中考數(shù)學(xué)二輪提升真題練習(xí) 幾何模型-三角形中的旋轉(zhuǎn)模型（解析版）

專題11幾何模型（1）一三角形中的旋轉(zhuǎn)模型

【問(wèn)題引入】

當(dāng)題中出現(xiàn)等腰三角形的條件但是不好使用時(shí)，可以考慮利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造輔助線，通過(guò)

構(gòu)造等腰三角形得到手拉手全等，利用全等轉(zhuǎn)移邊角進(jìn)行解題

旋轉(zhuǎn)三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角、旋轉(zhuǎn)方向

旋轉(zhuǎn)對(duì)象：一般是含已知條件或問(wèn)題相關(guān)的邊角所在三角形

如何轉(zhuǎn)：確定旋轉(zhuǎn)三角形后，考慮由旋轉(zhuǎn)三角形中的腰旋轉(zhuǎn)至與另一腰重合，整個(gè)三角形

進(jìn)行同樣的旋轉(zhuǎn)

旋轉(zhuǎn)后的圖形分析：I、從新構(gòu)造的全等三角形進(jìn)行分析；2、從新得到的等腰三角形進(jìn)行

分析

【題型一：常見旋轉(zhuǎn)模型之鄰補(bǔ)模型】

條件構(gòu)成：有兩鄰邊相等的四邊形，且四邊形對(duì)角互補(bǔ)，且一般等腰三角形頂角為特殊角。

ZDAB+ZDCB=180o,AD=AB

常見結(jié)論：1、有角平分線；2、有線段和差的倍數(shù)關(guān)系

解題方法：1、作雙垂；2、構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等

①90。

相關(guān)結(jié)論:1、AC平分

ZBCD

2、BC+CD=Λ∕2AC

②60°

D

相關(guān)結(jié)論：1、AC

平分NBCD

2、BC+CD=AC

③120°

C

D

EV二

AB

AB

相關(guān)結(jié)論：1、AC平分NBCD

2、Be+CD=VSAC

補(bǔ)充說(shuō)明：對(duì)角互補(bǔ)、鄰邊相等、角平分線三個(gè)條件知到其中兩個(gè)就可求另外第三個(gè)，輔

助線的構(gòu)造與三角形全等相同，但是全等判定會(huì)有差異，需要根據(jù)具體情況判

斷

【例】如圖，在Rt和RtZ?8切中，NBAC=∕BDC=9Q°，BC=8,AB=AC,NCBD=30°,

?9=4√3.M,N分■物在BD,CDh,ZMV=45°,則△〃腸V的周長(zhǎng)為

【解析】將△羔V繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到如圖:

AABE=AACD,AEAB=ACAN,

VZ?4C=Zi9=90o,

ΛZ∕lβ9<-Z∕lfl9=360o-90°-90°=180°,

：.NAB*NABE=T8。。,

：.E,8,材三點(diǎn)共線,

?/ZJW=45o,NBAe=90°,

.,.AEAM=ΛEAB^ZBA^ΛCA^ΛBAM=ABAC-Z,?MΛ^90o-45°=45°,

.?.ZEAlf=ZMV,

在△/&/和W中,

(AE=AN

??EAM=?NAM,

(AM=AM

；.△/!附陽(yáng)(S4S),

：.MN=ME,

：.MN=CgBM,

?.?在Rtz?6G9中，NBDC=90°,ZGS>=30o,50=4√3,CD=BDXtanZCBD=4,

：.△用價(jià)'的周長(zhǎng)為D冰D2MN=DmDNtrB必CN=BHDc=454,

故答案為：4-√f3+4.

【練1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xθy中，A,B兩點(diǎn)分別在X軸，y軸的正半軸上，且OA=OB,

點(diǎn)C在第一象限，0C=3,連接BC,AC,若∕BCA=90°,則BC+AC的值為.

