福建省莆田市湄洲中學2022年高二數(shù)學理月考試題含解析

福建省莆田市湄洲中學2022年高二數(shù)學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=﹣11，a4+a6=﹣6，則當Sn取最小值時，n等于(

)A．6 B．7 C．8 D．9參考答案：A【考點】等差數(shù)列的前n項和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】條件已提供了首項，故用“a1，d”法，再轉化為關于n的二次函數(shù)解得．【解答】解：設該數(shù)列的公差為d，則a4+a6=2a1+8d=2×（﹣11）+8d=﹣6，解得d=2，所以，所以當n=6時，Sn取最小值．故選A．【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式以及前n項和公式的應用，考查二次函數(shù)最值的求法及計算能力．2.對于非零向量，定義運算“”：，其中為的夾角，有兩兩不共線的三個向量，下列結論正確的是

(

）A．若，則

B．C．

D．參考答案：D3.曲線上的點到直線的最短距離是(

)

A．

B．

C．

D．0參考答案：B設為曲線上的任意一點，則由，所以，所以點（1,0）到直線的距離最短，最短距離為。4.在中，．若以為焦點的橢圓經(jīng)過點，則該橢圓的離心率

(

)

A.

B.

C.

D.

參考答案：B略5.在復平面內(nèi)，復數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)等于（

）A．1+2i

B．1－2i

C．1+3i

D．－1－3i參考答案：A∴z的共軛復數(shù)，故選：A

6.在數(shù)列中，等于

（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：C略7.已知a為函數(shù)的極小值點，則a=（

）A．－4

B．－2

C．4

D．2參考答案：D因為，令，，當時，單調遞增；當時，單調遞減；當時，單調遞增．所以．故選D．8.函數(shù)的一個單調遞增區(qū)間是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A9.已知，，，點在直線上運動，則當取得最小值時，點的坐標為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C10.給出命題：若方程mx2+ny2=1（m，n∈R）表示橢圓，則mn＞0．在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數(shù)是（）A．3 B．2 C．1 D．0參考答案：B【考點】四種命題．【分析】根據(jù)橢圓的定義判斷原命題的真假，從而求出逆否命題的真假，求出逆命題的真假，從而判斷出否命題的真假即可．【解答】解：若方程mx2+ny2=1（m，n∈R）表示橢圓，則m＞0，n＞0，故mn＞0，故原命題是真命題，逆否命題是真命題，若mn＞0，則方程mx2+ny2=1（m，n∈R）表示橢圓，是假命題，故否命題是假命題，故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點，分別為雙曲線的焦點和虛軸端點，若線段的中點在雙曲線上，則雙曲線的漸近線方程為___________．參考答案：將化為標準方程，∴，，，∴離心率．12.直線x﹣+1=0被圓x2+y2﹣2x﹣3=0所截得的弦長為．參考答案：考點：直線與圓相交的性質．專題：計算題；直線與圓．分析：由圓的方程求出圓心和半徑，求出圓心到直線x﹣+1=0的距離d的值，再根據(jù)弦長公式求得弦長．解答：解：圓x2+y2﹣2x﹣3=0，即（x﹣1）2+y2=4，表示以C（1，0）為圓心，半徑等于2的圓．由于圓心到直線x﹣+1=0的距離為d==1，故弦長為2=2．故答案為：2．點評：本題主要考查直線和圓相交的性質，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，屬于中檔題．13.，則

．參考答案：201214.已知，則=

▲

.參考答案：28

15.已知函數(shù)在上不單調，則的取值范圍是

．參考答案：略16.（5分）設n為奇數(shù)，則除以9的余數(shù)為．參考答案：由于n為奇數(shù)，=（1+7）n﹣1=（9﹣1）n﹣1=+++…++﹣1，顯然，除了最后2項外，其余的各項都能被9整除，故此式除以9的余數(shù)即最后2項除以9的余數(shù)．而最后2項的和為﹣2，它除以9的余數(shù)為7，故答案為7．所給的式子即（9﹣1）n﹣1的展開式，除了最后2項外，其余的各項都能被9整除，故此式除以9的余數(shù)即最后2項除以9的余數(shù)．17.若x=1是函數(shù)f(x)=(x2+ax－5)ex的極值點，則f(x)在[－2,2]上的最小值為______.參考答案：－3e【分析】先對f(x)求導，根據(jù)可解得a的值，再根據(jù)函數(shù)的單調性求出區(qū)間上的最小值。【詳解】，則，解得，所以，則.令，得或；令，得.所以在上單調遞減；在上單調遞增.所以.【點睛】本題考查由導數(shù)求函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的最小值，解題關鍵是由求出未知量a。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，，PD⊥平面ABCD，，點E，F(xiàn)分別為AB和PD中點.（1）求證：直線AF∥平面PEC；（2）求PC與平面PAB所成角的正弦值.參考答案：(1)見解析.(2).試題分析：（1）作交于根據(jù)條件可證得為平行四邊形，從而根據(jù)線面平行的判定，即可得證；（2）建立空間直角坐標系，根據(jù)條件中的數(shù)據(jù)可求得平面平面PAB的一個法向量為，從而問題可等價轉化為求與的夾角．試題解析：（1）作交于，∵點為中點，∴，∴，∴為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）∵，∴，如圖所示，建立坐標系，則，，，，，∴，，設平面的一個法向量為，∵，，∴，取，則，∴平面PAB的一個法向量為，∵，∴設向量與所成角為，∴，∴平面所成角的正弦值為．考點：1．線面平行的判定；2．空間向量求空間角．19.已知二次函數(shù)的最小值為0，不等式的解集為.(1)求集合；(2)設集合，若集合是集合的子集，求的取值范圍..參考答案：(1)由二次函數(shù)的最小值是0得：，.所以集合.(2)當時，集合符合題意.當時，集合，∴，∴.綜上的取值范圍是.20.(本小題滿分分)

