2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練29　函數(shù)的圖象與性質(zhì)

板塊五函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

微專題29函數(shù)的圖象與性質(zhì)

高考定位L以分段函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為載體，考查函數(shù)的

定義域、最值與值域、奇偶性和單調(diào)性；2.利用函數(shù)的性質(zhì)推斷函數(shù)的圖象；3.

利用圖象研究函數(shù)性質(zhì)、方程及不等式的解集，綜合性較強.

真題演練感悟高考練真題明方向

1.(2022.北京卷)已知函數(shù)y(x)=?p%,則對任意實數(shù)X,有()

A十一x)+AX)=OB：*一x)—/U)=0

C.A-x)+Λ%)=1D次-%)—∕Λ)=∣

答案C

一一12Λ2X

解析函數(shù)/U)的定義域為R,Λ-?)-14-o-χ~1-LOXJ所以一一x)+∕W=ι_|_>+

LI乙LI4?I4

[Or=1，故選C.

1十Z

TrTT

2?(2022?全國甲卷)函數(shù)Hx)=(3'-3r)?cosx在區(qū)間L]，3的圖象大致為()

y↑y

答案A

1Q

解析法一(特值法)取X=1,貝Uy=(3-W)CoSI=WCOSl>0；

取尤=-1,則y=q—3)cos(-l)

=—?eos1<0.

結(jié)合選項知選A.

法二令尸於)，

則7(—x)=(3r-3r)CoS(―x)=—(3?v-3r)c0sX=一八X),

所以函數(shù)y=(3*-3x)cosx是奇函數(shù)，排除B,D；

1Q

取X=1,則y=(3—3)CoSl=WeOSl>0,排除C.故選A.

3?(2022?新高考II卷)已知函數(shù)人x)的定義域為R,且√U+y)+yU—y)=√3!Ay),/1)

22

=1,則Ebyu)=()

A.13B.—2

C.0D.1

答案A

解析因為1)=1,

所以在J(x+y)+f(x~y)=Λ%M37)中，

令尸1,

得/U+D+/U—1)=∕3(∕∏),

所以/U+D+/U—l)=∕(x),①

所以yu+2)+凡X)=Ax+1).②

由①②相加，得/U+2)+?r—1)=0,

故yu+3)+y(x)=o,

所以式x+3)=~AX),

所以兀x+6)=—/U+3)=rU),

所以函數(shù)火X)的一個周期為6.

在Λχ+y)+.*%—丁)=/(X)Λy)中，

令y=o,得∕U)+Λχ)=∕U)∕(0),

所以/0)=2.

令x=y=l,得)2)+γθ)=∕0求1),

所以12)=—L

由"H-3)=-∕U),

得J3)=-/(0)=-2,Λ4)=-Λ1)=-1,

Λ5)=-Λ2)=l,^6)=-A3)=2,

所以∕Π)+∕(2)+???+犬6)=1—1—2—1+1+2=0,

22

根據(jù)函數(shù)的周期性知，E渦Λ)=∕U)+y(2)+火3)+44)=1—1—2—1=—3,故選A.

4.(2021.新高考I卷)函數(shù)負(fù)%)=|21-1|一2111%的最小值為.

答案1

解析函數(shù)式X)=I2x—1|-2InX的定義域為(0,÷∞).

①當(dāng)x>；時，∕Λ)=2Λ-1—21n%,

“j22(x—1)

所以/(x)=2—^=^?

當(dāng)如<1時，f(x)<0,

當(dāng)x>l時，f'(x)>0,

所以/U)在1)上單調(diào)遞減，

在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以yu)min=/u)=2—1—2In1=1；

②當(dāng)OaWT時，Λx)=l-2χ-21nx,

顯然7U)在(o,I上單調(diào)遞減，

所以X%)min=-21n∣=21n2

=In4>lne=l.

綜上，Xx)min=l.

