中考數(shù)學解題技巧 13三角形面積求最大值問題-鉛垂法

鉛垂法求三角形面積最值問題知識導航求三角形的面積是幾何題中常見問題之一，可用的方法也比較多，比如面積公式、割補、等積變形、三角函數(shù)甚至海倫公式，本文介紹的方法是在二次函數(shù)問題中常用的一種求面積的方法——鉛垂法．【問題描述】在平面直角坐標系中，已知、、，求△ABC的面積．【分析】顯然對于這樣一個位置的三角形，面積公式并不太好用，割補倒是可以一試，比如這樣：構(gòu)造矩形ADEF，用矩形面積減去三個三角形面積即可得△ABC面積．這是在“補”，同樣可以采用“割”：此處AE+AF即為A、B兩點之間的水平距離．由題意得：AE+BF=6．下求CD：根據(jù)A、B兩點坐標求得直線AB解析式為：由點C坐標（4,7）可得D點橫坐標為4，將4代入直線AB解析式得D點縱坐標為2，故D點坐標為（4,2），CD=5,．【方法總結(jié)】作以下定義：A、B兩點之間的水平距離稱為“水平寬”；過點C作x軸的垂線與AB交點為D，線段CD即為AB邊的“鉛垂高”．如圖可得：【解題步驟】（1）求A、B兩點水平距離，即水平寬；（2）過點C作x軸垂線與AB交于點D，可得點D橫坐標同點C；（3）求直線AB解析式并代入點D橫坐標，得點D縱坐標；（4）根據(jù)C、D坐標求得鉛垂高；（5）利用公式求得三角形面積．【思考】如果第3個點的位置不像上圖一般在兩定點之間，如何求面積？鉛垂法其實就是在割補，重點不在三個點位置，而是取兩個點作水平寬之后，能求出其對應的鉛垂高！因此，動點若不在兩定點之間，方法類似：【鉛垂法大全】（1）取AB作水平寬，過點C作鉛垂高CD．（2）取AC作水平寬，過點B作BD⊥x軸交直線AC于點D，BD即對應的鉛垂高，（3）取BC作水平寬，過點A作鉛垂高AD．甚至，還可以橫豎互換，在豎直方向作水平寬，在水平方向作鉛垂高．（4）取BC作水平寬，過點A作鉛垂高AD．（5）取AC作水平寬，過點B作鉛垂高BD．（6）取AB作水平寬，過點C作鉛垂高CD．方法突破例一、如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點，與軸的另一個交點為．（1）求該拋物線的表達式；（2）點為該拋物線上一動點（與點、不重合），設點的橫坐標為m．當點在直線的下方運動時，求的面積的最大值．【分析】（1），（2）取BC兩點之間的水平距離為水平寬，過點P作PQ⊥x軸交直線BC于點Q，則PQ即為鉛垂高．根據(jù)B、C兩點坐標得B、C水平距離為4，根據(jù)B、C兩點坐標得直線BC解析式：y=x+1，設P點坐標為（m，m2+6m+5），則點Q（m，m+1），得PQ=-m2-5m-4，考慮到水平寬是定值，故鉛垂高最大面積就最大．當時，△BCP面積最大，最大值為．【小結(jié)】選兩個定點作水平寬，設另外一個動點坐標來表示鉛垂高．例二、在平面直角坐標系中，將二次函數(shù)的圖像向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與軸交于點、（點在點的左側(cè)），，經(jīng)過點的一次函數(shù)的圖像與軸正半軸交于點，且與拋物線的另一個交點為，的面積為5．（1）求拋物線和一次函數(shù)的解析式；（2）拋物線上的動點在一次函數(shù)的圖像下方，求面積的最大值，并求出此時點的坐標．【分析】（1）拋物線解析式：；一次函數(shù)解析式：．（2）顯然，當△ACE面積最大時，點E并不在AC之間．已知A（-1,0）、，設點E坐標為，過點E作EF⊥x軸交直線AD于F點，F(xiàn)點橫坐標為m，代入一次函數(shù)解析式得可得考慮到水平寬是定值，故鉛垂高最大面積最大．既然都是固定的算法，那就可以總結(jié)一點小小的結(jié)論了，對坐標系中已知三點、、，按鉛垂法思路，可得：如果能記住也不要直接用，可以當做是檢驗的方法咯．【總結(jié)】鉛垂法是求三角形面積的一種常用方法，尤其適用于二次函數(shù)大題中的三角形面積最值問題，弄明白方法原理，熟練方法步驟，加以練習，面積最值問題輕輕松松．專項訓練1．已知二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點，且二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．（1）分別求、和、的值；（2）點是二次函數(shù)的圖象上一動點，且點在軸上方，寫出的面積關(guān)于點的橫坐標的函數(shù)表達式，并求的最大值．