2021-2023年高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編12：數(shù)列選擇題

專(zhuān)題12數(shù)列(選擇題)

近三年高考真題

知識(shí)點(diǎn)1：等差數(shù)列基本量運(yùn)算

1.(2023?甲卷(文))記S“為等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和.若4+4=1°，44=45,則S$=()

A.25B.22C.20D.15

【答案】C

［解析】等差數(shù)列伍“｝中，%+4=2%=10,

所以=5,

。洶=5%=45,

故4=9,

則心絲二包=1,%-3d=5-3=2,

8-4

5x4

則&=5q+q-d=10+10=20.

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)2：等比數(shù)列基本量運(yùn)算

2.(2022?乙卷(文))已知等比數(shù)列｛4｝的前3項(xiàng)和為168,a2-a5=42,則％=()

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，(7*0,由題意，qwl.

43

前3項(xiàng)和為q+O,+為=—1―~—=168,a2-a5=a,?<7-a,q=a,-<7(l-g)=42,

i-q

：.q=—,4=96,

則6=4,/=96x(■=3,

故選：D.

3.(2021?甲卷(文))記S,為等比數(shù)列｛〃"｝的前”項(xiàng)和.若邑=4,$4=6,則$6=()

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

【解析】S"為等比數(shù)列｛q｝的前“項(xiàng)和，$2=4，s4=6,

由等比數(shù)列的性質(zhì)，可知邑，S4-S2,既-既成等比數(shù)列，

.?.4,2,56-6成等比數(shù)列，

2

2=4（S6-6）,解得Se=7.

故選：A.

4.（2021?甲卷（理））等比數(shù)列｛%｝的公比為q,前〃項(xiàng)和為S”.設(shè)甲：q>0,乙：｛S“｝是遞增數(shù)列，貝1（

）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充耍條件

1）.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】B

【解析】若q=-l，q=l,貝2=華=-〃，則｛S,,｝是遞減數(shù)列，不滿(mǎn)足充分性；

.臬=產(chǎn)（?），

"q

則騫=白（1-武），

1-4

???5向一2,=產(chǎn)（4"-4""）=4聞”，

i-q

若｛5,,｝是遞增數(shù)列，

，S'+1-S"=qq">0,

則q>0,q>0,

滿(mǎn)足必要性，

故甲是乙的必要條件但不是充分條件，

故選：B.

5.（2023?天津）已知｛4｝為等比數(shù)列,S,為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和,%=2*+2,貝！|為的值為（）

A.3B.18C.54D.152

【答案】C

[解析】因?yàn)椋?｝為等比數(shù)列，an+l=2S?+2,

所以a,=2S]+2=2a,+2,a,=2S2+2=2（a｝+2q+2）+2=64+6,

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，叼2=。「“3，

即（2+2q丁=（6q+6）.q,

所以q=2或4=-1（舍），

所以出=6,q=3>

則%=4-g，=2x3、=54.

故選：C.

6.（2023?甲卷（理））已知等比數(shù)列｛4｝中，q=l,5“為｛%｝前〃項(xiàng)和，S5=5S3-4,則S&=（）

A.7B.9C.15D.30

【答案】C

【解析】等比數(shù)列｛勺｝中，設(shè)公比為q,

4=1,5“為｛”"｝前”項(xiàng)和，S5=5S3-4,顯然4H±1,

（如果q=l,可得5=15-4矛盾，如果4=一1,可得一1=一5-4矛盾），

解得＜?2=4,即q=2或q=-2,

所以當(dāng)4=2時(shí)，S4=上立=匕笆=15.

l—q1—2

當(dāng)〃=-2時(shí)，54=-^=—=-5.沒(méi)有選項(xiàng).

\-q1+2

故選：C.

7.（2022?上海）已知等比數(shù)列｛““｝的前”項(xiàng)和為S“，前”項(xiàng)積為7；,則下列選項(xiàng)判斷正確的是（）

A.若其竣＞邑M，則數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列

B.若七22＞（⑼，則數(shù)列伍,｝是遞增數(shù)列

C.若數(shù)列｛5“｝是遞增數(shù)列，則的物?出必

D.若數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，則“2022-%⑼

【答案】D

【解析】如果數(shù)列q=-l,公比為-2,滿(mǎn)足S'叱AS?⑼，但是數(shù)列｛《,｝不是遞增數(shù)列，所以A不正確；

如果數(shù)列4=1,公比為-g,滿(mǎn)足力。22＞力⑼，但是數(shù)列｛q｝不是遞增數(shù)列，所以8不正確；

1-（1）N

如果數(shù)列4"公比為:「“=寸=2。下），數(shù)列⑸｝是遞增數(shù)列，但是—，所以C不正

2

確；

數(shù)列｛7；｝是遞增數(shù)列，可知（＞7；1，可得所以q..l,可得％g..a謝正確，所以。正確;

故選：D.

