、不破損.第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.直線，，的斜率分別為2，1，，傾斜角分別為，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由于，由正切函數(shù)的圖像性質(zhì)可得傾斜角，，的大小關(guān)系.【詳解】由于，由正切函數(shù)的圖像性質(zhì)可知，當時，為增函數(shù)，且，由，可知；當時，為增函數(shù)，且，，所以；所以，選項B正確.故選：B2.函數(shù)在上的最小值為（）A. B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，計算函數(shù)極值以及區(qū)間端點處函數(shù)值，即可求得答案.【詳解】由可得，令，當或時，，當時，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則為函數(shù)的極大值點，為函數(shù)的極小值點，故，故函數(shù)在上的最小值為，故選：C3.某市農(nóng)科所實驗基地現(xiàn)有并排的10塊試驗田，選擇其中的兩塊分別種植，兩種作物，每塊種植一種作物，要求，兩種作物的間隔不小于6塊試驗田，則不同的種植方法共有（）A.12種 B.18種 C.24種 D.36種【答案】A【解析】【分析】分類考慮，兩種作物的間隔的塊數(shù)，根據(jù)分類計數(shù)原理即可求得答案.【詳解】由題意，兩種作物的間隔至少為6塊，至多為8塊，當間隔為6塊時，有種種植方法；當間隔為7塊時，有種植方法；當間隔為8塊時，有種種植方法；故共有種種植方法；故選：A4.設(shè)數(shù)列是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，設(shè)，，，則A，B，C成等比數(shù)列，然后利用等比中項的性質(zhì)可求得答案【詳解】設(shè)，，，公比為，則A，B，C成等比數(shù)列，公比為，且，由條件得，所以，所以.故選：D.5.在單位正方體中，為的中點，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標系，求得相關(guān)點坐標，求得平面的法向量，根據(jù)空間距離的向量求法，即可求得答案.【詳解】如圖，以D為坐標原點，以分別為軸建立空間直角坐標系，則,故，設(shè)平面法向量為，則，令，則，故點到平面的距離為,故選：C6.過坐標原點作圓的兩條切線，切點分別為，，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得為等邊三角形，可得結(jié)果.【詳解】圓化為標準方程為，

其圓心為，半徑為1，

由題意知，,,,,所以,所以.所以,且,所以為等邊三角形，

所以.

故選:C．7.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得需滿足，且在上單調(diào)遞減，結(jié)合導(dǎo)數(shù)。參變分離即可求得答案.【詳解】令，則在上單調(diào)遞減，由題意可得需滿足，且在上單調(diào)遞減，令，則在上恒成立，即在上恒成立，而在上單調(diào)遞減，即，故；經(jīng)檢驗當時，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，符合題意；由，則在上恒成立，所以，故，綜合以上可得，故選：C8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，分別構(gòu)造函數(shù)，，與函數(shù)，，即可比較大小.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，則，因為，當時，，則函數(shù)單調(diào)遞減，則，即，所以，即，構(gòu)造函數(shù)，，則，因為，當時，，則函數(shù)單調(diào)遞增，則，即，所以，即，所以.故選：A二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.若橢圓的離心率為，則實數(shù)的值可能為（）A. B. C. D.4【答案】AD【解析】【分析】分焦點在軸上和軸上兩種情況討論，再根據(jù)條件即可求出結(jié)果.【詳解】因為橢圓的離心率為，當焦點在軸上時，即，得到，由，解得；當焦點在軸上時，即，得到，由，解得.故選：AD.10.設(shè)等差數(shù)列，的前項和分別為，，若，則滿足的的值可能為（）A.2 B.4 C.12 D.14【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，由，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為等差數(shù)列，的前項和分別為，，且，則，因為，則，所以，且，則舍，所以的可能值為.故選：ABD11.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用二項式的通項公式及導(dǎo)數(shù)與賦值法即可得解.【詳解】,,A錯誤B正確；，令得：，C錯誤D正確；故選:BD.12.定義在上的函數(shù)滿足恒成立，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)可以判斷出在上單調(diào)遞減，結(jié)合選項逐一檢驗即可.【詳解】，，即，等價于，構(gòu)造函數(shù)，則，即在上單調(diào)遞減，，，即，化簡得，故A選項正確，B選項錯誤；，，即，化簡得，故C選項正確，D選項錯誤；故選：AC第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知為等差數(shù)列的前項和，若，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，利用等差數(shù)列的求和公式，求得，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由為等差數(shù)列前項和，因為，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，可得，解得，又由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，所以.故答案為：.14.曲線在處的切線方程為______.【答案】【解析】【分析】先求出函數(shù)在處的函數(shù)值，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求.【詳解】，則，，所以，即切線的斜率，所以切線方程為，即故答案為：15.已知為雙曲線的右焦點，為雙曲線右支上的一點，且的三個內(nèi)角，，成等差數(shù)列（公差，則雙曲線的離心率______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)條件求出，，，從而得到，再利用點在雙曲線上和，建立方程即可求出結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)，因為的三個內(nèi)角，，成等差數(shù)列（公差），所以，又，解得，，，又，所以，故，即，由題有，又

