中考數(shù)學(xué)解題技巧 16 四邊形面積求最值問(wèn)題

四邊形面積求最值問(wèn)題1．（2021·廣西·中考一模）如圖，已知拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c與x軸交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A(6，0)，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為B．（1）求該拋物線(xiàn)的解析式和頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）若動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿線(xiàn)段OB運(yùn)動(dòng)，同時(shí)有一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)長(zhǎng)度單位的速度沿線(xiàn)段AO運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、M其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），連接MP，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABPM的面積最?。坎⑶蟠俗钚≈担?）在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，OPM是直角三角形？【答案】（1），B，；（2），；（3）秒或秒【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)，的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出二次函數(shù)的解析式，再將二次函數(shù)解析式由一般式變形為頂點(diǎn)式，即可得出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，，，，，結(jié)合點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)速度可得出，由可得出四邊形的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題．（3）由（2）得到∠POA=60°，分∠OPM=90°，∠OMP=90°兩種情況，分別列方程求解．【詳解】解：（1）將，代入，得：，解得：，該拋物線(xiàn)的解析式為．，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，．（2）過(guò)P作PC⊥軸于C，過(guò)B作BD⊥軸于D，如圖：∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，，∴，∴，，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，，，，．當(dāng)、其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，．，，，，．，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積取最小值，最小值為；（3）由（3）得：∵A（6，0），B（3，），，∴∠POA=60°，OP=t，AM=2t，則OM=6-2t，若△OPM是直角三角形，當(dāng)∠OPM=90°時(shí)，∠OMP=30°，則OM=2OP，即6-2t=2t，解得：t=；當(dāng)∠OMP=90°時(shí)，∠OPM=30°，則OP=2OM，即t=2（6-2t），解得：t=；綜上：當(dāng)t為秒或秒時(shí)，△OPM是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、解直角三角形、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、三角形的面積以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，同時(shí)注意分類(lèi)討論．2．（2021·重慶巴蜀中學(xué)中考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），其中，并且拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)為直線(xiàn)上方拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)作軸交于點(diǎn)．連接，，，求四邊形面積的最大值及點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）如圖2，將拋物線(xiàn)沿射線(xiàn)方向平移得新拋物線(xiàn)，是否在新拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)，在平面內(nèi)存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，直接寫(xiě)出此時(shí)新拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）時(shí)，最大為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，)；（3）存在，新拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5，2)或(3，-1)或(，)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）要使S四邊形CPDE最大，則PE最大，設(shè)P(t，t2+t+3)，則E(t，t+3)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）分情況討論，當(dāng)AC為正方形ACMN的邊時(shí)，當(dāng)AC為正方形ACNM的邊時(shí)，當(dāng)AC為正方形AMCN的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，分別作出輔助線(xiàn)，利用全等三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的平移規(guī)律解答即可．【詳解】解：（1）因?yàn)閽佄锞€(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(?2，0)和D(4，3)，∴，解得：，∴拋物線(xiàn)的解析式為；（2）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，4)，∵點(diǎn)A(?2，0)，∴點(diǎn)B(6，0)，令，則，∴C(0，3)，又D(4，3)，∴DC//x軸，∴PE⊥CD，∵S四邊形CPDE=PE?CD，∴S四邊形CPDE最大，即PE最大，設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為，∴，∴，∴直線(xiàn)BC的解析式為，設(shè)P(t，t2+t+3)，則E(t，t+3)，∴PE=t2+t=，∴t=3時(shí)，S四邊形CPDE最大為，此時(shí)P的坐標(biāo)為(3，)；（3）∵A(?2，0)，C(0，3)，∴OA=2，OC=3，∴AC=，當(dāng)AC為正方形ACMN的邊時(shí)，如圖，

則MN=MC=AN=AC，過(guò)M作MG⊥軸于G，過(guò)N作NQ⊥軸于Q，∵ACMN為正方形，∴∠ACM=∠CAN=90，∴∠ACO+∠GCM=∠CAO+∠QAN=∠CAO+∠ACO=90，∠QAN+∠ANQ=90，∴∠GCM=∠OAC=∠QNA，∴Rt△GCMRt△OACRt△QNA，∴GC=OA=QN=2，GM=OC=QA=3，∴M(3，1)，N(1，2)，∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的新拋物線(xiàn)是原拋物線(xiàn)平移得到的，∵原拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，4)，由平移的性質(zhì)得，新拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2+3，4-2)，即(5，2)；當(dāng)AC為正方形ACNM的邊時(shí)，如圖，同理求得，N(3，1)，M(1，2)，同理，新拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2+1，4-5)，即(3，-1)；當(dāng)AC為正方形AMCN的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，如圖，則AM=MC=CN=AN，∠CMA=90，過(guò)M作MF⊥軸于F，過(guò)M作MH⊥軸于H，∴四邊形MFOH為矩形，MF∥AO，∴∠FMA=∠MAH，∠CMF+∠FMA=90，∠CMF+∠MCF=90，∴∠MAH=∠MCF，∴Rt△MAHRt△MCF，∴AH=CF，MH=MF，∴四邊形MFOH為正方形，設(shè)正方形MFOH的邊長(zhǎng)為x，∴AO+OH=CO-OF，即2+x=3-x，解得：，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)，同理，新拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2+，4-)，即(，)；綜上，新拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5，2)或(3，-1)或(，)．