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湖南省常德市示范中學(xué)2024屆高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),若關(guān)于的方程有4個不同的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.2.從5名學(xué)生中選出4名分別參加數(shù)學(xué),物理,化學(xué),生物四科競賽,其中甲不能參加生物競賽,則不同的參賽方案種數(shù)為A.48 B.72 C.90 D.963.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”,最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題,叫做“物不知數(shù)”,原文如下:今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二.問物幾何?現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題:將1到2020這2020個自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列,構(gòu)成一個數(shù)列,則該數(shù)列各項之和為()A.56383 B.57171 C.59189 D.612424.數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合,也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對稱美、和諧美的結(jié)合產(chǎn)物,曲線恰好是四葉玫瑰線.給出下列結(jié)論:①曲線C經(jīng)過5個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點);②曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2;③曲線C圍成區(qū)域的面積大于;④方程表示的曲線C在第二象限和第四象限其中正確結(jié)論的序號是()A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④5.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.6.已知各項都為正的等差數(shù)列中,,若,,成等比數(shù)列,則()A. B. C. D.7.已知向量與向量平行,,且,則()A. B.C. D.8.已知集合,集合,則A. B.或C. D.9.國務(wù)院發(fā)布《關(guān)于進一步調(diào)整優(yōu)化結(jié)構(gòu)、提高教育經(jīng)費使用效益的意見》中提出,要優(yōu)先落實教育投入.某研究機構(gòu)統(tǒng)計了年至年國家財政性教育經(jīng)費投入情況及其在中的占比數(shù)據(jù),并將其繪制成下表,由下表可知下列敘述錯誤的是()A.隨著文化教育重視程度的不斷提高,國在財政性教育經(jīng)費的支出持續(xù)增長B.年以來,國家財政性教育經(jīng)費的支出占比例持續(xù)年保持在以上C.從年至年,中國的總值最少增加萬億D.從年到年,國家財政性教育經(jīng)費的支出增長最多的年份是年10.已知,,則()A. B. C. D.11.已知集合,則()A. B.C. D.12.如圖,平面與平面相交于,,,點,點,則下列敘述錯誤的是()A.直線與異面B.過只有唯一平面與平行C.過點只能作唯一平面與垂直D.過一定能作一平面與垂直二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.拋物線的焦點到準線的距離為.14.在的二項展開式中,x的系數(shù)為________.(用數(shù)值作答)15.已知函數(shù),則關(guān)于的不等式的解集為_______.16.某中學(xué)數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)班共有10人,分為甲、乙兩個小組,在一次階段測試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示,若甲組5名同學(xué)成績的平均數(shù)為81,乙組5名同學(xué)成績的中位數(shù)為73,則x-y的值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)橢圓,直線經(jīng)過點,直線經(jīng)過點,直線直線,且直線分別與橢圓相交于兩點和兩點.(Ⅰ)若分別為橢圓的左、右焦點,且直線軸,求四邊形的面積;(Ⅱ)若直線的斜率存在且不為0,四邊形為平行四邊形,求證:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,判斷四邊形能否為矩形,說明理由.18.(12分)在△ABC中,分別為三個內(nèi)角A、B、C的對邊,且(1)求角A;(2)若且求△ABC的面積.19.(12分)在直角坐標系中,長為3的線段的兩端點分別在軸、軸上滑動,點為線段上的點,且滿足.記點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若點為曲線上的兩個動點,記,判斷是否存在常數(shù)使得點到直線的距離為定值?若存在,求出常數(shù)的值和這個定值;若不存在,請說明理由.20.(12分)在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,圓的方程為.(1)寫出直線的普通方程和圓的直角坐標方程;(2)若點坐標為,圓與直線交于兩點,求的值.21.(12分)已知直線的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),曲線的極坐標方程為.(1)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程,并說明曲線的形狀;(2)若直線經(jīng)過點,求直線被曲線截得的線段的長.22.(10分)設(shè)點,動圓經(jīng)過點且和直線相切.記動圓的圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)過點的直線與曲線交于、兩點,且直線與軸交于點,設(shè),,求證:為定值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
