2023年中考數(shù)學(xué)考前第9講：方案設(shè)計性問題（附答案解析）

2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第9講：方案設(shè)計性問題

【難點突破】著眼思路，方法點撥，疑難突破；

方案設(shè)計與決策型問題對于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新應(yīng)用能力非常重要.如讓學(xué)生設(shè)計圖形、

設(shè)計測量方案、設(shè)計最佳方案等都是近年考查的熱點，題目多以解答題為主.

方案設(shè)計與決策型問題是近幾年的熱點一試題，主要利用圖案設(shè)計或經(jīng)濟(jì)決策來解決實

際問題.題型主要包括：

1.根據(jù)實際問題拼接或分割圖形；

2.利用方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等知識對實際問題中的方案進(jìn)行比較等.

方案設(shè)計與決策問題就是給解題者提供一個問題情境,要求解題者利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識

解決問題，這類問題既考查動手操作的實踐能力，又培養(yǎng)創(chuàng)新品質(zhì)，應(yīng)該引起高度重視.

解答決策型問題的一般思路，是通過對題設(shè)信息進(jìn)行全面分析、綜合比較、判斷優(yōu)劣，

從中尋找到適合題意的最佳方案.

解題策略：建立數(shù)學(xué)模型，如方程模型、不等式模型、函數(shù)模型、幾何模型、統(tǒng)計模型

等，依據(jù)所建的數(shù)學(xué)模型求解，從而設(shè)計方案，科學(xué)決策.

【例題1］利用方程（組）進(jìn)行方案設(shè)計

學(xué)校6名教師和234名學(xué)生集體外出活動，準(zhǔn)備租用45座大車或30座小車.若租用1輛大

車2輛小車共需租車費1000元；若租用2輛大車1輛小車共需租車費HOO元.

（1）求大、小車每輛的租車費各是多少元；

（2）若每輛車上至少要有一名教師，且總租車費用不超過2300元，求最省錢的租車方案.

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【例題2】利用不等式（組）進(jìn)行方案設(shè)計

為了保護(hù)環(huán)境,某化工廠一期工程完成后購買了3臺甲型和2臺乙型污水處理設(shè)備,共花.費

資金54萬元，且每臺乙型設(shè)備的價格是每臺甲型設(shè)備價格的75%,實際運行中發(fā)現(xiàn)，每臺

甲型設(shè)備每月能處理污水200噸，每臺乙型設(shè)備每月能處理污水160噸，且每年用于每臺甲

型設(shè)備的各種維護(hù)費和電費為1萬元，每年用于每臺乙型設(shè)備的各種維護(hù)費和電費為1.5萬

元.今年該廠二期工程即將完成，產(chǎn)生的污水將大大增加，于是該廠決定再購買甲一、乙兩型

設(shè)備共8臺用于二期工程的污水處理，要求本次購買資金不超過84萬元，預(yù)計二期工程完

成后每月將產(chǎn)生不少于1300噸污水.

（1）請你計算每臺甲型設(shè)備和卷臺乙型設(shè)備的價格各是多少元？

（2）請你求出用于二期工程的污水處理設(shè)備的所有購買案：

（3）若兩種設(shè)備的使用年限都為10年，請你說明在（2）的所有方案中，Iw種購買方案的

總費用最少？（總費用=設(shè)備購買費+各種維護(hù)費和電費）

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【例題3】利用方程(組)、不等式(組)綜合知識進(jìn)行方案設(shè)計

為表彰在“締造完美教室”活動中表現(xiàn)積極的同學(xué)，老師決定購買文具盒與鋼筆作為獎品.已

知5個文具盒、2支鋼筆共需IOO元；4個文具盒、7支鋼筆共需161元.

(1)每個文具盒、每支鋼筆各多少元？

(2)時逢“五一”，商店舉行“優(yōu)惠促銷”活動，具體辦法如下：文具盒“九折”優(yōu)惠；鋼筆10支

以上超出部分“八折”優(yōu)惠.若買X個文具盒需要y∣元，買X支鋼筆需要y2元，求yi、y2關(guān)

于X的函數(shù)關(guān)系式；

(3)若購買同一種獎品，并且該獎品的數(shù)量超過10件，請你分析買哪種獎品省錢.

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【例題4】利用函數(shù)知識進(jìn)行方案設(shè)計

某藥廠銷售部門根據(jù)市場調(diào)研結(jié)果，對該廠生產(chǎn)的一種新型原料藥未來兩年的銷售進(jìn)行預(yù)

測，井建立如下模型：設(shè)第t個月該原料藥的月銷售量為P（單位：噸），P與t之間存在如

圖所示的函數(shù)關(guān)系，其圖象是函數(shù)P=（0<t≤8）.的圖象與線段AB的組合；設(shè)第t個

/+4

月銷售該原料藥每噸的毛利潤為Q（單位：萬元），Q與t之間滿足如下關(guān)系：Q=

I2∕+8.0<∕≤12

H+44.12<∕≤24

（1）當(dāng)8<t≤24時，求P關(guān)于t的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)第t個月銷售該原料藥的月毛利潤為W（單位：萬元）

①求W關(guān)于t的函數(shù)解析式；

②該藥廠銷售部門分析認(rèn)為,336≤w≤513是最有利于該原料藥可持續(xù)生產(chǎn)和銷售的月毛利潤

范圍，求此范圍所對應(yīng)的月銷售量P的最小值和最大值.

