2023年湖南省長沙市中考數(shù)學試卷真題（含答案）

2023年長沙市初中學業(yè)水平考試試卷

數(shù)學

注意事項：

i.答題前，請考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，并認真核對條形碼上的姓名、準考證號、考室和

座位號；

2.必須在答題卡上答題，在草稿紙、試題卷上答題無效；

3.答題時，請考生注意各大題題號后面的筵題提示；

4.請勿折疊答題卡，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔；

5.答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙；

6.本學科試卷共25個小題，考試時量120分鐘，滿分120分.

一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的.請在答題卡中填涂符合題意的選項.本大

題共10個小題，每小題3分，共30分）

1.下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）

A.-B.7TC.-1D.0

7

2.下列圖形中，是軸對稱圖形的是（）

3.下列計算正確的是（）

A.x2-x3=X5B.（?。?=彳6c.A,（X+1）=X2+1D.（2a-1），=4/-I

4.下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）

A.1,3,4B.2,2,7C.4,5,7D.3,3,6

5.2022年，長沙市全年地區(qū)生產總值約為1400000000000元，比上年增長4.5%.其中數(shù)據1400000000000

用科學記數(shù)法表示為（）

A.1.4xl012B.0.14xl013C.1.4x10*D.14x10"

6.如圖，直線加//直線〃，點Z在直線〃上，點3在直線機上，連接過點Z作/CJ_Z8,交直線，”于

長沙市初中學業(yè)水平考試數(shù)學試卷第1頁/共8頁

點C.若Nl=40。，則N2的度數(shù)為（)

第6題圖第7題圖

7.長沙市某一周內每口最高氣溫情況如圖所示，下列說法中，箱送的是（）

A.這周最高氣溫是32℃B.這組數(shù)據的中位數(shù)是30

C.這組數(shù)據的眾數(shù)是24D.周四與周五的最高氣溫相差8℃

8.不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（)

x-l<0

——111A--11?~A---1——?--'——

-2-101-2-101-2-101-2-101

A.B.C.D.

9.下列一次函數(shù)中，歹隨x的增大而減小的函數(shù)是（）

A.y-2x+\B.y=x-4C.y-2xD.y=-x+1

10.“千門萬戶瞳瞳日，總把新桃換舊符”.春節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日，古人常用寫“桃符”的方式來祈福

避禍，而現(xiàn)在，人們常用貼“?！弊帧①N春聯(lián)、掛燈籠等方式來表達對新年的美好祝愿.某商家在春節(jié)期間

開展商品促銷活動，顧客凡購物金額滿100元，就可以從“?！弊帧⒋郝?lián)、燈籠這三類禮品中免費領取一

件.禮品領取規(guī)則：顧客每次從裝有大小、形狀、質地都相同的三張卡片（分別寫有“福”字、春聯(lián)、燈籠）

的不透明袋子中，隨機摸出一張卡片，然后領取一件與卡片上文字所對應的禮品.現(xiàn)有2名顧客都只領取了

一件禮品，那么他們恰好領取同一類禮品的概率是（）

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.分解因式：a2-100=.

12.睡眠管理作為“五項管理”中重要的內容之一，也是學校教育重點關注的內容.某老師了解到班上某位

學生的5天睡眠時間（單位：小時）如下：10,9,10,8,8,則該學生這5天的平均睡眠時間是

長沙市初中學業(yè)水平考試數(shù)學試卷第2頁/共8頁

小時.

13.如圖，已知乙4BC=50。，點。在8/上，以點5為圓心，8。長為半徑畫弧，交8c于點￡,連接。E,

則NBDE的度數(shù)是度.

第13題圖第14題圖第15題圖

14.如圖，在平面直角坐標系中，點4在反比例函數(shù)y=（（"為常數(shù)，k>0,x>0）的圖象上，過點4作

X

x軸的垂線，垂足為B,連接04若△048的面積為吧，則％=

12-----------

15.如圖，點4B,C在半徑為2的。。上，N4cB=60。，ODLAB,垂足為E,交。。于點。，連接O/,

則OE的長度為.

16毛澤東在《七律二首?送瘟神》中寫道“坐地日行八萬里，巡天遙看一千河”.我們把地球赤道看成一個

圓，這個圓的周長大約為“八萬里”.對宇宙千百年來的探索與追問，是中華民族矢志不渝的航天夢想.從

古代詩人屈原發(fā)出的《天問》，到如今我國首次火星探測任務被命名為“天問一號”，太空探索無止境，

偉大夢想不止步.2021年5月15日，我國成功實現(xiàn)火星著陸.科學家已經探明火星的半徑大約是地球半徑的

若把經過火星球心的截面看成是圓形的，則該圓的周長大約為萬里.