熱點聚焦分類突破研熱點析考向

熱點一函數(shù)的概念與表示

I核心歸納

1.復(fù)合函數(shù)的定義域

(1)若?x)的定義域為［m,川，則在.*g(x))中，由m≤^(x)≤z?解得X的范圍即為式g(x))

的定義域.

(2)若∕g(X))的定義域為O，川,則由WtWXWzZ得到g(x)的范圍,即為兀0的定義

域.

2.分段函數(shù)

分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)值域的并集.

'2'~x,x≤0,

例1(1)(2022?濟寧質(zhì)檢)已知函數(shù)/)=[OgP,χ>0,則歡T))=()

2

A.-2B.2

CL；D.；

(2)已知函數(shù)?r)=請聲，則函數(shù)的定義域為()

A.(-∞,1)B.(—8,—1)

C.(-∞,-1)U(-1,O)D.(-∞,-1)U(-1,1)

答案(I)A(2)D

'2,~x,x≤0,

解析(i),.,y(x)=,iog∣Λ>Λ>O,

.2

.?.∕-1)=22=4,

,

??M-D)=Λ4)=log14=-2,故選A.

(2)令1—2:0,即2y,即x<0.

.?JU)的定義域為(一8,0).

-?來J(LI)X—1<0,

函數(shù)Fr中，有,

x+l≠O,

解得x<l且—1.

故函數(shù))一的定義域為(-8,-1)U(-1,1).

規(guī)律方法1.形如.*g(χ))的函數(shù)求值時，應(yīng)遵循先內(nèi)后外的原則.

2.對于分段函數(shù)的求值(解不等式)問題，必須依據(jù)條件準(zhǔn)確地找出利用哪一段求

解.

訓(xùn)練1(1)設(shè)。是含數(shù)1的有限實數(shù)集，/(X)是定義在。上的函數(shù).若凡r)的圖象繞

原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)事后與原圖象重合，則在以下各項中，次1)的可能取值只能

是()

A.√3B坐

C坐D.0

—e'9X0,

(2)(2022?南京模擬)設(shè)函數(shù)段)=I二一’1,、若膽。))=4，則α=________.

.JΓ+2X+4,XW0.

答案(I)B(2)ln2

解析(1)根據(jù)題設(shè)知，函數(shù)人力的圖象繞原點按逆(順)時針方向旋轉(zhuǎn),伏=0,1,…,

11)后仍與原圖象重合.

若y∏)=0,即點41,O)是的圖象上的點，將其分別繞原點按逆(順)時針方向

旋轉(zhuǎn)方，得到點坐，，和A"(半，一，兩點，它們都在於)的圖象上，

即厝］=±今與函數(shù)的定義矛盾，所以排除D；

類似地，若∕∏)=坐，將點(1,制繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)會可得∕∏)=—坐；

若∕U)=√5,可得TU)=一小，都不符合函數(shù)的定義，故選B.

(2)?.”>0時，/x)=-eτ<0,

XWO時，√(x)=∕+2x+4=(x+1)2+323,

由TU)=4,得√+2%+4=4(Λ≤0),

解得X=O或x--2,

.?Λα)=O不存在，舍去，

.?J(a)=-2,則一e"=—2,解得α=ln2.

熱點二函數(shù)的性質(zhì)

I核心歸納

1.函數(shù)的奇偶性

(1)定義：若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，則有：

y(x)是偶函數(shù)=/(一幻=AX)=式兇)；

Tu)是奇函數(shù)=.八一X)=—fix).

(2)判斷方法：定義法、圖象法、奇偶函數(shù)性質(zhì)法(如奇函數(shù)X奇函數(shù)是偶函數(shù)).

2.函數(shù)單調(diào)性判斷方法：定義法、圖象法、導(dǎo)數(shù)法.

3.函數(shù)圖象的對稱中心或?qū)ΨQ軸

(1)若函數(shù)/U)滿足關(guān)系式.*α+x)=Ab—x),則函數(shù)y=Ax)的圖象關(guān)于直線X=牛

對稱.

(2)若函數(shù)?x)滿足關(guān)系式/(α+x)+∕(α-x)=2A,則函數(shù)y=∕ζx)的圖象關(guān)于(α,Z?)