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【例題5］利用幾何知識進(jìn)行方案設(shè)計

手工課上,老師要求同學(xué)們將邊長為4cm的正方形紙片恰好剪成六個等腰直角三角形,聰明的

你請在下列四個正方形中畫出不同的剪裁線,并直接寫出每種不同分割后得到的最小等腰直

角三角形面積（注：不同的分法,面積可以相等）

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一、選擇題：

1.下面的四個圖案中，既可用旋轉(zhuǎn)來分析整個圖案的形成過程，又可用軸對稱來分析整個

圖案的形成過程的圖案有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

2.今年四月份，李大叔收獲洋蔥30噸，黃瓜13噸.現(xiàn)計劃租用甲、乙兩種貨車共10輛將

這兩種蔬菜全部運往外地銷售，已知一輛甲種貨車可裝洋蔥4噸和黃瓜1噸，一輛乙種貨車

可裝洋蔥和黃瓜各2噸.李大叔安排甲、乙兩種貨車時有（）種方案.

A.lB.2C.3D.4

3.宜賓市某化工廠,現(xiàn)有A種原料52千克,B種原料64千克,現(xiàn)用這些原料生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)

品共20件.已知生產(chǎn)1件甲種產(chǎn)品需要A種原料3千克,B種原料2千克;生產(chǎn)1件乙種產(chǎn)品

需要A種原料2千克,B種原料4千克,則生產(chǎn)方案的種數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

4.某移動通訊公司提供了T、"兩種方案的通訊費用y（元）與通話時間X（分）之間的關(guān)

系，如圖所示，則以下說法第送的是（）

A.若通話時間少于120分，則T方案比H方案便宜20元

B.若通話時間超過200分，則8方案比,4方案便宜12元

C.若通訊費用為60元，則H方案比.4方案的通話時間多

D.若兩種方案通訊費用相差10元，則通話時間是145分或185分

5.（2018?濱州中考）如圖，在一張AABC紙片中,ZC=90°,ZB=60o,DE是中位線,現(xiàn)把紙片

沿中位線DE剪開，計劃拼出以下四個圖形：①鄰邊不等的矩形；②等腰梯形；③有一個角

為銳角的菱形；④正方形.那么以上圖形一定能被拼成的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

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二、填空題：

6.現(xiàn)有A、B兩個大型儲油罐，它們相距2km,計劃修建一條筆直的輸油管道，使得A、B

兩個儲油罐到輸油管道所在直線的距離都為0.5km,輸油管道所在直線符合上述要求的設(shè)計

方案有種.

7.某市有甲、乙兩家液化氣站,他們的每罐液化氣的價格、質(zhì)量都相同.為了促銷,甲站的液化

氣每罐降價25%銷售;乙站的液化氣第1罐按原價銷售,從第2罐開始以7折優(yōu)惠銷售,若小明

家購買8罐液化氣,則最省錢的方法是買站的.

8.開學(xué)初，小芳和小亮去學(xué)校商店購買學(xué)習(xí)用品，小芳用18元錢買了1支鋼筆和3本筆記

本；小亮用31元買了同樣的鋼筆2支和筆記本5本.

⑴每支鋼筆的價格為;每本筆記本的價格為;

⑵校運會后，班主任拿出200元學(xué)校獎勵基金交給班長，購買上述價格的鋼筆和筆記本共

48件作為獎品，獎給校運會中表現(xiàn)突出的同學(xué)，要求筆記本數(shù)不少于鋼筆數(shù)，共有

種購買方案？請你—一寫出.

9.從邊長為a的大正方形紙板中間挖去一個邊長為b的小正方形后，將其截成四個相同的

等腰梯形（如圖1）,可以拼成一個平行四邊形ABCD（如圖2）.已知/A=45。，AB=8,

AD=4√2.則原來的大正方形的面積為

10.幾何模型：

條件：如下左圖，A、B是直線同旁的兩個定點.

問題：在直線上確定一點P,使PA+PB的值最小.

方法：作點A關(guān)于直線的對稱點J',連結(jié)I力交于點/?,則∕H+∕>8=4力的值最?。ú?/p>

必證明）.

模型應(yīng)用：

（1）如圖1,正方形7）的邊長為2,E為I。的中點，，是上一動點.連結(jié)

由正方形對稱性可知，“與。關(guān)于直線,1（'對稱.連結(jié)人。交.1（,于/>,則*?+/?￡的最

小值是:

（2）如圖2,O。的半徑為2,點4B、（,在7）上，OA1OH,48?60?,P

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是CB上一動點，則/H+P(的最小值是:

(3)如圖3,乙M)E=45°，F(xiàn)是乙內(nèi)一點，PO=IO,0、A分別是〃人(M上

的動點，則LPpa周長的最小值是.

三、解答題：

11.某班有學(xué)生55人，其中男生與女生的人數(shù)之比為6：5.

(1)求出該班男生與女生的人數(shù)；

(2)學(xué)校要從該班選出20人參加學(xué)校的合唱團(tuán)，要求：①男生人數(shù)不少于7人：②女生人數(shù)

超過男生人數(shù)2人以上.請問男、女生人數(shù)有幾種選擇方案？

12.在實施“中小學(xué)校舍安全工程”之際，某縣計劃對A、B兩類學(xué)校的校舍進(jìn)行改造.根據(jù)

預(yù)測，改造一所A類學(xué)校和三所B類學(xué)校的校舍共需資金480萬元，改造三所A類學(xué)校和

一所B類學(xué)校的校舍共需資金400萬元.

