2022-2023學年高一數(shù)學 人教A版2019必修第一冊 同步講義 培優(yōu)02 函數(shù)圖像問題 含解析

培優(yōu)專題02函數(shù)圖像問題

【題型目錄】

題型一：函數(shù)圖像的識別(定義域，奇偶性，單調性，函數(shù)值)

題型二：函數(shù)圖像上下左右平移(對X：左加右減，對y(函數(shù)值)：上加下減)

題型三：函數(shù)圖像伸縮對稱變換(關于X,y軸對稱，橫坐標伸長縮短)

【典型例題】

題型一：函數(shù)圖像的識別(定義域，奇偶性，單調性，函數(shù)值)

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調性及函數(shù)的正負情況判斷函數(shù)圖象.

【詳解】由/(X)=忙二1,得“τ)=b歸l=J≤d=τ(χ),

X-XX

所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，故A選項錯誤；

又當χ>0時，F(xiàn)(X)=忙二?≥o,故C選項錯誤；

當x>l時，f(χ)=-=--,函數(shù)單調遞增，且xf+8時，/(x)→田，故B選項錯

XxX

誤，D選項正確；

故選：D.

【例2】函數(shù)/(X)=五W■的圖像大致為().

【答案】B

【分析】根據(jù)特值/⑴，/(2)排除AD,根據(jù)奇偶性排除C,即可得出答案.

【詳解】由XeR，/(τ)=3(二：+1=5?=~4X)，可得/(x)為奇函數(shù),

其圖像關于原點對稱，排除選項C；

/(∣)=→0,排除選項A；

【答案】A

【分析】先判斷函數(shù)為奇函數(shù)，排除BC選項，再根據(jù)函數(shù)圖像在O<x<l的符號，排除D

選項，得到答案.

L

【詳解】由函數(shù)y=?√r可得xx±l,故函數(shù)的定義域為(―,-l)u(T,l)u(l,+8),

X—1

又/(-χ)=(_jT=一黃7T⑺，所以y=F是奇函數(shù)，圖像關于原點對稱，因此

BC錯誤；

Y

當O<x<l時，χ2-l≤O,y=-~-<0.所以D錯誤；所以A正確.

X--1

故選：A.

71

因為/(2)=]<j=∕(l),所以排除選項D.

故選：B

的圖象大致為()

C.

【答案】A

【分析】首先根據(jù)題意得到〃x)為奇函數(shù)，排除C,D,再根據(jù)/(1)=0,排除B,即可得

到答案.

3

【詳解】於)=七X-14定義域為R，

/(r)=1?+*-∣??)f江

所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，排除C,D.

因為F(I)=g_；=0,排除B,

故選：A

【答案】B

【分析】利用函數(shù)的奇偶性和特殊值進行逐項排除即可求解.

【詳解】由題意可知，函數(shù)y=V-X的定義域為R.所以

/(-x)=(-x),-(-x)=-X3+X=-(x3-x)=-/(%),函數(shù)F(X)是奇函數(shù)，故排除D；

因為/(2)=23-2=6>0,故排除C,因為/(；)=(；)=故排除A,

故選：B.

【答案】D

【分析】判斷函數(shù)的奇偶性可排除B,C；利用特殊值可判斷A,D,即得答案.

―A丫21__Λ丫2.1

【詳解】因為函數(shù)/*)=土F的定義域為(-∞,O)U(O,+∞),且/(T)=T入F=/(X)

2x2x

—4.Y~-4-1

故f(x)=±7t!.是偶函數(shù)，排除選項B,C；

2x

當x=2時，/(2)=—<0,對應點在第四象限，故排除A,

故選：D.

【例7】函數(shù)/(X)=窯?

的圖象大致為()

【答案】D

【分析】求定義域，確定奇偶性后排除兩個選項，再由單調性排除一個，得正確結論.

f]/??2_1f_]

【詳解】/(X)=丁廠的定義域是{XX≠0},關于原點對稱，f(T)=??F=-r廠=f(X),

I-rIrx?Fl

所以/(X)是偶函數(shù)，排除B,C；當x>0時，/(X)=-=x-i,易知“X)在(0,+8)上

XX

是增函數(shù)，排除A.

故選：D.

題型二：函數(shù)圖像上下左右平移

【分析】將函數(shù)y=-L先向左平移1個單位，再向上平移1個單位得到AX)=I的圖

Xx+1

象，再結合函數(shù)y=-?!■圖象的特點，即可得到結果.

X

【詳解】函數(shù)AX)=I--'的圖象，是將函數(shù)>先向左平移1個單位，再向上平移1

x÷lX

個單位得到；

又由于函數(shù)y=~!■圖象關于原點中心對稱，所以/@)=1-3圖象關于(T,l)中心對稱，

所以C正確.

故選：C.

【例2】(多選題)下列函數(shù)圖像經(jīng)過變換后，過原點的是()

A.y=(x-l)2-4向右平移1個單位B.y=(x-l)2-4向左平移1個單位

C.y=(χ+l)2-2向上平移1個單位D.y=(χ+l>-2向下平移1個單位

【答案】AC

【分析】先求得變換后的解析式，然后將原點坐標代入驗證即可.

