第1講 空間幾何體的截面圖形（含解析）

第1講空間幾何體的截面圖形一、單選題12023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在正方體ABCD_A1B1C1D1中，P,Q分別是線段AB1與BC1的中點(diǎn)，現(xiàn)有如下結(jié)論：①直線PQ與直線DD1所成的角為②直線PQ」平面BDD1B1；；③PQ=AB1；④平面PQD1截正方體所得的截面是四邊形.則正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()22023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD_A1B1C1D1中，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，則下列說法不正確的是()A．當(dāng)三棱錐B1_BEF的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上時(shí)，球O的表面積為3π2B．異面直線DD1與B1F所成角的余弦值為C．點(diǎn)P為正方形A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)DP//平面B1EF時(shí)，DP的最小值為D．過點(diǎn)D1、E、F的平面截正方體ABCD_A1B1C1D1所得的截面周長(zhǎng)為3+32024·浙江湖州·湖州中學(xué)校考一模）在四棱錐P_ABCD中，棱長(zhǎng)為2的側(cè)棱PD垂直底面邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD，M為棱PD的中點(diǎn)，過直線BM的平面C分別與側(cè)棱PA、PC相交于點(diǎn)E、F，當(dāng)PE=PF時(shí)，截面MEBF的面積為()42024上·四川成都·高三樹德中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知正方體ABCD_A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中:①若點(diǎn)Q為CC1的中點(diǎn)，則PA1+PQ的最小值為/17；②過點(diǎn)P作與AD1和BA1都成的直線，可以作四條；③若點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)C作與直線D1P垂直的平面C，則平面C截正方體ABCD_A1B1C1D1的截面周長(zhǎng)為2+；④若點(diǎn)P到直線BB1與到直線AD的距離相等，CD的中點(diǎn)為E，則點(diǎn)P到直線AE的最短距離是.其中正確的命題有()52024上·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）已知正四棱臺(tái)的上下底面邊長(zhǎng)分別為1和3，高為2.用一個(gè)平行于底面的截面截棱臺(tái)，若截得的兩部分幾何體體積相等，則截面與上底面的距離為()62024上·寧夏銀川·高三寧夏育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱AD,DD1,CD的中點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是()A．直線A1G,C1E共面D1-BEF3C．直線A1G與平面ADD1A1所成角的正切值為D．過點(diǎn)B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面面積為9 4π72024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐V-ABC中，BV平面VAC，VA=1，AB=AC=，VAC= 4π點(diǎn)F為棱AV上一點(diǎn)，過點(diǎn)F作三棱錐V-ABC的截面，使截面平行于直線VB和AC，當(dāng)該截面面積取得 34282024上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校校聯(lián)考期末）過正四棱錐P-ABCD的高PH的中點(diǎn)作平行于底面ABCD的截面A1B1C1D1，若四棱錐P-ABCD與四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的表面積之比為，則直線PA與底面ABCD所成角的余弦值為() 92024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖所示，正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，上底面邊長(zhǎng)為3，下底面邊長(zhǎng)為6，體積為，點(diǎn)E在AD上且滿足DE=2AE，過點(diǎn)E的平面C與平面D1AC平行，且與正四棱臺(tái)各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長(zhǎng)為()102023·四川南充·統(tǒng)考一模）如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點(diǎn)，則平面AEF截正方體所得的截面面積為()A.32B.92112024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱A1B1，DD1的中點(diǎn)，過直線EF的平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為s，最大值為S，則=() 122023上·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E為C1D1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CC1上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，若平面BEF截該正方體所得的截面為五邊形，則線段CF的取值范圍是()二、多選題132024·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，E，F(xiàn)分別為棱AB，CC1的中點(diǎn)，過D1，E，F(xiàn)三點(diǎn)作該正四棱柱的截面a，則下列判斷正確的是()A．異面直線EF與直線BB1所成角的正切值為B．截面a為六邊形C．若AB=2，截面a的周長(zhǎng)為2+352D．若AB=2，截面a的面積為142024·吉林延邊·統(tǒng)考一模）如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，DE=BF=1,DEⅡBF,DE」平面ABCD，動(dòng)點(diǎn)P在線段EF上，則下列說法正確的是()B．存在點(diǎn)P，使得DPⅡ平面ACFC．三棱錐A-CDE的外接球被平面ACF所截取的截面面積是D．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí)，直線DP與平面ACF所成角的余弦值為152024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知M,N,P分別是棱C1D1,AA1,BC的中點(diǎn)，Q為平面PMN上的動(dòng)點(diǎn)，且直線QB1與直線DB1的夾角為30。，則()」平面PMNB．平面PMN截正方體所得的截面圖形為正六邊形C．點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為πD．能放入由平面PMN分割該正方體所成的兩個(gè)空間幾何體內(nèi)部（厚度忽略不計(jì)）的球的半徑的最大值162023上·河南駐馬店·高三統(tǒng)考期末）在三棱錐A-BCD中，AD=BC=4，AB=BD=DC=CA=6，M為BC的中點(diǎn)，N為BD上一點(diǎn)，球O為三棱錐A-BCD的外接球，則下列說法正確的是()A．球O的表面積為11πB．點(diǎn)A到平面BCD的距離為√14C．若MNAB，則DN=6NBD．過點(diǎn)M作球O的截面，則所得的截面中面積最小的圓的半徑為2172024上·河南鄭州·高三河南省新鄭市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓錐SO的側(cè)面積為3π,母線SA=l，底面圓的半徑為r，點(diǎn)P滿足=2，則()A．