(1)改造一所A類學(xué)校和一所B類學(xué)校的校舍所需資金分別是多少萬元？

(2)該縣A、B兩類學(xué)校共有8所需要改造.改造資金由國家財政和地方財政共同承擔(dān)，若

國家財政撥付資金不超過770萬元，地方財政投入的資金不少于210萬元，其中地方財政

投入到A、B兩類學(xué)校的改造資金分別為每所20萬元和30萬元，請你通過計算求出有幾種

改造方案，每個方案中A、B兩類學(xué)校各有幾所.

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13.甲乙兩家商場平時以同樣的價格出售相同的商品。春節(jié)期間兩家商場都讓利酬賓，其中

甲商場所有商品按8折出售，乙商場對一次購物中超過200元后的價格部分打7折。

設(shè)x(單位：元)表示商品原價,y(單位：元)表示購物金額。

(I)根據(jù)題意,填寫下表：(單位：元)

品價格

208000260

物金額

商場6446008

商場20800042

(H)分別就兩家商場的讓利方式，寫出y關(guān)于X的函數(shù)解析式：

(In)春節(jié)期間，當(dāng)在同一商場累計購物超過200元時，哪家商場的實際花費少?

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14.溫州享有“中國筆都”之稱，其產(chǎn)品暢銷全球.某制筆企業(yè)欲將n件產(chǎn)品運往A,B,C

三地銷售，要求運往C地的件數(shù)是運往A地件數(shù)的2倍，各地的運費如圖所示.設(shè)安排X

件產(chǎn)品運往A地.

(1)當(dāng)n=200時，

①根據(jù)信息填表:

A地B地C地合計

產(chǎn)品件數(shù)(件)X2x200

運費(元)30x

②若運往B地的件數(shù)不多于運往C地的件數(shù),總運費不超過4000元,則有哪幾種運輸方案？

(2)若總運費為5800元，求n的最小值.

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15.某區(qū)規(guī)劃修建一個文化廣場（平面圖形如圖所示）,其中四邊形ABCD是矩形，分別以AB、

BC、CD、DA邊為直徑向外作半圓,若整個廣場的周長為628米，矩形的邊長AB=y米,BC=X

米.（注：取n=3.14）

⑴試用含X的代數(shù)式表示y；

（2）現(xiàn)計劃在矩形ABCD區(qū)域上種植花草和鋪設(shè)鵝卵石等,平均每平方米造價為428元,在四個

半圓的區(qū)域上種植草坪及鋪設(shè)花崗巖,平均每平方米造價為400元：

①設(shè)該工程的總造價為W元，求W關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式；

②若該工程政府投入1千萬元，問能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)？若能，請列出設(shè)計方案，若

不能，請說明理由.

③若該工程在政府投入1千萬元的基礎(chǔ)上，又增加企業(yè)募捐資金64.82萬元，但要求矩形

的邊BC的長不超過AB長的三分之二，且建設(shè)廣場恰好用完所有資金，問：能否完成該工

程的建設(shè)任務(wù)？若能，請列出所有可能的設(shè)計方案，若不能，請說明理由.

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2023年中考數(shù)學(xué)考前沖刺第9講:方案設(shè)計性問題答案解析

【難點突破】著眼思路，方法點撥，疑難突破；

方案設(shè)計與決策型問題對于考查學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新應(yīng)用能力非常重要.如讓學(xué)生設(shè)計圖形、

設(shè)計測量方案、設(shè)計最佳方案等都是近年考查的熱點，題目多以解答題為主.

方案設(shè)計與決策型問題是近幾年的熱點試題，主要利用圖案設(shè)計或經(jīng)濟(jì)決策來解決實際

問題.題型主要包括：

1.根據(jù)實際問題拼接或分割圖形；

2.利用方程(組)、不等式(組)、函數(shù)等知識對實際問題中的方案進(jìn)行比較等.

方案設(shè)計與決策問題就是給解題者提供一個問題情境,要求解題者利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識

解決問題，這類問題既考查動手操作的實踐能力，又培養(yǎng)創(chuàng)新品質(zhì)，應(yīng)該引起高度重視.

解答決策型問題的一般思路，是通過對題設(shè)信息進(jìn)行全面分析、綜合比較、判斷優(yōu)劣，

從中尋找到適合題意的最佳方案.

解題策略：建立數(shù)學(xué)模型，如方程模型、不等式模型、函數(shù)模型、幾何模型、統(tǒng)計模型

等，依據(jù)所建的數(shù)學(xué)模型求解，從而設(shè)計方案，科學(xué)決策.

【例題1］利用方程(組)進(jìn)行方案設(shè)計

學(xué)校6名教師和234名學(xué)生集體外出活動，準(zhǔn)備租用45座大車或30座小車.若租用1輛大

車2輛小車共需租車費1000元；若租用2輛大車1輛小車共需租車費1100元.

(1)求大、小車每輛的租車費各是多少元；

(2)若每輛車上至少要有一名教師，且總租車費用不超過2300元，求最省錢的租車方案.

【分析】

(I)設(shè)大小車輛租車費用分別是X,y元，由題意，列出方程組，求解即可；

(2)首先由題分析得出租車總數(shù)為6輛，再列方程組解出取值范圍，分析即可得解.

【解答】⑴設(shè)大、小車每輛的租車費分別是x、y元.