【詳解】y=(尤-1)2-4向右平移1個單位得至IJy=(X-2)2-4,當X=O時，y=0,函數(shù)圖像

過原點，選項A正確；..

y=(x-l)2-4向左平移1個單位得到y(tǒng)=χ2-4,當X=O時，y=~4,函數(shù)圖像不過原點，

選項B錯誤；

y=(x+l)2-2向上平移1個單位得到y(tǒng)=(x+l)2-l,當X=O時，y=。，函數(shù)圖像過原點，選

項C正確；

y=(x+l)2-2向下平移1個單位得至IJy=(X+1)2-3,當X=O時，丫=一2,函數(shù)圖像不過原點，

選項D錯誤.

故選：AC

【例3】要得到函數(shù))，="二的圖象，只需將函數(shù)y=L的圖象()

x-1X

A.先向右平移1個單位，再向上平移2個單位

B.先向左平移1個單位，再向上平移2個單位

C.先向右平移2個單位，再向上平移1個單位

D.先向左平移2個單位，再向上平移1個單位

【答案】A

【分析】由于y=二2r-√1=2+一1■,再根據(jù)函數(shù)圖象平移變換求解即可.

X-IX-I

【詳解】解：因為y=2=空二?Hl=2+—1—,

x-1x-1X-I

12γ—]

所以函數(shù))，=’的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位即可得到函數(shù)y=-r的圖

Xx-l

象.

故選：A

【例4】函數(shù)F(X)=J—+1的圖象是()

I-X

【答案】B

【分析】把函數(shù)用分離常數(shù)法變形，然后利用反比例函數(shù)的圖象進行圖象的平移可得.

【詳解】函數(shù)，(x)=J—+l=--i-+?,把函數(shù)y=-?!■的圖象向右平移一個單位長度，再

1-xx-1X

向上平移一個單位長度，即可得到函數(shù)/(X)的圖象，

故選：B.

【例5】將函數(shù)＞=2。-2)2-3的圖像向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度，

所得的圖像所對應的函數(shù)解析式為()

A.y=2(x+2)?B.y=2x2-6C.y=2(x+2f-6D.y=2x2

【答案】D

【分析】先寫出向左平移后的解析式，再寫出向上平移后的解析式.

【詳解】解：將函數(shù)y=2(x-2)2-3的圖像向左平移2個單位長度，得到

y=2(x-2+2)2-3=2√-3,再向上平移3個單位長度，得至IJy=2/—3+3=21.

故選：D

【例6】設函數(shù)"x)=M∣,則下列函數(shù)的對稱中心為(LO)的是()

2Λ-4

A./(%-1)+2B./(x+l)+2C./(工+1)-2D.f(%—1)-2

【答案】C

【分析】結合反比例函數(shù)特點，先得到了(力關于(2,2)對稱，再結合圖像變換依次判斷各個

選項.

【詳解】因為f(x)=y?="心乎=2+二，由反比例函數(shù)y=?!■關于(0,0)知，

2x-42x-42x-4x',

9

“X)=2+,=2+3關于(2,2)對稱，

v,2x-4(x-2)

選項A：/(x-l)+2由/(x)圖像上所有點向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到的，

所以對稱中心為(3,4),不滿足題意；

選項B：/(x+l)+2山/(元)圖像上所有點向左平移1個單位，再向上平移2個單位得到的，

所以對稱中心為(1,4),不滿足題意；

選項C：/(x+1)-2由/(x)圖像上所有點向左平移1個單位，再向下平移2個單位得到的，

所以對稱中心為(1,0),滿足題意；

選項D：/(x-1)-2山/(x)圖像上所有點向右平移1個單位,再向下平移2個單位得到的，

所以對稱中心為(3,0),不滿足題意；

故選：C

γ

【例7】設函數(shù)/(x)=H,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A.f(x—1)-1B./(x-1)+1C./(x+l)-1D./(x+l)+l

【答案】A

【分析】求出函數(shù)f(x)圖象的對稱中心，結合函數(shù)圖象平移變換可得結果.

【詳解】因為〃X)=*=等

x÷l

]

所以,∕W+∕(-2-x)=l--^-+l-=2,

-2-Λ+1

所以，函數(shù)“X)圖象的對稱中心為

將函數(shù)/(χ)的圖象向右平移1個單位，再將所得圖象向下平移1個單位長度，可得到奇函數(shù)

的圖象,

即函數(shù)/(x-l)T為奇函數(shù).

故選：A.