【答案】3/

【解析】

將△(?(；繞0點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°,

?.?OB=OA

點(diǎn)B落在A處，點(diǎn)C落在D處

且有OD=OC=3,ZC0D=90o,ZOAD=ZOBC,

在四邊形OACB中

,/ZB0A=ZBCA=90o,

ΛZ0BC+Z0AC=180o,

ΛZ0AD+Z0AC=180o

ΛC>A、D三點(diǎn)在同一條直線上，

.?.aOCD為等要宜角三角形，根據(jù)勾股定理

CD2=0C2+0D2

即CD2=32+32=18

解得CD=3√2

即BC+AC=3√2.

【練2】如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將線段BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BQ,

連接AQ.若PA=4,PB=5,PC=3,則四邊形APBQ的面積為.

【答案】述+6

4

【解析】解：如圖，連接PQ,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BP=BQ,

又「NPBQ=60。，

/.△BPQ是等邊三角形，

PQ=BP,

在等邊三角形ABC中，ZCBA=60o,AB=BC,

.*.ZABQ=60o-ZABP

NCBP=60°-ZABP

ΛZABQ=ZCBP

在aABQ與aCBP中

(BQ=BP

j/ABQ=/CBP

IAB=CB

ΛΔΛBQ^ΔCBP(SAS),

ΛAQ=PC,

又：PA=4,PB=5,PC=3,

.?.PQ=BP=5,PC=AQ=3,

在ZkAPQ中,AQ2=9,AP2=16,PQ2=25,25=16+9,

由勾股定理的逆定理可知AAPQ是直角三角形,

'S四邊形APBQ=SABPQ+S>APQ=γ×52+∣×3×4=^+6,

故答案為：型+6

4

o

【練3】如圖，在AABC中，ZACB=120,BC>4C,點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)D在AB上，CE=CAf

o

連接DE,ZACB+ZADE=180,CHLABf垂足為".證明：DE+ΛD=2√3CH.

【答案】見解析

【解析】證明：如圖,延長(zhǎng)BA到點(diǎn)F,使AF=DE,連接CF、CD,

?.,ZACB+ZADE=180o

ΛZCAD+ZCED=360o-180°=180°

??ZCAD+ZCAF=180o

ZCAF=ZCED

VAC=EC,AF=ED

Λ?AFC^ΔEDC

ΛCF=CD,ZACF=ZECD

???ZFCD=ZACF+ZACD=ZECD+ZACD=ZACB=120°

VCF=CD,CH±DF

/.FH=DHWDF=(DE+AD),ZHCD=iZFCD=600

ΛtanZHCD=^=√3

CH

.?I)H=√3CH

/.I)E+AD=2I)H=2√3CH

【題型二：旋轉(zhuǎn)與三角形全等的構(gòu)造】

【例】問(wèn)題背景：如圖①設(shè)尸是等邊△兒?C內(nèi)一點(diǎn)，Λ4=6,PB=S,/T=10,求//明的度

數(shù).小君研究這個(gè)問(wèn)題的思路是：將△/(T繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△/(郵，易證:

△/勿是等邊三角形，△物^是直角三角形，所以//陽(yáng)=N/1m+N刷=150°.

簡(jiǎn)單應(yīng)用：（1）如圖2,在等腰直角中，N∕〃=90°.P為AABC內(nèi)一點(diǎn),且必

=5,PB=3,PC=2<2,則∕9T=°

（2）如圖3,在等邊a46C中，P為AABC內(nèi)一點(diǎn)、,且必=5,P412,/4月=150°,

則PC=.

拓展廷伸：①如圖4,/ABC=NADC=9G°,AB=Bc求證：y∕2BD=AIKDC.

②若圖4中的等腰直角44?C與RtC在同側(cè)如圖5,若AD=2,DC=A,請(qǐng)直接寫出

功的長(zhǎng).