在棱長為的正方體中，分別是棱的中點;（I）證明：平面；（II）求三棱錐的體積．參考答案：解：（I）證明：又平面，平面，平面（II）連結，由（1）得平面，

又，

21.如圖，已知四邊形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F(xiàn)，G，H分別為BP，BE，PC的中點．（Ⅰ）求證：平面FGH∥平面PDE；（Ⅱ）求證：平面FGH⊥平面AEB；（Ⅲ）在線段PC上是否存在一點M，使PB⊥平面EFM？若存在，求出線段PM的長；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】平面與平面垂直的判定；平面與平面平行的判定．【專題】證明題；轉化思想；空間位置關系與距離；空間角．【分析】（Ⅰ）利用三角形的中位線的性質證明FG∥PE，再根據(jù)直線和平面平行的判定定理證得結論．（Ⅱ）先證明EA⊥CB、CB⊥AB，可得CB⊥平面ABE．再根據(jù)FH∥BC，則FH⊥平面ABE．（Ⅲ）在線段PC上存在一點M，滿足條件．先證明PE=BE，根據(jù)F為PB的中點，可得EF⊥PB．要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM即可．此時，則△PFM∽△PCB，根據(jù)對應邊成比列求得PB、PF、PC的值，可得PM的值【解答】證明：（Ⅰ）因為F，G分別為BP，BE的中點，所以FG∥PE．又因為FG?平面PED，PE?平面PED，所以，F(xiàn)G∥平面PED，同理FH∥BC，又BC∥AD，所以FH∥平面PDE而FG∩FH=F，故平面FGH∥平面PDE（Ⅱ）因為EA⊥平面ABCD，所以EA⊥CB．又因為CB⊥AB，AB∩AE=A，所以CB⊥平面ABE．由已知F，H分別為線段PB，PC的中點，所以FH∥BC，則FH⊥平面ABE．而FH?平面FGH，所以平面FGH⊥平面ABE．…（Ⅲ）在線段PC上存在一點M，使PB⊥平面EFM．證明如下：在直角三角形AEB中，因為AE=1，AB=2，所以BE=．在直角梯形EADP中，因為AE=1，AD=PD=2，所以PE=，所以PE=BE．又因為F為PB的中點，所以EF⊥PB．要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM．因為PD⊥平面ABCD，所以PD⊥CB，又因為CB⊥CD，PD∩CD=D，所以CB⊥平面PCD，而PC?平面PCD，所以CB⊥PC．若PB⊥FM，則△PFM∽△PCB，可得PM：PB=PF：PC．由已知可求得PB=2，PF=，PC=2，所以PM=

【點評】本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應用，直線和平面垂直的判定定理、平面和平面垂直的判定定理的應用，屬于中檔題．22.某園藝公司種植了一批名貴樹苗，為了解樹苗的生長情況，從這批樹苗中隨機地測量了50棵樹苗的高度（單位：厘米），并把這些高度列成如下的頻數(shù)分布表：

組別[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]

頻數(shù)

2

4

11

16

13

4（Ⅰ）在這批樹苗中任取一棵，其高度在80厘米以上的概率大約是多少？這批樹苗的平均高度大約是多少？（Ⅱ）為了進一步獲得研究資料，標記[40，50）組中的樹苗為A，B，[90，100]組中的樹苗為C，D，E，F(xiàn)，現(xiàn)從[40，50）組中移出一棵樹苗，從[90，100]組中移出兩棵樹苗，進行試驗研究，則[40，50）組的樹苗A和[90，100]組的樹苗C同時被移出的概率是多少？參考答案：【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意，由頻率分布表可得高度不低于80厘米的頻數(shù)，進而由等可能事件的概率公式，計算可得答案；（Ⅱ）設[40，50）組中的樹苗為A