8.（2023?新高考H）記S“為等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若$4=-5,S6=21S2,則乞=（）

A.120B.85C,-85D.-120

【答案】C

【解析】等比數(shù)列伍〃}中，54=5,S6=21S2,顯然公比qwl,

設(shè)首項(xiàng)為4,則在貯=-5①，"1二人=2%.。工：)②,

\-q\-q\-q

化簡(jiǎn)②得q4+q2-20=0,解得或d=_5(不合題意，舍去),

代入①得衛(wèi)=,，

\—q3

所以S8=^^=-^(l-/)(l+q4)=1x(-15)x(l+16)=-85.

\-q\-q3

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)3：數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

9.(2022?新高考H)圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA,,CC,ZXX是桁，相鄰桁的水平距

離稱(chēng)為步，垂直距離稱(chēng)為舉.圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中OR,CC,,，44,是舉，OR,

DC、，CB「84,是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為"L=0$，2=匕，照=內(nèi)，&&=%?已知K，

OD[DC}CB{5A

氏2，收成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線(xiàn)的斜率為0.725,則匕=()

【答案】D

【解析】設(shè)OR=￡>G=C4=54,=1,

則CG=K，BB\=k],A\=ky,

由題意得：k,=^-0.2,k2=k,-O.l,

且+CG+B旦+的=0725

ODt+DCt+CB[+%

解得收=0.9,

故選：D.

10.(2021?北京)《中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色

黨徽?qǐng)D案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)4，%，%，4，%（單位：C7H）成等差數(shù)列，

對(duì)應(yīng)的寬為4，b2,4，白，仇（單位：cm）,且長(zhǎng)與寬之比都相等.已知4=288,a5=96,b,=192,

貝加=（）

A.64B.96C.128D.160

【答案】C

【解析】｛《,｝和依｝是兩個(gè)等差數(shù)列，且幺（掇k5）是常值，由于4=288,生=96，

4

故/=能^=192,

由于幺=%=逑=3

4b｝1922

所以4=128.

另幺=?，解得：々=她=64

b、b5q

故：b、='=128.

32

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)4：數(shù)列的最值問(wèn)題

11.（2021?北京）已知｛4｝是各項(xiàng)為整數(shù)的遞增數(shù)列，且%.3,若—…+0“=100,則〃的最大值

為（）

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】數(shù)列｛%｝是遞增的整數(shù)數(shù)列，

n要取最大，遞增幅度盡可能為小的整數(shù)，

假設(shè)遞增的幅度為I,

4=3,

:.an=n+2f

.....（3+"+2）〃5n+n2

則Sc,=---

當(dāng)〃=1O時(shí)，al0=12,S10=75,

-.100-S1（）=25>o,（）=12,即"可繼續(xù)增大，〃=10非最大值，

當(dāng)〃=12時(shí)，al2=14,512=102,

100-Sl2=100-102<0,不滿(mǎn)足題意，

即〃=11為最大值.

故選：C.

知識(shí)點(diǎn)5：數(shù)列的遞推問(wèn)題

12.（2023?北京）數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足4M=[（4-6）3+6,下列說(shuō)法正確的是（）

A.若q=3,則｛a,,｝是遞減數(shù)列，3MGR,使得〃>機(jī)時(shí)，an>M

B.若q=5,則｛〃“｝是遞增數(shù)列，BM?6,使得〃>加時(shí)，a“<M

C.若q=7,則｛q｝是遞減數(shù)列，三加>6,使得〃>機(jī)時(shí)，an>M

D.若q=9,則｛q｝是遞增數(shù)列，mMwR,使得〃>m時(shí)，a?<M

【答案】B

【解析】對(duì)原式進(jìn)行變形，得.-6）2-1]&-6）,

當(dāng)4=3,貝%—4v0，a2<3,

設(shè)%<3（1《Z#..2）,則％用一4〈一3,所以｛4｝是遞減數(shù)列，

當(dāng)〃->+8,47-00,A錯(cuò)誤，同理可證明￡）錯(cuò)誤，

當(dāng)q=5,則4-4>0，即外>5，又因?yàn)?（％—6）3<0,所以5<見(jiàn)<6,

假設(shè)5<4<6（丘Z/..2）,則%「《>0,即％1>5,又因?yàn)?（％-6）3<0,所以5<%心6,

所以當(dāng)〃7+8,??->6,8正確，

對(duì)于C,當(dāng)q=7,代入進(jìn)去很明顯不是遞減數(shù)列，C錯(cuò)誤，

故選：B.