【分析】（1）把直線和曲線經(jīng)過的點代入得到方程組，求解即可得到答案；（2）分兩種情況：①當點在軸左側(cè)時，過點作軸交于點，②當點在軸右側(cè)時，過點作軸交的延長線于點，分別根據(jù)三角形面積公式得到關(guān)系式，利用函數(shù)式表示三角形的面積，配方可得答案．【解答】解：（1）二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，，二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，．（2）由（1）知一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式分別為：或，①當點在軸左側(cè)時，過點作軸交于點，則，②當點在軸右側(cè)時，過點作軸交的延長線于點，則，點在拋物線上，設，則，，，即當時，最大．【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及一次函數(shù)、圖形面積的計算等，掌握其性質(zhì)及運算是解決此題關(guān)鍵，2．如圖，拋物線經(jīng)過，，三點．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線下方的拋物線上有一動點，使得的面積最大，求點的坐標；（3）點為軸上一動點，在拋物線上是否存在一點，使以，，，四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將點、、的坐標代入拋物線表達式，即可求解；（2）由的面積，即可求解；（3）分是邊、是對角線兩種情況，利用平移的性質(zhì)和中點公式即可求解．【解答】解：（1）將點、、的坐標代入拋物線表達式得，解得，故拋物線的表達式為；（2）設直線的表達式為，則，解得，故直線的表達式為，過點作軸的平行線交于點，設點的坐標為，則點，則的面積，，故該拋物線開口向下，的面積存在最大值，此時，則點的坐標為；（3）存在，理由：設點的坐標為，則①，①當是邊時，點向下平移3個單位得到點，則點向下平移3個單位得到點，則或②，聯(lián)立①②并解得或（不合題意的值已舍去）；②當是對角線時，則由中點公式得：③，聯(lián)立①③并解得（不合題意的值已舍去）；綜上，點的坐標為或，或，．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、面積的計算等，其中（3），要注意分類求解，避免遺漏．3．綜合與探究：如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象交坐標軸于，，三點，點是直線下方拋物線上的一個動點．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）動點運動到什么位置時，的面積最大，求出此時點坐標及面積的最大值；（3）在軸上是否存在點，使以，，為頂點的三角形與相似？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將、、坐標代入即可求解析式；（2）設坐標，表示出的面積，再求出最大面積和面積最大時的坐標；（3）兩個直角頂點是對應點，而兩直角邊的比為，只需兩直角邊比也為，兩個三角形就相似，分兩種情況列出比例式即可．【解答】解：（1）設二次函數(shù)的解析式為，二次函數(shù)的圖象交坐標軸于，，，，，，解得，，，二次函數(shù)的解析式為，故答案為：；（2）設直線解析式為，將，代入得，解得，，解析式是，如答圖1，過作軸，交于，點是直線下方拋物線上的一個動點，，，，，，，時，最大為，此時，，，故答案為：，，最大為；，，，，，點在軸上，，若以，，為頂點的三角形與相似，則與對應，分兩種情況：①如答圖2，，則即，解得，或；②，則即，解得，或，綜上所述，存在軸上的點，使以，，為頂點的三角形與相似，這樣的點一共4個：或，或，故答案為：存在這樣的點，坐標分別是：或，或，【點評】本題是二次函數(shù)、相似三角形、面積等問題的綜合題，主要考查坐標、線段的轉(zhuǎn)化，面積的表示，涉及方程思想，分類思想等，難度適中．4．如圖1，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，已知點坐標為，點坐標為．