對稱.

考向1奇偶性與單調(diào)性

例2若定義在R上的奇函數(shù)在(一8,0)上單調(diào)遞減，且犬2)=0,則滿足求X

—1)20的X的取值范圍是()

A.[-l,1]U[3,+∞)B.[-3,-l]U[0,1]

C.[-l,O]U[1,+∞)D.[-l,O]U[1,3]

答案D

解析因為函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，則.*O)=o.

又火X)在(-8,0)上單調(diào)遞減，且7(2)=0,畫出函數(shù)人X)的大致圖象如圖(1)所示,

則函數(shù)人九一1)的大致圖象如圖(2)所示.

當(dāng)XWO時，要滿足求x—1)20,

則Tu-I)W0,得一IWXW0.

當(dāng)x>0時，要滿足求X-1)2O,

則於一1)20,得1≤Λ<3.

故滿足猶χ-l)20的X的取值范圍是[-1,O]U[1,3].

考向2奇偶性、周期性與對稱性

例3(I)設(shè)函數(shù)1工)的定義域為R,yu+1)為奇函數(shù)，yu+2)為偶函數(shù)，當(dāng)χ∈[i,

2］時，yU)=αx2+b.若夫0)+人3)=6,-

B.-∣

A.-T

CZD，

2

(2)(2022?全國乙卷)已知函數(shù)/U),g(x)的定義域均為R,且./U)+g(2—x)=5,g(x)

22

一/(工一4)=7.若y=g(x)的圖象關(guān)于直線元=2對稱，g(2)=4,則EIy(Z)=()

A.-21B.-22

C.-23D.-24

答案(I)D(2)D

解析(1)由于/(x+l)為奇函數(shù)，

所以函數(shù)_Ax)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，

即有人犬)+大2—幻=0,

所以/1)+7(2-1)=0,得.*1)=0,

即a+b=0①.

由于7U+2)為偶函數(shù)，所以函數(shù)加)的圖象關(guān)于直線尤=2對稱，

即有火x)一八4-X)=0,

所以Λ0)+∕(3)=-Λ2)+∕(l)=-4α-∕j+fl+/?=~3a=6②.

根據(jù)①②可得a=—2,b=2,

所以當(dāng)x∈[l,2]時，.*X)=—2√+2.

根據(jù)函數(shù)/U)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，且關(guān)于點(1,0)對稱，可得函數(shù)/U)的周

期為4,

，、，、，、，、2

所以｛I)=娟=-/1)=2X(1)-2=∣?

(2)由y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，

可得g(2+x)=g(2-χ).

由g(x)—4)=7得g(2+x)-χ尤-2)=7,

又“r)+g(2—x)=5即兀r)+g(2+無)=5,

所以2)=-2,

由2)=—2得/(X—2)+y(χ-4)=-2,

所以人χ-4)=∕U),

所以函數(shù)兀V)是以4為周期的周期函數(shù).

由“r)+g(2—x)=5可得,*0)+g(2)=5,

又g(2)=4,所以可得式0)=1,

又“r)+?∕U+2)=—2,

所以次0)+<2)=—2,

Λ-i)+ΛD=-2,

得穴2)=—3,ΛD=Λ-1)=-1,

又)3)=中-1)=—1,

/4)=/(0)=1,

22

所以石_")=4l)+42)+5液3)+5液4)=6X(-1)+6X(-3)+5X(—1)+5Xl=

一24.故選D.

規(guī)律方法1.若兀r+α)=-∕(x)(或/'(x+α)=

jr?-),其中危)≠0,則y(x)的周期為2間.

2.若的圖象關(guān)于直線x=a和x=b對稱，則/(x)的周期為2|a一例.

3.若VX)的圖象關(guān)于點(α,0)和直線尤=6對稱,則於)的周期為4∣α一切.