求導(dǎo),先求出在單增,在單減,且知設(shè),則方程有4個不同的實數(shù)根等價于方程在上有兩個不同的實數(shù)根,再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.【詳解】依題意,,令,解得,,故當時,,當,,且,故方程在上有兩個不同的實數(shù)根,故,解得.故選:C.【點睛】本題考查確定函數(shù)零點或方程根個數(shù).其方法:(1)構(gòu)造法:構(gòu)造函數(shù)(易求,可解),轉(zhuǎn)化為確定的零點個數(shù)問題求解,利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值,并確定定義區(qū)間端點值的符號(或變化趨勢)等,畫出的圖象草圖,數(shù)形結(jié)合求解;(2)定理法:先用零點存在性定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點,然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點值符號,進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù).2、D【解析】因甲不參加生物競賽,則安排甲參加另外3場比賽或甲學(xué)生不參加任何比賽①當甲參加另外3場比賽時,共有?=72種選擇方案;②當甲學(xué)生不參加任何比賽時,共有=24種選擇方案.綜上所述,所有參賽方案有72+24=96種故答案為:96點睛:本題以選擇學(xué)生參加比賽為載體,考查了分類計數(shù)原理、排列數(shù)與組合數(shù)公式等知識,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”,可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,然后根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式,可得結(jié)果.【詳解】被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項為23,公差為的等差數(shù)列,記數(shù)列則令,解得.故該數(shù)列各項之和為.故選:C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題。4、B【解析】
利用基本不等式得,可判斷②;和聯(lián)立解得可判斷①③;由圖可判斷④.【詳解】,解得(當且僅當時取等號),則②正確;將和聯(lián)立,解得,即圓與曲線C相切于點,,,,則①和③都錯誤;由,得④正確.故選:B.【點睛】本題考查曲線與方程的應(yīng)用,根據(jù)方程,判斷曲線的性質(zhì)及結(jié)論,考查學(xué)生邏輯推理能力,是一道有一定難度的題.5、A【解析】
由復(fù)數(shù)的運算法則計算.【詳解】因為,所以故選:A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算.屬于簡單題.6、A【解析】試題分析:設(shè)公差為或(舍),故選A.考點:等差數(shù)列及其性質(zhì).7、B【解析】
設(shè),根據(jù)題意得出關(guān)于、的方程組,解出這兩個未知數(shù)的值,即可得出向量的坐標.【詳解】設(shè),且,,由得,即,①,由,②,所以,解得,因此,.故選:B.【點睛】本題考查向量坐標的求解,涉及共線向量的坐標表示和向量數(shù)量積的坐標運算,考查計算能力,屬于中等題.8、C【解析】
由可得,解得或,所以或,又,所以,故選C.9、C【解析】
觀察圖表,判斷四個選項是否正確.【詳解】由表易知、、項均正確,年中國為萬億元,年中國為萬億元,則從年至年,中國的總值大約增加萬億,故C項錯誤.【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表,正確認識圖表是解題基礎(chǔ).10、D【解析】
分別解出集合然后求并集.【詳解】解:,故選:D【點睛】考查集合的并集運算,基礎(chǔ)題.11、B【解析】
先由得或,再計算即可.【詳解】由得或,,,又,.故選:B【點睛】本題主要考查了集合的交集,補集的運算,考查學(xué)生的運算求解能力.12、D【解析】
根據(jù)異面直線的判定定理、定義和性質(zhì),結(jié)合線面垂直的關(guān)系,對選項中的命題判斷.【詳解】A.假設(shè)直線與共面,則A,D,B,C共面,則AB,CD共面,與,矛盾,故正確.B.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知,過只有唯一平面與平行,故正確.C.根據(jù)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直知,故正確.D.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知,過不一定能作一平面與垂直,故錯誤.故選:D【點睛】本題主要考查異面直線的定義,性質(zhì)以及線面關(guān)系,還考查了理解辨析的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】試題分析:由題意得,因為拋物線,即,即焦點到準線的距離為.考點:拋物線的性質(zhì).14、-40【解析】