2-----------

三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、23題每

小題9分，第24、25題每小題10分，共72分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

17.計算：|-V2|+(-2023)0-2sin45o-^j.

長沙市初中學業(yè)水平考試數(shù)學試卷第3頁/共8頁

18.先化簡，再求值：（2-a）（2+a）-2a（a+3）+3/,其中a=-；.

19.2023年5月30日9點31分，“神舟十六號”載人飛船在中國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，成功把景海

鵬、桂海潮、朱楊柱三名航天員送入到中國空間站.如圖，在發(fā)射的過程中，飛船從地面。處發(fā)射，當飛

船到達/點時，從位于地面C處的雷達站測得/C的距離是8km,仰角為30。；10s后飛船到達8處，此時

測得仰角為45°.

（1）求點/離地面的高度40:

（2）求飛船從Z處到8處的平均速度.

（結果精確到0.lkm/s,參考數(shù)據：6=1.73）

長沙市初中學業(yè)水平考試數(shù)學試卷第4頁/共8頁

20.為增強學生安全意識，某校舉行了一次全校3000名學生參加的安全知識競賽.從中隨機抽取八名學生

的競賽成績進行了分析,把成績(滿分為100分，所有競賽成績均不低于60分)分成四個等級(D60Mx<70；

C：70<x<8()：B：80Vx<90；A：90<x<100),并根據分析結果繪制了不完整的頻數(shù)分布直方圖和扇形

統(tǒng)計圖.

請根據以上信息，解答下列問題：

(1)填空：n=,m=；

(2)請補全頻數(shù)分布直方圖：

(3)扇形統(tǒng)計圖中8等級所在扇形的圓心角度數(shù)為度;

(4)若把4等級定為“優(yōu)秀”等級，請你估計該校參加競賽的3000名學生中達到“優(yōu)秀”等級的學生人

數(shù).

21.如圖，AB=AC,CDLAB,BELAC,垂足分別為。，E.

(1)求證：△ABEWaACD；

(2)若AE=6,CD=8,求8。的長.

長沙市初中學業(yè)水平考試數(shù)學試卷第5頁/共8頁

22.為提升學生身體素質，落實教育部門“在校學生每天鍛煉時間不少于1小時”的文件精神.某校利用課

后服務時間，在八年級開展“體育賦能，助力成長”班級籃球賽，共16個班級參加.

（1）比賽積分規(guī)定：每場比賽都要分出勝負，勝一場積3分，負一場積1分.某班級在15場比賽中獲得總

積分為41分，問該班級勝負場數(shù)分別是多少？

（2）投籃得分規(guī)則：在3分線外投籃，投中一球可得3分，在3分線內（含3分線）投籃，投中一球可得

2分.某班級在其中一場比賽中，共投中26個球（只有2分球和3分球），所得總分不少于56分，問該班

級這場比賽中至少投中了多少個3分球？

23.如圖，在O8C。中，。尸平分/ZOC,交BC于點、E,交48的延長線于點尺

（1）求證：AD=AF；

（2）若AO=6,AB=3,NA=120。，求8F的長和△/￡）廠的面積.

長沙市初中學業(yè)水平考試數(shù)學試卷第6頁/共8頁

24.如圖，點N,B,C在。。上運動，AB-=BC2+AC2,延長AC至點。，使得NOBC=NC4B,點

￡是弦/C上一動點（不與點4C重合），過點E作弦的垂線，交4B于點F,交8c的延長線于點N,

交。。于點M（點A/在劣弧AC上）.

（1）8。是。。的切線嗎？請作出你的判斷并給出證明；

（2）記△8￡>C,AABC,△ND5的面積分別為Si,S,若耳心=叢）？，求（tan。）2的值；

（3）若。。的半徑為1,設FM=x,FE-FN-]~?—+—!—=y,試求y關于x的函數(shù)解析式，并

\BCBNAEAC

寫出自變量x的取值范圍.