【答案】（1）135°

（2）PC=I3：

拓展延伸①：證明見解析

?：BD=√2

【解析】解：簡(jiǎn)單應(yīng)用：（1）如圖2,

△4GP繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到aɑw,連接PP,

：.BP=A-5,NPCP=90°,CP=32√Σ,

：./CPIl=NaSA45°,

根據(jù)勾股定理得，勿=√ΣC-4,

?：BP=5,8—3,：.PP、Bp=BP,

：ABPP是以BP為斜邊的宜角三角形,

：./BPP=90°,

：.ΛBPC=ABPP+ΛCPP=135°,

(2)如圖3,

,.?△/8C是等邊三角形，

.".ZBAC=GOa,AC=AB,

將4/GP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到,連接PP,

：.BP=CP,4戶—5,ZPAP=60°,

二△APF是等邊三角形，

：.PP=A-5,N力勿=60°,

VZJ/?=150°,

.?.4BPP=ZAPB-NAPP=90°,

根據(jù)勾股定理得，BP=y∣BP2+PP'2=13,

.?.gl3,

拓展廷伸：①如圖4,

圖4

在^中，AABC=WQ,AB=BC,

將繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到,

：.BD=BD,CD=AI),4BCD=NBAD,

,：ZASC=ZADC=W3,

：.ZβΛI(xiàn)^ZSCD=180°,

：.NBCMNBCD=?8G,

.?.點(diǎn)〃在小的延長(zhǎng)線上，

：.DDS=C儕AD,

在RtAW中，勿=鼻BD,

：.y/2BD=ClKADi

②如圖5,

圖5

在△力比'中，NABC=90°,AB=BC,

將△儂繞點(diǎn)6順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△/Μ，

：.BO=BD,CD=AO,ΔDBβ=90o,ZBCD=4BAD,

AB與少的交點(diǎn)記作G,

?：4ADC=NABC=90°,

ΛΛDAB^ZΛGD=ABCIAZBGC=180°,

■:4AGg乙BGa

：.ΛBAD=ABCD,

：./BAD=NBAD,

二點(diǎn)"在4?的延長(zhǎng)線上，

：.DD=AD-AD=CD-AD=T.,

廳

在RtZXZWZ/中，B!)=?/?//=√2.

【練1】如圖，在等邊△四C中，點(diǎn)〃為△四C內(nèi)的一點(diǎn)，NADB=I20°,∕Λ9C=90°,將

△/劭繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△水后連接應(yīng).

(1)求證：AD=DE-,

(2)求NmF的度數(shù)；

(3)若BD=I,求/〃，切的長(zhǎng).

E

D

L----------------

【答案】(1)見解析

(2)90°

(3)√3

【解析】(1)證明：???將△力加繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得

工AABI涇△ACE,/BAC=/DAE,

：.AD=AEiBD=CE,ZAEC=ZADB=120°,

為等邊三角形

.?ZBAC=60o

工N的￡=60°

???△?〃￡為等邊三角形，

：.AD=DEf

(2)ZJPf=90o,ZAEC=12O0,ZZZ4f=60o

???N〃6F=360°-NADC-NAEC-NDAE=9C,

(3)??,△力以為等邊三角形

：?ZADC=QOo

：.ZCDE=ZADC-AADE=StQo

又*：∕DCE=9V

:?DE=2CE=2BD=2,

工AD=DE=2

在Rt△〃四中，DC=√DF2-CE2=√22-I2=√3.

【練2】如圖，四邊形/靦中，AABC=ΛADC=^°,將△版繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度

后，點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好與點(diǎn)力重合，得到

(1)請(qǐng)求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；

(2)請(qǐng)判斷力￡與物的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)若力。=2,0)=3,試求出四邊形4?力的對(duì)角線劭的長(zhǎng).

【答案】（1）90°

（2）證明見解析

（3）BD=√22

【解析】解：（1）Y將△時(shí)繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△水若

Λ/XBCD空XACE

J.AC=BC,

又：//6（7=45°,

：.ZASC=ZSAC^45°

：.ZΛCβ=90o

故旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為90°

（2）AELBD.