訓(xùn)練2(1)(2022?西安模擬)設(shè)y=∕U)是定義在R上的函數(shù)，若下列四條性質(zhì)中只有

三條是正確的，則錯誤的是()

A.y=/(X)為［0,+8)上的減函數(shù)B.y=∕(x)為(一8,0］上的增函數(shù)

C.y=∕(x+1)為偶函數(shù)D√(0)不是函數(shù)的最大值

(2)(2022.廣州模擬)已知7U)是定義域為R的偶函數(shù)，Λ5.5)=2,g(x)=(χ-1)/U).

若g(x+l)是偶函數(shù)，則g(—0.5)=()

A.-3B.—2

C.2D.3

答案(I)A(2)D

解析(1)由y=*x+l)為偶函數(shù)，得函數(shù)y="x)的圖象關(guān)于X=I對稱，

假設(shè)A,B正確，則有7(x)max=*0),所以D錯誤，

y=∕U+l)不可能為偶函數(shù)，由此判斷出C,D錯誤，與已知矛盾，

由此判斷答案A,B中一個正確一個錯誤，C,D正確，

而A,C矛盾，由此確定A錯誤.

(2)因為g(x)=(χ-l)∕(x),g(x+l)是偶函數(shù)，

所以g(x+l)=猶x+l)是偶函數(shù)，

因為y=x是奇函數(shù)，

所以yu+1)是奇函數(shù)，

所以—尤+1)=—/U+1),用一九一1替換X,得/U+2)=一4-x),

又?r)為R上偶函數(shù)，

；.而+2)=—Λ0,

.?.yrα+2)+2]=—∕u+2)=AX),

.?√U+4)=Ax),

??JU)是周期為4的周期函數(shù)，

所以g(—0.5)=-L第一0.5)=LML5)=1.軌5.5)=1.5X2=3.

熱點三函數(shù)的圖象

I核心歸納

1.作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點法；二是圖象變換法，其中圖象變換有

平移變換、伸縮變換、對稱變換.

2.利用函數(shù)圖象可以判斷函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，解不等式、求解函數(shù)的零點等

問題.

Y

例4(1)(2022.上饒二模)函數(shù)凡r)=汨二三的大致圖象為()

(2)已知函數(shù)"r)=2x-x—1,則不等式y(tǒng)(χ)>O的解集是()

A.(-l,1)B.(-∞,-1)U(1,+∞)

C.(0,1)D.(-∞,O)U(1,+∞)

答案(I)B(2)D

—X

解析(1)成一X)=1r+2、=—Λχ)，函數(shù)為奇函數(shù)，排除C；

221

,

0<∕(2)=22+2-2<4=2排除AD,故選B.

(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出〃(X)=2。g(x)=x+l的圖象如圖.

由圖象得交點坐標(biāo)為(0,1)和(1,2).

又“r)>0等價于2*>x+l,

結(jié)合圖象，可得XVO或x>l.

故7U)>o的解集為(一8,o)U(i,+∞).

規(guī)律方法確定函數(shù)圖象的主要方法是利用函數(shù)的性質(zhì)，如定義域、奇偶性、單

調(diào)性等，特別是利用一些特殊點排除不符合要求的圖象.

訓(xùn)練3(1)(2022.全國乙卷)如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間［-3,3］的大

致圖象，則該函數(shù)是()

—X3+3xA3-X

A?y=/+]Bj=K

2xcosx2sinX

Cj=x2+lD?y=？TT

(?—b)2

(2)(2022.佛山質(zhì)檢)函數(shù)IAX)=2-------------的圖象如圖所示，則()

A.4>0,0<?<lB.α>0,~i<b<Q

C.α<0,—1<?<0D.<7<0,0<?<l

答案(I)A(2)D

解析(1)對于選項B,當(dāng)x=l時，y=0,與圖象不符，故排除B；

對于選項D,當(dāng)x=3時，y=∣sin3>0,與圖象不符，故排除D；

對于選項C,當(dāng)0<尤時，0<cosχVl,故>=半胃<善7或1,與圖象不符,

所以排除C.故選A.

