哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想2020-xx-xx-2目錄CONTENTS一、猜想提出1二、研究途徑2一、猜想提出1一、猜想提出1742年，哥德巴赫給歐拉的信中提出了以下猜想：任一大于2的整數(shù)都可寫成三個質(zhì)數(shù)之和。但是哥德巴赫自己無法證明它，于是就寫信請教赫赫有名的大數(shù)學家歐拉幫忙證明，然而一直到死，歐拉也無法證明因現(xiàn)今數(shù)學界已經(jīng)不使用"1也是素數(shù)"這個約定，哥德巴赫猜想的現(xiàn)代陳述為：任一大于5的整數(shù)都可寫成三個質(zhì)數(shù)之和(n＞5：當n為偶數(shù)，n=2+(n-2)，n-2也是偶數(shù)，可以分解為兩個質(zhì)數(shù)的和當n為奇數(shù)，n=3+(n-3)，n-3也是偶數(shù)，可以分解為兩個質(zhì)數(shù)的和)歐拉在回信中也提出另一等價版本，即任一大于2的偶數(shù)都可寫成兩個質(zhì)數(shù)之和把命題"任一充分大的偶數(shù)都可以表示成為一個素因子個數(shù)不超過a的個數(shù)與另一個素因子不超過b的個數(shù)之和"記作"a+b"一、猜想提出121966年陳景潤證明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶數(shù)都可以表示成二個素數(shù)的和，或是一個素數(shù)和一個半素數(shù)的和"01.從關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想，可推出：任何一個大于7的奇數(shù)都能被表示成三個奇質(zhì)數(shù)的和。后者稱為"弱哥德巴赫猜想"或"關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想"。若關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想是對的，則關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想也會是對的。2013年5月，巴黎高等師范學院研究員哈洛德·賀歐夫各特發(fā)表了兩篇論文，宣布徹底證明了弱哥德巴赫猜想02.二、研究途徑2二、研究途徑研究偶數(shù)的哥德巴赫猜想的四個途徑這四個途徑分別是：殆素數(shù)，例外集合，小變量的三素數(shù)定理以及哥德巴赫問題二、研究途徑1.殆素數(shù)殆素數(shù)就是素因子個數(shù)不多的正整數(shù)?，F(xiàn)設N是偶數(shù)，雖然不能證明N是兩個素數(shù)之和，但足以證明它能夠?qū)懗蓛蓚€殆素數(shù)的和，即N=A+B，其中A和B的素因子個數(shù)都不太多，譬如說素因子個數(shù)不超過10。用"a+b"來表示如下命題：每個大偶數(shù)N都可表為A+B，其中A和B的素因子個數(shù)分別不超過a和b。顯然，哥德巴赫猜想就可以寫成"1+1"。在這一方向上的進展都是用所謂的篩法得到的"a+b"問題的推進1920年，挪威的布朗證明了"9+9"1924年，德國的拉特馬赫證明了"7+7"1932年，英國的埃斯特曼證明了"6+6"二、研究途徑1937年，意大利的蕾西先后證明了"5+7","4+9","3+15"和"2+366"1938年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃證明了"5+5"1940年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃證明了"4+4"1956年，中國的王元證明了"3+4"。稍后證明了"3+3"和"2+3"1966年，中國的陳景潤證明了"1+2"1965年，蘇聯(lián)的布赫夕太勃和小維諾格拉多夫，及意大利的朋比利證明了"1+3"1962年，中國的潘承洞和蘇聯(lián)的巴爾巴恩證明了"1+5"，中國的王元證明了"1+4"1948年，匈牙利的瑞尼證明了"1+c"，其中c是一很大的自然數(shù)12345678二、研究途徑2.例外集合在數(shù)軸上取定大整數(shù)x，再從x往前看，尋找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶數(shù)，即例外偶數(shù)x之前所有例外偶數(shù)的個數(shù)記為E(x)我們希望，無論x多大，x之前只有一個例外偶數(shù)，那就是2，即只有2使得猜想是錯的這樣一來，哥德巴赫猜想就等價于E(x)永遠等于1當然，還不能證明E(x)=1但是能夠證明E(x)遠比x小在x前面的偶數(shù)個數(shù)大概是x/2如果當x趨于無窮大時，E(x)與x的比值趨于零，那就說明這些例外偶數(shù)密度是零，即哥德巴赫猜想對于幾乎所有的偶數(shù)成立二、研究途徑二、研究途徑這就是例外集合的思路維諾格拉多夫的三素數(shù)定理發(fā)表于1937年。第二年，在例外集合這一途徑上，就同時出現(xiàn)了四個證明，其中包括華羅庚先生的著名定理業(yè)余搞哥德巴赫猜想的人中不乏有人聲稱"證明"了哥德巴赫猜想在概率意義下是對的。實際上他們就是"證明"了例外偶數(shù)是零密度。這個結(jié)論華羅庚早在60年前就已真正證明出來二、研究途徑3.三素數(shù)定理我們可以把這個問題反過來思考：如果偶數(shù)的哥德巴赫猜想正確，那么奇數(shù)的猜想也正確已知奇數(shù)N可以表成三個素數(shù)之和，假如又能證明這三個素數(shù)中有一個非常小，譬如說第一個素數(shù)可以總?cè)?，那么我們也就證明了偶數(shù)的哥德巴赫猜想這個思想促使潘承洞先生在1959年，25歲時，研究有一個小素變數(shù)的三素數(shù)定理這個小素變數(shù)不超過N的θ次方我們的目標是要證明θ可以取0，即這個小素變數(shù)有界，從而推出偶數(shù)的哥德巴赫猜想潘承洞先生首先證明θ可取1/4后來的很長一段時間內(nèi)，這方面的工作一直沒有進展，直到1995年展?jié)淌诎雅死蠋煹亩ɡ硗七M到7/120這個數(shù)已經(jīng)比較小了，但是仍然大于0二、研究途徑1953年，林尼克發(fā)表了一篇長達70頁的論文在文中，他率先研究了哥德巴赫問題，證明了，存在一個固定的非負整數(shù)k，使得任何大偶數(shù)都能寫成兩個素數(shù)與k個2的方冪之和這個定理，看起來好像丑化了哥德巴赫猜想，實際上它是非常深刻的我們注意，能寫成k個2的方冪之和的整數(shù)構(gòu)成一個非常稀疏的集合事實上，對任意取定的x，x前面這種整數(shù)的個數(shù)不會超過logx的k次方因此，林尼克定理指出，雖然我們還不能證明哥德巴赫猜想，但是我們能在整數(shù)集合中找到一個非常稀疏的子集，每次從這個稀疏子集里面拿一個元素貼到這兩個素數(shù)的表達式中去，這個表達式就成立