當(dāng)r=1時(shí)，圓錐SO的體積為B．當(dāng)r=時(shí)，過頂點(diǎn)S和兩母線的截面三角形的最大面積為C．當(dāng)r=1時(shí)，從點(diǎn)A繞圓錐一周到達(dá)點(diǎn)P的最短長(zhǎng)度為/13D．當(dāng)l=3時(shí)，棱長(zhǎng)為√2的正四面體在圓錐SO內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)182024·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）如圖所示，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=4,AB=2,E為AA1的中點(diǎn)，則()A．DE//平面A1CAB．DE平面D1C1EC．P為棱A1B1上任一點(diǎn)，則三棱錐C-PDE的體積為定值D．平面DCE截此四棱柱的外接球得到的截面面積為192024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知所有頂點(diǎn)在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體叫作擬柱體，在這兩個(gè)平面內(nèi)的面叫作擬柱體的底面，其余各面叫作擬柱體的側(cè)面，到上、下底面距離相等的截面叫作中截面．現(xiàn)有擬柱體ABCD-A1B1C1D1，其中上、下底面均為邊長(zhǎng)為2的正OO1與兩底面垂直，且OO1=3，則()A．?dāng)M柱體ABCD-A1B1C1D1外接球的表面積為17πB．直線AA1與平面ABCD所成角θ滿足tanθ=C．?dāng)M柱體ABCD-A1B1C1D1的中截面面積的最大值為2(1+)D．?dāng)M柱體ABCD-A1B1C1D1的側(cè)面為全等的三角形202024上·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考期末）棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列選項(xiàng)中正確的有()A．過A1C的平面截此正方體所得的截面為四邊形B．過A1C的平面截此正方體所得的截面的面積范圍為2,4C．四棱錐C-A1B1C1D1與四棱錐C1-ABCD的公共部分為八面體D．四棱錐C-A1B1C1D1與四棱錐C1-ABCD的公共部分體積為212024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱A1D1，AB的中點(diǎn)，P為側(cè)面BCC1B1的一動(dòng)點(diǎn)，下列說法正確的是A．異面直線AC與BM所成角的余弦值為223B．若ΔAC1P的面積為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分C．若點(diǎn)P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線的一部分D．過直線MN的平面a與面ABCD所成角最小時(shí)，平面a截正方體所得的截面面積為3222024上·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，M分別為線段AD1，A1C的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足=λ(λe[0,1])，點(diǎn)H為棱AA1（包含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是()A．平面EMN截正方體得到的截面多邊形是矩形B．二面角D1-AB1-C的大小為C．存在λ,使得平面EMN」平面AB1CD．若CH」平面β,則直線CD與平面β所成角的正弦值的取值范圍為,232024上·遼寧遼陽·高三統(tǒng)考期末）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為AD，CC1的中點(diǎn)，則()BF∥DEBF∥DEB．過A1，B，F(xiàn)的截面面積為92C．直線BF與AC所成角的余弦值為D．EF與平面ABCD所成角的正弦值為66242024上·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知正方體ABCD-A1B1C1D1，點(diǎn)P滿足BP=λBC+μBB1,λe0,1],μe[0,1，下列說法正確的是(A．存在無窮多個(gè)點(diǎn)P，使得過D1,B,P的平面與正方體的截面是菱形B．存在唯一一點(diǎn)P，使得AP//平面A1C1DC．存在無窮多個(gè)點(diǎn)P，使得A1P」B1DD．存在唯一一點(diǎn)P，使得D1P」平面A1C1D別是棱BC，AC，AD上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AB,CD均與面EFG平行，則()A．直線AB與平面ACD所成的角的余弦值為B．四面體ABCD被平面EFG所截得的截面周長(zhǎng)為定值1C．三角形EFG的面積的最大值為D．四面體ABCD的內(nèi)切球的表面積為262023上·福建泉州·高三福建省泉州第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，B．三棱錐P-AD1E的體積與P點(diǎn)的位置有關(guān)P的最小值為4+2D．當(dāng)λe(|（0,時(shí)，平面PEF截正方體的截面形狀為五邊形A的中點(diǎn)，則()A．平面A1MN截正方體所得截面為等腰梯形C．異面直線MN與D1P所成角的余弦值為面為Ω,則()A．存在正實(shí)數(shù)m，n，t，使得截面Ω為等邊三角形B．存在正實(shí)數(shù)m，n，t，使得截面Ω為平行四邊形292023上·福建泉州·高三?？茧A段練習(xí)）正方體ABCD一A1B1C1D1中，P，Q分別為棱BC和CC1的中點(diǎn)，則下列說法正確的是()A．BC1//平面AQPB．A1D」平面AQPC．異面直線A1C1與PQ所成角為60。D．平面AQP截正方體所得截面為等腰梯形302023上·江蘇南京·高三南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體ABCD一A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是棱BC，DD1上的中點(diǎn)，點(diǎn)P為平面ABCD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的有()A．平面AEF截該正方體所得的截面圖形是五邊形B．若點(diǎn)P到直線BB1與到直線DC的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡是拋物線C．若D1P與AB所成的角為，則點(diǎn)P的軌跡是雙曲線33D．以B33為半徑的球面與平面AEF相交所得曲線的面積為 π 7上的一點(diǎn)，則下列說法正確的是()A．當(dāng)M點(diǎn)與A1點(diǎn)重合時(shí)，直線AC1平面ACMB．當(dāng)點(diǎn)M移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D到平面ACM的距離為定值C．當(dāng)M點(diǎn)與E點(diǎn)重合時(shí)，平面ACM與平面CC1D1D夾角的正弦值為D．當(dāng)M點(diǎn)為線段A1E中點(diǎn)時(shí)，平面ACM截正方體ABCD-A1B1C1D1所得截面面積為322024·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，底面半徑為1，體積為3π的圓柱OO1的一個(gè)軸截面為ABB1A1，點(diǎn)M為下底面圓周上一動(dòng)點(diǎn)，則()A．四面體M-ABO1體積的最大值為1B．直線AO1與MB1可能平行D．當(dāng)MB=1時(shí)，平面MA1B1截圓柱OO1的外接球的截面面積為 π332024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)，則()C．平面A1EC截正方體ABCD-A1B1C1D1所得截面面積為D．