新教材高中數(shù)學(xué)人教B版選擇性第一冊(cè)訓(xùn)練2-3-4圓與圓的位置關(guān)系

第二章平面解析幾何2.3圓及其方程2.3.4圓與圓的位置關(guān)系課后篇鞏固提升必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.設(shè)r>0,圓(x1)2+(y+3)2=r2與圓x2+y2=16的位置關(guān)系不可能是()A.內(nèi)切 B.相交C.內(nèi)切或內(nèi)含 D.外切或外離答案D解析兩圓的圓心距為d=(1-0)2+(-3所以?xún)蓤A不可能外切或外離,故選D.2.兩圓C1:x2+y2=16,C2:x2+y2+2x+2y7=0,則兩圓公切線(xiàn)條數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析兩圓C1:x2+y2=16,圓心C1(0,0),半徑為4,C2:x2+y2+2x+2y7=0,其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y+1)2=9,圓心C2(1,1),半徑為3,圓心距|C1C2|=2,|43|<2<|4+3|,即兩圓相交,所以公切線(xiàn)恰有兩條.3.設(shè)兩圓C1,C2都和兩坐標(biāo)軸相切,且都過(guò)點(diǎn)(4,1),則兩圓心的距離|C1C2|等于()A.4 B.42 C.8 D.82答案C解析∵兩圓與兩坐標(biāo)軸都相切,且都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,1),∴兩圓圓心均在第一象限且每個(gè)圓心的橫、縱坐標(biāo)相等.設(shè)兩圓的圓心坐標(biāo)分別為(a,a),(b,b),則有(4a)2+(1a)2=a2,(4b)2+(1b)2=b2,即a,b為方程(4x)2+(1x)2=x2的兩個(gè)根,整理得x210x+17=0,∴a+b=10,ab=17.∴(ab)2=(a+b)24ab=1004×17=32,∴|C1C2|=(a-b4.過(guò)點(diǎn)M(2,2)以及圓x2+y25x=0與圓x2+y2=2交點(diǎn)的圓的方程是()A.x2+y2154x12=0 B.x2+y2154x+C.x2+y2+154x12=0 D.x2+y2+154x+答案A解析設(shè)經(jīng)過(guò)圓x2+y25x=0與圓x2+y2=2交點(diǎn)的圓的方程是x2+y25x+λ(x2+y22)=0,再把點(diǎn)M(2,2)代入可得4+410+λ(4+42)=0,求得λ=13故要求的圓的方程為x2+y2154x12=5.若圓x2+y2=r2與圓x2+y2+2x4y+4=0有公共點(diǎn),則r滿(mǎn)足的條件是()A.r<5+1 B.r>5+1C.|r5|≤1 D.|r5|<1答案C解析由x2+y2+2x4y+4=0,得(x+1)2+(y2)2=1,兩圓圓心之間的距離為(-1∵兩圓有公共點(diǎn),∴|r1|≤5≤r+1,∴51≤r≤5+1,即1≤r5≤1,∴|r5|≤1.6.已知兩圓(x+2)2+(y2)2=4和x2+y2=4相交于M,N兩點(diǎn),則|MN|=.

答案22解析由題意可知直線(xiàn)MN的方程為(x+2)2+(y2)2x2y2=0,即lMN:xy+2=0,圓x2+y2=4的圓心為(0,0),半徑為2,則圓心(0,0)到xy+2=0的距離d=22=2,所以|MN|=2r2-d2=7.若圓x2+y22ax+a2=2和圓x2+y22by+b2=1外離,則a,b滿(mǎn)足的條件是.

答案a2+b2>3+22解析由題意可得兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)分別為(a,0),2和(0,b),1.因?yàn)閮蓤A外離,所以a2+b2>2+1,即a2+b28.若☉O1:x2+y2=5與☉O2:(xm)2+y2=20(m∈R)相交于A,B兩點(diǎn),且兩圓在點(diǎn)A處的切線(xiàn)互相垂直,則線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度是.