，代入，得到，化簡得到，解得或（舍棄），所以.故答案為：.16.記為正整數(shù)的最大奇因數(shù)，如，，設(shè)，則______；______【答案】①.22②.【解析】【分析】由題意可得，，從而求出；且推出，可得.【詳解】由題意可得，，，，；，所以，即，所以.故答案為：22；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是由已知遞推出，考查了學(xué)生的思維能力、計算能力.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.某收費APP（應(yīng)用程序）自上架以來，憑借簡潔的界面設(shè)計?方便的操作方式和強大的實用功能深得用戶的喜愛.該APP所在的公司統(tǒng)計了用戶一個月月租減免的費用（單位：元）及該月對應(yīng)的用戶數(shù)量（單位：萬人），得到如下數(shù)據(jù)表格：用戶一個月月租減免的費用（元）34567用戶數(shù)量（萬人）11.11.51.92.2已知與線性相關(guān).（1）求關(guān)于線性回歸方程；（2）據(jù)此預(yù)測，當月租減免費用為10元時，該月用戶數(shù)量為多少？參考公式：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，【答案】（1）（2）萬人【解析】【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，先求得，然后利用公式計算回歸方程中的系數(shù)，得到回歸方程；（2）利用回歸方程估計.【小問1詳解】解：由有，故關(guān)于的線性回歸方程為；【小問2詳解】解：由（1）知回歸方程為，當時，，所以預(yù)測該月的用戶數(shù)量為萬人.18.為了解同學(xué)們對數(shù)學(xué)感興趣程度，現(xiàn)對某校高二年級不同分數(shù)段（滿分150分）的學(xué)生對數(shù)學(xué)感興趣程度進行調(diào)查（只有感興趣和不感興趣兩個選項且每人必須選擇其中一項），隨機抽調(diào)了50人，各分數(shù)段頻數(shù)（單位：人）及對數(shù)學(xué)感興趣人數(shù)如下表：成績頻數(shù)510151055感興趣人數(shù)135745（1）根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否有99.9%的把握認為“該校高二年級學(xué)生對數(shù)學(xué)的感興趣程度與成績不低于110分有關(guān)”?成績低于110分不低于110分合計感興趣不感興趣合計50（2）若在成績?yōu)榉謹?shù)段并且對數(shù)學(xué)感興趣的同學(xué)中隨機抽取4人，求成績來自這一分數(shù)段的人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：，P0.0500.0250.010.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析；有（2）分布列見解析；【解析】【分析】（1）由題意可得列聯(lián)表，計算的值，與臨界值表比較，即得結(jié)論；（2）確定變量X的取值，求得每個值對應(yīng)的概率，可得分布列，根據(jù)期望公式求得期望.【小問1詳解】由題意得：成績低于110分不低于110分合計感興趣91625不感興趣21425合計302050則，故有99.9%的把握認為“該校高二年級學(xué)生對數(shù)學(xué)的感興趣程度與成績不低于110分有關(guān)”.【小問2詳解】由題意知的取值可能為，則，，，則的分布列為：X0123P故.19.已知數(shù)列的前項和為，且（），（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出首項，繼而當時利用遞推式推出數(shù)列是以1為首項，2為公比等比數(shù)列，即可求得答案；（2）求出的表達式，利用錯位相減法即可求得答案.【小問1詳解】當時，，當時，，故，故數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，故；【小問2詳解】由（1）得，故，則，故，則20.三棱柱中，平面平面，是等邊三角形，，，.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由，，，得到，再利用面面垂直的性質(zhì)定理和判定定理證明；（2）建立空間直角坐標系，分別求得平面的一個法向量為和平面的一個法向量，由求解.【小問1詳解】因為，，，所以，則，即，所以，因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】建立如圖所示空間直角坐標系：則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，得到，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，得到，則，所以，又二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為.21.已知拋物線：的焦點為，過軸正半軸上一點的直線與拋物線交于、兩點，為坐標原點，且.（1）求點的坐標；（2）設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，求四邊形面積的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，結(jié)合數(shù)量積的坐標表示，列式計算，即得答案.（2）利用，結(jié)合求得，求得四邊形面積的表達式，結(jié)合基本不等式即可求得答案.【小問1詳解】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，需滿足，設(shè)，則，由于，由可得，解得或（舍去），則過軸正半軸上一點，即點的坐標為.【小問2詳解】由題意知，結(jié)合（1）知，不妨設(shè)，則，由于關(guān)于對稱，故，故，當且僅當時，即時，等號成立，故四邊形面積的最小值為.【點睛】關(guān)鍵點睛：求解四邊形面積的最小值時，關(guān)鍵是求出四邊形面積的表達式，即利用，進而結(jié)合，求得表達式，然后結(jié)合基本不等式求解.22.已知函數(shù)（）有兩個零點.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求得函數(shù)導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)值情況，即可求得答案.（2）利用函數(shù)零點知識可得，令，從而將證