四棱錐E-BB1C1C與四棱錐E-BB1D1D的體積相等662342023上·黑龍江雞西·高三雞西市第一中學(xué)校?？计谀┤鐖D，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，B=BF，則下列說法正確的是()A．EF與CD的夾角取值范圍是,B．三棱錐C1-EFD1的體積為定值C．平面C1EF與正方體ABCD-A1B1C1D1的截面為梯形、BC的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐C1-EFB1的外接球的表面積為π352023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）與那些英雄們的墓志銘相比，大概只有數(shù)學(xué)家的墓志銘最為言簡(jiǎn)意賅．他們的墓碑上往往只是刻著一個(gè)圖形或?qū)懼粋€(gè)數(shù)，這些形和數(shù)，展現(xiàn)著他們一生的執(zhí)著追求和閃光的業(yè)績(jī)．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德就是這樣，他的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱里內(nèi)切著一個(gè)球．這個(gè)球的直徑恰與圓柱的高相等．這個(gè)稱為“等邊圓柱”的圖形如圖所示，記內(nèi)切球的球心為O，圓柱上、下底面的圓心分別為O1，O2，四邊形ABCD是圓柱的一個(gè)軸截面，EF為底面圓O2的一條直徑，若圓柱的高為4，則()A．內(nèi)切球的表面積與圓柱的表面積之比為2：3B．圓柱的外接球的體積與圓柱的體積之比為4：3C．四面體CDEF的體積的最大值為D．平面CEF截得球O的截面面積的取值范圍為|L5,362023上·廣東中山·高三中山一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在線段BC1上運(yùn)動(dòng)，則下列判斷中正確的A．PB1不可能垂直于CD1B．A1P//平面ACD1C．三棱錐D1-APC的體積不變D．若正方體的棱長(zhǎng)為1，且E，F(xiàn)分別為AD，AA1的中點(diǎn)，則過E，F(xiàn)，P的截面面積最大值為372024上·甘肅·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)接于球O,AA1=8,ABAC,AB=AC=4，點(diǎn)D,E為AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為側(cè)面BCC1B1上一動(dòng)點(diǎn)，且A1Q=4，則下列結(jié)論正確的是()A．點(diǎn)A到平面A1BC的距離為B．存在點(diǎn)Q，使得CQ平面83AC．過點(diǎn)D作球的截面，截面的面積最小為4πD．點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)為2π382023上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則下列關(guān)于該圓錐的結(jié)論正確的是()A．體積等于πC．外接球的體積等于πB．過頂點(diǎn)的截面面積最大值等于2D．內(nèi)切球的表面積等于2π392023·貴州銅仁·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P,E,F,G分別為棱BC，A1D1，DCAA1的中點(diǎn)，Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)，過A,P,Q的平面截正方體所得的截面記為S，則下列命題正確的是()A．當(dāng)CQ=時(shí)，PQ//平面EFGB．當(dāng)CQ=時(shí)，S的面積為C．當(dāng)<CQ<1時(shí)，S為六邊形 12D．當(dāng)CQ=時(shí)，S與C1D1的交點(diǎn)R滿足C1R 12402023上·江蘇淮安·高三校考階段練習(xí)）如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別為AD，AB，B1C1的中點(diǎn)，以下說法正確的是()」平面EFGB．C到平面EFG的距離為2C．過點(diǎn)E，F(xiàn)，G作正方體的截面，所得截面的面積是3D．平面EGF與平面BCC1B1夾角余弦值為33412023上·遼寧朝陽·高三校聯(lián)考期中）如圖，有一個(gè)正四面體形狀的木塊，其棱長(zhǎng)為a．現(xiàn)準(zhǔn)備將該木塊鋸開，則下列關(guān)于截面的說法中正確的是()A．過棱AC的截面中，截面面積的最小值為B．若過棱AC的截面與棱BD（不含端點(diǎn)）交于點(diǎn)P，則cos經(jīng)APC的最小值為C．若該木塊的截面為平行四邊形，則該截面面積的最大值為D．與該木塊各個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的截面有7個(gè)422024上·江西景德鎮(zhèn)·高三景德鎮(zhèn)一中?？茧A段練習(xí)）正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，M是CC1的中點(diǎn)，下列說法中錯(cuò)誤的是()A．AC1//平面MBDB．異面直線MB與AA1所成角的余弦值為C．若P為正方體對(duì)角線BD1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD+PM最小值為+2432023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD一A1B1C1D1中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為底面ABCD內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)（含邊界則下列說法正確的是()A．過點(diǎn)A1，E，C1的平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為3+2B．存在點(diǎn)F，使得DF」平面A1EC1C．若D1F//平面A1EC1，則動(dòng)點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為√2D．當(dāng)三棱錐F一A1EC1的體積最大時(shí)，三棱錐F一A1EC1外接球的表面積為11π三、填空題則該三棱柱外接球的表面積為；若點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段AC1上一動(dòng)點(diǎn)，則平面BPQ截三棱柱ABC-A1B1C1所得截面面積的最大值為.452023上·江蘇南通·高三江蘇省如東高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）在平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝3，BC＝CD＝3，BC⊥CD，將△ABD沿BD折起，使點(diǎn)A到達(dá)A′，且A,C=3，則四面體A′BCD的外接球O的體積為；若點(diǎn)E在線段BD上，且BD＝4BE，過點(diǎn)E作球O的截面，則所得截面圓中面積最小的圓半徑為.462023·河北·石家莊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在正四棱錐P-ABCD中，底面ABCD的邊長(zhǎng)為2，ΔPAC為正三角形，點(diǎn)M,N分別在PB，PD上，且PM=2MB，PN=2ND，過點(diǎn)A,M,N的截面交PC于點(diǎn)H，則四棱錐P-AMHN的體積為.第1講空間幾何體的截面圖形一、單選題12023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P,Q分別是線段AB1與BC1的中點(diǎn)，現(xiàn)有如下結(jié)論：①直線PQ與直線DD1所成的角為；②直線PQ平面BDD1B1；③PQ=AB1；④平面PQD1截正方體所得的截面是四邊形.