序

(2)由題圖可知，/(0)=2—<1=2°,

故!<0,故α<0,

(xF2

函數(shù)“r)=2—的圖象關(guān)于直線x=b對稱，

由題圖可知，0<?<l,故選D.

高分訓(xùn)練對接高考重落實迎高考

一'基本技能練

1.(2022.重慶八中測試)已知函數(shù).*x)的定義域為(0,+∞),則函數(shù)F(X)=AX+2)

+產(chǎn)G的定義域為()

A.(-2,3]B.[-2,3]

C.(0,3]D.(0,3)

答案A

,-----[Λ+2>0,

解析函數(shù)∕7(x)=∕(x+2)+q5有意義需滿足1>0解得一2?xW3.

2.(2022.海南模擬)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,+8)上單調(diào)遞增的函數(shù)是

()

A.y=lnxB.γ=∣x∣÷1

C.>'=-x2÷lD.y=3"w

答案B

解析對于A,函數(shù)y=lnx定義域是(0,+∞),不是偶函數(shù)，A不是；

對于B,函數(shù)y=∣x∣+l定義域為R,是偶函數(shù)且在(0,+8)上單調(diào)遞增，B是；

對于C,函數(shù)y=—x2+l定義域為R,是偶函數(shù)且在(0,十8)上單調(diào)遞減，C不

是；

對于D,函數(shù)y=3"∣定義域為R,是偶函數(shù)且在(0,+8)上單調(diào)遞減，D不是.

故選B.

x2—2x+2,無＞0,

3.已知函數(shù)√（x）={,1,、的值域為口，+8）,則α的最小值為（）

、X?ci,XWO

A.1B.2

C.3D.4

答案A

解析由已知得

當(dāng)尤＞0時，/U）=f—2x+2=（x—iy+l,值域為［1,+∞）;

當(dāng)x≤0時，fi^x）=~x+a,

值域為［α,+∞）;

;函數(shù)）幻的值域為［1,+∞）,

.?.α21,則α的最小值為1.故選A.

4.函數(shù)危）=InqlXI+1+cosX在［―兀,兀］上的大致圖象為（）

解析由題知人x)的定義域為R,八一x)=*x),所以./U)是偶函數(shù)，排除A；

√(π)=ln√π+l-l<lne-1=0,排除B,D.故選C.

5.(2022?梅州二模)設(shè)函數(shù)段;)=

log2(6—x),XV1,

-則火—2)+40g26)=()

Iθ2rvl',Gl,

A.2B.6C.8D.10

答案B

flθg2(6—x),x<1,

解析因為/(χ)=j

[2X*,

所以八-2)=log28=3,Xlog26)=21og26-1=3,

所以八-2)+y∏og26)=6.故選B.

6.已知函數(shù)y(x)=-χ∣x∣,且大加+2)+八2〃2—1)<0,則實數(shù)機的取值范圍為()

A.(-8,—?jB.(-∞,3)

C.(3,+∞)D.f—+∞J

答案D

解析對於)=—x∣M,其定義域為R,且式-X)=X∣Λ∣=-/U),故7U)為R上的奇

函數(shù)；

又當(dāng)x>0時，兀0=—/,其在(0,+8)單調(diào)遞減；

當(dāng)XVO時，於)=x2,其在(一8,0)單調(diào)遞減；

又7U)是連續(xù)函數(shù)，故yu)在R上是單調(diào)遞減函數(shù)；

則次用+2)+式2機-l)V0,

即人加+2)中1—2機)，

則m+2>l-2機，解得機>一：.故選D.

7.(2022?蚌埠三模)已知定義域為R的偶函數(shù)次x)滿足∕U+x)=∕α-r),∕g)=l,

則)

3

A.-2B.-1

3

C.lD，2

答案C

解析因為函數(shù)7U)是定義域為R的偶函數(shù)，所以兀T)=A—X),

又因為yu+x)=y(i—%),

所以犬2—x)=Ax),

則12—x)=A—X),即/(2+x)=∕(x),

所以八X)的周期為T=2.