長沙市初中學業(yè)水平考試數(shù)學試卷第7頁/共8頁

2

25.我們約定：若關于x的二次函數(shù)％=a*+&X+C］與y2-a2x+b1x+c1同時滿足加一q+

山+々)2+,2-4|=0，他-年產、0,則稱函數(shù)"與函數(shù)/耳為''美美與共”函數(shù).根據該約定，解答

下列問題：

(1)若關于x的二次函數(shù)y=2/+&+3與%=w?+x+〃互為"美美與共”函數(shù)，求匕m,〃的值；

(2)對于任意非零實數(shù)r,s,點P(rj)與點。(sj)(r*s)始終在關于x的函數(shù)y=V+2rx+s的圖象上運

動，函數(shù)也與"互為“美美與共”函數(shù).

①求函數(shù)次的圖象的對稱軸；

②函數(shù)為的圖象是否經過某兩個定點？若經過某兩個定點，求出這兩個定點的坐標；否則，請說明理由；

(3)在同一平面直角坐標系中，若關于x的二次函數(shù)x=4Y+bx+c與它的“美美與共”函數(shù)次的圖象頂

點分別為點4點8,函數(shù)，的圖象與x軸交于不同兩點C,D,函數(shù)及的圖象與x軸交于不同兩點E,

F.當CD=EF時，以4B,C,為頂點的四邊形能否為正方形？若能，求出該正方形面積的取值范圍；若

不能請說明理由.

長沙市初中學業(yè)水平考試數(shù)學試卷第8頁/共8頁

2023年長沙市初中學業(yè)水平考試試卷

數(shù)學

注意事項：

1.答題前，請考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，并認真核對條形碼上的姓名、準考證號、考室和

座位號；

2.必須在答題卡上答題，在草稿紙、試題卷上答題無效；

3.答題時，請考生注意各大題題號后面的筵題提示；

4.請勿折疊答題卡，保持字體工整、筆遨清晰、卡面清潔；

5.答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙；

6.本學科試卷共25個小題，考試時量120分鐘，滿分120分.

一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的.請在答題卡中填涂符合題意的選項.本大

題共10個小題，每小題3分，共30分）

I.下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（B）

A.-B.TVC.-1D.0

7

2.下列圖形中，是軸對稱圖形的是（D）

3.下列計算正確的是（A）

A.x2-x3=x5B.（x3）3=x6C.X（A+1）=x2+1D.（2a-l）2=4a2-1

4.下列長度的三條線段，能組成三角形的是（C）

A.1,3,4B.2,2,7C.4,5,7D.3,3,6

5.2022年，長沙市全年地區(qū)生產總值約為1400000000000元，比上年增長4?5%.其中數(shù)據1400000000000

用科學記數(shù)法表示為（A）

A.1.4xlO12B.0.14xl013C.1.4xl013D.14x10"

6.如圖，直線m〃直線”，點N在直線〃上，點B在直線上，連接過點4作交直線于

長沙市初中學業(yè)水平考試數(shù)學試卷第1頁/共8頁

點C.若Nl=40。，則/2的度數(shù)為（c）

A.30°B.40°C.50°

第6題圖第7題圖

7.長沙市某一周內每口最高氣溫情況如圖所示，下列說法中，塔送的是（B）

A.這周最高氣溫是32℃B.這組數(shù)據的中位數(shù)是30

C.這組數(shù)據的眾數(shù)是24D.周四與周五的最高氣溫相差8℃

8.不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（A）

--?L4-A---------?iI~'a---------'——'---!?

-2-101-2-101-2-101-2-101

A.B.C.D.

9.下列一次函數(shù)中，y隨x的增大而減小的函數(shù)是（D）

A.y=2x+1B.y=x-4C.y=2xD.y=-x+l

10.“千門萬戶瞳瞳日，總把新桃換舊符”.春節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日,古人常用寫“桃符”的方式來祈福

避禍，而現(xiàn)在，人們常用貼“?！弊帧①N春聯(lián)、掛燈籠等方式來表達對新年的美好祝愿.某商家在春節(jié)期間

開展商品促銷活動，顧客凡購物金額滿100元，就可以從“福”字、春聯(lián)、燈籠這三類禮品中免費領取一

件.禮品領取規(guī)則：顧客每次從裝有大小、形狀、質地都相同的三張卡片（分別寫有“福”字、春聯(lián)、燈籠）

的不透明袋子中，隨機摸出一張卡片，然后領取一件與卡片上文字所對應的禮品.現(xiàn)有2名顧客都只領取了

一件禮品，那么他們恰好領取同一類禮品的概率是（C>

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11.分解因式：a2-100=（a+io）（a-10）

12.睡眠管理作為“五項管理”中重要的內容之一，也是學校教育重點關注的內容.某老師了解到班上某位

學生的5天睡眠時間（單位：小時）如下：10,9,10,8,8,則該學生這5天的平均睡眠時間是9

長沙市初中學業(yè)水平考試數(shù)學試卷第2頁/共8頁

小時.