則正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()【答案】C【解析】對(duì)于①,在正方體ABCD-A1B1C1D1中，連接A1因?yàn)樗倪呅蜛1A1B1B為正方形，且P分別是線段AB1的中點(diǎn)，則P分別是線段A1B的中點(diǎn)，又Q分別是線段BC1的中點(diǎn)，連接A1C1,則PQ∥A1C1，又D1D平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1，故D1DA1C1，即D1DPQ，即直線PQ與直線DD1所成的角為，①錯(cuò)誤；對(duì)于②,四邊形A1B1C1D1為正方形，故A1C1B1D1，而D1DA1C1，D1DnB1D1=D1,D1D,B1D1平面BDD1B1，故A1C1平面BDD1B1，又PQ∥A1C1，故PQ平面BDD1B1，②正確；故PO=A1B，③正確；連接SQ,PT，分別交CC1,A1A于M,R，由于PQ∥A1C1，故l∥PQ，且PQ=A1C1子ST，故延長(zhǎng)SQ,PT必交于一點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為N，由于SQ一平面BB1C1C，PT一平面AA1B1B，平面BB1C1Cn平面AA1B1B=BB1故N點(diǎn)在B1B上，則D1,M,N,R均在平面SNT上，ST，,連接D1M,D1R，則四邊形D1MNR即為平面PQD1截正方體所得的截面，④正確，即正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為3，故選：C22023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，則下列說法不正確的是()A．當(dāng)三棱錐B1-BEF的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上時(shí)，球O的表面積為3π2B．異面直線DD1與B1F所成角的余弦值為C．點(diǎn)P為正方形A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)DP//平面B1EF時(shí)，DP的最小值為D．過點(diǎn)D1、E、F的平面截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面周長(zhǎng)為3+【答案】D【解析】對(duì)于A：三棱錐B1-BEF的外接球即為以BB1、BE、BF為鄰邊的長(zhǎng)方體的外接球，所以外接球的表面積S=4πR2=，故A正確； 1對(duì)于B：因?yàn)镈D1//BB1，則異面直線DD1與B1F所成角為經(jīng)BB1F，且BB1=1，BF 124DP4DP取到最小值，且最小值為 可得B1F25，所以cosBB1F255，所以，異面直線DD1與B1F所成角的余弦值為，故B正確；對(duì)于C：取A1B可得B1F25，所以cosBB1F255，所以，異面直線DD1與B1F所成角的余弦值為，故B正確；由題意可得：AE//B1M，AEB1M，則AEB1M為平行四邊形，所以B1E//AM，因?yàn)樗倪呅蜛1B1C1D1為正方形，M、N分別為A1B1、C1D1的中點(diǎn)，則A1M//D1N，A1MD1N，所以，四邊形A1D1NM為平行四邊形，所以，MN//A1D1，MNA1D1，又因?yàn)锳D//A1D1，ADA1D1，可得MN//AD，MNAD，則AMND為平行四邊形，所以AM//DN，可得B1E//DN，因?yàn)锽1E平面B1EF，DN平面B1EF，則DN//平面B1EF，因?yàn)锳A1//CC1，AA1CC1，則四邊形AA1C1C為平行四邊形，則AC//A1C1，因?yàn)镋、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，則EF//AC，同理可得QN//A1C1，則EF//A1C1，可得QN//EF，因?yàn)镋F平面B1EF，QN平面B1EF，則QN//平面B1EF，因?yàn)镈NIQNN，DN、QN平面DNQ，所以平面DNQ//平面B1EF，則點(diǎn)P在線段QN上，可得QNA1C1，DQQNDDDDD1N24 2所以當(dāng)點(diǎn)P為線段QN的中點(diǎn)時(shí)，DPQN，2DQ2QN對(duì)于D：連接AC、A1C1，因?yàn)镋、F為AB、BC的中點(diǎn)，則EF//AC，又因?yàn)锳A1//CC1，AA1=CC1，則AA1C1C為平行四邊形，可得AC//A1C1，則EF//A1C1，過D1作KL//A1C1，設(shè)KLnA1B1=K，KLnB1C1=L連接KE、LF，設(shè)KEnAA1=G，LFnCC1=H，連接D1G、D1H，可得過點(diǎn)D1、E、F的平面截正方體ABCD一A1B1C1D1所得的截面為五邊形EFHD1G，所以截面周長(zhǎng)為2x+2x+=+，故D錯(cuò)誤；故選：D.32024·浙江湖州·湖州中學(xué)校考一模）在四棱錐P一ABCD中，棱長(zhǎng)為2的側(cè)棱PD垂直底面邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD，M為棱PD的中點(diǎn)，過直線BM的平面C分別與側(cè)棱PA、PC相交于點(diǎn)E、F，當(dāng)PE=PF時(shí)，截面MEBF的面積為()所以cosBE,BF=4444所以cosBE,BF=4444所以所以cosME,MF=【答案】D【解析】由題意，PD」平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D_xyz，又PE=PF，PA=PC，所以=t=(0,2t,_2t)，則F(0,2t,2_2t)，由題意，M、E、B、F四點(diǎn)共面，所以BM=xBE+所以28，即，即 BEBF所以S所以又又9MEMF91即即‘EBF‘EMF33故選：D42024上·四川成都·高三樹德中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知正方體ABCD一A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,P為底面正方形ABCD內(nèi)（含邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中:①若點(diǎn)Q為CC1的中點(diǎn)，則PA1+PQ的最小值為；②過點(diǎn)P作與AD1和BA1都成的直線，可以作四條；③若點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)C作與直線D1P垂直的平面C，則平面C截正方體ABCD一A1B1C1D1的截面周長(zhǎng)為2+；④若點(diǎn)P到直線BB1與到直線AD的距離相等，CD的中點(diǎn)為E，則點(diǎn)P到直線AE的最短距離是.其中正確的命題有()【答案】C延長(zhǎng)QC到Q,，使CQ,=1，由點(diǎn)Q為CC1的中點(diǎn)，得平面ABCD是線段QQ,的中垂面，連接A1Q,,A1C1，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為直線A1Q,與平面ABCD的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，①正確；連接BC1，四邊形ABC1D1是正方體AC1的對(duì)角面，則四邊形ABC1D1是矩形，即BC1//AD1，CBC1的平分線與直線BA1,BC1都成的角，顯然在空間過點(diǎn)B作與直線BA1,AD1都成角的直線只有1條，則過空間任意點(diǎn)作與直線BA1,AD1都成角的直線只有1條，②錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時(shí)，取BB1,BA的中點(diǎn)F,G，連接CG,CF,GF,C1P， π2P= π2即有CF」C1P，而D1C1」平面BCC1B1，CF一平面BCC1B1，則CF」D1C1，又D1C1nC1P=C1,D1C1,C1P平面D1C1P，于是CF」平面D1C1P，而D1P平面D1C1P，因此CF」D1P，同理CG」D1P，顯然CGnCF=C,CG,CF一平面CGF，由于BB1」平面ABCD，則點(diǎn)P到直線BB1距離等于PB，即點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離等于它到直線AD的距離，因此點(diǎn)P軌跡是以點(diǎn)B為焦點(diǎn)，直線AD為準(zhǔn)線的拋物線在正方形ABCD及內(nèi)部，以線段AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P軌跡方程為y2=4x(0<y<2)，直線AE的方程為y=2x+2，令P(x0,2)(x0<1)， 于是當(dāng)x0=，即點(diǎn)P(,1)時(shí)，dmin=，④正確，所以正確命題的個(gè)數(shù)為2.