2022-2023學(xué)年北京山東莊中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年北京山東莊中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.拋物線的焦點恰好與橢圓的一個焦點重合，則

參考答案：C略2.閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，如果輸入某個正整數(shù)n后，輸出的S∈（10，20），那么n的值為（）A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：B【考點】循環(huán)結(jié)構(gòu)．

【專題】算法和程序框圖．【分析】框圖在輸入n的值后，根據(jù)對S和k的賦值執(zhí)行運算，S=1+2S，k=k+1，然后判斷k是否大于n，不滿足繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)，滿足跳出循環(huán)，由題意，說明當(dāng)算出的值S∈（10，20）后進行判斷時判斷框中的條件滿足，即可求出此時的n值．【解答】解：框圖首先給累加變量S賦值0，給循環(huán)變量k賦值1，輸入n的值后，執(zhí)行S=1+2×0=1，k=1+1=2；判斷2＞n不成立，執(zhí)行S=1+2×1=3，k=2+1=3；判斷3＞n不成立，執(zhí)行S=1+2×3=7，k=3+1=4；判斷4＞n不成立，執(zhí)行S=1+2×7=15，k=4+1=5．此時S=15∈（10，20），是輸出的值，說明下一步執(zhí)行判斷時判斷框中的條件應(yīng)該滿足，即5＞n滿足，所以正整數(shù)n的值應(yīng)為4．故選：B．【點評】本題考查了程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，是直到型循環(huán)，即先執(zhí)行后判斷，不滿足條件繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)，直到條件滿足跳出循環(huán)，算法結(jié)束，是基礎(chǔ)題．3.已知a=﹣2（sin2﹣）dx，則二項式（ax+）9的展開式中x的一次項系數(shù)為（）A．﹣ B． C．﹣ D．參考答案：D【考點】二項式定理的應(yīng)用．【分析】利用微積分基本定理可得a，二項式定理的通項公式，即可得出．【解答】解：a=﹣2（sin2﹣）dx=cosxdx==﹣sin0=1，則二項式（ax+）9=的展開式中的通項公式：Tr+1==x9﹣2r，令9﹣2r=1，解得r=4，∴x的一次項系數(shù)為=．故選：D．4.若復(fù)數(shù)的積為純虛數(shù)，則實數(shù)a等于

（

）

A．3

B．5

C．6

D．7

參考答案：A略5.數(shù)列的通項公式為，則是數(shù)列的第(

)項（A）2（B）3（C）4（D）5參考答案：C6.在中，，，，則邊長

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D7.實半軸長等于，并且經(jīng)過點B（5，﹣2）的雙曲線的標(biāo)準方程是（）A．或B．C．D．參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】若實軸在x軸上，可設(shè)其方程為=1，b＞0，若實軸在y軸上，可設(shè)其方程為=1，b＞0，分別把B（5，﹣2）代入，能求出結(jié)果．【解答】解：由題設(shè)，a=2，a2=20．若實軸在x軸上，可設(shè)其方程為=1，b＞0，把B（5，﹣2）代入，得b2=16；若實軸在y軸上，可設(shè)其方程為=1，b＞0，把B（5，﹣2）代入，得b2=﹣（舍），故所求的雙曲線標(biāo)準方程為．故選：C．8.如圖甲是某條公共汽車線路收支差額與乘客量的圖象（收支差額=車票收入—支出費用），由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩條建議：建議（Ⅰ）是不改變車票價格，減少支出費用；建議（Ⅱ）是不改變支出費用，提高車票價格.下面給出四個圖象：在這些圖象中A．①反映了建議（Ⅱ），③反映了建議（Ⅰ）B．①反映了建議（Ⅰ），③反映了建議（Ⅱ）C．②反映了建議（Ⅰ），④反映了建議（Ⅱ）D．④反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）參考答案：B9.已知是定義在上的奇函數(shù)，且時的圖像如圖所示，則（

