高一數(shù)學(xué)寒假（人教B版 第三冊(cè)）第11講 余弦和正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)（教師卷）

第11講余弦和正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能正確使用“五點(diǎn)法”“圖像變換法”作出余弦函數(shù)y＝cosx和y＝Acos(ωx＋φ)的圖像，并能體會(huì)正弦曲線和余弦曲線的關(guān)系，重點(diǎn)培養(yǎng)直觀想象核心素養(yǎng)．2.掌握余弦函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)求余弦函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間及最值，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．3.了解正切函數(shù)圖像的畫法，理解并掌握正切函數(shù)的性質(zhì)，重點(diǎn)培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．4．能利用y＝tanx的性質(zhì)與圖像解決有關(guān)問題，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．【知識(shí)導(dǎo)航】知識(shí)點(diǎn)一余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)1．怎樣由y＝sinx的圖像通過變換得到y(tǒng)＝cosx的圖像？提示：∵cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))，∴把y＝sinx的圖像向左平移eq\f(π,2)個(gè)單位即可得到y(tǒng)＝cosx的圖像．2．探究y＝cosx的性質(zhì)，有不同的方案(余弦線、圖像等)，你選擇一種方案，研究y＝cosx的周期性，單調(diào)性？提示：是周期函數(shù)，周期為2π，可利用圖像或y＝cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))研究余弦函數(shù)的單調(diào)性，增區(qū)間為[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，減區(qū)間為[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.1．余弦函數(shù)的性質(zhì)與圖像圖像定義域R奇偶性偶函數(shù)周期性以2kπ為周期(k∈Z，k≠0)，2π為最小正周期單調(diào)性當(dāng)x∈[2kπ－π，2kπ]，(k∈Z)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)x∈[2kπ，2kπ＋π]，(k∈Z)時(shí)，單調(diào)遞減最大值與最小值當(dāng)x＝2kπ(k∈Z)時(shí)，最大值為1；當(dāng)x＝2kπ＋π(k∈Z)時(shí)，最小值為－1對(duì)稱軸對(duì)稱中心圖像的對(duì)稱軸x＝kπ，k∈Z；圖像的對(duì)稱中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z2.余弦型函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖像與性質(zhì)．(1)圖像及其變換與y＝Asin(ωx＋φ)圖像的作法一樣(五點(diǎn)法)，變換關(guān)系一樣，即由y＝cosx圖像變換到y(tǒng)＝Acos(ωx＋φ)的圖像．(2)性質(zhì)函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的性質(zhì)研究方法與y＝Asin(ωx＋φ)一樣．如周期：T＝eq\f(2π,|ω|)，最值、單調(diào)性、對(duì)稱性仍利用整體代換法來解決．知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)y＝tanx的性質(zhì)1．正切函數(shù)的定義域是什么？提示：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)))＋kπ，k∈Z)).2．誘導(dǎo)公式tan(π＋x)＝tanx，x∈R且x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z說明了正切函數(shù)的什么性質(zhì)？提示：周期性．3．誘導(dǎo)公式tan(－x)＝－tanx，x∈R且x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z說明了正切函數(shù)的什么性質(zhì)？提示：奇偶性，是奇函數(shù)．4．從正切線上看，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上正切函數(shù)值是增大的嗎？提示：是．函數(shù)y＝tanx的性質(zhì)定義域eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))值域R周期性最小正周期為π奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性在開區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)內(nèi)都是增函數(shù)零點(diǎn)正切函數(shù)y＝tanx的零點(diǎn)x＝kπ(k∈Z)知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)y＝tanx的圖像我們利用正切函數(shù)的性質(zhì)，能畫出y＝tanx，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))的簡圖嗎？提示：∵y＝tanx是奇函數(shù)，∴先畫x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的圖像又y＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上取幾個(gè)點(diǎn)就可畫出y＝tanx在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的圖像，再關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱即可得到y(tǒng)＝tanx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的圖像．1．函數(shù)y＝tanx的圖像．2．正切曲線是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z．eq\a\vs4\al([拓展])(1)正切函數(shù)圖像的對(duì)稱中心與正弦、余弦函數(shù)的不同在于不只是y＝0處為對(duì)稱中心，同時(shí)tanx沒有意義的點(diǎn)也為對(duì)稱中心．(2)正切曲線沒有對(duì)稱軸，但有無窮多條漸近線，漸近線方程為x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.(3)正切函數(shù)與正弦函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的圖像，在原點(diǎn)O(0，0)處都與直線l：y＝x相切，并被直線l分割在兩邊(如圖所示)．由同一坐標(biāo)系中兩函數(shù)圖像的位置關(guān)系得，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時(shí)，不等式sinx＜x＜tanx成立．【知識(shí)預(yù)習(xí)】考點(diǎn)一：余弦函數(shù)的性質(zhì)與圖像1．函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題，余弦函數(shù)最小正周期為，故，由周期定義得所求最小正周期為，故選：D2．函數(shù)的簡圖是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由知，其圖象和的圖象相同，故選B．3．從函數(shù)的圖象來看，當(dāng)時(shí)，對(duì)于的x有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【詳解】先畫出，的圖象，即A與D之間的部分，再畫出的圖象，如下圖：由圖象可知它們有2個(gè)交點(diǎn)B、C，所以當(dāng)時(shí)，的x的值有2個(gè).故選：C4．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A．的一個(gè)周期為 B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．的一個(gè)零點(diǎn)是 D．在單調(diào)遞增【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以選項(xiàng)B正確；因?yàn)椋赃x項(xiàng)C錯(cuò)誤；的最小正周期為，在內(nèi)不可能是單調(diào)的，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：B.5．函數(shù)的單調(diào)性是（