故選：C52024上·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）已知正四棱臺(tái)的上下底面邊長(zhǎng)分別為1和3，高為2.用一個(gè)平行于底面的截面截棱臺(tái)，若截得的兩部分幾何體體積相等，則截面與上底面的距離為()【答案】D【解析】延長(zhǎng)正四棱臺(tái)ABCD一A1B1C1D1的如圖所示，截面A,B,C,D,平行于底面設(shè)上底面ABCD的面積為S1，下底面A1B1C1D1的面積為S2，截面A,B,C,D,的面積為S，上底面ABCD的中心為O，下底面A1B1C1D1的中心為O1，連結(jié)PO1，設(shè)截面與上底面的距離為x，正方形A,B,C,D,的邊長(zhǎng)為a，2B又OO12故選：D.62024上·寧夏銀川·高三寧夏育才中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD一A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱AD,DD1,CD的中點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是()A．直線A1G,C1E共面D1BEF3C．直線A1G與平面ADD1A1所成角的正切值為D．過點(diǎn)B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面面積為9【答案】D【解析】對(duì)于A項(xiàng)，如圖①,分別連接A1C1,EG,AC,,在正方體ABCDA1B1C1D1中，易得矩形AA1C1C,故有A1C1//AC，又E，G分別是棱AD,CD的中點(diǎn)，則EG//AC,故EG//A1C1,即EG,A1C1可確定一個(gè)平面，故A項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，如圖③,連接A1D,因DC平面ADD1A1，故直線A1G與平面ADD1A1所成角即GA1D,對(duì)于D項(xiàng)，如圖④,連接BE,EF,BC1,C1F,易得EF//AD1,AD1//BC1,因平面ADD1A1//平面BCC1B1，則BC1為過點(diǎn)B，E，F(xiàn)的平面與平面BCC1B1的一條截線，即過點(diǎn)B，E，F(xiàn)的平面即平面BEFC1.=可得四邊形BEFC1為等腰梯形，故其面積為：SBEFC1=(+2)x22故選：D. 4π 4π點(diǎn)F為棱AV上一點(diǎn)，過點(diǎn)F作三棱錐V一ABC的截面，使截面平行于直線VB和AC，當(dāng)該截面面積取得 342【答案】C【解析】根據(jù)題意，在平面VAC內(nèi)，過點(diǎn)F作EF∥AC，交VC于點(diǎn)E；在平面VBC內(nèi)，過點(diǎn)E作EQ∥VB，交BC于點(diǎn)Q；在平面VAB內(nèi)，過點(diǎn)F作FD∥VB，交AB于點(diǎn)D，連接DQ，如圖所示，VFVEEFVFVEEF則2則22222又BV」平面VAC，VC，VA一平面VAC，所以BV」VC，BV」VA.ADABFDVBAFAV因?yàn)镕D∥VB，則ΔAFD-ΔADABFDVBAFAV同理可得QE=1k，即QE=FD，因?yàn)镋Q∥VB，F(xiàn)D∥VB，則EQ∥FD，故四邊形EFDQ為平行四邊形；而EQ一平面EFDQ，VB丈平面EFDQ，故VB∥平面EFDQ，同理AC//平面EFDQ，即四邊形EFDQ為截面圖形；又BV」平面VAC，EF一平面VAC，則BV」EF，又FD∥VB，所以FD」EF.所以當(dāng)k=時(shí)，S矩形EFDQ有最大值，則VF=kVA=，故選：C.82024上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校校聯(lián)考期末）過正四棱錐P一ABCD的高PH的中點(diǎn)作平行于底面ABCD的截面A1B1C1D1，若四棱錐P一A直線PA與底面ABCD所成角的余弦值為()【答案】A【解析】依題意過正四棱錐P一ABCD的高PH的中點(diǎn)作平行于底面ABCD的截面A1B1C1D1，則A1，B1，C1，D1分別為PA，PB，PC，PD的中點(diǎn)，【答案】D所以正方形ABCD的面積為a2，正方形A1B1C1D1的面積為正四棱錐的側(cè)面積為4根ab2-2=2ab2-2，2 4所以正四棱錐P-ABCD的表面積為a2+2a，a2a2+ab2-211解得b=a，由PH」平面ABCD，所以經(jīng)PAH為直線PA與底面ABCD所成角，所以cos經(jīng)PAH=所以cos經(jīng)PAH=故選：A.592024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖所示，正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中，上底面邊長(zhǎng)為3，下底面邊長(zhǎng)為6，體積為，點(diǎn)E在AD上且滿足DE=2AE，過點(diǎn)E的平面a與平面D1AC平行，且與正四棱臺(tái)各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長(zhǎng)為()1AH1AH2+AH2【解析】如圖所示，過點(diǎn)A1作A1H」AC于點(diǎn)H，因?yàn)锳1C1=3,AC=6，所以AH=，63263222.如圖所示：過D1F」AD于點(diǎn)F，AG」AD于點(diǎn)G，連接AD1，,+44分別在棱DC,DD1上取點(diǎn)N,M，使得DN:NC=DM:MD1=2:1，易得ME=NM=AD1=2,EN=AC=4，所以截面多邊形的周長(zhǎng)為4+4.故選：D.102023·四川南充·統(tǒng)考一模）如圖，正方體ABCD一A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為BC，CC1的中點(diǎn)，則平面AEF截正方體所得的截面面積為()A．-B．-C．9D．18【答案】B【解析】由題知連接BC1，AD1，D1F，如圖所示因?yàn)镋,F分別是BC,CC1的中點(diǎn)，所以EFBC1，在正方體中AD1BC1，所以EFAD1，所以A,D1,E,F在同一平面內(nèi)，所以平面AEF截該正方體所得的截面為平面EFD1A，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，則E到AD1的距離為等腰梯形EFD1A的高為(5)2-2=，故選：B.112024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱A1B1，DD1的中點(diǎn)，過直線EF的平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為s，最大值為S，則=()a+a+a+a+a 【答案】D【解析】如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球球心在其中心點(diǎn)O處，設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為a，11 22要使過直線EF的平面截該球得到的截面面積最小，則截面圓的圓心為線段EF的中點(diǎn)P，2(a)2(a)22(a)2(a)2此時(shí)截面圓的半徑r==.顯然當(dāng)截面面積最大時(shí)，截面圓的半徑為該正方體外接球的半徑R；所以所以sπr2π25.