13.如圖，已知NABC=50。，點。在歷1上，以點8為圓心，8。長為半徑畫弧，交BC于點、E,連接DE,

則/8DE的度數(shù)是65度.

第13題圖第14題圖第15題圖

14.如圖，在平面直角坐標系中，點/在反比例函數(shù)y=±（A為常數(shù)，k>0,x>0）的圖象上，過點力作

xJ2

X軸的垂線，垂足為5,連接04若△0/8的面積為貝也=6

12——

15.如圖，點4,B,C在半徑為2的。。上，ZACB=60°,ODLAB,垂足為E,交。。于點，連接。4,

則0E的長度為1.

16毛澤東在《七律二首?送瘟神》中寫道“坐地日行八萬里，巡天遙看一千河”.我們把地球赤道看成一

個圓，這個圓的周長大約為“八萬里”.對宇宙千百年來的探索與追問，是中華民族矢志不渝的航天夢想.

從古代詩人屈原發(fā)出的《天問》，到如今我國首次火星探測任務被命名為“天問一號”，太空探索無止境

偉大夢想不止步.2021年5月150,我國成功實現(xiàn)火星著陸.科學家已經探明火星的半徑大約是地球半徑的二分

之一，若把經過火星球心的截面看成是圓形的，則該圓的周長大約為4萬里.

---------------------------------------------------------------------

三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、23題每

小題9分，第24、25題每小題10分，共72分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

-2sin45°-W.

17.計算:卜閩+(-2023)"

解：Ktjt=y2+i-y2-2=~i

長沙市初中學業(yè)水平考試數(shù)學試卷第3頁/共8頁

18.先化簡，再求值：(2-a)(2+a)-2a(a+3)+3/,其中a=-§.

解：原式=4-a?-2a2-6a+3a2=4-6a

把a=TL代入得：4-6a=4+2=6

o

19.2023年5月30日9點31分，“神舟十六號”載人飛船在中國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，成功把景海

鵬、桂海潮、朱楊柱三名航天員送入到中國空間站.如圖，在發(fā)射的過程中，飛船從地面。處發(fā)射，當飛

船到達4點時，從位于地面C處的雷達站測得4c的距離是8km,仰角為30。；10s后飛船到達8處，此時

測得仰角為45。.

（1）求點/離地面的高度z。；A0=4km

（2）求飛船從4處到5處的平均速度.

（結果精確到0.Ikm/s,參考數(shù)據：拒x1.73）

(2)0C=0B=4v3nAB=4^/3-4^2.92km

?AB473-4八,

VAB=-=-=83km/s

答：飛船從A到B處的平均速度為0.3km/s

長沙市初中學業(yè)水平考試數(shù)學試卷第4頁/共8頁

20.為增強學生安全意識，某校舉行了一次全校3000名學生參加的安全知識競賽.從中隨機抽取〃名學生

的競賽成績進行了分析，把成績（滿分為100分，所有競賽成績均不低于60分）分成四個等級（D60<A<70；

C：70<x<80；B：80<x<90；A：904x4100）,并根據分析結果繪制了不完整的頻數(shù)分布直方圖和扇形

統(tǒng)計圖.

請根據以上信息，解答下列問題：

（）填空：n

1=150,tn=36.

（2）請補全頻數(shù)分布直方圖；

（3）扇形統(tǒng)計圖中8等級所在扇形的圓心角度數(shù)為1二44L度；

（4）若把4等級定為“優(yōu)秀”等級，請你估計該校參加競賽的3000名學生中達到“優(yōu)秀”等級的學生人

數(shù)?480人

21.如圖，AB=AC,CDLAB,BE±AC,垂足分別為。，E.

(1)求證：ziMBE名△ACO；

(2)若AE=6,8=8,求80的長.

(1)證明：{AB=AC;NA=NA;/AEB=NADC=90°}

^>AABE=AACD

(2)AC=AB=10AD=AE=6OBD=AB-AD=4

長沙市初中學業(yè)水平考試數(shù)學試卷第5頁/共8頁

22.為提升學生身體素質，落實教育部門“在校學生每天鍛煉時間不少于1小時”的文件精神.某校利用課

后服務時間，在八年級開展“體育賦能，助力成長”班級籃球賽，共16個班級參加.