）A． B．

C． D．參考答案：B10.已知某物體的運動方程是S=t+t3，則當(dāng)t=3s時的瞬時速度是（）A．10m/s B．9m/s C．4m/s D．3m/s參考答案：C【考點】導(dǎo)數(shù)的運算．【專題】計算題．【分析】求出位移的導(dǎo)數(shù)；將t=3代入；利用位移的導(dǎo)數(shù)值為瞬時速度；求出當(dāng)t=3s時的瞬時速度．【解答】解：根據(jù)題意，S=t+t3，則s′=1+t2將t=3代入得s′（3）=4；故選C【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)在物理中的應(yīng)用：位移的導(dǎo)數(shù)值為瞬時速度．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知三棱錐P﹣ABC的所有棱長都相等，現(xiàn)沿PA，PB，PC三條側(cè)棱剪開，將其表面展開成一個平面圖形，若這個平面圖形外接圓的半徑為，則三棱錐P﹣ABC的體積為

．參考答案：9【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】計算題．【分析】根據(jù)平面圖形外接圓的半徑求出三棱錐的棱長，再根據(jù)棱長求出高，然后根據(jù)體積公式計算即可．【解答】解：根據(jù)題意幾何體為正三棱錐，如圖，PD=a；OD=a；OP==．設(shè)棱長為a，則OD+PD=×a+a=a=2?a=3，V棱錐=×a2×a=9，故答案是9【點評】本題考查錐體的體積．12.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），P（X≤4）=0.84，則P（X≤0）等于

．參考答案：0.16【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【分析】根據(jù)隨機變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），看出這組數(shù)據(jù)對應(yīng)的正態(tài)曲線的對稱軸x=2，根據(jù)正態(tài)曲線的特點，得到p（X≤0）=p（X≥4）=1﹣p（X≤4），得到結(jié)果．【解答】解：∵隨機變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），μ=2，∴p（X≤0）=p（X≥4）=1﹣p（X≤4）=0.16．故答案為：0.1613.已知a＞0，b＞0且a+b=2，則的最小值為

．參考答案：2【考點】基本不等式．【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞0且a+b=2，則===2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時取等號．因此其最小值為2．故答案為：2．【點評】本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．14.已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時，等于

．參考答案：

15.過點和的直線的斜率為

．參考答案：-116.已知某算法的流程圖如圖所示，若輸入，則輸出的有序數(shù)對為

參考答案：（13，14）17.已知在上是增函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是

.參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分7分)已知平面內(nèi)一點與兩個定點和的距離的差的絕對值為2．（Ⅰ）求點的軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)過的直線與曲線交于，兩點，且（為坐標(biāo)原點），求直線的方程．參考答案：解：（Ⅰ）根據(jù)雙曲線的定義，可知動點的軌跡為雙曲線，

其中，，則．所以動點的軌跡方程：．

………………2分（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時，不滿足題意．當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，，由方程組得．