故選：D.122023上·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E為C1D1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CC1上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，若平面BEF截該正方體所得的截面為五邊形，則線段CF的取值范圍是()(1)(1)「12)(1](1)(1)「12)(1]【答案】B2因?yàn)锽e平面ABB1A1，Be平面BEF，平面CDD1C1//平面ABB1A1，則平面BEF與平面ABB1A1的交線過點(diǎn)B，且與直線EF平行，與直線A1B1相交，設(shè)交點(diǎn)為G，如圖所示，又因?yàn)镈D1」平面ABCD，AA1」平面ABCD，即經(jīng)C1EF,經(jīng)BGB1分別為EF，GB與平面ABCD所成的角，CF CECF CE1 B 1BG1,當(dāng)F與C重合時(shí)，平面BEF截該正方體所得的截面為四邊形，此時(shí)GA1=GB1=，即G為棱A1B1中點(diǎn)M；當(dāng)點(diǎn)F由點(diǎn)C向點(diǎn)C1移動(dòng)過程中，經(jīng)C1EF逐漸減小，點(diǎn)G由點(diǎn)B1向點(diǎn)A1方向移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)G為線段MA1上任意一點(diǎn)時(shí)，平面BEF只與該正方體的4個(gè)表而有交線，即可用成四邊形；當(dāng)點(diǎn)G在線段MA1延長(zhǎng)線上時(shí)，直線BG必與棱AA1交于除點(diǎn)A1外的點(diǎn)，又點(diǎn)F與C1不重合，此時(shí)，平面BEF與該正方體的5個(gè)表面有交線，截面為五邊形，如圖所示.所以線段CF的取值范圍是,1，所以若平面BEF截該正方體的截面為五邊形，線段CF的取值范圍是,1.故選：B.二、多選題132024·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，E，F(xiàn)分別為棱AB，CC1的中點(diǎn)，過D1，E，F(xiàn)三點(diǎn)作該正四棱柱的截面C，則下列判斷正確的是()A．異面直線EF與直線BB1所成角的正切值為B．截面C為六邊形C．若AB=2，截面C的周長(zhǎng)為2+352D．若AB=2，截面C的面積為【答案】AD【解析】由題意，對(duì)于A選項(xiàng)，異面直線EF與直線BB1所成的角，即為直線EF與直線CC1所成的角，連接EC，如下圖，則經(jīng)EFC即為直線EF與直線CC1所成的角或其補(bǔ)角.對(duì)于B選項(xiàng)，如下圖，延長(zhǎng)DC交D1F于點(diǎn)H，連接EH交BC于點(diǎn)I，延長(zhǎng)HE交DA于點(diǎn)K，連接D1K交11AA1于點(diǎn)J，連接FI，EJ，則五邊形D1FIEJ即為平面D1EF截該四棱柱得到的截面，即截面a為五邊形，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；在RtΔKD1D中，311 33所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)镵H==，所以KD1=KH，所以‘KD1H為等腰三角形.又D1H=4，所以FH=D1H=2，連接KF，所以SΔKDH=D1HxKF=x4x=，易知ΔKD1H∽ΔIFH，所以=，則SΔIFH=23， 同理可得S=，所以截面C的面積為S一S一S ΔKJE6ΔKDH故選：AD.142024·吉林延邊·統(tǒng)考一模）如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，DE=BF=1,DEⅡBF,DE」平面ABCD，動(dòng)點(diǎn)P在線段EF上，則下列說法正確的是()B．存在點(diǎn)P，使得DPⅡ平面ACFC．三棱錐A一CDE的外接球被平面ACF所截取的截面面積是D．當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí)，直線DP與平面ACF所成角的余弦值為【答案】ABD【解析】設(shè)ACnBD=O,連接FO，令EF中點(diǎn)為G，連接DG，如圖所示：由底面ABCD是正方形可得：O是BD,AC的中點(diǎn)，且BD」AC；由DE」平面ABCD，DE一平面ABCD，BD一平面ABCD,可得平面ABCD」平面DEFB，DE」BD；由DE=BF=1,DE//BF，DE」BD,可得四邊形DEFB為矩形.對(duì)于選項(xiàng)A:由BD」AC，平面ABCD」平面DEFB，且平面ABCD（平面DEFB=BD,AC一面DEFB，可得AC」面DEFB，又DP一面DEFB,所以AC」DP，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B:因?yàn)樵诰匦蜠EFB中,DO//FG,DO=FG,所以四邊形DOFG是平行四邊形，則直線DG//OF,因?yàn)镺F平面ACF,DG丈平面ACF,則DG//面ACF.故當(dāng)P是線段EF的中點(diǎn)G時(shí)，直線DP//面ACF,故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)樵讦CF中，AC=2,AF=,CF=,FO=,由正弦定理得：ΔACF的外接圓直徑2r=sinAC=3,則半徑為r=，圓面積為S=πr2=,因?yàn)槿忮FA一CDE的外接球的球心在過點(diǎn)O且與平面ACD垂直的直線上，且四邊形BDEF為矩形，所以點(diǎn)F在三棱錐A一CDE的外接球上.所以三棱錐A一CDE的外接球被平面ACF所截取的截面是ΔACF的外接圓，因此三棱錐A一CDE的外接球被平面ACF所截取的截面面積是，故C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)锳C」面DEFB，AC一平面ACF,所以面DEFB」平面ACF，所以DP(DF)在平面ACF內(nèi)的射影在直線OF上，即直線DP與平面ACF所成角為經(jīng)OFD(經(jīng)OPD).故選項(xiàng)D正確；故選：ABD.152024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD一A1B1C1D1中，已知M,N,P分別是棱C1D1,AA1,BC的中點(diǎn)，Q為平面PMN上的動(dòng)點(diǎn)，且直線QB1與直線DB1的夾角為30。，則()」平面PMNB．平面PMN截正方體所得的截面圖形為正六邊形C．點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為πD．能放入由平面PMN分割該正方體所成的兩個(gè)空間幾何體內(nèi)部（厚度忽略不計(jì)）的球的半徑的最大值【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，如圖所示以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，易知DB1=2m，故DB1」平面PMN，即A正確；B選項(xiàng)，取AB,CC1,A1D1的中點(diǎn)F,Q,E，2RSRS連接NE,NF,ME,MQ,PQ,PF,A1B,EP,D1C，結(jié)合題意可知NF//A1B//EP,EP//CD1//MQ，所以N、F、P、E四點(diǎn)共面且M、Q、P、E四點(diǎn)共面，兩個(gè)平面都過點(diǎn)P，所以M、Q、P、E、N、F六點(diǎn)共面，所以平面PMN截正方體所得的截面為正六邊形ENFPQM，B正確；C選項(xiàng)，由上知DB1」平面PMN，設(shè)垂足為S，以S為圓心B1S為半徑在平面PMN上作圓，由題意可知Q軌跡即為該圓，結(jié)合B的結(jié)論可知平面PMN平分正方體，根據(jù)正方體的中心對(duì)稱性可知S平分DB1，故半徑B1S=根DB1=1，故點(diǎn)Q的軌跡長(zhǎng)度為2π,C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由上知該兩部分空間幾何體相同，不妨求能放入含有頂點(diǎn)D的這一空間幾何體的球的半徑最大值，結(jié)合A項(xiàng)空間坐標(biāo)系及正方體的對(duì)稱性知該球球心O在DB1上，該球與平面PMN切于點(diǎn)S，與平面ABCD、平面A1D1DA、平面D1C1CD都相切，3-牽a=3-牽a=，2277故球的半徑的最大值為，D正確.故選：ABD考期末）在三棱錐A-BCD中，AD=BC=4，AB=BD=DC=CAM為BC的中點(diǎn)，N為BD上一點(diǎn)，球O為三棱錐A-BCD的外接球，則下列說法正確的是()A．球O的表面積為11πB．點(diǎn)A到平面BCD的距離為C．若MN」AB，則DN=6NBD．