則(x+2>=1000

∣2v÷x=IJ00

解得400

y=300

即大、小車每輛的租車費分別是400元、300元.

(2)240名師生都有座位，租車總輛數(shù)次，每輛車上至少要有一名教師，租車總輛數(shù)比,故租

車總數(shù)為6輛.

設(shè)大車輛數(shù)是X輛，則租小車(6-χ)輛，

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……皿?45x+30（6-x閆40

則可列方程組<

i400%+300（6-x>≤23OO

解得4<x<5.

?；x是正整數(shù)，.?.x=4或5.

于是有兩種租車方案，方案一：大車4輛，小車2輛，總租車費用為2200元；方案二：大

車5輛，小車1輛，總租車費用為2300元.故最省錢的租車方案是租大車4輛，小車2輛.

【例題2】利用不等式（組）進(jìn)行方案設(shè)計

為了保護(hù)環(huán)境，某化工廠一期工程完成后購買了3臺甲型和2臺乙型污水處理設(shè)備，共花費

資金54萬元，且每臺乙型設(shè)備的價格是每臺甲型設(shè)備價格的75%,實際運行中發(fā)現(xiàn)，每臺

甲型設(shè)備每月能處理污水200噸，每臺乙型設(shè)備每月能處理污水160噸，且每年用于每臺甲

型設(shè)備的各種維護(hù)費和電費為1萬元，每年用于每臺乙型設(shè)備的各種維護(hù)費和電費為1.5萬

元.今年該廠二期工程即將完成，產(chǎn)生的污水將大大增加，于是該廠決定再購買甲、乙兩型

設(shè)備共8臺用于二期工程的污水處理，要求本次購買資金不超迎84萬元，預(yù)計二期工程完

成后每月將產(chǎn)生不少于1300噸污水.

（1）請你計算每臺甲型設(shè)備和每臺乙型設(shè)備的價格各是多少元？

（2）請你求出用于二期工程的污水處理設(shè)備的所有購買案；

（3）若兩種設(shè)備的使用年限都為10年，請你說明在（2）的所有方案中，哪種購買方案的

總費用最少？（總費用=設(shè)備購買費+各種維護(hù)費和電費）

【解答】（1）設(shè)一臺甲型設(shè)備的價格為X萬元，由題意3x+2x0.75x=54,解得x=12,

?.?12x75%=9,.?.一臺甲型設(shè)備的價格為12萬元，一臺乙型設(shè)備的價格是9萬元

⑵設(shè)二期工程中,購買甲型設(shè)備a臺,由題意有12a+9（8-a）≤84①；

200a+160（8-a）≥1300②，解得：|≤a≤4,

由題意a為正整數(shù),??.a=1,2,3,4,所有購買方案有四種,分別為

方案一:甲型1臺,乙型7臺；方案二:甲型2臺,乙型6臺

方案三:甲型3臺,乙型5臺；方案四:甲型4臺,乙型4臺

⑶設(shè)二期工程10年用于治理污水的總費用為W萬元，

W=12a+9（8-a）+l×10a+1.5×10（8-a）,

化簡得:W=-2a+192,

;W隨a的增大而減少當(dāng)a=4時,W最小（逐一驗算也可）

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???按方案四甲型購買4臺,乙型購買4臺的總費用最少.

【例題3】利用方程(組)、不等式(組)綜合知識進(jìn)行方案設(shè)計

為表彰在“締造完美教室”活動中表現(xiàn)積極的同學(xué)，老師決定購買文具盒與鋼筆作為獎品.己

知5個文具盒、2支鋼筆共需IOO元；4個文具盒、7支鋼筆共需161元.

(1)每個文具盒、每支鋼筆各多少元？

(2)時逢“五一”，商店舉行“優(yōu)惠促銷”活動，具體辦法如下：文具盒“九折”優(yōu)惠；鋼筆10支

以上超出部分“八折”優(yōu)惠.若買X個文具盒需要十元，買X支鋼筆需要y2元，求yi、y2關(guān)

于X的函數(shù)關(guān)系式；

(3)若購買同一種獎品，并且該獎品的數(shù)量超過10件，請你分析買哪種獎品省錢.

解：(1)設(shè)每個文具盒X元，每支鋼筆y元，由題意得

51+21-1()0Λ=14

<，解得

∣4x+7j=161∣y=15

答：每個文具盒14元，每支鋼筆15元.

(2)由題意知,yι關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式為yι=14χ90%x,即y∣=12.6x.

由題意知，買鋼筆10支以下(含10支)沒有優(yōu)惠，故此時的函數(shù)關(guān)系式為y2=15x.

當(dāng)買10支以上時，超出部分有優(yōu)惠，故此時的函數(shù)關(guān)系式為y2=15xl0+15x80%(x—10),

即y2=12x÷30.

(3)當(dāng)y∣<y2,即12.6x<12x+30時,解得x<50;

當(dāng)y1=y2,即12.6x=12x+30時，解得x=50；

當(dāng)y1>y2,即12.6x>12x+30時，解得x>50.

綜上所述，當(dāng)購買獎品等于10件但少于50件時，買文具盒省錢；

當(dāng)購買獎品等于50件時，買文具盒和買鋼筆錢數(shù)相等；

當(dāng)購買獎品超過50件時，買鋼筆省錢.