?(一步彳-％)=娘=L

8.定義在R上的奇函數(shù)兀x),滿足7U+2)=—/(x),當(dāng)0≤x≤l時,貝X)=X,RlJΛ%)≥∣

的解集為（）

「1I、「13]

A?g,+∞JB?∣J,2_

■131「13一

C.4%+],4%+萬（?∈Z）D.2k+y2%+]（ZeZ）

答案C

解析由題意，函數(shù)y（x）滿足?x+2）=—/（x）,可得?r）=ZU+4）,

所以函數(shù)/U）是周期為4的函數(shù)，

又由人犬）為R上的奇函數(shù)，

可得人一無）=一八》），

所以7U+2）=A—幻，

可得函數(shù)兀0的圖象關(guān)于χ=l對稱，

因為當(dāng)o≤x≤ι時yu）=x,

可得函數(shù)/U）的圖象，如圖所示，

]3

解得X=]或X=y

所以不等式7U）23的解集為

-13^

4&+/,以+]（A∈Z）.故選C.

2χ

9.（多選）（2022?漳州一模）己知函數(shù)危）=F?,則（）

A./U）的定義域為RB√（X）是偶函數(shù)

C.函數(shù)y=∕（x+2022）的零點為0D.當(dāng)x>0時，凡r）的最大值為:

答案AD

解析對A,由解析式可知7U）的定義域為R,故A正確；

對B,因為犬幻+人一犬)=K+不=0,可知/U)是奇函數(shù)，故B不正確;

2(x+2022),U,丁丁兒

對C,γ=∕x+2022)≈-(-?0,得EI光=—2022,故C不正確；

v+2022)s+9

???1

對D,當(dāng)x>0時，OVyU)=不利=—g≤-K=?當(dāng)且僅當(dāng)χ=3時取等號,

'+2?∣X]

故D正確.故選AD.

10.(多選)對于函數(shù)/(x)=x∣x∣+x+l,下列結(jié)論中錯誤的是()

A√(x)為奇函數(shù)By(X)在定義域上是單調(diào)遞減函數(shù)

C√(x)的圖象關(guān)于點(0,1)對稱D次x)在區(qū)間(0,+8)上存在零點

答案ABD

解析Λ%)=ι,,,1C'由圖象可知，圖象關(guān)于點(0,1)對稱，

R-HX+1,x^0,

因此不是奇函數(shù)，在定義域內(nèi)函數(shù)為增函數(shù)，在(0,+8)上沒有零點.

故選ABD.

11.(2022.寶雞三模)已知函數(shù)7U)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)XVO時，∕U)=2?

則∕0og27)=.

答案T

解析因為函數(shù)/U)是定義域為R的奇函數(shù)，

且當(dāng)XVO時，∕x)=2??

所以χiog27)=-Λ-log27)=-??ogz^=-2嗎=-∣.

12.(2022.赤峰模擬)寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)RX)=.

①*-x)=∕(x);②當(dāng)XG(0,+8)時，*χ)>0;③/(X1X2)=/(XI)：穴了2).

答案答案不唯一)

解析由題意，要求犬X)為偶函數(shù)且值域為(O,+∞).

若滿足於1尤2)=73)於2),

則/U)可以為嘉函數(shù)，則有鞏X)=?2滿足條件.

二'創(chuàng)新拓展練

13.(多選)(2022?沈陽模擬)已知>=")是定義域為R的奇函數(shù)，且y=*x+2)為偶

函數(shù)，若當(dāng)χ6[0,2]時，?x)=；log3(x+a2),下列結(jié)論正確的是()

A.α=lBAI)=A3)

C<2)=A6)D.fl,2022)=-1

答案BD

解析根據(jù)題意，y(x)是定義域為R的奇函數(shù)，

則人一九)=一Λχ),

又由函數(shù)八x+2)為偶函數(shù),

則函數(shù)/U)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，

則|-x)=Λ4+x),

即有兀r+4)=-Xx),

即7U+8)=-∕U+4)=Λx),

所以犬X)是周期為8