過點(diǎn)M作球O的截面，則所得的截面中面積最小的圓的半徑為2【答案】BCD可將三棱錐A-BCD補(bǔ)形成如圖所示的長(zhǎng)方體，設(shè)BF=x,BE=y,AE=z，|22||22|所以球O的半徑為=，所以球O的表面積為44π,故A錯(cuò)誤.2由題得長(zhǎng)方體為正四棱柱，AB=AC=BD=CD，M為BC的中點(diǎn)，故AM」BC,DM」BC,又AM（DM=M,AM,DM仁平面AMD，則BC」平面AMD，又BC仁平面BCD，故平面BCD」平面AMD，平面BCDn平面AMD=MD，過點(diǎn)A作MD的垂線，交MD于H，則AH」平面BCD,故AH為點(diǎn)A到平面BCD的距離.,以E為原點(diǎn)，EB，EC，EA所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，)，B，2,0,2.0,2λ,2λ)，,,0,2λ,2λ)，解得λ=，所以DN=6NB，故C正確.當(dāng)且僅當(dāng)OM與截面垂直時(shí)，截面面積最小，由A解析知：最小的半徑為11一7=2，故D正確.故選：BCD172024上·河南鄭州·高三河南省新鄭市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓錐SO的側(cè)面積為3π,母線SA=l，底面圓的半徑為r，點(diǎn)P滿足=2，則()A．當(dāng)r=1時(shí)，圓錐SO的體積為B．當(dāng)r=時(shí)，過頂點(diǎn)S和兩母線的截面三角形的最大面積為C．當(dāng)r=1時(shí)，從點(diǎn)A繞圓錐一周到達(dá)點(diǎn)P的最短長(zhǎng)度為D．當(dāng)l=3時(shí)，棱長(zhǎng)為的正四面體在圓錐SO內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)【答案】AC當(dāng)r=時(shí)，設(shè)圓錐軸截面為△SAB，因?yàn)閳A錐SO的側(cè)面積為3π,所以3π=x2πrxl牽l=2，故截面三角形的最大面積為S=l2sin90。=x2x2=2，B錯(cuò)誤；當(dāng)r=1時(shí)，l=3，側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)為2π,沿SA將側(cè)面展開，得扇形SA1A，AS+SP2AS.SPcos2π3=，C正確；將正四面體放到正方體內(nèi)，則正四面體的外接球與正方體的外接球相同，若正四面體的棱長(zhǎng)為，則正方體的棱長(zhǎng)為1，則外接球半徑為x1=，3π2πrlr1由題圓錐SO3π2πrlr1則圓錐的高SO9122，則圓錐的高設(shè)內(nèi)切球半徑為R，球心為N，球與母線SA相切于T，則NTSA，ANNTRANNTR易知ΔSAO∽ΔSNT解得R，不可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，D錯(cuò)誤.故選：AC.182024·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）如圖所示，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA14,AB2,E為AA1的中點(diǎn)，則()A．DE//平面A1CAB．DE平面D1C1EC．P為棱A1B1上任一點(diǎn)，則三棱錐CPDE的體積為定值D．平面DCE截此四棱柱的外接球得到的截面面積為【答案】BC【解析】A：由E為AA1的中點(diǎn)，所以A錯(cuò)；BC1D1平面AA1D1D,DE平面AA1D1D，【答案】ACDDE，又DE」D1E,C1D1平面D1C1E，D1E平面D1C1E，：DE」平面D1C1E，B對(duì)；B1//平面CDE,PeA1B1,：VPCDE為定值，C對(duì)；D：設(shè)外接球球心為O，即為對(duì)角線A1C中點(diǎn).O到平面DCE距離為A1到平面DCE距離的一半，A1到平面CDE距離等于A到平面CDE距離，設(shè)為d，正四棱柱外接球半徑為222+22+422所以截面圓半徑r=故選：BC6一2 222192024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知所有頂點(diǎn)在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體叫作擬柱體，在這兩個(gè)平面內(nèi)的面叫作擬柱體的底面，其余各面叫作擬柱體的側(cè)面，到上、下底面距離相等的截面叫作中截面．現(xiàn)有擬柱體ABCDA1B1C1D1，其中上、下底面均為邊長(zhǎng)為2的正方形，OO1與兩底面垂直，且OO1=3，則()A．?dāng)M柱體ABCDA1B1C1D1外接球的表面積為17πB．直線AA1與平面ABCD所成角θ滿足tanθeD．?dāng)M柱體ABCDA1B1C1D1的側(cè)面為全等的三角形【解析】對(duì)于A中，如圖所示，O,O1分別為底面ABCD和底面A1B1C1D1的中心，OO1與兩底面垂直，可得擬柱體ABCD一A1B1C1D1的外接球球心為OO1的中點(diǎn)O2，因?yàn)镺O1=3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，所以外接球的表面積為17π,所以A正確；對(duì)于B中，設(shè)直線AA1與平面ABCD所成角為θ,因?yàn)镺O1與兩底面垂直，則AA1與OO1所成角為一θ,當(dāng)AA1最長(zhǎng)時(shí)，AA1與OO1所成角最大，則θ最小，因?yàn)镺O1=3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，可得正方形ABCD的對(duì)角線長(zhǎng)為2 對(duì)于C中，如圖所示，當(dāng)擬柱體ABCD一A1B1C1D1為正四棱柱時(shí)，中截面的面積為4，DDB1A為全等的等腰三角形時(shí)，此時(shí)擬柱體ABCDA1B1C1D1中，中截面可以是邊長(zhǎng)為1的正八邊形，對(duì)于D中，當(dāng)擬柱體ABCD-A1B1C1D1為正四棱柱時(shí)，側(cè)面是四邊形，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.202024上·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考期末）棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列選項(xiàng)中正確的有()A．過A1C的平面截此正方體所得的截面為四邊形B．過A1C的平面截此正方體所得的截面的面積范圍為2,4C．四棱錐C-A1B1C1D1與四棱錐C1-ABCD的公共部分為八面體D．四棱錐C-A1B1C1D1與四棱錐C1-ABCD的公共部分體積為【答案】ABD【解析】連接A1與線段BB1上任意一點(diǎn)F，過C作CE//A1F交DD1于E，所以過A1C的平面截此正方體所得的截面為四邊形A1FCE，A對(duì)；由上分析及正方體結(jié)構(gòu)特征易知：四邊形A1FCE為平行四邊形，若E,F為各線段上的中點(diǎn)時(shí)，四邊形A1FCE為菱形，根據(jù)正方體的對(duì)稱性，E從中點(diǎn)向D或D1運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形A1FCE面積都是由小變大，綜上，過A1C的平面截此正方體所得的截面的面積范圍為2,4，B對(duì)；顯然G,H,O是各交線的中點(diǎn)，若I是CC1中點(diǎn)，連接IH,HO,OG,GI，所以四棱錐C-A1B1C1D1與四棱錐C1-ABCD的公共部分為六面體CIHOGC1，C錯(cuò)；G故選：ABD3，D對(duì).212024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱A1D1，AB的中點(diǎn)，P為側(cè)面BCC1B1的一動(dòng)點(diǎn)，下列說法正確的是A．異面直線AC與BM所成角的余弦值為223B．若ΔAC1P的面積為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分C．若點(diǎn)P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線的一部分D．