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，需要掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的平移等知識(shí)點(diǎn)，正確的作出輔助線(xiàn)、分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．3．（2021·重慶市育才中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），且A點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線(xiàn)的解析式為．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）如圖，過(guò)A作，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，點(diǎn)P為直線(xiàn)下方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，求四邊形面積的最大值：（3）將拋物線(xiàn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為E，連接，將線(xiàn)段沿y軸平移得到線(xiàn)段（為B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，為E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)F，點(diǎn)Q為原拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，連接，能否成為以為直角邊的等腰直角三角形？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）；（3）能，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(，)或(，)或Q(，)或(，)．【分析】（1）利用一次函數(shù)解析式，將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)寫(xiě)出來(lái)，再利用待定系數(shù)法即可；（2）四邊形面積最大時(shí)，即的面積最大，利用過(guò)P作軸交于點(diǎn)H，將三角形利用分割的方法計(jì)算出面積即可；（3）分以FQ為斜邊和以E1Q為斜邊，兩種大的情況討論，分別作出圖形，利用特殊角的三角函數(shù)值以及全等三角形的判定和性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）∵直線(xiàn)的解析式為,∴，將代人得：，解得：∴拋物線(xiàn)解析式為；（2）連接，∵∴．∴四邊形面積最大時(shí)，即的面積最大設(shè)，過(guò)P作軸交于點(diǎn)H∴，∴∴∴當(dāng)時(shí)，的面積最大為∴四邊形面積的最大值為（3）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為：，∵將拋物線(xiàn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，∴平移后的拋物線(xiàn)解析式為，∴E(0，-3)，∵B(3，0)，∴在Rt△BOE中，，∴∠OBE=30°，∠OEB=60°，∵E1F∥BE，∴∠E1FO=30°，∠FE1O=60°，∵∠QE1F=90°，∴∠QE1O=30°，以FQ為斜邊，且E1在x軸上方時(shí)，過(guò)Q作QH⊥軸于H，設(shè)Q(，m)，在Rt△QHE1中，QH=，∴HE1=QH=3，QE1=2，∵能否成為以為直角邊的等腰直角三角形，∴E1F=QE1，∴△E1FO△QE1H，∴E1O=QH=，∴E1H=E1O+OH=，∴，∴Q(，)；以FQ為斜邊，且E1在x軸下方時(shí)，同理可得，∴Q(，)；以E1Q為斜邊，且Q在x軸上方時(shí)，同理可證△QPF△FOE1，∠PQF=30°，設(shè)Q(，m)，∴PQ=OF=m，PF=m-，在Rt△QPF中，PQ=PF，∴，∴Q(，)；以E1Q為斜邊，且Q在x軸下方時(shí)，同理可證△QPF△FOE1，∠PQF=30°，設(shè)Q(，m)，∴PQ=OF=-m，PF=，在Rt△QPF中，PQ=PF，∴，∴Q(，)；綜上，能，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(，)或(，)或Q(，)或(，)．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)，三角形的面積，特殊角的三角函數(shù)值，全等三角形的判定和性質(zhì)等，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．4．（2021·浙江·紹興市九年級(jí)期中）如圖，已知拋物線(xiàn)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸與x軸相交于點(diǎn)E，連接BD．（1）求拋物線(xiàn)的解析式．（2）在拋物線(xiàn)上點(diǎn)B和點(diǎn)D之間是否存在一點(diǎn)H使得四邊形OBHC的面積最大，若存在求出四邊形OBHC的最大面積，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）直線(xiàn)BD上有一點(diǎn)P，使得時(shí)，過(guò)P作軸于F，點(diǎn)M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N為直線(xiàn)PF上一動(dòng)點(diǎn)，G為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)F，N，G，M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）存在，；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，，【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出C、D的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)，即可得到，由此求解即可；（3）先求出E點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BD的解析式，利用求出P點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)設(shè)，則，，利用建立方程求解即可．【詳解】解：（1）∵拋物線(xiàn)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴拋物線(xiàn)的解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，所以點(diǎn)設(shè)點(diǎn)所以當(dāng)時(shí)，．（3）由（1）知，拋物線(xiàn)的解析式為；∴，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，∴，設(shè)直線(xiàn)BD的解析式為，∴，∴∴直線(xiàn)BD的解析式為，設(shè)點(diǎn)，∵，，根據(jù)勾股定理得，，，∵，∴∴，∴，∴，如圖，作軸于F，∵，設(shè)，則，∴以點(diǎn)F，N，G，M四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為正方形，必有，∴∴或，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)，兩點(diǎn)距離公式等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．5．（2021·廣東深圳·中考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的拋物線(xiàn)與直線(xiàn)交于另一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1（1）該拋物線(xiàn)的解析式為；（2）如圖1，為拋物線(xiàn)上位于直線(xiàn)上方的一動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），過(guò)作軸，交軸于，連接，為中點(diǎn)，連接，過(guò)作交直線(xiàn)于，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求與的函數(shù)關(guān)系式；在此條件下，如圖2，連接并延長(zhǎng)，交軸于，連接，求為何值時(shí)，．