………………3分因為直線與曲線交于，兩點，所以即且．

………………4分由根與系數(shù)關(guān)系得，，

因為，，所以．

………………5分因為，所以，即，

………………6分所以，

所以，即，解得，由式知符合題意．所以直線的方程是或．

略19.已知函數(shù)f（x），如果存在給定的實數(shù)對（a，b），使得f（a+x）?f（a﹣x）=b恒成立，則稱f（x）為“Γ﹣函數(shù)”．（1）判斷函數(shù)f1（x）=x，是否是“Γ﹣函數(shù)”；（2）若f3（x）=tanx是一個“Γ﹣函數(shù)”，求出所有滿足條件的有序?qū)崝?shù)對（a，b）；（3）若定義域為R的函數(shù)f（x）是“Γ﹣函數(shù)”，且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對（0，1）和（1，4），當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）的值域為[1，2]，求當(dāng)x∈[﹣2016，2016]時函數(shù)f（x）的值域．參考答案：【考點】抽象函數(shù)及其應(yīng)用；函數(shù)恒成立問題．【分析】（1）假設(shè)f1（x），f2（x）為Γ﹣函數(shù)，根據(jù)新定義得出恒等式，判斷恒等式是否成立即可得出結(jié)論；（2）假設(shè)f3（x）為Γ﹣函數(shù)，列出恒等式，根據(jù)和角的正切公式計算，得出關(guān)于x的恒等式解出a，b；（3）根據(jù)定義列出恒等式，根據(jù)所給條件歸納得出當(dāng)x∈[2k，2k+2]時，f（x）∈[22k，22k+2]，從而求的f（x）的值域．【解答】解：（1）若f1（x）=x是“Γ﹣函數(shù)”，則存在實數(shù)對（a，b），使得（a+x）（a﹣x）=b．即x2=a2﹣b對x∈R恒成立，而關(guān)于x的方程x2=a2﹣b最多有兩個解，不符合題意．因此f1（x）=x不是“Γ﹣函數(shù)”．若是“Γ﹣函數(shù)”，則存在實數(shù)對（a，b），使得3a+x?3a﹣x=32a=b，即存在常數(shù)對（a，32a）滿足條件，因此是“Γ﹣函數(shù)”．（2）∵f3（x）=tanx是一個“Γ﹣函數(shù)”，∴存在序?qū)崝?shù)對（a，b）滿足tan（a+x）?tan（a﹣x）=b恒成立，當(dāng)時，tan（a+x）?tan（a﹣x）=﹣cot2x，不是常數(shù)．∴．當(dāng)時，有恒成立，即（btan2a﹣1）tan2x+（tan2a﹣b）=0恒成立．則，當(dāng)，時，tan（a+x）?tan（a﹣x）=cot2a=1成立．因此滿足f3（x）=tanx是一個“Γ﹣函數(shù)”時，實數(shù)對．（3）函數(shù)f（x）是“Γ﹣函數(shù)”，且存在滿足條件的有序?qū)崝?shù)對（0，1）和（1，4），∴f（x）?f（﹣x）=1，f（1+x）?f（1﹣x）=4，∵f（1+x）?f（1﹣x）=4?f（x）?f（2﹣x）=4，x∈[1，2]時，2﹣x∈[0，1]，f（2﹣x）∈[1，2]，，∴x∈[0，2]時，f（x）∈[1，4]，，∴x∈[2，4]時，f（x）∈[4，16]，x∈[4，6]時，f（x）∈[16，64]，…以此類推可知：x∈[2k，2k+2]時，f（x）∈[22k，22k+2]，∴當(dāng)x∈[2014，2016]時，f（x）∈[22014，22016]，因此x∈[0，2016]時，f（x）∈[1，22016]，x∈[﹣2016，0]時，，綜上可知當(dāng)x∈[﹣2016，2016]時函數(shù)f（x）對的值域為[2﹣2016，22016]．20.已知等差數(shù)列的公差不為零，，且成等比數(shù)列。（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）求；參考答案：略21.已知中至少有一個小于2。參考答案：證明：假設(shè)都不小于2，則

因為，所以，即，這與已知相矛盾，故假設(shè)不成立。綜上中至少有一個小于2。略22.已知x=1是函數(shù)f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一個極值點，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m與n的關(guān)系表達式；（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）當(dāng)x∈[﹣1，1]時，函數(shù)y=f（x）的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）求出f′（x），因為x=1是函數(shù)的極值點，所以得到f'（1）=0求出m與n的關(guān)系式；（Ⅱ）令f′（x）=0求出函數(shù)的極值點，討論函數(shù)的增減性確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）函數(shù)圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m即f′（x）＞3m代入得到不等式即3m（x﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，又因為m＜0，分x=1和x≠1，當(dāng)x≠1時g（t）=t﹣，求出g（t）的最小值．要使＜（x﹣1）﹣恒成立即要g（t）的最小值＞，解出不等式的解集求出m的范圍．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+n．因為x=1是f（x）的一個極值點，所以f'（1）=0，即3m﹣6（m+1）+n=0．所以n=3m+6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+3m+6=3m（x﹣1）[x﹣（1+）]當(dāng)m＜0時，有1＞1+，當(dāng)x變化時f（x）與f'（x）的變化如下表：x（﹣∞，1+）1+（1+，1）1（1，+∞）f′（x）＜00＞00＜0f（x）單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減由上表知，當(dāng)m＜0時，f（x）在（﹣∞，1+）單調(diào)遞減，