理由如下：

在RtZXZO/中，N8OU9Q°

：.NMBC+NBMC=9Q0

?：ABCU^∕?ACE

：.ΛDBC=AEAC

即ΛMBC=ANAM

又YNBMC=NAMN

.?.ZA^ZC4J5^=9O°

/410=90°

：.AEYBD

(3)如圖，連接戰(zhàn)

由旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)可知

CD=CE,BD=AE,旋轉(zhuǎn)角NaX'=90°

：./EDC=2CEg450

??CD=3,

：.CE=3

在RtZ?4Ω?中，∕DCE=90°

：.DE=>∕CD2+CE2=√9T9=3√2

?；ZΛDC=45Q

：.NADE=NADN/EDC=90°

在Rt中，NADE=90°

：.EA=y∕AD2+DE2=√18+4=√22

：.BD=√22

【練31如圖1,已知：已知：等邊AABC,熱〃是邊SC上一點(diǎn)(點(diǎn)〃不與點(diǎn)反點(diǎn),重合)，

求證：BD^DOAD.

下面的證法供你參考：

把切繞點(diǎn)力順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到44%連接ED,則有4∕g△/陽(yáng)DC=EB,'：AD

=AE,ZDAE=QOo,

...△/應(yīng)`是等邊三角形，JAgDE.在/XDBE中,BDtrEB>DE,即：BDIrDoAD

實(shí)踐探索：

(1)請(qǐng)你仿照上面的思路，探索解決下面的問(wèn)題：

如圖3,點(diǎn)〃是等腰直角三角形a∕比■邊上的點(diǎn)(點(diǎn)〃不與B、C重合).求證:BCh-DOypZAD.

(2)如果點(diǎn)〃運(yùn)動(dòng)到等腰直角三角形448C外或內(nèi)時(shí)，BD,%和加之間又存在怎樣的

數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論.

創(chuàng)新應(yīng)用：

(3)已知：如圖4,等腰44?7中，AB=AC,且N物C=α(ɑ為鈍角)，〃是等腰4/8C

外一點(diǎn),且/駿÷/為￠=180°,被、小與朋之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想,

并證明.

D

圖1圖2圖3圖4

【答案】(1)證明見解析

(2)BIλDC>√2Z∣Λ

(3)猜想：小〃CV2/1。；證明見解析

【解析】解：(1)證明：把△/切繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△兒陽(yáng)連接必

則有4∕1G92ZX4Sf,

DC=EB

YAD=AE,ZDAE=Wo

.?.△｛班?是等腰直角三角形

.,.DE=y∏Al)

在△頌中，BMEB>DE,

即：BKDCZiAD;

(2)把△倒)旋轉(zhuǎn),使四與/C重合，然后繞/C旋轉(zhuǎn)，得到4∕iα?’,

則劭=力，

在叢CDD'中，CD^CD'>DD',

即BMCD>DD',

VΔW是鈍角三角形，則加'>y[2AD

當(dāng)〃運(yùn)動(dòng)到8的位置時(shí)，DD'=BG=近AD.

：.BADC≥五AD；

(3)猜想1：BIRDC<2AD

證明：把繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)ɑ,得到△/龐則有aIG屋DC=EB,NACD=

NABE

?：∕BAC+NBDC=I80°

：.NAB濟(jì)NAg180°

；.NAB屏NABE=I80°

即：E、B、〃三點(diǎn)共線.