【例8】已知函數(shù)f(x)=￡,則()

A./(x)在(-1,+∞)上單調遞增B.8(x)的圖象關于點(TI)對稱

C./(x)為奇函數(shù)D./(x)的圖象關于直線N=X對稱

【答案】D

【分析】把F(X)化簡成F(X)=A2-I,進而得到〃幻是由g(χ)=24先向左平移一個單位

再向下平移一個單位得到的，然后根據(jù)g(x)的圖象畫出/(X)的圖象，即可判斷選項

【詳解】

2

f(χ)的可以看作是函數(shù)g(χ)=*先向左平移一個單位，再向下平移一個單位得到，

X

先畫出g(χ)=±2的圖象，再進行平移畫出/(X)=42-1的圖象，

X1+X

2

明顯可見，對于原函數(shù)g(x)=W,為奇函數(shù)，關于點(0,0)對稱，且在(ro,0)和(0,+8)上為

X

單調減函數(shù)，

所以，g(x)經(jīng)過平移后變成的/(X)在(T,+∞)I二單調遞減，關于(T,T)對稱，非奇函數(shù)也非

偶函數(shù)，圖象關于直線N=X對稱，所以，D正確；A、B、C錯誤.

故選：D

【例9】若想得到函數(shù)y=-3Y+12x-ll的圖象，應將函數(shù)y=-3/的圖象()

A.向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度

B.向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度

C.向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度

D.向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度

【答案】C

【分析】化簡函數(shù)為y=-3(x-2f+l,結合函數(shù)的圖象變換的規(guī)則，即可求解.

【詳解】由題意，要得到函數(shù)y=-3x、12x-ll的圖象，即y=-3(x-2y+l的圖象，

只需將函數(shù)y=-3χ2的圖象向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，

即可得到函數(shù)y=-3f+i2x-ll的圖象.

故選：C.

【例10】將函數(shù)y=2(x-lf+3的圖象向左平移1個單位，再向下平移3個單位長度，所得

的函數(shù)圖象對應的解析式為()

A.y=2(x-2)^+6B.y=2X2+6

C.y=2x2D.y=2(x-2)2

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象變換的知識求得正確答案.

【詳解】函數(shù)y=2(x-l),3的圖象向左平移1個單位得到y(tǒng)=2f+3,

再向下平移3個單位長度得到y(tǒng)=2/.

故選：C

題型三：函數(shù)圖像伸縮對稱變換

【例1】已知函數(shù)/(x)的圖象如圖1所示，則圖2所表示的函數(shù)是()

D.l-/(-?)

【答案】C

【分析】根函數(shù)圖象判斷兩個函數(shù)見的位置關系，進而可得解.

【詳解】由圖知，將/(χ)的圖象關于y軸對稱后再向下平移1個單位即得圖2,

乂將“X)的圖象關于y軸對稱后可得函數(shù)y="r),

再向下平移1個單位，可得y=∕(τ)-ι

所以解析式為y=∕(r)-l,

故選：C.

、fx+l,x≥O

【例2】已知函數(shù)f(zx)=Lχ<0則函數(shù)/(l+2x)的圖象是()

【答案】B

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的特征寫出f(l+2x)的表達式，即可判斷.

【詳解】由題意得，當l+2x≥0,即x≥-g時，/(l+2x)=2+2x；

當l+2x<0,即x<-,時，/(l+2x)=-2χ-l

2.x+2,X≥—,

2

所以“1+2X)=

-Ix—1,?<—,

2

結合函數(shù)圖象可知：自變量的分界線為X=-；，故排除A,CQ

故選:B.

【例3】已知函數(shù)f(x)的圖象的一部分如下左圖，則如下右圖的函數(shù)圖象所對應的函數(shù)解

析式()

C.y=∕d-2x)D.y=f[-7-J

【答案】C

【分析】分三步進行圖像變換①關于y軸對稱②向右平移1個單位③縱坐標不變，橫坐標變

為原來的一半

①關于y軸對稱②向右平移I個單位③縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊话?/p>

故選：C.

x+l,x∈[-l,θ)

【例4】已矢口/(犬)=〈,則關于圖中的函數(shù)圖象正確的是()

x2+l,%∈[θ,l]

A.是/(x—1)的圖象B.是-尤)的圖象

C.是或/㈤的圖象D.以上答案都不對

【答案】D

【分析】作出/(x)的圖象，由圖象的平移翻折變換即可求解.

【詳解】畫/(x)的圖象，

/(X-D的圖象是由∕ω的圖象向右移一個單位，與題目中的圖不一樣，故A不正確;

而/(-x)與/(x)的圖象關于y軸對稱，與題目中的圖不一樣，故B不正確；

/(W)是偶函數(shù)或/(x)I的圖象與/(x)的圖象一樣，故選項C不正確，

故選：D.

【例5】我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結合

百般好，隔離分家萬事體在數(shù)學的學習和研究中，經(jīng)常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質，

也經(jīng)常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征.若函數(shù)/(x)在區(qū)間目上的圖象如圖，則

函數(shù)F(W)的圖象是()

A.B.C.D.

【答案】B

【分析】根據(jù)"W)圖象與/(x)圖象的關系確定正確選項.

【詳解】.f(W)圖象的構成如下：XNon寸，F(xiàn)(W)圖象與/(X)圖象相同：x<0?,圖象與