【例題4】利用函數(shù)知識進(jìn)行方案設(shè)計

某藥廠銷售部門根據(jù)市場調(diào)研結(jié)果,對該廠生產(chǎn)的一種新型原料藥未來兩年的銷售進(jìn)行預(yù)測,

井建立如下模型：設(shè)第t個月該原料藥的月銷售量為P(單位：噸)，P與t之間存在如圖所

120

示的函數(shù)關(guān)系，其圖象是函數(shù)P=—(0<t≤8)的圖象與線段AB的組合；設(shè)第t個月銷

/+4

售該原料藥每噸的毛利潤為Q(單位：萬元)，Q與t之間滿足如下關(guān)系：Q=

I2∕+8,O<∕≤l2

H+44.I2<∕≤24

(1)當(dāng)8<t424時，求P關(guān)于t的函數(shù)解析式；

(2)設(shè)第t個月銷售該原料藥的月毛利潤為W(單位：萬元)

①求W關(guān)于t的函數(shù)解析式；

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②該藥廠銷售部門分析認(rèn)為,336≤w≤513是最有利于該原料藥可持續(xù)生產(chǎn)和銷售的月毛利潤

范圍，求此范圍所對應(yīng)的月銷售量P的最小值和最大值.

【分析】(I)設(shè)8<t≤24時，P=kt+b,將A(8,10)、B(24,26)代入求解可得P=t+2;

(2)①分0<t≤8.8<t≤12和12<t≤24三種情況，根據(jù)月毛利潤=月銷量X每噸的毛利潤可得

函數(shù)解析式；

②求出8<t≤12和12<t≤24時，月毛利潤w在滿足336≤w≤513條件下t的取值范圍，再根

據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得P的最大值與最小值，二者綜合可得答案.

【解答】解：(1)設(shè)8Vt≤24時,P=kt+b,

將A(8,10)、B(24,26)代入，得：

(—0

∣24*+∕>=26,

解得」E,

P=2

/.P=t+2;

PO

(2)①當(dāng)OCt≤8時，w=(2t+8)×-^-=240；

/+4

當(dāng)8Vt≤12時,w=(2t+8)(t+2)=2t2+12t+16;

當(dāng)12<t≤24時，w=(-t+44)(t+2)=-t2+42t+88;

②當(dāng)8Vt≤12時，w=2t2+12t+16=2(t+3)2-2,

.?.8Vt≤12時，W隨t的增大而增大，

當(dāng)2(t+3)2-2=336時，解題t=10或t=-16(舍)，

當(dāng)t=12時，W取得最大值，最大值為448,

此時月銷量P=t+2在t=10時取得最小值12,在t=12時取得最大值14；

當(dāng)12<t≤24時，w=-t2+42t+88=-(t-21)2+529,

當(dāng)t=12時，W取得最小值448,

由一(t-21)2+529=513得t=17或t=25,

當(dāng)12<tU7時，448<w<513,

第15頁共28頁

此時P=t+2的最小值為14,最大值為19；

綜上，此范圍所對應(yīng)的月銷售量P的最小值為12噸，最大值為19噸.

【例題5］利用幾何知識進(jìn)行方案設(shè)計

手工課上,老師要求同學(xué)們將邊長為4cm的正方形紙片恰好剪成六個等腰直角三角形,聰明的

你請在下列四個正方形中畫出不同的剪裁線,并直接寫出每種不同分割后得到的最小等腰直

角三角形面積（注：不同的分法,面積可以相等）

第f第二種第三種第四種

分析：（1）正方形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，連接HE、EF、

FG?GH、HF,即可把正方形紙片恰好剪成六個等腰直角三角形；然后根據(jù)三角形的面積公

式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面積即可.

（2）正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點，。是AC、BD的交點，連接。E、OF,

即可把正方形紙片恰好剪成六個等腰直角三角形；然后根據(jù)三角形的面積公式，求出分割后

得到的最小等腰直角三角形面積即可.

（3）正方形ABCD中，F(xiàn)、H分別是BC、DA的中點，。是AC、BD的交點，連接HF,即可

把正方形紙片恰好剪成六個等腰直角三角形；然后根據(jù)三角形的面積公式，求出分割后得到

的最小等腰直角三角形面積即可.

（4）正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點，0是AC的中點，I是Ao的中點，連接

0E、OB,0F,即可把正方形紙片恰好剪成六個等腰直角三角形；然后根據(jù)三角形的面積公

式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面積即可.

解答：根據(jù)分析，可得

AEBAEBABAEB

⑴第一種情況下，分割后得到的最小等腰直角三角形是^AEH??BEF,ΔCFG.?DHG,每

個最小的等腰直角三角形的面積是：

第16頁共28頁

(4÷2)x(4÷2)÷2=2x2÷2=2(cn∩2)

⑵第二種情況下，分割后得到的最小等腰直角三角形是^AEO??BE0,?BFO.?CFO,每

個最小的等腰直角三角形的面積是：

(4÷2)×(4÷2)÷2=2×2÷2=2(cm2)

⑶第三種情況下，分割后得到的最小等腰直角三角形是aAHO??DHO.?BFO??CFO,

每個最小的等腰直角三角形的面積是：

(4÷2)×(4÷2)÷2=2×2÷2=2(cm2)

⑷第四種情況下，分割后得到的最小等腰直角三角形是aAEk?0EI,每個最小的等腰直角

三角形的面積是：

(4÷2)×(4÷2)÷2÷2=2×2÷2÷2=l(cm2).