（3）如圖3，將直線(xiàn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15度交拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段上的一動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），以點(diǎn)為圓心、以為半徑的圓弧與線(xiàn)段交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心、以為半徑的圓弧與線(xiàn)段交于點(diǎn)，連接．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形的面積有最大值還是有最小值？請(qǐng)求出該值．【答案】（1）；（2）；；（3）存在最小值，【分析】（1）先求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法，即可求出拋物線(xiàn)解析式；（2）過(guò)點(diǎn)作軸于，于，先證明、、三點(diǎn)在以為圓心為半徑的上，再證明，然后得到，，再設(shè)，通過(guò)建立關(guān)于的方程，解方程即可；（3）設(shè)，四邊形的面積為，過(guò)作，垂足為，利用三角函數(shù)和三角形面積關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，令，則，點(diǎn)為，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：，點(diǎn)為：，把點(diǎn)、代入，得：，解得：，拋物線(xiàn)解析式為．（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)作軸于，于，設(shè)直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，，，，，，，、、三點(diǎn)在以為圓心為半徑的上，，，，，，在和中，，，，，，，，，，，．如圖2，連接并延長(zhǎng)，交軸于，連接，，，，為中點(diǎn)，即，，，解得，時(shí)，．（3）四邊形的面積有最小值．設(shè)，四邊形的面積為，是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，．直線(xiàn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，，是等邊三角形，，，，，如圖3，過(guò)作，垂足為，則，，．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形的面積有最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形判定和性質(zhì)，三角函數(shù)、三角形面積、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)必須認(rèn)真審題，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、方程思想和轉(zhuǎn)化思想思考問(wèn)題和解決問(wèn)題．6．（2021—2022江蘇常熟市九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知拋物線(xiàn)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，其對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)：，過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，的平分線(xiàn)交線(xiàn)段于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）如圖1，動(dòng)點(diǎn)在直線(xiàn)下方的拋物線(xiàn)上，連結(jié)，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形面積最大，并求出其最大值．（3）如圖②，是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，連接，在拋物線(xiàn)軸下方的圖像上是否存在點(diǎn)使?jié)M足：①；②？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，四邊形OPCE的面積最大，最大值為：；（3）【分析】（1）首先根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得出拋物線(xiàn)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)兩坐標(biāo)設(shè)拋物線(xiàn)解析式，代入點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可得解；（2）設(shè)P坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)P作PF軸，將四邊形OPCE的面積表示為：梯形，計(jì)算即可；（3）根據(jù)，確定點(diǎn)的位置，構(gòu)造一線(xiàn)三直角，證明相似，列出等量關(guān)系，計(jì)算即可．【詳解】（1）如圖，設(shè)拋物線(xiàn)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D由對(duì)稱(chēng)性得：D(3,0)設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：把A(0,3)代入得：即∴拋物線(xiàn)的解析式：（2）如圖，過(guò)點(diǎn)P作軸，交AC于點(diǎn)F在中，點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)∵A（0，3），∴C（4，3）∵OE平分，且∴∴AE=AO=3設(shè)，則則，，故四邊形=梯形，∵P在BC的下方∴∴當(dāng)時(shí)，四邊形OPCE的面積最大，最大值為：（3）存在，理由如下，如圖，過(guò)點(diǎn)P作交軸于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N點(diǎn)在左側(cè)，∴∵，則，∴即解得：在軸下方，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P為．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用、相似三角形的判定與性質(zhì)以及解一元二次方程，正切的定義，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．（2021·重慶·巴川中學(xué)校九年級(jí)月考）拋物線(xiàn)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)D，已知，（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）如圖1，點(diǎn)P是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形的面積最大？求出四邊形的最大面積及此時(shí)Р點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）如圖2，設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為M，將拋物線(xiàn)沿射線(xiàn)方向以每秒個(gè)單位的速度平移t秒，平移后的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求t的值．【答案】（1）；（2）面積的最大值為，P；（3）或0.625或【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）由，即可求解；（3）拋物線(xiàn)沿射線(xiàn)方向以每秒個(gè)單位的速度平移秒，即運(yùn)動(dòng)了個(gè)單位，由直線(xiàn)的表達(dá)式知，此時(shí)點(diǎn)向右平移了個(gè)單位向下平移了個(gè)單位，則點(diǎn)，，進(jìn)而求解．