（1）求拋物線的表達式；（2）點為直線上方拋物線上的一個動點，當?shù)拿娣e最大時，求點的坐標；（3）如圖2，點為該拋物線的頂點，直線軸于點，在直線上是否存在點，使點到直線的距離等于點到點的距離？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求解析式；（2）過點作軸于，交于點，先求出的解析式，設點，則點，由三角形面積公式可得，由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解；（3）設直線與軸交于點，過點作于，先求出點，點坐標，可求解析式，可得，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，由兩點距離公式可列，即可求解．【解答】解：（1）點，點在拋物線圖象上，，解得：，拋物線解析式為：；（2）點，點，直線解析式為：，如圖，過點作軸于，交于點，設點，則點，，，當時，有最大值，點，；（3）存在滿足條件，理由如下：拋物線與軸交于、兩點，點，，頂點為，點為，點，直線的解析式為：，如圖，設直線與軸交于點，過點作于，點，，，，，，，設點，點到直線的距離等于點到點的距離，，，，，，，存在點滿足要求，點坐標為或．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，兩點距離公式，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，利用參數(shù)列方程是本題的關(guān)鍵．5．如圖，拋物線過點和，頂點為，直線與拋物線的對稱軸的交點為，，平行于軸的直線與拋物線交于點，與直線交于點，點的橫坐標為，四邊形為平行四邊形．（1）求點的坐標及拋物線的解析式；（2）若點為拋物線上的動點，且在直線上方，當面積最大時，求點的坐標及面積的最大值；（3）在拋物線的對稱軸上取一點，同時在拋物線上取一點，使以為一邊且以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，求點和點的坐標．【分析】（1）由待定系數(shù)法求出直線的解析式為，求出點的坐標，由平行四邊形的性質(zhì)得出，求出的值，則可得出答案；（2）設，作軸交于點，則，得出，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案；（3）聯(lián)立直線和拋物線解析式求出，，設，，分兩種情況：①當為對角線時，②當為對角線時，分別求出點和的坐標即可．【解答】解：（1）設拋物線的解析式為，，，，設直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，點的橫坐標為，點縱坐標為，點的坐標為，，又點在拋物線上，，對稱軸為：，，解析式化為：，四邊形為平行四邊形．，，解得，拋物線的解析式為；（2）設，作軸交于點，則，，，當時，的面積最大為，此時，．（3），或，，，設，，①當為對角線時，，在拋物線上，，解得，，；②當為對角線時，，在拋物線上，，解得，，，．綜上所述，，；或，，．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及方程思想，分類討論思想是解題的關(guān)鍵．6．在平面直角坐標系中，等腰直角的直角頂點在軸上，另兩個頂點，在軸上，且，拋物線經(jīng)過，，三點，如圖1所示．（1）求拋物線所表示的二次函數(shù)表達式．（2）過原點任作直線交拋物線于，兩點，如圖2所示．①求面積的最小值．②已知是拋物線上一定點，問拋物線上是否存在點，使得點與點關(guān)于直線對稱，若存在，求出點的坐標及直線的一次函數(shù)表達式；若不存在，請說明理由．【分析】（1）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得、、，進而得、、三點的坐標，再用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式；（2）①設直線的解析式為，，，，，聯(lián)立方程組求得，再由三角形的面積公式求得結(jié)果；②假設拋物線上存在點，使得點與點關(guān)于直線對稱，由列出方程求得的值，再根據(jù)題意舍去不合題意的值，再求得的中點坐標，便可求得直線的解析式．【解答】解：（1）設拋物線的解析式為，在等腰中，垂直平分，且，，，，，，解得，，拋物線的解析式為；（2）①設直線的解析式為，，，，，由，可得，，