一、選擇題：

1.下面的四個圖案中，既可用旋轉(zhuǎn)來分析整個圖案的形成過程，又可用軸對稱來分析整個

圖案的形成過程的圖案有()

A.4個B.3個C.2個D.1個

【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)、軸對稱的定義來分析.

圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點在平面上繞某個固定點旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動；

軸對稱是指如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩側(cè)的圖形能夠互相重合，就是軸對稱.

圖形1可以旋轉(zhuǎn)90。得到，也可以經(jīng)過軸對稱，沿一條直線對折，能夠完全重合；

圖形2可以旋轉(zhuǎn)180。得到，也可以經(jīng)過軸對稱，沿一條直線對折，能夠完全重合；

圖形3可以旋轉(zhuǎn)180。得到，也可以經(jīng)過軸對稱，沿一條直線對折，能夠完全重合；

圖形4可以旋轉(zhuǎn)90。得到，也可以經(jīng)過軸對稱，沿一條直線對折，能夠完全重合.

故既可用旋轉(zhuǎn)來分析整個圖案的形成過程，又可用軸對稱來分析整個圖案的形成過程的圖

案有4個.故選A.

2.今年四月份，李大叔收獲洋蔥30噸，黃瓜13噸.現(xiàn)計劃租用甲、乙兩種貨車共10輛將

這兩種蔬菜全部運往外地銷售，已知一輛甲種貨車可裝洋蔥4噸和黃瓜1噸，一輛乙種貨車

第17頁共28頁

可裝洋蔥和黃瓜各2噸.李大叔安排甲、乙兩種貨車時有()種方案.

A.lB.2C.3D.4

【解析】選B.設(shè)李大叔安排甲種貨車X輛，則乙種貨車(Io-X)輛.依題意得

4x*2(JO-x)≥3O,

X*2(∣0-X)≥B,

解得5≤×≤7.

故有三種租車方案：第一種是租甲種貨車5輛，乙種貨車5輛；第二種是租甲種貨車6輛,

乙種貨車4輛：第三種是租甲種貨車7輛，乙種貨車3輛.

3,宜賓市某化工廠,現(xiàn)有A種原料52千克,B種原料64千克,現(xiàn)用這些原料生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)

品共20件.已知生產(chǎn)1件甲種產(chǎn)品需要A種原料3千克,B種原料2千克;生產(chǎn)1件乙種產(chǎn)品

需要A種原料2千克,B種原料4千克,則生產(chǎn)方案的種數(shù)為()

A.4B.5C.6D.7

【分析】設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品X件，則乙產(chǎn)品⑵-X)件，根據(jù)生產(chǎn)1件甲種產(chǎn)品需要A種原料?3

千克，B種原料2千克：生產(chǎn)1件乙種產(chǎn)品需要A種原料2千克，B種原料4千克，列出

不等式組，求出不等式組的解，再根據(jù)X為整數(shù)，得出有5種生產(chǎn)方案.

【解答】解：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品X件，則乙產(chǎn)品(20-x)件，根據(jù)題意得：

I3x+2(2θ-x)≤52

∣2J+4(20-X)≤64

解得：8<x≤12,

Yx為整數(shù)，Λx=8,9,10,11,12,

，有5種生產(chǎn)方案：

方案1,A產(chǎn)品8件，B產(chǎn)品12件；

方案2,A產(chǎn)品9件，B產(chǎn)品11件；

方案3,A產(chǎn)品10件，B產(chǎn)品10件；

方案4,A產(chǎn)品11件，B產(chǎn)品9件；

方案5,A產(chǎn)品12件，B產(chǎn)品8件；故選B.

4.某移動通訊公司提供了」、“兩種方案的通訊費用y(元)與通話時間X(分)之間的關(guān)

系，如圖所示，則以下說法第送的是()

第18頁共28頁

A.若通話時間少于120分，則,4方案比8方案便宜20元

B.若通話時間超過200分，則A方案比.4方案便宜12元

C.若通訊費用為60元，則A方案比」方案的通話時間多

D.若兩種方案通訊費用相差10元，則通話時間是145分或185分

30((XE20)

【解析】A方案的函數(shù)解析式為：V--2

l?v120)

5O(O<x≤2OO)

B方案的函數(shù)解析式為:2

-X-30(x>200)

5

當(dāng)B方案為50元，A方案是40元或者60元時，兩種方案通訊費用相差10元，

將yA=40或60代入，得x=145分或195分，故D錯誤；

觀察函數(shù)圖象可知A、B、C正確.

故選D.

5.(2018?濱州中考)如圖，在一張AABC紙片中，NC=90°,NB=60。，DE是中位線，現(xiàn)把紙片

沿中位線DE剪開，計劃拼出以下四個圖形：①鄰邊不等的矩形：②等腰梯形；③有一個角

為銳角的菱形；④正方形.那么以上圖形一定能被拼成的個數(shù)為()

A.lB.2C.3D.4

【解析】選c.;DE是AABC的中位線，；.DE〃BC,且DE=.BC.VZC=90O,ZB=60O,ΛAB

2

=2BC,AE=BE=BC.又NC=90°,ΛAC<AB,DC<BE.如圖⑴，把Z?ADE繞點E旋轉(zhuǎn)又0。,

使AE與BE重合，由題意可得NC=ZD=NF=

90。，則四邊形BCDF是矩形，且CDVBC,所以構(gòu)成鄰邊不等的矩形，則①成立.如圖(2),把

?ADE繞點D旋轉(zhuǎn)180°,使AD與CD重合，由題意可得BC=BE=EM=MC,則四邊形BCME

是菱形，且NB=60。為銳角，則③成立.如圖(3),移動aADE,使A與D重合，D與C重合，

點N(E),在BC的延長線上，由題意可知DE〃BN,且DE≠BN,所以四邊形BNDE是梯形，又

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DN=BE,所以梯形BNDE是等腰梯形，則②成立.因拼成矩形只有圖⑴一種情況，而圖⑴中

的矩形不是正方形，則④不成立.