【詳解】解：（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)表達(dá)式得，解得，故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為；（2）對(duì)于，令，解得或4，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，，則，由點(diǎn)、的坐標(biāo)得：直線(xiàn)的表達(dá)式為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)四邊形的面積為，則，，故有最大值，當(dāng)時(shí)，即四邊形的面積取得最大值為，此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）由拋物線(xiàn)的表達(dá)式知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，拋物線(xiàn)沿射線(xiàn)方向以每秒個(gè)單位的速度平移秒，即運(yùn)動(dòng)了個(gè)單位，由直線(xiàn)的表達(dá)式知，此時(shí)點(diǎn)向右平移了個(gè)單位向下平移了個(gè)單位，則點(diǎn)，，由點(diǎn)、、的坐標(biāo)知，，同理可得，，，當(dāng)時(shí)，則，解得（不合題意的值已舍去）；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得（不合題意的值已舍去）；故或0.625或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線(xiàn)段的長(zhǎng)度，從而求出線(xiàn)段之間的關(guān)系．8．（2021·吉林鐵西·九年級(jí)期末）如圖，拋物線(xiàn)（，是常數(shù)，且）與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．并且，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為．（1）①求出拋物線(xiàn)的解析式；②頂點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____；③直線(xiàn)的解析式為_(kāi)_____；（2）若為線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，求當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積最大？（3）若點(diǎn)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，若線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好也落在此拋物線(xiàn)上，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）①；②的坐標(biāo)為：；③；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）或．【分析】（1）①利用待定系數(shù)法把，代入，得，解方程組即可；②把拋物線(xiàn)配方變?yōu)轫旤c(diǎn)式即可；③利用待定系數(shù)法將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并得：解方程組即可；（2）由點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，可得點(diǎn)E（m，2m+6），求出，利用梯形面積可得利用函數(shù)性質(zhì)即可求解；（3）拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與軸交于H，過(guò)作AG⊥DH于G，先證△APH≌△（AAS），可得AH=PG，,用含m代數(shù)式表示點(diǎn)，利用點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，列出m的方程，求解即可．【詳解】解：（1）①把，代入，得，解得：，∴②∵的坐標(biāo)為：（-1，4）故答案（-1，4）③設(shè)BD函數(shù)表達(dá)式為將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得：解得直線(xiàn)的表達(dá)式為：，故答案為：（2）連接EC∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)E（m，2m+6）當(dāng)時(shí)，∴由題意可知：，，∴∵=，點(diǎn)E在線(xiàn)段BD上，，∴當(dāng)時(shí)，；（3）拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與軸交于H，過(guò)作AG⊥DH于G，∵PA′=PA，∠CPA=90°，∴+∠APH=90°，=90°，∴在△APH和△中，，∴△APH≌△（AAS），∴AH=PG，,∵A（1,0），對(duì)稱(chēng)軸x=，H（-1，0）∴AH=2，設(shè)PH=m,∴點(diǎn)，∵點(diǎn)在拋物線(xiàn)上整理得因式分解的解得或當(dāng)，P（-1，1），點(diǎn)與點(diǎn)C重合，在拋物線(xiàn)上，滿(mǎn)足條件，當(dāng)，P（-1，-2），點(diǎn)與點(diǎn)B重合，在拋物線(xiàn)上，滿(mǎn)足條件，∴點(diǎn)或．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)解析式，一次函數(shù)解析式，拋物線(xiàn)性質(zhì)，列梯形面積函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題，圖形旋轉(zhuǎn)，三角形全等判定與性質(zhì)，解一元二次方程，本題難度較大，通過(guò)輔助線(xiàn)畫(huà)出準(zhǔn)確圖形是解題關(guān)鍵．9．（2020·湖北襄陽(yáng)·中考真題）如圖，直線(xiàn)交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)C，且交x軸于另一點(diǎn)B．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)及拋物線(xiàn)的解析式；（2）在直線(xiàn)上方的拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)M，求四邊形面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）將線(xiàn)段繞x軸上的動(dòng)點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段，若線(xiàn)段與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍．【答案】（1）A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），拋物線(xiàn)的解析式是；（2）四邊形面積的最大值為8，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，2）；（3）或．【分析】（1）對(duì)直線(xiàn)，分別令x=0，y=0求出相應(yīng)的y，x的值即得點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求出拋物線(xiàn)的解析式，利用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，交直線(xiàn)AC于點(diǎn)F，如圖1所示．設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，則MF的長(zhǎng)可用含m的代數(shù)式表示，然后根據(jù)S四邊形ABCM=S△ABC+S△AMC即可得出S四邊形ABCM關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形面積的最大值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）當(dāng)m＞0時(shí)，分旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)與點(diǎn)落在拋物線(xiàn)上時(shí)，分別畫(huà)出圖形如圖2、圖3，分別用m的代數(shù)式表示出點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入拋物線(xiàn)的解析式即可求出m的值，進(jìn)而可得m的范圍；當(dāng)m＜0時(shí)，用同樣的方法可再求出m的一個(gè)范圍，從而可得結(jié)果．【詳解】解：（1）對(duì)直線(xiàn)，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，當(dāng)y=0時(shí)，x=4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，2），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（4，0），把點(diǎn)A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式，得：，解得：，∴拋物線(xiàn)的解析式為，∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，C（4，0），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，0）；∴A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），拋物線(xiàn)的解析式是；（2）過(guò)點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，交直線(xiàn)AC于點(diǎn)F，如圖1所示．