中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：巧用杠桿原理求解幾何比值問題

巧用杠桿原理求解幾何比值問題利用初二物理中介紹的杠桿平衡原理：“動力×動力臂＝阻力×阻力臂”可妙求幾何線段的比值，現(xiàn)舉數(shù)例說明如下：一、課本習(xí)題例1已知：如圖1，AD是△ABC的中線，E是AD的中點，F(xiàn)是BE的延長線與AC的交點，求AF：FC．解①觀察以D為支點的系統(tǒng)BDC．由于DB＝DC，故B.C點各掛a牛頓重物，D點受力2a牛頓，這時系統(tǒng)BDC才能達到平衡狀態(tài)．②觀察以E為支點的系統(tǒng)DEA．由EA＝ED，故在A處掛2a牛頓重物，系統(tǒng)DEA才能達到平衡．由于D點受力2a牛頓，因此E點受力4a牛頓．③觀察以E為支點的系統(tǒng)BEF．由于B點受力a牛頓，E點受力4a牛頓，故F點受力3a牛頓，這時系統(tǒng)BEF才能達到平衡狀態(tài)．④觀察F為支點的系統(tǒng)AFC．由于A點受力的2a牛頓，C點受力為a牛頓，F(xiàn)點受力為3a牛頓，正好F點受力為A點和C點受力之和，因而系統(tǒng)AFC處于平衡狀態(tài)，所以有2a．AF＝a．FC，∴AF：FC＝1：2．二、中考試題例2已知：如圖2，△ABC中，AE：EB＝1：3，BD：DC＝2：1，AD與CE相交于點F，則的值為()(A) (B)1 (C) (D)2解①觀察系統(tǒng)BDC．若在B點掛a牛頓，則由于BD：DC＝2：1，所以需在C點掛2a牛頓，這樣系統(tǒng)BDC就能達到平衡狀態(tài)，此時支點D受力應(yīng)為3a牛頓．②觀察系統(tǒng)AEB．由于AE：EB＝1：3．且B點受力a牛頓，故A點受力應(yīng)為3a牛頓，這樣要使系統(tǒng)AEB達到平衡狀態(tài)，那么支點E受力應(yīng)為a＋3a＝4a（牛頓）．③觀察系統(tǒng)AFD．因為A點受力3a牛頓，D點受力3a牛頓，故要使系統(tǒng)，4FD達到平衡狀態(tài)，則支點F受力應(yīng)為3a＋3a＝6a（牛頓）．④觀察系統(tǒng)CFE．由于C點受力2a牛頓，E點受力4a牛頓，所以2a＋4a＝6a（牛頓），正好等于支點F的受力，因而系統(tǒng)CFE處于平衡狀態(tài)．從而有三、解競賽題例3如圖3，△ABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)為AD上的一點，且AF：FD＝1：5．連結(jié)CF并延長交AB于點E，則AE：EB等于()(A)1：6 (B)1：8(C)1：9 (D)1：10解①觀察以D為支點的系統(tǒng)BDC．由于D為BC邊的中點，故DB＝DC，所以B.C點各掛a牛頓重物，D點受力為2a牛頓，這時系統(tǒng)BDC才能達到平衡狀態(tài)．②觀察以F為支點的系統(tǒng)DFA．由于AF：FD＝1：5，故由杠桿平衡原理知：2a牛頓·FD＝x·AF，故x＝10a牛頓，即A點受力為10a牛頓，要使系統(tǒng)DFA達到平衡，那么F點受力為12a牛頓．③觀察以F為支點的系統(tǒng)CFE．由于C點受力a牛頓，F(xiàn)點受力12a牛頓，因此，要使系統(tǒng)CFE平衡，那么E點受力為11a牛頓，此時E點受力正好是系統(tǒng)AEB的A點和B點受力之和，所以有：AE．10a＝BE·a．AE：BE＝1：10．故選D．例4如圖4，已知△ABC中，，，AD.BE交于點F，則的值是()(A) (B)(C) (D)解①觀察系統(tǒng)BDC．若在B點掛3a牛頓重物，由于BD：DC＝2：3，所以需在C點掛2a牛頓重物．這樣系統(tǒng)BDC就能達到平衡狀態(tài)，此時支點D受力應(yīng)為5a牛頓．②觀察系統(tǒng)AEC．由于AE：EC＝3：4．且C點受力為2a牛頓，故由杠桿平衡原理知x·AE＝2a．EC，∴x＝a牛頓，即A點受力為a牛頓．因此，要使系統(tǒng)AEC達到平衡狀態(tài)，則支點E受力應(yīng)為a牛頓＋2a牛頓＝a牛頓．③觀察系統(tǒng)BFE．因為B點受力3a牛頓，E點受力a牛頓，故要使系統(tǒng)BFE達到平衡狀態(tài)，則支點F受力為3a牛頓＋a牛頓＝a牛頓．④觀察系統(tǒng)AFD，由于A點受力為a牛頓，D點受力為5a牛頓，所以a牛頓＋5a牛頓＝a牛頓，正好等于支點F的受力，因而系統(tǒng)AFD處于平衡狀態(tài)．從而有綜上可知：應(yīng)用杠桿平衡原理解幾何比值問題，雖然有點繁，但方法富有規(guī)律，若用純幾何方法求解，則不僅要作輔助線，而且還要通過三角形的相似，經(jīng)過比例變形及運算才能求得結(jié)果．這類問題之所以能用杠桿平衡原理來解，其關(guān)鍵在于可將圖形中的