）A．在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)B．在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)C．在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)D．在上是增函數(shù)，在，上是減函數(shù)【答案】A【詳解】函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是.∵，∴在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).故選：A考點(diǎn)二：正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像6．下列坐標(biāo)所表示的點(diǎn)不是函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：由題意在中，令，解得，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是，A正確.當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是，D正確.當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是，C正確.故選：B.7．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【詳解】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性可得，欲求的單調(diào)增區(qū)間，令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故選：A.8．使得不等式成立的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由不等式，根據(jù)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得，即實(shí)數(shù)x的取值范圍是.故選：C.9．已知在區(qū)間上的最大值為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，即，又，所以，所以，所以，．故選：A．10．已知函數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的值域?yàn)镃．點(diǎn)是函數(shù)的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期，故A正確.由正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知函數(shù)的值域?yàn)?，故B正確.由，，得，，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)是函數(shù)的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心，故C正確.因?yàn)椋?，所以，故D不正確.故選：D.考點(diǎn)三：已知三角函數(shù)值求角11．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】∵且，∴.故選：B12．已知，且，則的大小是A． B．C． D．【答案】B【詳解】，且則故答案選B13．已知點(diǎn)落在角的終邊上，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】點(diǎn)落在角的終邊上，，，又，.故選：D．14．方程的解集是（

）．A． B．C． D．【答案】D【詳解】，，，或，或.綜上所述，方程的解集為.故選：D15．設(shè)，則滿足方程cos(的角x的集合是(

)A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵cos(πcosx)＝0，∴πcosx＝，k∈Z，∴cosx＝k，∵，∴cosx∈[﹣1，1]，∴cosx＝±，當(dāng)x∈時(shí)，x，，，，故選：D.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】一、單選題1．設(shè)，且，則（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【詳解】因?yàn)椋?，則或.故選：A2．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則可以為（

）A． B． C． D．1【答案】C【詳解】對(duì)稱軸為：當(dāng)時(shí)，取值為.故選:C.3．已知?jiǎng)t的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題設(shè)，.故選：A4．已知函數(shù)的圖像與直線的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，則的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由函數(shù)的圖像與直線的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，則有的周期，解得，于是得，所以的圖像的對(duì)稱中心橫坐標(biāo)方程滿足，（），解得，（）,可知為其一個(gè)對(duì)稱中心.故選：C5．已知函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．是的一個(gè)周期C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．的定義域是【答案】C【詳解】畫出函數(shù)的圖象，易得的周期為，且是偶函數(shù)，定義域是，故A，B，D正確；點(diǎn)不是函數(shù)的對(duì)稱中心，C錯(cuò)誤.故選：C6．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)的（