設(shè)M（m，），則F（m，），∴，∴S四邊形ABCM=S△ABC+S△AMC=，∵0＜m＜4，∴當(dāng)m=2時(shí)，四邊形面積最大，最大值為8，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，2）；（3）若m＞0，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)落在拋物線(xiàn)上時(shí)，如圖2，線(xiàn)段與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，∵點(diǎn)的坐標(biāo)是（m+2，m），∴，解得：或（舍去）；當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)落在拋物線(xiàn)上時(shí)，如圖3，線(xiàn)段與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，∵點(diǎn)的坐標(biāo)是（m，m），∴，解得：m=2或m=﹣4（舍去）；∴當(dāng)m＞0時(shí)，若線(xiàn)段與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，m的取值范圍是：；若m＜0，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)落在拋物線(xiàn)上時(shí)，如圖4，線(xiàn)段與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，∵點(diǎn)的坐標(biāo)是（m，m），∴，解得：m=﹣4或m=2（舍去）；當(dāng)旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)落在拋物線(xiàn)上時(shí)，如圖5，線(xiàn)段與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，∵點(diǎn)的坐標(biāo)是（m+2，m），∴，解得：或（舍去）；∴當(dāng)m＜0時(shí)，若線(xiàn)段與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，m的取值范圍是：；綜上，若線(xiàn)段與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，m的取值范圍是：或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、一元二次方程的解法、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及拋物線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)等知識(shí)，具有較強(qiáng)的綜合性，屬于中考?jí)狠S題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、靈活應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．10．（2021·青海西寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）直線(xiàn)AD與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)D，且，求證：；（3）在（2）的條件下，若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l交于點(diǎn)E，連接，在第一象限內(nèi)的拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P，使四邊形的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及四邊形面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）存在，當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)是時(shí)，四邊形面積的最大值是【分析】（1）由一次函數(shù)可求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而用待定系數(shù)法即可求得拋物線(xiàn)的解析式；（2）證明即可解決；（3）過(guò)點(diǎn)E作軸于點(diǎn)M，由可求得△ABE的面積為定值12；因此只要求出點(diǎn)P的位置使△PAB的面積最大，從而使四邊形的面積最大；為此過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則可求得PN，且，由可得關(guān)于t的二次函數(shù)，從而求得△PAB面積的最大值，因而可得四邊形BEAP面積的最大值，且可求得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，令，則，解得；與y軸的交點(diǎn)，令，則∴，設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為把A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式，得解得∴拋物線(xiàn)的解析式為（2）在平面直角坐標(biāo)系中，在和中∴∴（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）（3）存在，理由如下：過(guò)點(diǎn)E作軸于點(diǎn)M∵∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，即∵∴∴∵∴∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)，交直線(xiàn)AB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)，如圖∴∴∵∵∴∵，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，函數(shù)有最大值∴當(dāng)時(shí)，面積的最大值是，此時(shí)四邊形的面積最大∴，當(dāng)時(shí)，∴∴當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)是時(shí)，四邊形面積的最大值是．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與圖形面積的綜合問(wèn)題，它考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，全等三角形的判定與性質(zhì)，求二次函數(shù)的最值，求圖形的面積等知識(shí)，求圖形面積時(shí)用到了割補(bǔ)法，這是在平面直角坐標(biāo)系中常用的求面積方法，用到了轉(zhuǎn)化思想，即求四邊形面積最大值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角形面積最大值問(wèn)題．11．（2021·重慶酉陽(yáng)·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+4x+5與y軸交于點(diǎn)A，與x軸的正半軸交于點(diǎn)C．(1)求直線(xiàn)AC解析式；(2)過(guò)點(diǎn)A作AD平行于x軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，點(diǎn)F為拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)(點(diǎn)F在AD上方)，作EF平行于y軸交AC于點(diǎn)E，當(dāng)四邊形AFDE的面積最大時(shí)？求點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出最大面積；(3)若動(dòng)點(diǎn)P先從(2)中的點(diǎn)F出發(fā)沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上點(diǎn)M處，再沿垂直于y軸的方向運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸上的點(diǎn)N處，然后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑最短時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)，并求最短路徑長(zhǎng).