二、填空題：

6.(2018?湖南省永州市?4分)現(xiàn)有A、B兩個大型儲油罐，它們相距2km,計劃修建一條

筆直的輸油管道，使得A、B兩個儲油罐到輸油管道所在直線的距離都為0.5km,輸油管道

所在直線符合上述要求的設(shè)計方案有種.

【分析】根據(jù)點A、B的可以在直線的兩側(cè)或異側(cè)兩種情形討論即可；

【解答】解：輸油管道所在直線符合上述要求的設(shè)計方案有4種，如圖所示；

7.某市有甲、乙兩家液化氣站,他們的每罐液化氣的價格、質(zhì)量都相同.為了促銷,甲站的液化

氣每罐降價25%銷售;乙站的液化氣第1罐按原價銷售,從第2罐開始以7折優(yōu)惠銷售,若小明

家購買8罐液化氣,則最省錢的方法是買站的.

【解答】設(shè)每罐液化氣的原價為a,

則在甲站購買8罐液化氣需8χ(1-25%)a=6a,

在乙站購買8罐液化氣需a+7×0.7a=5.9a,

先買甲站的一罐，以后再買乙站的需(1-25%)a+a+6×0.7a=5.95a;

由于6a>5.95a>5.9a,

所以購買液化氣最省錢的方法是買乙站的.

故選B.

8.開學(xué)初，小芳和小亮去學(xué)校商店購買學(xué)習(xí)用品，小芳用18元錢買了1支鋼筆和3本筆記

本；小亮用31元買了同樣的鋼筆2支和筆記本5本.

⑴每支鋼筆的價格為:每本筆記本的價格為;

(2)校運會后，班主任拿出200元學(xué)校獎勵基金交給班長，購買上述價格的鋼筆和筆記本共

第20頁共28頁

48件作為獎品，獎給校運會中表現(xiàn)突出的同學(xué)，要求筆記本數(shù)不少于鋼筆數(shù)，共有

種購買方案？請你_一寫出.

【解析】(1)設(shè)每支鋼筆X元，每本筆記本y元，依題意得：解得：λ=

∣2x+5>,=31

所以，每支鋼筆3元，每本筆記本5元.

(2)設(shè)買a支鋼筆，則買筆記本(48—a)本

依題意得W""'"",解得：2()≤α≤24.所以，一共有5種方案

：48-o>A

即購買鋼筆、筆記本的數(shù)量分別為：20,28;21,27；22,26;23,25;24,24.

9.從邊長為a的大正方形紙板中間挖去一個邊長為b的小正方形后，將其截成四個相同的

等腰梯形(如圖1),可以拼成一個平行四邊形ABCD(如圖2>.已知NA=45。，AB=8,

AD=4√r2.則原來的大正方形的面積為

【解答】過Q作QT_LAE于T,FH_LAE于H,推出平行四邊形QTHF,求出AT、QT,根據(jù)勾

股定理求出AQ,根據(jù)題意得到方程組，求出方程組的解即可.

FH±AE于H,

VQF√AE,QT/7FH,

.?.四邊形QTHF是平行四邊形,

QF=TH=a-b,

VZA=45o,ZATQ=90o,

u-h

..AT=HE=--------

?

第21頁共28頁

.u-h

ΛQT=AT=-

在AATQ中由勾股定理得：AQ=''^'

根據(jù)題意得：AB=a+b=8,

?∣2（uh）

AD=2×—=4√2，

■

解得：a=6,

Λa2=36.

故答案為：36.

10.幾何模型：

條件：如下左圖，A、B是直線同旁的兩個定點.

問題：在直線上確定一點P,使PA+PB的值最小.

方法：作點A關(guān)于直線的對稱點4‘，連結(jié)交于點/>，則∕>4??/W=的值最小（不

必證明）.

模型應(yīng)用：

（1）如圖1,正方形X∕?Y）的邊長為2,E為18的中點，，是.1（'上一動點.連結(jié)

由正方形對稱性可知，8與。關(guān)于直線,1（'對稱.連結(jié)Ez）交/（'于/?，則P8+PE的最

小值是；

（2）如圖2,0。的半徑為2,點,人B、C在CX）上，OA1OB,ZAOC=60,P

是（川上一動點，則/U+/'C的最小值是：

（3）如圖3,ΔIOH=45a,P是乙〃陽內(nèi)一點，Pa=10,0、N分別是"I、（步上

的動點，則△尸。/?周長的最小值是.

圖1，圖2。圖3*

解：⑴PA的最小值是DE,I)1=VF71T=√5.