答案4解析由題知O1(0,0),O2(m,0),半徑分別為5,25,根據(jù)兩圓相交,可得圓心距大于兩圓的半徑之差而小于半徑之和,即5<m<35.又O1A⊥O2A,所以有m2=(5)2+(25)2=25,∴m=±5.再根據(jù)S△AO1O2=12·|AO1|·|AO2|=12|O1O2|·9.已知圓O1:x2+(y+1)2=4,圓O2的圓心O2(2,1).若圓O2與圓O1交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=22,求圓O2的方程.解設(shè)圓O2的方程為(x2)2+(y1)2=r2因?yàn)閳AO1的方程為x2+(y+1)2=4,將兩圓的方程相減,即得兩圓公共弦AB所在的直線(xiàn)方程為4x+4y+r228=0,作O1H⊥AB,H為垂足,圖略,則|AH|=12|AB|=2,所以|O1由圓心O1(0,1)到直線(xiàn)4x+4y+r228=0的距離為|r22-12|42=2,得r22=4或r22=20,故圓O2的方程為(x2)2+(y1)10.已知圓x2+y22x6y1=0和圓x2+y210x12y+m=0.(1)m取何值時(shí)兩圓外切?(2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切?(3)求m=45時(shí)兩圓的公共弦所在直線(xiàn)的方程和公共弦的長(zhǎng).解兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2+(y3)2=11,(x5)2+(y6)2=61m,圓心分別為M(1,3),N(5,6),半徑分別為11和兩圓圓心之間的距離d=(5-1(1)當(dāng)兩圓外切時(shí),5=11+解得m=25+1011.(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),因定圓的半徑11小于兩圓圓心間距離5,故只有61-m-11=5,解得m=(3)兩圓的公共弦所在直線(xiàn)方程為(x2+y22x6y1)(x2+y210x12y+45)=0,即4x+3y23=0,∴公共弦長(zhǎng)為2(11)2-關(guān)鍵能力提升練11.已知圓C的方程為(x3)2+y2=1,若y軸上存在一點(diǎn)A,使得以A為圓心,半徑為3的圓與圓C有公共點(diǎn),則A的縱坐標(biāo)可以是()A.1 B.3 C.5 D.7答案A解析圓C的方程為(x3)2+y2=1,則圓心C(3,0).設(shè)y軸上一點(diǎn)A(0,b),當(dāng)以A為圓心,半徑為3的圓與圓C有公共點(diǎn)時(shí),滿(mǎn)足31≤|CA|≤3+1,即2≤(0-所以2≤9+b2化簡(jiǎn)得b2≤7,∴7≤b≤7,∴A的縱坐標(biāo)可以是1.12.已知函數(shù)f(x)=bxb214(b>0,x∈R),若(m+1)2+(n+1)2=2,則f(n)A.[3,2] B.[3,2+3]C.[23,3] D.[23,2+答案D解析f(可以看作點(diǎn)(m,n)與點(diǎn)b+14b,b+14b連線(xiàn)的斜率,點(diǎn)(m,n)在圓(x+1)點(diǎn)b+14b,b+14b當(dāng)過(guò)點(diǎn)(1,1)作圓(x+1)2+(y+1)2=2的切線(xiàn),此時(shí)兩條切線(xiàn)的斜率分別是f(n兩條切線(xiàn)與圓心(1,1)、點(diǎn)(1,1)所在直線(xiàn)的夾角均為π6,兩條切線(xiàn)的傾斜角分別為π故所求直線(xiàn)的斜率的范圍為[23,2+3].13.已知圓C:(x3)2+(y4)2=1和兩點(diǎn)A(m,0),B(m,0)(m>0),若圓上存在點(diǎn)P,使得∠APB=90°,則m的取值范圍是.

答案[4,6]解析設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),∵∠APB=90°,且坐標(biāo)原點(diǎn)O為AB的中點(diǎn),∴|OP|=12|AB|=m,則點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=m2由題意可知,圓x2+y2=m2與圓C有公共點(diǎn),且圓心C(3,4),則|m1|≤|OC|≤m+1,即|m1|≤5≤m+1.∵m>0,解得4≤m≤6.因此,實(shí)數(shù)m的取值范圍是[4,6].14.已知點(diǎn)P(t,t1),t∈R,點(diǎn)E是圓x2+y2=14上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F是圓(x3)2+(y+1)2=94上的動(dòng)點(diǎn),則|PF||PE|的最大值為答案4解析∵P(t,t1),∴P點(diǎn)在直線(xiàn)y=x1上,作E關(guān)于直線(xiàn)y=x1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E',且圓O:x2+y2=14關(guān)于直線(xiàn)y=x1對(duì)稱(chēng)的圓O1的方程為(x1)2+(y+1)2=14,所以E'在圓O1上,∴設(shè)圓(x3)2+(y+1)2=94的圓心為O2∴|PE'|≥|PO1||E'O1|,|PF|≤|PO2|+|FO2|,∴|PF||PE|=|PF||PE'|≤(|PO2|+|FO2|)(|PO1||E'O1|)=|PO2||PO1|+2≤|O1O2|+2=4,當(dāng)P,E',F,O1,O2五點(diǎn)共線(xiàn),E'在線(xiàn)段PO1上,O2在線(xiàn)段PF上時(shí)等號(hào)成立.因此,|PF||PE|的最大值為4.15.與圓C1:(x1)2+y2=1,圓C2:(x4)2+(y+4)2=4均外切的圓中,面積最小的圓的方程是.