【答案】(1)y＝﹣x+5；(2)點(diǎn)F(，)；四邊形AFDE的面積的最大值為；(3)點(diǎn)N(0，)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑最短距離＝2+.【分析】(1)先求出點(diǎn)A，點(diǎn)C坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求解析式；(2)先求出點(diǎn)D坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)F(x，﹣x2+4x+5)，則點(diǎn)E坐標(biāo)為(x，﹣x+5)，即可求EF＝﹣x2+5x，可求四邊形AFDE的面積，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解；(3)由動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑＝FM+MN+NC＝GM+2+MH，則當(dāng)點(diǎn)G，點(diǎn)M，點(diǎn)H三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑最小，由兩點(diǎn)距離公式可求解.【詳解】解：(1)∵拋物線(xiàn)y＝﹣x2+4x+5與y軸交于點(diǎn)A，與x軸的正半軸交于點(diǎn)C.∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝5，則點(diǎn)A(0，5)當(dāng)y＝0時(shí)，0＝﹣x2+4x+5，∴x1＝5，x2＝﹣1，∴點(diǎn)B(﹣1，0)，點(diǎn)C(5，0)設(shè)直線(xiàn)AC解析式為：y＝kx+b，∴解得：∴直線(xiàn)AC解析式為：y＝﹣x+5，(2)∵過(guò)點(diǎn)A作AD平行于x軸，∴點(diǎn)D縱坐標(biāo)為5，∴5＝﹣x2+4x+5，∴x1＝0，x2＝4，∴點(diǎn)D(4，5)，∴AD＝4設(shè)點(diǎn)F(x，﹣x2+4x+5)，則點(diǎn)E坐標(biāo)為(x，﹣x+5)∴EF＝﹣x2+4x+5﹣(﹣x+5)＝﹣x2+5x，∵四邊形AFDE的面積＝AD×EF＝2EF＝﹣2x2+10x＝﹣2(x﹣)2+∴當(dāng)x＝時(shí)，四邊形AFDE的面積的最大值為，∴點(diǎn)F(，)；(3)∵拋物線(xiàn)y＝﹣x2+4x+5＝﹣(x﹣2)2+9，∴對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，∴MN＝2，如圖，將點(diǎn)C向右平移2個(gè)單位到點(diǎn)H(7，0)，過(guò)點(diǎn)F作對(duì)稱(chēng)軸x＝2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)G(，)，連接GH，交直線(xiàn)x＝2于點(diǎn)M，∵M(jìn)N∥CH，MN＝CH＝2，∴四邊形MNCH是平行四邊形，∴NC＝MH，∵動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑＝FM+MN+NC＝GM+2+MH，∴當(dāng)點(diǎn)G，點(diǎn)M，點(diǎn)H三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑最小，∴動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑最短距離＝2+＝2+，設(shè)直線(xiàn)GH解析式為：y＝mx+n，∴，解得，∴直線(xiàn)GH解析式為：y＝﹣x+，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝，∴點(diǎn)N(0，).【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求解析式，函數(shù)極值的確定方法，兩點(diǎn)距離公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用對(duì)稱(chēng)解決最短問(wèn)題．12．（2019·重慶·萬(wàn)州外國(guó)語(yǔ)中考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)二次函數(shù)y＝﹣x2+4x圖象上的點(diǎn)A（3，3）作x軸的垂線(xiàn)交x軸于點(diǎn)B．（1）如圖1，P為線(xiàn)段OA上方拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，在x軸上取點(diǎn)C（1，0），點(diǎn)M、N為y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方且MN＝1．連接AC，當(dāng)四邊形PACO的面積最大時(shí)，求PM+MNNO的最小值．（2）如圖2，點(diǎn)Q（3，1）在線(xiàn)段AB上，作射線(xiàn)CQ，將△AQC沿直線(xiàn)AB翻折，C點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'，將△AQC'沿射線(xiàn)CQ平移3個(gè)單位得△A'Q'C″，在射線(xiàn)CQ上取一點(diǎn)M，使得以A'、M、C″為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）最小值為；（2）點(diǎn)M坐標(biāo)為（7，3），（，），（，），（13，6），（10，）【分析】（1）把四邊形PACO沿OA分成△OAP與△OAC，由于△OAC三邊確定，面積為定值，故△OAP面積最大時(shí)四邊形面積也最大．過(guò)點(diǎn)P作x軸垂線(xiàn)交OA于D，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t，則能用t表示PD的長(zhǎng)，進(jìn)而得到△OAP關(guān)于t的二次函數(shù)關(guān)系式，用公式法可求得t時(shí)△OAP面積最大，即求得此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)．把點(diǎn)P向下平移1個(gè)單位得P'，易證四邊形MNP'P是平行四邊形，所以PM＝P'N．過(guò)點(diǎn)O作經(jīng)過(guò)第二、四象限的直線(xiàn)l，并使直線(xiàn)l與x軸夾角為60°，過(guò)點(diǎn)N作NG⊥直線(xiàn)l于點(diǎn)G，則由30°角所對(duì)直角邊等于斜邊一半可知NGNO．所以PM+MNNO可轉(zhuǎn)化為P'N+NG+1，易得當(dāng)點(diǎn)P'、N、G在同一直線(xiàn)上最?。裀D延長(zhǎng)交直線(xiàn)l于點(diǎn)F，構(gòu)造特殊Rt△P'FG和Rt△OEF，利用點(diǎn)P坐標(biāo)和30°、60°的三角函數(shù)即可求得P'G的長(zhǎng)．（2）由點(diǎn)B、C、Q的坐標(biāo)求CQ的長(zhǎng)和點(diǎn)C'坐標(biāo)；過(guò)點(diǎn)Q'作x軸的垂線(xiàn)段Q'H，易證△CBQ∽△CHQ'，故有，求得CH、HQ'的長(zhǎng)即求得點(diǎn)Q'坐標(biāo)，進(jìn)而得到向右向上平移的距離，求得點(diǎn)A'、C''的坐標(biāo)．求直線(xiàn)CQ解析式，設(shè)CQ上的點(diǎn)M橫坐標(biāo)為m，用兩點(diǎn)間距離公式可得用m表示A'M和C''M的長(zhǎng)．因?yàn)椤鰽'MC''是等腰三角形，分三種情況討論，得到關(guān)于m的方程，求解即求得相應(yīng)的m的值，進(jìn)而得點(diǎn)M坐標(biāo)．【詳解】（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)l，使直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)第二、四象限且與x軸夾角為60°；過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)E，交OA于點(diǎn)D，交直線(xiàn)l于點(diǎn)F；在PF上截取PP'＝1；過(guò)點(diǎn)N作NG⊥直線(xiàn)l于點(diǎn)G∵A（3，3），AB⊥x軸于點(diǎn)B∴直線(xiàn)OA解析式為y＝x，OB＝AB＝3∵C（1，0）∴S△AOCOC?AB1×3，是定值設(shè)P（t，﹣t2+4t）（0＜t＜3）∴D（t，t）∴PD＝﹣t2+4t﹣t＝﹣t2+3t∴S△OAP＝S△OPD+S△APDPD?OEPD?BEPD?OB（t2﹣3t）∴t時(shí)，S△OAP最大此時(shí)，S四邊形PACO＝S△AOC+S△OAP最大yP＝﹣（）2+3∴P（，）∴P'E＝PE﹣PP'1，即P'（，）∵點(diǎn)M、N在y軸上且MN＝1∴PP'＝MN，PP'∥MN∴四邊形MNP'P是平行四邊形∴PM＝P'N∵∠NGO＝90°，∠NOG＝90°﹣60°＝30°∴Rt△ONG中，NGNO∴PM+MNNO＝P'N+NG+1∴當(dāng)點(diǎn)P'、N、G在同一直線(xiàn)上，即P'G⊥直線(xiàn)l時(shí)，PM+MNNO＝P'G+1最小∵OE，∠EOF＝60°，∠OEF＝90°∴Rt△OEF中，∠OFE＝30°，tan∠EOF∴EFOE∴P'F＝P'E+EF∴Rt△P'GF中，P'GP'F∴P'G+11∴PM+MNNO的最小值為（2）延長(zhǎng)A'Q'交x軸于點(diǎn)H∵C（1，0），Q（3，1），QB⊥x軸于點(diǎn)B∴CB＝2，BQ＝1∴CQ∵△AQC沿直線(xiàn)AB翻折得△AQC'∴B（3，0）是CC'的中點(diǎn)∴C'（5，0）∵平移距離QQ'＝3∴CQ'＝CQ+QQ'＝4∵QB∥Q'H∴△CBQ∽△CHQ'∴∴CH＝4CB＝8，yQ'＝HQ'＝4BQ＝4∴xQ'＝OC+CH＝1+8＝9∴Q'（9，4）∴點(diǎn)Q（3，1）向右平移6個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位得到點(diǎn)Q'（9，4）∴A'（9，6），C''（11，3）∴A'C''設(shè)直線(xiàn)CQ解析式為y＝kx+b∴解得：∴直線(xiàn)CQ：yx設(shè)射線(xiàn)CQ上的點(diǎn)M（m，m）（m＞1）∴A'M2＝（9﹣m）2+（6m）2＝（9﹣m）2+（m）2C''M2＝（11﹣m）2+（3m）2＝（11﹣m）2+（m）2∵△A'MC''是等腰三角形①若A'M＝A'C''，則（9﹣m）2+（m）2＝13解得：m1＝7，m2∴M（7，3）或（，）②若C''M＝A'C''，則（11﹣m）2+（m）2＝13解得：m1，m2＝13∴M（，）或（13，6）③若A'M＝C''M，則（9﹣m）2+（m）2＝（11﹣m）2+（m）2解得：m＝10∴M（10，）綜上所述，點(diǎn)M坐標(biāo)為（7，3），（，），（，），（13，6），（10，）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，垂線(xiàn)段最短定理，特殊角三角函數(shù)的應(yīng)用，平行四邊形的判定和性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)．第（1）題求最短路徑時(shí)對(duì)PM作平移和對(duì)NO進(jìn)行轉(zhuǎn)換是解決此類(lèi)問(wèn)題的典型做法，第（2）題解題關(guān)鍵是根據(jù)平移方向和距離求出點(diǎn)的具體平移路徑（向左右和上下如何平移），再得到平移后的坐標(biāo)．13．（重慶江北·九年級(jí)月考）已知：如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左則），交軸于點(diǎn)，作直線(xiàn)是直線(xiàn)上方拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)平行于直線(xiàn)是直線(xiàn)上的任意點(diǎn)，是直線(xiàn)上的任意點(diǎn)，連接，始終保持為，以和邊，作矩形．（1）在點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，求出當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；在的面積最大時(shí)，求矩形的面積的最小值．（2）在的面積最大時(shí)，線(xiàn)段交直線(xiàn)于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)四個(gè)點(diǎn)組成平行四邊形時(shí)，求此時(shí)線(xiàn)段與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）點(diǎn)坐標(biāo)為，矩形的最小值為；（2）交點(diǎn)坐標(biāo)為（3+，﹣），（3﹣，﹣），（1﹣，），（1+，）．【分析】（1）當(dāng)△DEB的面積最大時(shí)，直線(xiàn)DN與拋物線(xiàn)相切，可求出直線(xiàn)DN的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)，當(dāng)矩形面積最小時(shí)，MG最小，求出MG的最小值即可．（2）分兩種情況討論，以DB為邊和以DB為對(duì)角線(xiàn)，分別求出此時(shí)ON的解析式，聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：（1）如圖1所示，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線(xiàn)交MB于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)O作OQ垂直MB于點(diǎn)Q，令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），令x＝0，y＝2，∴E（0，2），設(shè)直線(xiàn)BE的解析式為y＝kx+b，則解得，∴直線(xiàn)BE的解析式為y＝﹣x+2，∵DN∥BE，∴設(shè)直線(xiàn)DN的解析式為y＝﹣x+b1，S△DEB＝DH?（xB﹣xE），∴當(dāng)△DEB面積最大時(shí)，即是DH最大的時(shí)候，∴﹣x+b1＝﹣x2+x+2，△＝b2﹣4ac＝0，即16﹣4（2b1﹣4）＝0，解得b1＝4，點(diǎn)D（2，3），S矩＝2S△MOG+S平形四邊形，∴矩形面積最小時(shí)就是MG最小，設(shè)QG＝m，MQ＝n，∴MG＝m+n，∵m+n≥2，∵△QOG∽△MQO，∴OQ2＝m?n，∵△OEQ∽△EOB，∴OQ＝，∴m?n＝，∴m+n的最小值為．∴MG＝，∴S矩＝2S△MOG+S平形四邊形＝．（2）分兩種情況討論，情況一：當(dāng)GN∥DB時(shí)，直線(xiàn)DB的解析式為：y＝﹣x+6，則直線(xiàn)NG的解析式為y＝﹣x，∴﹣x＝﹣x2+x+2，解得x1＝3+，x2＝3﹣，∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（3+，﹣），（3﹣，﹣），情況二：DB為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，此時(shí)NG必過(guò)DB的中點(diǎn)（3，），設(shè)直線(xiàn)ON的解析式為y＝k1x，則k1＝，∴直線(xiàn)OD的解析式為y＝x，＝﹣x2+x+2，解得x1＝1﹣，x2＝1+，∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（1﹣，），（1+，），綜上所述：交點(diǎn)坐標(biāo)為（3+，﹣），（3﹣，﹣），（1﹣，），（1+，）．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)與幾何相結(jié)合的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化矩形面積最小和三角形面積最大為某條線(xiàn)段的最值為解題關(guān)鍵．14．（2021·遼寧撫順·中考模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線(xiàn)y＝+bx+c經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)A（0，﹣1），點(diǎn)B（9，﹣10），AC∥x軸，點(diǎn)P是直線(xiàn)AC上方拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)P且與y軸平行的直線(xiàn)l與直線(xiàn)AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，當(dāng)四邊形AECP的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)P為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)時(shí)，在直線(xiàn)AC上是否存在點(diǎn)Q，使得以C，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2），；（3）或．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)平行于軸的直線(xiàn)上點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得的解析式，根據(jù)直線(xiàn)上的點(diǎn)滿(mǎn)足函數(shù)解析式，可得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行于軸的直線(xiàn)上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得的長(zhǎng)，根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得，根據(jù)相似三角形的判定，可得關(guān)于的方程，根據(jù)解方程，可得答案．【詳解】解：（1）將，代入函數(shù)解析式，得，解得，拋物線(xiàn)的解析式；（2）軸，，．解得，．點(diǎn)的坐標(biāo)為．點(diǎn)，，直線(xiàn)的解析式為．