第22頁共28頁

(2)延長AO交。0于點D,連接CD交OB于P

則PA=PD,PA+PC=PC+PD=CD

連接AC,=AD為直徑，.?.NACD=9(Γ,AD=4

NAOC=60。，/.ZADC=30"

在Rt?ACD中，CD=cos30o?AD=2<5，即PA+PC的最小值為2\月

(3)解：分別作點P關(guān)于。A,OB的對稱點E,F,連接EF交。A,OB于R,Q,

則aPRQ的周長為：EF,

；OP=OE=OF=IO,NFOB=NPOB,ZPOA=ZAOE,

,/NAoB=45。，NEOF=90°

在RtAEOF中，YOE=OF=IO,/.EF=IO?/?.即^PRQ的周長最小值為IoJi

三、解答題：

II.某班有學(xué)生55人，其中男生與女生的人數(shù)之比為6：5.

(1)求出該班男生與女生的人數(shù)；

(2)學(xué)校要從該班選出20人參加學(xué)校的合唱團(tuán)，要求：①男生人數(shù)不少于7人；②女生人數(shù)

超過男生人數(shù)2人以上.請問男、女生人數(shù)有幾種選擇方案？

解：(1)設(shè)男生有6x人，則女生有5x人.

依題意得:6x÷5x=55,

??X=5,

/.6x=30,5x=25.

答：該班男生有30人，女生有25人.

(2)設(shè)選出男生y人，則選出的女生為(20—y)人.

由題意得：(2OnX,

解得:7<y<9,

???y的整數(shù)解為：7、8.

第23頁共28頁

當(dāng)y=7時，20-y=13,

當(dāng)y=8時，20—y=12.

答：有兩種方案，即方案一：男生7人，女生13人；方案二：男生8人，女生12人.

12.在實施“中小學(xué)校舍安全工程”之際，某縣計劃對A、B兩類學(xué)校的校舍進(jìn)行改造.根據(jù)

預(yù)測，改造一所A類學(xué)校和三所B類學(xué)校的校舍共需資金480萬元，改造三所A類學(xué)校和

一所B類學(xué)校的校舍共需資金400萬元.

(1)改造一所A類學(xué)校和一所B類學(xué)校的校舍所需資金分別是多少萬元？

(2)該縣A、B兩類學(xué)校共有8所需要改造.改造資金由國家財政和地方財政共同承擔(dān)，若

國家財政撥付資金不超過770萬元，地方財政投入的資金不少于210萬元，其中地方財政投

入到A、B兩類學(xué)校的改造資金分別為每所20萬元和30萬元，請你通過計算求出有幾種改

造方案，每個方案中A、B兩類學(xué)校各有幾所.

【分析】

(1)等量關(guān)系為：改造一所A類學(xué)校和三所B類學(xué)校的校舍共需資金480萬元；改造三所

A類學(xué)校和一所B類學(xué)校的校舍共需資金400萬元;

(2)關(guān)系式為：地方財政投資A類學(xué)校的總錢數(shù)+地方財政投資B類學(xué)校的總錢數(shù)2210;

國家財政投資A類學(xué)校的總錢數(shù)+國家財政投資B類學(xué)校的總錢數(shù)≤770.

【解答】解：⑴設(shè)改造一所A類學(xué)校的校舍需資金X萬元，改造一所B類學(xué)校的校舍需資

金y萬元,

∣x+3y=480

則

∣3jf+>?=4OO

答：改造一所A類學(xué)校的校舍需資金90萬元，改造一所B類學(xué)校的校舍需資金130萬元.

(2)設(shè)A類學(xué)校應(yīng)該有a所，則B類學(xué)校有(8—a)所.

則嚴(yán)+30(iB210解得廳3

(9O-20)<;+<130-30N8-u戶770"I

?'?l≤a≤3>BPa=1,2,3.

答：有3種改造方案：

方案一：A類學(xué)校有1所，B類學(xué)校有7所；

方案二：A類學(xué)校有2所，B類學(xué)校有6所；

方案三：A類學(xué)校有3所，B類學(xué)校有5所.

13.甲乙兩家商場平時以同樣的價格出售相同的商品。春節(jié)期間兩家商場都讓利酬賓，其中

甲商場所有商品按8折出售，乙商場對一次購物中超過200元后的價格部分打7折。

設(shè)x(單位：元)表示商品原價,y(單位：元)表示購物金額。

(I)根據(jù)題意,填寫下表：(單位：元)

第24頁共28頁

品價格

208000260

物金額

商場6446008

商場20800042

(∏)分別就兩家商場的讓利方式，寫出y關(guān)于X的函數(shù)解析式；

(In)春節(jié)期間，當(dāng)在同一商場累計購物超過200元時，哪家商場的實際花費少？

分析：(1)根據(jù)兩家商場的讓利方式分別列式整理即可；

(2)甲商場按原價直接乘以0.8,乙商場分0≤x≤200?x>200兩種情況分別列式即可;

(3)求出兩家商場購物付款相同的X的值，然后作出判斷即可.

解答：

(?)

208000260

商場6446008

商場20800042

(II)甲商場:y=0.8×(×>0):

乙商場：當(dāng)0≤XS200時，y=x；

當(dāng)x>200時,y=200+0.7(x-200)=0.7x+60;

即y={×0.7×+60x>200;

(lll)V×>200,

二由0.8x=0.7x+60,得：x=600,

第25頁共28頁

.??當(dāng)購物金額按原價大于200而小于600元時，在甲商場購物省錢;

當(dāng)購物金額按原價大于600元時，在兩商場花錢一樣多;

當(dāng)購物金額按原價大于600元時，在乙商場購物省錢。

14.溫州享有“中國筆都”之稱，其產(chǎn)品暢銷全球.某制筆企業(yè)欲將n件產(chǎn)品運往A,B,C

三地銷售，要求運往C地的