答案x-11解析當(dāng)三圓圓心在一條直線(xiàn)上時(shí),所求圓面積最小.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(a,b),已知兩圓圓心之間的距離為d=(1-4)2+(0+4)2=5,所以所求圓半徑為1.由已知可知所以所求圓的方程為x-11516.已知圓C1:x2+y2=5與圓C2:x2+y24x+3=0相交于A,B兩點(diǎn).(1)求過(guò)圓C1的圓心與圓C2相切的直線(xiàn)方程;(2)求圓C1與圓C2的公共弦長(zhǎng)|AB|.解(1)已知圓C1:x2+y2=5的圓心坐標(biāo)為(0,0),半徑為5,圓C2:x2+y24x+3=0的圓心坐標(biāo)為(2,0),半徑為1.若過(guò)圓C1的圓心(0,0)與圓C2相切的直線(xiàn)斜率存在,則可設(shè)直線(xiàn)方程為y=kx,則圓心(2,0)到直線(xiàn)kxy=0的距離d=|2k|1+k2=1,整理得3k2=所以直線(xiàn)方程為y=±33x若直線(xiàn)斜率不存在,直線(xiàn)不與圓C2相切.綜上所述,直線(xiàn)方程為y=±33x(2)圓C1:x2+y2=5與圓C2:x2+y24x+3=0相交于A,B兩點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)A和B的直線(xiàn)方程為4x3=5,即x=2.所以(0,0)到直線(xiàn)x=2的距離d=2,所以弦|AB|=2(5)217.如圖所示,圓O1與圓O2的半徑都是1,|O1O2|=4,過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1,圓O2的切線(xiàn)PM,PN(M,N分別為切點(diǎn)),使得|PM|=2|PN|.試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.解如圖所示,以直線(xiàn)O1O2為x軸,線(xiàn)段O1O2的垂直平分線(xiàn)為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則O1(2,0),O2(2,0).設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y).由題意得|PM|2=|O1P|2|O1M|2=(x+2)2+y21.同理,可得|PN|2=(x2)2+y21.因?yàn)閨PM|=2|PN|,所以|PM|2=2|PN|2.所以(x+2)2+y21=2[(x2)2+y21],即x2+y212x+3=0.所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是x2+y212x+3=0.學(xué)科素養(yǎng)拔高練18.已知圓方程C1:f(x,y)=0,點(diǎn)P1(x1,y1)在圓C1上,點(diǎn)P2(x2,y2)不在圓C1上,則方程f(x,y)f(x1,y1)f(x2,y2)=0表示的圓C2與圓C1的關(guān)系是()A.與圓C1重合B.與圓C1同心圓C.過(guò)P1且與圓C1圓心相同的圓D.過(guò)P2且與圓C1圓心相同的圓答案D解析由題意,圓方程C1:f(x,y)=0,點(diǎn)P1(x1,y1)在圓C1上,點(diǎn)P2(x2,y2)不在圓C1上,∴f(x1,y1)=0,f(x2,y2)≠0,由f(x,y)f(x1,y1)f(x2,y2)=0,得f(x,y)=f(x2,y2)≠0,它表示過(guò)P2且與圓C1圓心相同的圓.19.(多選)設(shè)有一組圓Ck:(xk+1)2+(y3k)2=2k4(k∈N*).下列四個(gè)命題中是真命題的有()A.存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均相切B.存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均相交C.存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均不相交D.所有的圓均不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)答案BD解析根據(jù)題意得,圓心(k1,3k),圓心在直線(xiàn)y=3(x+1)上,故存在直線(xiàn)y=3(x+1)與所有圓都相交,選項(xiàng)B正確;考慮兩圓的位置關(guān)系,圓Ck:圓心(k1,3k),半徑為r=2k2,圓Ck+1:圓心(k1+1,3(k+1)),即(k,3k+3),半徑為R=2(k+1)2,兩圓的圓心距d=(k-k+1)2+(3k+3-3k)2=10,兩圓的半徑之差Rr=2(k+1)22k2=22k+2,任取k=1或若k取無(wú)窮大,則可以認(rèn)為所有直線(xiàn)都與圓相交,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;將(0,0)代入圓的方程,則有(k+1)2+9k2=2k4,即10k22k+1=2k4(k∈N*),因?yàn)樽筮厼槠鏀?shù),右邊為偶數(shù),故不存在k使上式成立,即所有圓均不過(guò)原點(diǎn),選項(xiàng)D正確.20.已知圓O1:x2+y2=25,點(diǎn)P在圓O2:x2+y2=r2(0<r<5)上,過(guò)點(diǎn)P作圓O2的切線(xiàn)交圓O1于點(diǎn)M,N兩點(diǎn),且r,|OM|,|MN|成等差數(shù)列.(1)求r;(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為-165,125,與直線(xiàn)MN平行的直線(xiàn)l與圓O2交于A,B兩點(diǎn),則使△AOB的面積為43的直線(xiàn)解(1)顯然圓O1和圓O2是圓心在原點(diǎn)的同心圓.連接OP,則OP⊥MN,|OM|=5,|OP|=r,在直角三角形MOP中,|MP|=52所以|MN|=252由r,|OM|,|