）A．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度B．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度C．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度D．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度【答案】A【詳解】根據(jù)題意得，所以要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）得到，再向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度即可得到函數(shù)的圖象.故選：A.7．下列說法正確的是（）A．B．C．函數(shù)的最小正周期為D．的值域是【答案】D【詳解】對(duì)于A，，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)的最小正周期為，可能小于零，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，的值域是，正確.故選：D8．函數(shù)，的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，因?yàn)椋裕驗(yàn)檎泻瘮?shù)在上單調(diào)遞增，且，，所以．故選：A．二、多選題9．下列命題中真命題是（

）A．若角的終邊在直線上，則B．若，則C．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是D．在用“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)近似值時(shí)，第一次所取的區(qū)間是，則第三次所取的區(qū)間可能是【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，若角的終邊在第二象限，取終邊上一點(diǎn)，則，若角的終邊在第四象限，取終邊上一點(diǎn)，則，綜上若角的終邊在直線上，則，故A正確；對(duì)于B，由正余弦函數(shù)圖象的性質(zhì)可知當(dāng)，則，且當(dāng)，則，所以，故B正確；對(duì)于C，由得或，所以的定義域?yàn)?，因?yàn)闉槎魏瘮?shù)，開口向上，所以在單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知的增區(qū)間為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，第一次所取的區(qū)間是，則第二次取得區(qū)間可能為，第三次取得區(qū)間可能為，故D正確.故選:ABD.10．若函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，對(duì)恒成立.C．若，方程的根的個(gè)數(shù)是8個(gè).D．若，則【答案】ABD【詳解】當(dāng)時(shí)，，令，所以，所以選項(xiàng)A，，正確；，，所以，故B正確；選項(xiàng)C，時(shí)，，令，則如圖所示：由圖可得只有7個(gè)交點(diǎn)，故方程只有7個(gè)實(shí)數(shù)根，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以，由，，所以，所以，所以，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD.三、填空題11．已知函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為________.【答案】【詳解】令，解得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為．故答案為：．12．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在上單調(diào)，則的最大值為_____.【答案】【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，，即，，又，所以，從而.因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，故的最大值為.故答案為：四、解答題13．已知函數(shù)是奇函數(shù).(1)求的值；(2)若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的4倍，得到函數(shù)的圖象，求.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即.又，所以，檢驗(yàn)符合.（2）由（1）得：.將的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的圖象，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的4倍，得到的圖象.故.14．設(shè)函數(shù)．(1)求函數(shù)的定義域和單調(diào)區(qū)間;(2)求不等式的解集．【答案】(1)定義域?yàn)椋粺o單調(diào)遞減區(qū)間；單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【詳解】（1）由題意得：，解得：，的定義域?yàn)椋涣?，解得：，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.（2）由得：，解得：，則的解集為.15．已知函數(shù)的最小正周期為4，且滿足.(1)求的解析式；(2)求方程在區(qū)間上所有解的和.【答案】(1)(2)（1）因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以.因?yàn)闈M足，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以，即，又，所以.的解析式為.（2）由，得，所以或，，解得或，，因?yàn)?，所以方程的解集為，所以所有解的和?【提升作業(yè)】一、單選題1．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，，解得，．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是故選：C．2．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．函數(shù)的值域是；B．點(diǎn)是函數(shù)的圖像的一個(gè)對(duì)稱中心；C．直線是函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱軸；D．將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度后，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)．【答案】B【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，即函?shù)的值域是，故A正確；因?yàn)?，所以函?shù)關(guān)于對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋院瘮?shù)關(guān)于直線對(duì)稱，故C正確；將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度得到為偶函數(shù)，故D正確；故選：B3．關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，下列敘述不正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．的最小正周期是D．在內(nèi)單調(diào)遞增【答案】C【詳解】作出的圖象如圖所示，對(duì)于A，，故是偶函數(shù)，故A正確，對(duì)于B，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)知的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確，對(duì)于C，的最小正周期是，故C錯(cuò)誤對(duì)于D，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)知在內(nèi)單調(diào)遞增，故D正確，故選：C4．若函數(shù)的圖象相鄰兩支截直線所得線段長為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．函數(shù)