13.（2022?浙江）已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足q=1,=a,,-gW（,eM）,則（）

5577

A.2<100。100<耳B.—<1（X）6Z|QQ<3C.3<IOO^QQ<—D.—<IOO6ZJQQ<4

【答案】B

【解析】??+1-??=-1a"<0，

.?.｛可｝為遞減數(shù)列,

a]12

乂n+\=可一]。『，，§'且?！╓。,

又4=1>0,則〃〃>0,

121

??4-%=鏟〃??鏟”―，

111

4+1a?3

111/八123

，一…一+一(〃-1)=一〃+一,貝nm可〃“,，----

a?a,333"n+2

二.1i八0八0al?1八0八0x--3-<-3-0-6=3.；

m102102

/一：%2得4m=4(1一：4)，得；^--；=J111、

由----=+-Z17)

3J%+]a3-公33〃+1

nJ----------------

n+2

+—!—)+1

累加可得,

H+1

/.—?34+-x(―+-+...+—!—)<34+-x(―x6+-x93)<40

alQ0323100328

/.100tZ|()Q>100x=—；

綜上，萬(wàn)<100i7]QQ<3.

故選：B.

14.（2021?浙江）已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足4=1,-A（〃￡N"）.記數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，則（

1+也

）

399

A./<S|oo<3B.3<Sloo<4C.4<S100<-D.-<S1(X)<5

【答案】A

【解析】因?yàn)閝=L〃〃+i=-->1i=f所以a〃>0,凡=工，所以品不>4+4=3，

1+422

由累加法可得當(dāng)九.2時(shí),

111/八1n-\n+l4

一~7=<-(?-!)=>—==<1+----=----=a>

府2必22”(n+D2

又因?yàn)楫?dāng)”=1時(shí)，勺=」4■二也成立，所以為…，4!■二(〃eN*),

(n+1)'(rt+1)-

an+\

所以。，向

1+2"3

n+l

也,,巴」，故.都〃*"-1￡2.92

4〃+34-1〃+2‘4-2"+1’’44

nn-\n—2326=6(------5—),

由累乘法可得當(dāng)〃..2時(shí)，aa=%----x----x----xx—x—=-----------

〃+27?+1n54(〃+2)5+1)n+l〃+2

所以/,1+6(，」+!「+!」++」----)=1+6(---—)<1+2=3.

1003445561011023102

xx>0,r(x)=2+￡>0,可得f(x)在(0,+00)遞增，接下來(lái)運(yùn)用待定系數(shù)法估計(jì)僅“｝

另設(shè)f(x)=

2(1+4)-

2

的上下界，設(shè)為,,“〃=，則探索4M也滿(mǎn)足上界的條件.

(77+4)(〃+〃+1)

A

微M，Mu/&)5+〃內(nèi)(”還+2)u八----------------)?

(7?+//)(/?+〃+1)(〃+〃+1)(〃+〃+2)

(〃+〃)(〃+〃+1)列A.n+JH.

<=A------4.

A(〃+〃+1)(〃+〃+2)〃+〃+1

1+

。7+〃)(〃+〃+1)

211

在此條件下，有S“,，Z)<；——>

/=1(n++〃+1)i=ln+//〃+//+1i+〃

注意到q=l,取之=6,〃=1,從而陷=1,此時(shí)可得S“<3.

故選：A.

知識(shí)點(diǎn)6：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

15.(2023?新高考I)記S,為數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和,設(shè)甲：｛%｝為等差數(shù)列;乙：｛義4為等差數(shù)列,則(

n

)

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】C

【解析】若｛“"｝是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為q，公差為4,

則S.=〃4+若%

Sn-\,dd

即All—n=aH-------d=-n-\-a-----

n122y12

故｛區(qū)｝為等差數(shù)列，

n

即甲是乙的充分條件.

反之，若｛工｝為等差數(shù)列，則可設(shè)鳥(niǎo)也-4=o,

nn+\n

s

則」=￡+(〃-1)￡>,即S?=nS+〃(〃-1)0,

n