過直線MN的平面C與面ABCD所成角最小時(shí)，平面C截正方體所得的截面面積為33【答案】BCD【解析】以D為原點(diǎn)，以DA,DC,DD1所在的直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),M(1,0,2)，2AC.BM所以cosAC,BM2AC.BM所以cosAC,BM 8x9ACBM設(shè)P到AC1的距離為h，則AC1.h=，解得h=1，所以點(diǎn)P位于以AC1為中軸線，半徑為1的圓柱面上，又因?yàn)镻位于平面BCC1B1上，則P位于平面BCC1B1與圓柱面的交線上，根據(jù)圓柱面與平面的位置關(guān)系，可得P的軌跡為橢圓的一部分，故B正確；點(diǎn)P到直線C1D1的距離等于PC1，即P到點(diǎn)C1與P到直線BC的距離相等，根據(jù)拋物線的定義，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線的一部分，所以C正確；取AD中點(diǎn)H，則易得MH=2，且MH」平面ABCD，易得當(dāng)HN與平面C和底面ABCD的交線垂直時(shí)，過直線MN的平面C與面ABCD所成角最小，可知HN」AC，則平面C和底面ABCD的交線與AC平行，此時(shí)易得平面a即為圖中的平面MQNEFG，其中點(diǎn)Q，E，F(xiàn)，G是所在棱的中點(diǎn)，故選：BCD.222024上·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）已知正方體ABCD一A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，M分別為線段AD1，A1C的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足=λ(λe[0,1])，點(diǎn)H為棱AA1（包含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是()A．平面EMN截正方體得到的截面多邊形是矩形C．存在λ,使得平面EMN」平面AB1CD．若CH」平面β,則直線CD與平面β所成角的正弦值的取值范圍為,【答案】ACD【解析】由正方體可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)H(1,0,h)，其中0<h<1，對(duì)于A：連接AD1，BC1，B1C，則A1D八AD1=E，由正方體的性質(zhì)可得點(diǎn)E是側(cè)面ADD1A1的中心，點(diǎn)M是正方體的中心，所以連接EM并延長(zhǎng)交側(cè)面BCC1B1于點(diǎn)P，則點(diǎn)P是側(cè)面BCC1B1的中心，且PE//AB.設(shè)平面EPN交A1D1于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)I，連接NF，GH，因?yàn)槠矫鍭BCD//平面A1B1C1D1，所以GI//NF，GI=NF.因?yàn)镻E//AB，AB一平面ABCD，所以PE//平面ABCD，又GI一平面ABCD，所以PE//GI，所以AB//GI，易知AB」IN，所以GI」IN，所以平面EMN截正方體得到的截面多邊形NFGI是矩形，故A正確；設(shè)平面AB1D1的法向量為=(x,y,z)，則設(shè)平面AB1C的法向量為=(a,b,c)，則而二面角D1一AB1C為銳二面角，故其余弦值為，不為，故二面角D1一AB1C的平面角不是，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C：因?yàn)辄c(diǎn)M是正方體的中心，所以D1，M，B三點(diǎn)共線，所以平面AD1M即為平面ABC1D1，::所以B1C」平面ABC1D1，又B1C一平面AB1C，所以平面AB1C」平面ABC1D1，即平面AB1C」平面AD1M，當(dāng)λ=1時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)C1重合，平面EMN即為平面ABC1D1，由此可知平面AB1C」平面ABC1D1，即平面AB1C」平面EMN，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)镃H」平面β,故=(1,-1,h)為平面β的法向量，1h21 1h21 sinθ=故而he[0,1]，「「]hh2故選：ACD.232024上·遼寧遼陽·高三統(tǒng)考期末）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為AD，CC1的中點(diǎn)，則()BF∥DEBF∥DEB．過A1，B，F(xiàn)的截面面積為92C．直線BF與AC所成角的余弦值為D．EF與平面ABCD所成角的正弦值為【答案】BCD66【解析】對(duì)于A，取DD1的中點(diǎn)為P，連接PA,PC,故AP//BF,由于AP,D1E相交，所以BF,D1E不可能平行，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，取C1D1的中點(diǎn)為M，連接MA1,MF,則四邊形A1BFM即為截面，6FC26FC22由于BA1//MF,A1M=BF=222+12=,故四邊形A1BFM為等腰梯形，,過F作FQ」A1B，則FQ=FB2一BMF2=,對(duì)于C，由于AP//BF，所以ZPAC即為直線BF與AC所成角或其補(bǔ)角，PA2對(duì)于D，由于FC」平面ABCD，所以ZFEC即為EF與平面ABCD所成角,FC1 EF6FC1 EF66故故選：BCDBP=λBC+μBB1,λe0,1],μe[0,1，下列說法正確的是(A．存在無窮多個(gè)點(diǎn)P，使得過D1,B,P的平面與正方體的截面是菱形B．存在唯一一點(diǎn)P，使得AP//平面A1C1DC．存在無窮多個(gè)點(diǎn)P，使得A1P」B1DD．存在唯一一點(diǎn)P，使得D1P」平面A1C1D【答案】ACD【解析】點(diǎn)P滿足=λ+μ,λe0,1],μe[0,1，即點(diǎn)P在正方形BCC1B1內(nèi)（包括正方形的四條邊）上運(yùn)動(dòng)，對(duì)于A：取線段CC1的中點(diǎn)E，過點(diǎn)B,E,D1作正方體的截面BED1F，因?yàn)槊鍮CC1B1//面ADD1A1，面ABB1A1//面DCC1D1，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理知如果一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交，則交線平行，所以有BE//D1F,ED1//BF，即四邊形BED1F為平行四邊形，又E為線段CC1的中點(diǎn)，則有BE=ED1，所以四邊形BED1F為菱形，所以當(dāng)點(diǎn)P在線段BE上時(shí)，過D1,B,P的平面與正方體的截面是菱形，故有無窮多個(gè)點(diǎn)P，使得過D1,B,P的平面與正方體的截面是菱形，A正確；對(duì)于B：在正方體ABCD-A1B1C1D所以四邊形AA1C1C為平行四邊行，所以AC//面A1C1D，同理可得AB1//面A1C1D，又AC（AB1=A，AC,AB1一面AC所以面A1C1D//面ACB1，當(dāng)點(diǎn)P在線段B1C上時(shí)，有AP//平面A1C1D，故有無窮多個(gè)點(diǎn)P，使得AP//平面A1C1D，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：連接A1B,BC1,C1A1,D所以DB1」面A1BC1，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC1上時(shí)，有A1P」B1D，故有無窮多個(gè)點(diǎn)P，使得A1P」B1D，C正確；對(duì)于D：由選項(xiàng)C證明DB1」面A1BC1同理可證明D1B」面A1DC1，過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)位置時(shí)，有D1P」平面A1C1D，所以存在唯一一點(diǎn)P，使得D1P」平面A1C1D，D正確.22故選：ACD.252024·廣東惠州·統(tǒng)考三模）在四面體ABCD中，ABCD1，ACADBCBD2，E，F(xiàn)，G分別是棱BC，AC，AD上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AB,CD均與面EFG平行，則()A．直線A