'."AD=AE,

.?.在■中，AE+AD>ED,即覦加V24〃

【題型三：旋轉(zhuǎn)與相似三角形的構(gòu)造】

【例】如圖，在矩形力質(zhì)中，￡是49邊的中點(diǎn)，BEUC于點(diǎn)F,連接始給出下列四個(gè)結(jié)

論：①4AEFsXCAB;②CF=2AF?③DF=DC；④S“臚:S四邊形α?*=2:5,其中正確的結(jié)論有

()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【解析】解：如圖，過(guò)D作?DM〃BE交AC于N,

A____BJ

：四邊形被力是矩形，

JADMB3NW=90°,AD=BC,

:反LI。于點(diǎn)F,

：./EAC=/ACB,NABaNAFE=9G,

：ZEFSXCAB,故①正確；

AD//Ba

：?XAEFsXCBF、??噌=蕓，

BCCF

,:AE=?AD=^BC,

.?.^=p：.CF=2AF,故②正確，

'：DE//BM,BE//DM,

.?.四邊形陽(yáng)儂是平行四邊形，

B心DE=LBa：.CM,

2

：.CN=NF1

?：BEIAC于點(diǎn)F,DM〃BE,

IDNlCF,：.DF=DC,故③正確；

?：XAEFSl\CBF、

.EFAE1

??--————，

BFBC2

矩形，

?*?S?JΛ7?=-/S?∕1Z∕∕?O,S∕UZi!F=:SI/O

?*?S?JΛ7=-S矩形ABCD，

又fS四邊形0%v=SS即=3S矩形HZg-~S矩形Mo=五S矩形Mo,

?,?SZU即：S四邊形C網(wǎng)=2：5,故④正確；

【練1】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,線段CE繞著點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，且CE=3,連接BE，

以BE為邊作正方形BEFG，M為AB邊的中點(diǎn)，當(dāng)線段FM的長(zhǎng)最小時(shí)，九/ECB=_______e

【答案W

【解析】解:連接BD,BF,FD,如圖,

?：也=阻=0,

BCBE

.BD_BC

??BF-BE'

?.?NFBD+/DBE=45°,ZEBC+ZDBE=45o,

ΛZFBD=ZEBC,

ΛΔEBC^ΔFBD,

ΛZFDB=ZECB,≤J=^=√2,

CEBC

.?.DE=√2CE=3√2,

由題意知：FMsDF,DM三條線段滿足FM+DF2MD,其中DM、DF的值一定,

當(dāng)M,F,D三點(diǎn)一線時(shí)，F(xiàn)M最小，

過(guò)點(diǎn)M作MNLBD,垂足為G,

??ZMBN=450,BM=∣AB=4,

.*.MN=BN=2√2,

'：\m=>jAM2+AD2=√42+82=4√5.

ADG=VMD2-MG2=J(4√5)2-(2√2)2=θ√2.

/4/MG2√2-l

..tan/ecb=tan/FDG=詬=

故答案為：∣?

【練2】如圖，在a∕6C中，AB=5,〃為邊加上一動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作正方形CW,當(dāng)點(diǎn)

〃從點(diǎn)6運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)力時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為.

【答案】5√2

【解析】解：如圖，作GBLBC于B,取GB=Ba

當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，則點(diǎn)E與點(diǎn)G重合,

.*.ZCBG=90o,

ΛCG=√2BC,ZGCB=45O,

四邊形CDEF是正方形，

.?.CE=√2DC,ZECD=45O,

ZBCD+ZDCG=ZGCE+ZDCG=45°,

.?.∕BCD=NGCE,且也="=企，

BCDC

ΛΔCGE^ΔCBD,

.?.a=3=√L即GE=&BD,

BDDC

VBD=5,

.?.點(diǎn)V運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為GE=√2BD=5√2.

【練3】在△4Bc和A4DE中，BA=BC,DA=DE,且N4BC=NAOE=α,點(diǎn)E在△ABC的

內(nèi)部，連接陽(yáng)EB,EA和即,并且4CE+-!BE=9。.

圖②備用圖

（觀察猜想）

（1）如圖①，當(dāng)a=60。時(shí)，線段協(xié)與四的數(shù)量關(guān)系為,線段￡4,EB,比的

數(shù)量關(guān)系為

（探究證明）

（2）如圖②，當(dāng)α=90。時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，

請(qǐng)說(shuō)明理由；

（拓展應(yīng)用）

（3）在（2）的條