設(shè)點(diǎn)，．．，，．，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積的最大值是．此時(shí)點(diǎn)，．（3），．，．．．同理可得．．分兩種情況：如圖，①當(dāng)時(shí)，．，，，．解得．．②當(dāng)時(shí)，．即．解得．．綜合①②得，存在這樣的點(diǎn)，其坐標(biāo)是或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用面積的和差得出二次函數(shù)，又利用了二次函數(shù)的性質(zhì)，平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)上兩點(diǎn)間的距離是較大的坐標(biāo)減較小的坐標(biāo)；解（3）的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)的出關(guān)于的比例，要分類(lèi)討論，以防遺漏．15．（2021·山東新泰·中考一模）如圖，拋物線(xiàn)交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為第二象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接．（1）求這個(gè)拋物線(xiàn)的表達(dá)式．（2）點(diǎn)為第二象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求四邊形面積的最大值．（3）①點(diǎn)在平面內(nèi)，當(dāng)是以為斜邊的等腰直角三角形時(shí)，求出滿(mǎn)足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；②在①的條件下，點(diǎn)在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上，當(dāng)時(shí)，求出滿(mǎn)足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）；（3）①或，②或或【分析】（1）由交點(diǎn)式可求a的值，即可求解；（2）由S四邊形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC，即可求解；（3）①分兩種情況討論，通過(guò)證明△MAD≌△DOC，可得AM＝DO，∠MAD＝∠DOC＝90°，可求解；②可證點(diǎn)M，點(diǎn)C，點(diǎn)M'在以MM'為直徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)N在以MM'為直徑的圓上時(shí)，∠M'NC＝∠M'MC＝45°，延長(zhǎng)M'C交對(duì)稱(chēng)軸與N''，可證∠MM'C＝∠MN''C＝45°，即可求解．【詳解】解：（1）∵拋物線(xiàn)交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：，即，解得：，故拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：；（2）連接，設(shè)點(diǎn)，則，．故有最大值，當(dāng)時(shí)，的最大值為；（3）①如圖2，若點(diǎn)在左側(cè)，連接，，且，，且，，∴點(diǎn)坐標(biāo)，若點(diǎn)在右側(cè)，同理可求點(diǎn)；②如圖3，∵拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：；∴對(duì)稱(chēng)軸為：直線(xiàn)，∴點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上，，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∴點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)在以為直徑的圓上時(shí)，，符合題意，∵點(diǎn)，點(diǎn)，，且點(diǎn)在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上，∴點(diǎn)，點(diǎn)，延長(zhǎng)交對(duì)稱(chēng)軸與，∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴直線(xiàn)解析式為：，∴當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)，∵點(diǎn)的坐標(biāo)，點(diǎn)，點(diǎn)，且，，，∴點(diǎn)符合題意，綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為：或或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)知識(shí)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．16．（2021·山西陽(yáng)泉·中考一模）如圖1，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)P為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），連接，，，將沿直線(xiàn)翻折得到，交拋物線(xiàn)的另一點(diǎn)為Q，連接．

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）求四邊形面積的最大值；（3）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)N為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，直線(xiàn)交y軸于點(diǎn)M．①求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．②若的面積為面積的8倍，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，且最大值為12；（3）①點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；②，或．【分析】（1）知道拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可以利用交點(diǎn)式求得二次項(xiàng)系數(shù)a的值，將交點(diǎn)式轉(zhuǎn)換為一般式即可.（2）連接，過(guò)點(diǎn)Q分別作x軸和y軸的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，將四邊形面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形面積，進(jìn)行計(jì)算即可．（3）①過(guò)點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)G；過(guò)點(diǎn)Q作，垂足為點(diǎn)H，通過(guò)求證，求得CH長(zhǎng)度，從而知道Q點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)求解即可．②根據(jù)點(diǎn)的位置，分兩種情況去討論，通過(guò)三角形相似，轉(zhuǎn)換等量關(guān)系求解即可．【詳解】（1）∵拋拋物線(xiàn)與x軸相交于、兩點(diǎn)，∴與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為．設(shè)拋物線(xiàn)的表達(dá)式為，將點(diǎn)代入，得，解得，∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為．（2）如圖1，連接，過(guò)點(diǎn)Q分別作x軸和y軸的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則，．

∴．∵，∴四邊形的面積有最大值，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，且最大值為12．（3）①如圖3-1

過(guò)點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)G；過(guò)點(diǎn)Q作，垂足為點(diǎn)H．由和可知，，故，即四邊形為正方形．∴．∵，∴，∴，即，∴．將代入拋物線(xiàn)解析式，得，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．②根據(jù)題意，點(diǎn)的坐標(biāo)分兩種情況討論，第一種情況，如下圖3-2：

過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)L，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),由的面積為面積的8倍，得：又∵∴∴在和中，∵,，∴∴在和中，∵，，∴∴又∵∴,∴,即點(diǎn)的橫