(1)比賽積分規(guī)定：每場比賽都要分出勝負，勝一場積3分，負一場積1分.某班級在15場比賽中獲得總

積分為41分，問該班級勝負場數(shù)分別是多少？

(2)投籃得分規(guī)則：在3分線外投籃，投中一球可得3分，在3分線內(含3分線)投籃，投中一球可得

2分.某班級在其中一場比賽中，共投中26個球(只有2分球和3分球)，所得總分不少于56分，問該班

級這場比賽中至少投中了多少個3分球？

(1)設該班勝X場，則負15-X場

3X+15-X=41/.X=13

答：該班勝13場負2場

(2)設投進3分球為m個，則投進2分球為26-m

，3m+2(26-m)N56

.?.至少投進4個3分球

答：該班至少投進4個3分球

23.如圖，在588中，平分N/CC,交BC于點、E,交Z8的延長線于點尺

(1)求證：AD=AF；H

(2)若AO=6,AB=3,4=120。，求8尸的長和△4。尸的面積.

(1)證明：DF平分NADC=>NADF=NCDF

AFIICD=>ZAFD=ZCDF

r.ZAFD=ZADF

AAD=AF

(2)解：延長FA,作HD_LFH,垂足為H

AD=AF=6AB=3=>BF=AF-AB=3

ZFAD=120°=>ZHAD=60°

；.DH=3萬

???SMDF=%AF?DH=9、JG

長沙市初中學業(yè)水平考試數(shù)學試卷第6頁/共8頁

24.如圖，點/,B,C在。。上運動，m&AB2^BC2+AC2,延長/C至點。，使得NOBC=NC48,點

￡是弦NC上一動點(不與點小C重合)，過點￡作弦力8的垂線，交AB于點、F,交8c的延長線于點N,

交。。于點"(點M在劣弧4c上).

(1)8。是的切線嗎？請作出你的判斷并給出證明:

(2)記△8QC,AABC,的面積分別為$,S”S,若S「S=(sJ,求(tan。？的值；

(3)若0O的半徑為1,設尸M=x,FEFN-J1+——=y,試求y關于x的函數(shù)解析式，并

\BCBNAEAC

寫出自變量x的取值范圍.

(DAB^^+AC2A,B,C/E|M|1：=>ZACB=90°AB為汽徑

:.NA+NABC=90°

ZA=ZDBC

AZA+ZDBC=90-=>BD±AB

；.BD為切線

(2)Si=*DC?BCS2=^AOBCS=/(DC+AC)-BC

Si?S=(S2f=>DC?+A—IXHAC2=>DC2+BCZ=ACZ

DC2AC2?，一11+&

■?—r+l=設vtanND=a=>_+l=az=>a2=--—

BC2BC2a22

(3)AABC-ANBF=>BC*BN=AB"BF

△ABC-AAEF=>AE-AC=AB-AF

AAEF-ANBF=>EF?FN=BF?AF

BF-AF=FMZ=XZ

.*.Y=X(O<X<1)

長沙市初中學業(yè)水平考試數(shù)學試卷第7頁/共8頁

2

25.我們約定：若關于x的二次函數(shù),=%犬+blx+cl與y2=a2x+b2x+c2同時滿足yja2-ct+

223

(b2+b1)+|c2-a,|=0,(bt-b2f0,則稱函數(shù)yi與函數(shù)耳為“美美與共”函數(shù).根據該約定，解答

下列問題：

(1)若關于x的二次函數(shù)y=2x?+履+3與%="a。+x+“互為"美美與共”函數(shù)，求左，"?，〃的值；

(2)對于任意非零實數(shù)r,s,點P(〃)與點。(s/)(rxs)始終在關于x的函數(shù)y=x2+2rr+s的圖象上運

動，函數(shù)以與川互為“美美與共”函數(shù).

①求函數(shù)次的圖象的對稱軸；

②函數(shù)外的圖象是否經過某兩個定點？若經過某兩個定點，求出這兩個定點的坐標；否則，請說明理由：

(3)在同一平面直角坐標系中，若關于x的二次函數(shù)x=a/+hx+c與它的“美美與共”函數(shù)次的圖象頂

點分別為點/，點8,函數(shù)川的圖象與x軸交于不同兩點C,D,函數(shù)刃的圖象與x軸交于不