由題意,可先由公式得出二項展開式的通項,再令10-3r=1,得r=3即可得出x項的系數(shù)【詳解】的二項展開式的通項公式為,r=0,1,2,3,4,5,令,所以的二項展開式中x項的系數(shù)為.故答案為:-40.【點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是靈活掌握二項式展開式通項的公式,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
判斷的奇偶性和單調(diào)性,原不等式轉(zhuǎn)化為,運用單調(diào)性,可得到所求解集.【詳解】令,易知函數(shù)為奇函數(shù),在R上單調(diào)遞增,,即,∴∴,即x>故答案為:【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運用:解不等式,考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力,屬于中檔題.16、【解析】
根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),結(jié)合平均數(shù)與中位數(shù)的概念,求出x、y的值.【詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),得:甲班5名同學(xué)成績的平均數(shù)為,解得;又乙班5名同學(xué)的中位數(shù)為73,則;.故答案為:.【點睛】本題考查莖葉圖及根據(jù)莖葉圖計算中位數(shù)、平均數(shù),考查數(shù)據(jù)分析能力,屬于簡單題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ)不能,證明見解析【解析】
(Ⅰ)計算得到故,,,,計算得到面積.(Ⅱ)設(shè)為,聯(lián)立方程得到,計算,同理,根據(jù)得到,得到證明.(Ⅲ)設(shè)中點為,根據(jù)點差法得到,同理,故,得到結(jié)論.【詳解】(Ⅰ),,故,,,.故四邊形的面積為.(Ⅱ)設(shè)為,則,故,設(shè),,故,,同理可得,,故,即,,故.(Ⅲ)設(shè)中點為,則,,相減得到,即,同理可得:的中點,滿足,故,故四邊形不能為矩形.【點睛】本題考查了橢圓內(nèi)四邊形的面積,形狀,根據(jù)四邊形形狀求參數(shù),意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.18、(1);(2).【解析】
(1)整理得:,再由余弦定理可得,問題得解.(2)由正弦定理得:,,,再代入即可得解.【詳解】(1)由題意,得,∴;(2)由正弦定理,得,,∴.【點睛】本題主要考查了正、余弦定理及三角形面積公式,考查了轉(zhuǎn)化思想及化簡能力,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)(2)存在;常數(shù),定值【解析】
(1)設(shè)出的坐標,利用以及,求得曲線的方程.(2)當直線的斜率存在時,設(shè)出直線的方程,求得到直線的距離.聯(lián)立直線的方程和曲線的方程,寫出根與系數(shù)關(guān)系,結(jié)合以及為定值,求得的值.當直線的斜率不存在時,驗證.由此得到存在常數(shù),且定值.【詳解】(1)解析:(1)設(shè),,由題可得,解得又,即,消去得:(2)當直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為設(shè),由可得:由點到的距離為定值可得(為常數(shù))即得:即,又為定值時,,此時,且符合當直線的斜率不存在時,設(shè)直線方程為由題可得,時,,經(jīng)檢驗,符合條件綜上可知,存在常數(shù),且定值【點睛】本小題主要考查軌跡方程的求法,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查運算求解能力,考查橢圓中的定值問題,屬于難題.20、(1)(2)【解析】試題分析:(1)由加減消元得直線的普通方程,由得圓的直角坐標方程;(2)把直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程,由直線參數(shù)方程幾何意義得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2,再根據(jù)韋達定理可得結(jié)果試題解析:解:(Ⅰ)由得直線l的普通方程為x+y﹣3﹣=0又由得ρ2=2ρsinθ,化為直角坐標方程為x2+(y﹣)2=5;(Ⅱ)把直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程,得(3﹣t)2+(t)2=5,即t2﹣3t+4=0設(shè)t1,t2是上述方程的兩實數(shù)根,所以t1+t2=3又直線l過點P,A、B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3.21、(1)曲線表示的是焦點為,準線為的拋物線;(2)8.【解析】試題分析:(1)將曲線的極坐標方程為兩邊同時乘以,利用極坐標與直角坐標之間的關(guān)系即可得出其直角坐標方程;(2)由直線經(jīng)過點,可得的值,再將直線的參數(shù)方程代入曲線的標準方程,由直線參數(shù)方程的幾何意義可得直線被曲線截得的線段的長.試題解析:(1)由可得,即,∴曲線表示的是焦點為,準線為的拋物線.(2)將代入,得,∴,∵,∴,∴直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).將直線的參數(shù)方程代入得,由直線參數(shù)方程的幾何意義可知,.22、(1);(2)見解析.【解析】
(1)已知點軌跡是以為焦點,直線為準線的拋物線,由此可得曲線的方程;(2)設(shè)
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